2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）四邊形測試（解析版）

第五章四邊形

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,則這個(gè)正多邊形是（）

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

【答案】C

【分析】設(shè)這個(gè)外角是x。，則內(nèi)角是3x。，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)多

邊形的外角和是360。即可求解.

【詳解】解：.?,一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1,

二設(shè)這個(gè)外角是x。,則內(nèi)角是3x。,

根據(jù)題意得：x+3x=180°,

解得:x=45。,

360。+45。=8（邊），

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活—利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題

2.如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形,窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之

中.如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角N7=（）

圖1圖2

A.45°B,60°C,HOPD.35°

【答案】A

【分析】由正八邊形的外角和為360°,結(jié)合正八邊形的每一個(gè)外角都相等，再列式計(jì)算即可.

【詳解】解：,正八邊形的外角和為36/

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為36〃是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在"ABCD中，一定正確的是（）

A.AD=CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，然后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：?四邊形/BCD是平行四邊形，

:.AB=CD,AD=BC.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).

4.如圖，在菱形/BCD中，對角線NC,2。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).若。石=3,則菱形/BCD的

周長為（）

AD

A.6B,12C.24D.48

【答案】C

【分析】由菱形的性質(zhì)可得出2。=。。，AB=BC=CD=DA,再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得BC=2OE=6,結(jié)合

菱形的周長公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?四邊形/BCD為菱形，

:.BO=DO,AB=BC=CD=DA,

■.0E=3,且點(diǎn)E為C。的中點(diǎn)，

,OE是△BCD的中位線，

:.BC=2OE=6.

:.菱形4BCD的周長為:48C=4x6=24.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6.

5.下列說法錯誤的是（）

A.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形

B,同圓或等圓中，同弧對應(yīng)的圓周角相等

C.對角線相等的四邊形是矩形

D,對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圓周角定理，分別分析得出答案.

【詳解】解：A.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，所以A選項(xiàng)說法正確，故A選項(xiàng)不符合題意；

B,同圓或等圓中，同弧對應(yīng)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)說法正確，故B選項(xiàng)不符合題意；

C.對角線相等的四邊形是不一定是矩形，所以C選項(xiàng)說法不正確，故C選項(xiàng)符合題意；

D.對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)說法正確，故D選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識，熟練掌握圓周角定

理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定方法等進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

6.【創(chuàng)新題】如圖，拋物線y=ax2/c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)B,C,點(diǎn)3在y軸上，貝he

的值為（）

【答案】B

【分析】連接AC,交y軸于點(diǎn)。，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AC=OB=2AD=2OD,然后可得點(diǎn)A?,今,

進(jìn)而代人求解即可.

【詳解】解：連接AC,交y軸于點(diǎn)，如圖所示:

...四邊形OABC是正方形，

AC—OB-2AD—20D-c,AC.LOB,

二點(diǎn)A（H），

=ax"+c,

24'

解得：ac=-2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】梯子模型

7.如圖，已知NMON=90。，線段AB長為6,兩端分別在OM、ON上滑動，以AB為邊作正方形

ABCD,對角線AC、BD相交于點(diǎn)P,連接OC則OC的最大值為（）

A.6+3^~5B.8C.3+箱D.9

【答案】C

【分析】取AB的中點(diǎn)E,連接OE、CE,根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得OE=

BE再根據(jù)勾股定理求得CE=7BE2+CB2=H七,即可根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得OCW

3+只七,則OC的最大值為3+WM于是得到問題的答案.

【詳解】解：取AB的中點(diǎn)E,連接OE、CE,

上，____________

0AM

ZAOB^90°,線段AB長為6,

OE=BE=-AB=3,

2

???四邊形ABCD是正方形，

??.NCBE=90。,CB=AB-6,

CE=y/BE2+CB2=732+62=WM

OC<OE+CE,

OC<3+3^5,

oc的最大值為3+WM

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、兩點(diǎn)之間線

段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】半角模型

8.如圖,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,連接AE,AF,EF,ZEAF=45°.若NBAE=

a,則NFEC一定等于（）

A.2aB.9CP-2aC,45°-aD.90°-a

【答案】A

【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】將aADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9〃至aABH,

?.?四邊形ABCD是正方形，

/.AB=AD,XABC=Z.D=XBAD=NC=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZDAF=ZBAH,ZD=ZABH=90°,AF=AH,

..ZABH+AABC=780°,

點(diǎn)H,BfC三點(diǎn)共線，

:ZBAE=a,ZEAF=45°,ZBAD=ZHAF=90°,

/.ZDAF=ZBAH=45°-a,ZEAF=ZEAH=45°,

:ZAHB+ABAH=90。，

..ZAHB=450+a,

在4^舊戶和^AEH中

AF=AH

{ZFAE=ZHAEf

AE=AE

「.△AFE=△AHEfSAS/

/.Z.AHE=ZAFE=450+a,

Z.AHE-ZAFD-Z.AFE=450+a,

:.ZDFE=AAFD+AAFE=90°+2a,

:NDFE=NFEC+Z.C=NFEC+90°,

:.ZFEC=2a,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋

轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度.

9.如圖，點(diǎn)。為矩形/8CO的對稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)/出發(fā)沿向點(diǎn)8運(yùn)動，移動到點(diǎn)3停止，延長

交8于點(diǎn)凡則四邊形/EC尸形狀的變化依次為（）

A,平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

B,平行四邊形一菱形T平行四邊形一矩形

C.平行四邊形一正方形一菱形一矩形

D,平行四邊形一菱形-正方形一矩形

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形4ECF形狀的變化情況.

【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形ZECF形狀的變化依次為平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了中心對稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，根據(jù)E尸與NC的位置關(guān)

系即可求解.

10.如圖，已知菱形ABCD的邊長為2,對角線AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別是邊BC、CD上的

①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是否③當(dāng)最小時(shí)S.MN=下菱形.CD；④當(dāng)OMJ_

BC時(shí)，OA2=DN-AB

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出NMAC=NDAN,然后證

△CAMDAN(ASA),AM=AN,即可證出.

②當(dāng)MN最小值時(shí)，即為最小值，當(dāng)AMJ.BC時(shí)，值最小，利用勾股定理求出AM=

YAB2-BM2=722-72=Vj,即可得到MN的值.

③當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)”、N分別為BC、CD中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得到AC_LMN,用勾股定理求

出CE"CN2一EN2=Y72一(與2=%SRMN=白白方=產(chǎn),而菱形的面積為：2x43=

R3,即可得到答案.

④當(dāng)OM_LBC時(shí)，可證△OCM?△BCO,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得OC?=?BC,根

據(jù)等量代換，最后得到答案.

【詳解】解：如圖：在菱形48co中，AB=BC=AD=CD,AC1BD,0A=0C,

.ABAC=NMAN-60°,

ZACB=ZADC=60°,△48。與4ADC為等邊三角形，

又NMAC=NMAN-NCAN=60°-ZCAN,

NDAN=ADAC-NCAN=60°-NCAN,

:.ZMAC=NDAN,

在^。入乂與aDAN中

NCAM=NDAN

{AC=AC

ZACM=NADN

CAM=△DANCASA),

：.AM=AN,

即aAMN為等邊三角形，

故①正確；

:AC1BD,

當(dāng)aW最小值時(shí)，即為最小值，當(dāng)AM_LBC時(shí)，值最小，

:AB=2,BM=_BC=1,

：.AM-'JAB2-BM2=^22-i2=VJ

即MN=43,

故②正確；

當(dāng)MM最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn),

:.MN\\BD,

:.AC1MN,

在aCMN中，

22

CE=y/CN-EN=d/一卷尸=2

-s-2x-xV5--

而菱形ABCD的面積為：2x=2^3,

84'

故③正確，

當(dāng)OM1BC時(shí)，

ZBOC=NOMC=90°

NOCM=ZBCO

.'.AOCMBCO

,OC_CM

■■BC—~6c

:.0C2=CM-BC

:.OA2=DN-AB

故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，三角

形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.【原創(chuàng)題】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為900。，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

【答案】5

【分析】本題需先根據(jù)已知條件以及多邊形的外角和是360。，解出內(nèi)角和的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)角和度數(shù)的計(jì)

算公式即可求出邊數(shù).

【詳解】解：：多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為900。，多邊形的外角和是360。，

,多邊形的內(nèi)角和是900-360=540°,

二多邊形的邊數(shù)是:540°-180°+2=3+2=5.

故答案為:5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，在解題時(shí)要根據(jù)外角和的度數(shù)以及內(nèi)角和度數(shù)的計(jì)算公式解

出本題即可.

12.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的/,8兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們在外選擇一點(diǎn)C,測得

ACBC兩邊中點(diǎn)的距離DE為10m（如圖），則2兩點(diǎn)的距離是m.

【分析】根據(jù)題意得出為A45c的中位線，然后利用其性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：1.點(diǎn)E為AC,8C的中點(diǎn)，

,。石為AA5C的中位線，

:DE=W,

：.AB=2DE=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形中位線的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.邊長分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分

的面積為.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖，

由題意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,ZCEF=NEFG=9/,GH=4,

CH=10=AD,

:ND=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

■.ADJ=/\HCJ(AAS),

:.CJ=DJ=5,

■-EJ=7,

■-GIWCJ,

：.^HGIHCJ,

,G￡_GH_2

''CJ~'CH~~5,

:.GI=2,

:.FI=4,

，S梯形E〃F=g(EJ+FI)-EF=75；

故答案為15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】十字架模型

14.如圖，在正方形N3C。中，點(diǎn)E是邊8c上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊CD的延長線上，且BE=DF,連接

￡尸交邊/。于點(diǎn)G.過點(diǎn)/作ANJ.EF,垂足為點(diǎn)交邊CD于點(diǎn)N.若BE=5,CN=8,則線段

AN的長為

【答案】R防

【分析】連接/￡、AF,EN,首先可證得/△ADF(SAS),AE=AF,可證得AN垂直平分昉，可

得EN=FN,再根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理即可求得NN的長.

【詳解】解：如圖：連接/￡、AF,EN,

???四邊形/BCD是正方形

設(shè)4B=BC=CD=AD=a,ZB=ZADF=90°,

在△ABE與△ADF中，

AB=AD

{ZB=ZADF

BE=DF

AABE^AADF(SAS),

??.AE=AF,

.-?AAEF是等腰三角形，

又：AM1EF,

???AN垂直平分￡尸，

EN=FN=DN+DF=CD-CN+DF=a-8+5=a-3,

又BE=5,

?1.EC=BC—BE=a—5,

在Rt^ECN中，EN2=EC2+CN2,

(a-3)2={a-5)2+82,

解得。=20,

AD—20,DN—CD—CN—20—8=72,

在RtAADN中，???AN2=AD2+DN2,

AN)AD?+DN2=7202+/22=W54,

故答案為：W54.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分

線的性質(zhì)，勾股定理，證得AN垂直平分所是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小

值時(shí)，器的值是.

【分析】作點(diǎn)/關(guān)于AC的對稱點(diǎn)連接EF交AC于點(diǎn)P：此時(shí)PE+PF取得最小值，過點(diǎn)尸作AD

的垂線段，交AC于點(diǎn)K,根據(jù)題意可知點(diǎn)F落在AD上，設(shè)正方形的邊長為a,求得AK的邊長，證明

△AEP'MKF'P：可得器=2,即可解答.

【詳解】解：作點(diǎn)/關(guān)于AC的對稱點(diǎn)尸‘，連接EF交AC于點(diǎn)P：過點(diǎn)F作AD的垂線段，交AC于點(diǎn)K,

由題意得：此時(shí)F落在AD上，且根據(jù)對稱的性質(zhì)，當(dāng)尸點(diǎn)與P重合時(shí)PE+PF取得最小值，

設(shè)正方形ABCD的邊長為則AF'=AF=Wa,

?.?四邊形ABCD是正方形，

NFAK=45°,NPAE=45°,AC-V5t2

VF'K1AF',

ZF'AK=NF'KA=45°,

w?

??.AK=—a,

3，

vNF'P'K=ZEPA,

??.△E'KP'?LEAP：

F'KKP'八

----=-----；=2、

AEAP'

AP'=-AK=二伍，

39'

CP'=AC-AP'=->l~2a,

9，

,AP—'——2

**CP1-r

???當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，器的值是為§

故答案為：(

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的證明與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確

畫出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】對角互補(bǔ)模型

16.如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC,ZABC=ZCDA=9(f,BE1AD于E,S四邊形ABCD=1°，

則BE的長為

【分析】過點(diǎn)B作BFJ.CD交DC的延長線交于點(diǎn)F,證明△AEB4△CFB(AAS)推出BE=BF,SAABE=

SABFC,可得S因邊形ABCD=S正方形BEDF=72由此即可解決問題；

【詳解】解：過點(diǎn)B作BFJ.CD交DC的延長線交于點(diǎn)F,如右圖所示，

?.BFJ.CD,BE1AD

NBFC=NBEA=9(T

???ZABC=ZADC=9(T

???NABE+NEBC=9。,ZEBCV-ZCBF=9(T

ZABE=ZCBF

???AB=CB

/.AAEB^ACFB(AAS)

??.BE=BF,SAABE—S/^BFC

A,四邊形院?。=SiEWBEDF=‘°，

BExBF=70,

ERBE2=70,

???BE=J力，

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題，屬于中考?？碱}型.

三解答題(共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分)

17.連接多邊形任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段稱為多邊形的對角線.

(2)n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由.

(3)若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1800。，求它對角線的條數(shù).

【答案】(1)2；5；9；要了；(2)n邊形可以有20條對角線，此時(shí)邊數(shù)n為八；(3)這個(gè)多邊形有54條

對角線

【詳解】分析：(1)設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為血根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式即可求出結(jié)論；

(2)假設(shè)可以，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，可求出邊數(shù)，再套用多邊形對角線條數(shù)公式，即可得出結(jié)論.

詳解：(D設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為an,

r4x(4—3)c5x(5-3)6x(6—3)01n(n-5)

則mi聞=~-~~=2,a=---=5,a=~~-=9,ay

562

(2)假設(shè)可以，根據(jù)題意得:

犯聲20,

解得：n=8或n=-5(舍去)，

，n邊形可以有20條對角線，此時(shí)邊數(shù)n為八.

(3)1,一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1800。，

.■.180°x(n-2)=1800°,

解得：n=12,

.n(n-3)72x(/Z-jw

22,

答：這個(gè)多邊形有54條對角線.

點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、多邊形的對角線以及多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：(1)根

據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式求出多邊形的對角線條數(shù)；（2）根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，列出關(guān)于n的一元

二次方程；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，求出邊數(shù)n.

18,學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線,

那么這個(gè)平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分.她的解決思路是通過證明對應(yīng)線段

所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交DC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)凡垂足為點(diǎn)。.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，E尸垂直平分AC,垂足為點(diǎn)。.

求證：OE=OF.

證明：?..四邊形ABCO是平行四邊形，

:.DC||AB.

"ECO=①.

???EF垂直平分AC,

又ZEOC=③.

.-.△COE三/\AOF（ASA）.

:.OE=OF.

小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線AC中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此

特征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線W.

【答案】作圖：見解析；ZFAO；AO-CO；ZFOA；被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對

角線中點(diǎn)平分

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，即為所求；

D

AF\L.B

證明：?四邊形ABCD是平行四邊形，

:.DC||AB.

「.NECO=Z.FAO.

■「EF垂直平分AC,

：.AO=CO.

又NEOC=ZFOA.

，△COE=△AOF(ASA).

：.OE=OF.

故答案為：NFAO；AO=CO；ZFOA；

由此得到命題：過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平

分，

故答案為：被平行四邊形一組對邊所截，截得的線段被對角線中點(diǎn)平分.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行

四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，將矩形/5CD沿對角線/C折疊，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為E,4E與CD交于點(diǎn)F.

(1)求證：△DAF三△ECF；

⑵若NFCE=40°,求NCAB的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZCAB=25°

【分析】(1)由矩形與折疊的性質(zhì)可得AD=BC=EC,ND=NB=NE=90°,從而可得結(jié)論;

(2)先證明NDAF=NECF=40°,再求解NEAR=ZDAB-ZDAF=9(T-4CP=50°,結(jié)合

對折的性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)證明：將矩形/BCD沿對角線/C折疊，

則AD=BC=EC,Z.D—Z.B-Z.E—90P.

在尸和△ECF中，

ZDFA=NEFC,

{ZD=ZE,

DA=EC,

DAFECF.

(2)解：,/△DAF=△ECF,

:.ZDAF=NECF=4CP.

,??四邊形是矩形，

:.ZDAB=2.

ZEAB=ZDAB-ZDAF=90°-40°=50°,

:ZFAC=NCAB,

:.ZCAB=25°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)

證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵.

【幾何模型】中點(diǎn)四邊形模型

20.我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

(1)如圖1,四邊形A8CD中，點(diǎn)及F,G,H分別為邊4B,BC,CD,的中點(diǎn).求證：中點(diǎn)四邊形

所G”是平行四邊形；

(2)如圖2,點(diǎn)尸是四邊形/8CO內(nèi)一點(diǎn)，且滿足口=尸8,PC=PD,/APB=/CPD,點(diǎn)、E,F,G,"分

別為邊BC,CD,。/的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形即G8的形狀，并證明你的猜想；

(3)若改變(2)中的條件，使//PB=/CP0=9O。，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFG8的形狀.(不

必證明)

【分析】⑴如圖1中，連接即，根據(jù)三角形中位線定理只要證明￡〃//尸G,E/QFG即可.

(2)四邊形EFG8是菱形.先證明△/PC組△8PR得到NC=3。，再證明E尸十G即可.

(3)四邊形EFGH是正方形，只要證明/E8G=90。，利用△/PC2ABPD,得N/CP=N3Z?,即可證明

ZCOD=ACPD=90。,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】⑴證明：如圖1中，連接3D

1?點(diǎn)及H分別為邊AB,￡?/的中點(diǎn)，

：.EHIIBD,EH=^D,

.?,點(diǎn)凡G分別為邊8C,C￡>的中點(diǎn)，

:.FGIIBD,FG=^D,

:.EH/IFG,EH=GF,

中點(diǎn)四邊形EFG"是平行四邊形.

(2)四邊形MG”是菱形.

證明：如圖2中，連接/C,BD.

■：AAPB=ACPD,

：.AAPB+AAPD=ACPD+AAPD,

即NNPC=N8尸Z>,

在△4PC和△AP。中，

-：AP=PB,2Ape=乙BPD,PC=PD,

/XAPC^ABPD(SAS),

：.AC=BD.

?.?點(diǎn)及F,G分別為邊43,BC,CO的中點(diǎn)，

:.EF’2AC,2FG'BD,

...四邊形EFG8是平行四邊形，

二四邊形EFG”是菱形.

(3)四邊形EFGX是正方形.

證明：如圖2中，設(shè)NC與3。交于點(diǎn)。/C與尸D交于點(diǎn)“，AC與EH交于點(diǎn)、N.

■：AAPC0ABPD,

:.NACP=NBDP,

■：ADMO=/LCMP,

：.ACOD=^CPD=90°,

■：EHHBD,ACIIHG,

：.ZEHG=ZENO=ABOC=ADOC=90°,

,??四邊形EFG”是菱形，

二四邊形EFG*是正方形.

圖1圖2

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)和中點(diǎn)四邊形，綜合性較強(qiáng)，作出適當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵.

【幾何模型】折疊模型

21.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

-1pp

——大-------￡>H

—

8匕-------------'C

圖1圖2圖3

(1)操作判斷

操作一：對折矩形紙片/BCD,使/。與3c重合，得到折痕所，把紙片展平；

操作二：在4D上選一點(diǎn)尸，沿AP折疊，使點(diǎn)/落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接尸”，BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在斯上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30。的角：______.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片N3CD按照(1)中的方式操作，并延長產(chǎn)“交CD于點(diǎn)0,連接80.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在M上時(shí)，乙MBQ=°,ACBQ=°；

②改變點(diǎn)P在/。上的位置(點(diǎn)尸不與點(diǎn)4。重合)，如圖3,判斷/班。與NC80的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

(3)拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片/BCD的邊長為8cm,當(dāng)/。=1cm時(shí)，直接寫出AP的長.

【答案】(l)NBME或NABP或NPBM或NMBC

(2)①15,15；②NMBQ=NCBQ,理由見解析

(3)AP=*m或mcm

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，得結(jié)合矩形的性質(zhì)得NBME=3〃，進(jìn)而可得NABP=

NPBM=/MBC=30

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtABQM=RtABQC(HL),即可求解；

(3)由(2)可得QM=QC,分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方時(shí)，設(shè)AP=PM=

x,分別表示出尸D,DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：???AE=BEAB=BM

7

BE=-BM

2

RF7

???ZBEM=90°,sin=:

DM.2

：.NBME=30°

Z.MBE-60°

■.NABP=NPBM

：.ZABP=NPBM=NMBC=30°

(2)?四邊形/BCD是正方形

:.AB=BC,AA=AABC=AC=90a

由折疊性質(zhì)得：AB=BM,ZPMB=ZBMQ=ZA=90°

：.BM=BC

?VBM=BC,BQ=BQ

/.RtABQM=RtABQC(HL)

??.Z.MBQ=Z.CBQ

???NMBC=30°

Z.MBQ—XCBQ=15°

②BM=BC,BQ=BQ

RtABQM=RtABQC(HL)

???NMBQ-Z.CBQ

(3)當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí),如圖,

圖3

,:FQ=7cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

??.QC=CD—DF—FQ=8—4—1=5fem),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)

由(2)可知，QM=QC

設(shè)AP=PNf=x,PD=8—x,

PD?+DQ2=PQ2,

即(8-X)2+52=(X+3)2

解得：x=E

/.AP=—cm；

77

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)F的上方時(shí),如圖,

D

vFQ=7cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

??.QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

設(shè)AP=PM=x,PD-8-x,

PD2+DQ2=PQ2,

即(8—x)2+32=(x+5/

解得：x=(

AP—^cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

22.如圖是4x4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).

圖1圖2

(1)在圖1中作NABC的角平分線；

(2)在圖2中過點(diǎn)C作一條直線I,使點(diǎn)A,B到直線1的距離相等.

【答案】⑴作圖見解析部分

(2)作圖見解析部分

【分析】(1)連接AC,HG,AC與HG交于點(diǎn)P,作射線BP即可；

(2)取格點(diǎn)D,過點(diǎn)C和點(diǎn)D作直線I即可.

【詳解】(1)解：如圖1,連接AC、HG,AC與HG交于點(diǎn)P,設(shè)小正方形的邊長為1個(gè)單位,

?.?線段AC和HG是矩形的兩條對角線且交于點(diǎn)P,

:.AP=CP,

又AB=5+[2=V?,BC=h2+[2=V?,

:.AB=BC,

二.BP平分NABC,

二射線BP即為所作;

圖1

(2)如圖2,連接A。、AB,BC、CD,直線]經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D,設(shè)小正方形的邊長為1個(gè)單位,

:.AB=722+平=傳AD="+F=yj~5

BC=722+P=V5,CD=>/22+I2=y/5,

:.AB=AD=CD=BC,

二四邊形ABCD是菱形，

又/;AE=DF=7,BE=AF=2,NAEB=NDFA=9/,

在4^石口和aDFA中，

AE=DF

{ZAEB=ZDFA

BE=AF

，△AEBDFA(SAS),

:.ZABE=NDAF,

:ZABE+ZBAE=90°,

:.ZDAF+ZBAE=90°,

:.ZBAD=90°,

二四邊形ABCD是正方形，

:.AD1I,BC1I,5.AD=BC,

???直線/即為所作.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判

定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵是理解題意,

學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

23.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=70BC邊上的高AM=4,點(diǎn)E為BC邊上的動點(diǎn)(不

與夙。重合，過點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為尸，連接DE、DF.

(1)求證：AABMs^EBF；

⑵當(dāng)點(diǎn)￡為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長；

(3)設(shè)BE=x,/\DEF的面積為％求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值

是多少？

【答案】(1)證明見解析

⑵DE=W?

(3)解析式為，=一卷(x—爭2**,當(dāng)乂=爭寸―有最大值為詈

【分析】⑴利用44證明△ABMs^EBF,即可；

(2)過點(diǎn)￡作ENJ_AD于點(diǎn)N,可得四邊形AMEN為矩形，從而得到NE=AM=4AN=ME,

再由勾股定理求出8河=3,從而得到ME=AN=2,進(jìn)而得到DN=8,再由勾股定理，即可求解；

(3)延長FE交DC的延長線于點(diǎn)G.根據(jù)sinZB=普=器,可得EF=1x,再證得△ABM八ECG,

可得GC=*n。一x),從而得到DG=*n。一x)+5,再根據(jù)三角形的面積公式，得到函數(shù)關(guān)系式，再根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】⑴證明：?.?EF_LAB,AM是BC邊上的高，

:.ZAMB=NEFB=90°,

又rNB=NB,

；△ABMEBF；

(2)解：過點(diǎn)石作舊?^，A。于點(diǎn)N,

在平行四邊形ABC。中，AD||BC,

又「AM是BC邊上的高，

.\AM_LAD,

..ZAME=AMAN=NANE=90°,

二.四邊形AMEN為矩形，

:.NE=AM=4,AN=ME,

在Rt△ABM中，BM=>/AB2-AM2=52-42=3,

又為BC的中點(diǎn)，

:.BE=-2BC=5,，

:.ME=AN=2,

:.DN=8,

在HtaDNE中，DE=-^DN2+NE2=42+82=4^5-,

ND

(3)解：延長FE交DC的延長線于點(diǎn)G.

.fAMEF

.sinNB—

ABBE'

4_EF

5x

?'?EF5

■：AB\\CD,

:.NB=NECG,/EGC=NBFE=9Q°,

又「NAMB=NEGC=90°,

ABMECG,

CG_EC

~BM一遍,

CG_10-x

~3~-5

GC——(10—x),

..DG—DC+CG=%(70—x)+5.

..y=-7ElFl-DG=1-x-4x『\3^r.(e10-x)x+.5\=--6x,2+,2—2x—6(x--5)5.2o^,—121

ZZuDZOOZOOO

???當(dāng)x=彳時(shí)，y有最大值為等.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì),

解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2/3),點(diǎn)。

是邊OC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE1OB交邊04于點(diǎn)E,作DF||0B交邊BC于點(diǎn)F,連接EF.設(shè)OD=

(△。后產(chǎn)的面積為5.

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；

⑵當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請求出最大值.

【答案】(1)S=-3

(2)當(dāng)x=2時(shí)，S的最大值為R3

【分析】(1)過點(diǎn)A作AG_LOC于點(diǎn)G,連接AC,證明△AOC是等邊三角形，可得DE=x,進(jìn)而證

明△CDF~Z\COB,得出DF=J?(4—x),根據(jù)三角形面積公式即可求解；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，過點(diǎn)A作AG，OC于點(diǎn)G,連接AC,

..?頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,R》，

.,.OA=五2+（外2=4,OG=2,AG=R3

cosXAOG=—y：=-,

AO2'

:.ZAOG=60。

???四邊形OABC是菱形，

..ZBOC=ZAOB=30。,AC1BD.AO=OC,

AOC是等邊三角形，

:.AACO=60°,

:DE1OB,

:.DE\\AC,

../EDO=ZACO=60°

.?.△EO