期末真題必刷壓軸60題（22個考點專練）（解析版）

期末真題必刷壓軸60題（22個考點專練）一．正數(shù)和負數(shù)（共1小題）1．（2022秋?綏棱縣校級期末）某班抽查了10名同學的期末成績，以80分為基準，超出的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)，記錄的結(jié)果如下：+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣4，﹣8，+1，0，+10；（1）這10名同學中的最高分是多少？最低分是多少？（2）10名同學中，低于80分的占的百分比是多少？（3）10名同學的平均成績是多少？【分析】（1）根據(jù)標準成績加最大數(shù)，可得最高分，標準成績加最小數(shù)，可得最低分；（2）根據(jù)負數(shù)是低于80分，可得低于80分的人數(shù)，根據(jù)低于80分的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，可得百分比；（3）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得總得分，根據(jù)總得分除以人數(shù)，可得平均成績．【解答】解：（1）最高分為80+12＝92（分），最低分為80﹣10＝70（分）．答：這10名同學中最高分是92分，最低分是70分；（2）低于80分的人數(shù)是5，低于80分所占的百分比是5÷10＝50%．答：10名同學中，低于80分的占的百分比是50%；（3）∵（+8）+（﹣3）+（+12）+（﹣7）+（﹣10）+（﹣4）+（﹣8）+（+1）+0+（﹣10）＝﹣1，總得分為80×10﹣1＝799（分），平均成績?yōu)?99÷10＝79.9（分）．答：10名同學的平均成績是79.9分．【點評】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，利用有理數(shù)的加法是解題關(guān)鍵．二．數(shù)軸（共5小題）2．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）數(shù)軸上某一個點表示的數(shù)為a，比a小2的數(shù)用b表示，那么|a|+|b|的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】理解絕對值的定義，如|a﹣2|表示數(shù)軸上點a到2的距離；|a|＝|a﹣0|表示a到原點的距離；【解答】解：∵比a小2的數(shù)用b表示，∴b＝a﹣2，∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣2|，那么|a|+|b|的最小值就是在數(shù)軸上找一點a到原點和到2的距離最小，顯然這個點就是在0與2之間，當a在區(qū)間0與2之間時，|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2為最小值，∴|a|+|b|的最小值為2，故選：C．【點評】本題考查絕對值的定義，難點在于|a﹣0|+|a﹣2|對這個式子的理解并用絕對值意義來解答．3．（2023春?閔行區(qū)期末）電影《哈利?波特》中，小哈利波特穿越墻進入“站臺”的鏡頭（如示意圖的Q站臺），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象．若A、B站臺分別位于﹣，處，AP＝2PB，則P站臺用類似電影的方法可稱為“1或6站臺”．【分析】先根據(jù)兩點間的距離公式得到AB的長度，再根據(jù)AP＝2PB求得AP的長度，再用﹣加上該長度即為所求．【解答】解：AB＝﹣（﹣）＝，AP＝×＝，P：﹣+＝＝1；或AP＝×2＝，P：﹣+＝6．故P站臺用類似電影的方法可稱為“1或6站臺”．故答案為：1或6．【點評】此題考查了數(shù)軸，關(guān)鍵是用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．4．（2022秋?潁州區(qū)期末）已知數(shù)軸上兩點A，B，其中A表示的數(shù)為﹣3，B表示的數(shù)為2．給出如下定義：若在數(shù)軸上存在一點C，使得AC+BC＝m，則稱點C叫做點A，B的“m和距離點”．如圖，若點C表示的數(shù)為0，有AC+BC＝5，則稱點C為點A，B的“5和距離點”．（1）如果點N為點A，B的“m和距離點”，且點N在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣4，那么m的值是7；（2）如果點D是數(shù)軸上點A，B的“6和距離點”，那么點D表示的數(shù)為2.5或﹣3.5；（3）如果點E在數(shù)軸上（不與A，B重合），滿足BE＝AE，且此時點E為點A，B的“m和距離點”，求m的值．【分析】（1）讀懂題意，利用“m和距離點”計算；（2）先判斷D點的可能位置，再分情況計算；（3）根據(jù)題意可判斷E點的位置有可能在線段AB上，也可能在點A左邊，再分情況計算m的值．【解答】解：（1）∵點N為點A，B的“m和距離點”，且點N在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣4，∴AN＝1，BN＝6，∴m＝AN+BN＝1+6＝7；故答案為：7；（2）設(shè)D點表示的數(shù)為x，∵AD＝|x﹣（﹣3）|，BD＝|x﹣2|，∴|x+3|+|x﹣2|＝6，D點不會在線段AB上（AB＝5），∴當D點在A點左邊時，﹣x﹣3+（﹣x+2）＝6，x＝﹣3.5，當D點在B點右邊時，x+3+x﹣2＝6，x＝2.5，∴點D表示的數(shù)為：2.5或﹣3.5；故答案為：2.5或﹣3.5；（3）設(shè)E點表示的數(shù)為x，∵BE＝AE，∴E的位置有兩種可能，當E點在線段AB上時（不與A，B重合），AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝2﹣x，∴2﹣x＝（x+3），解得：x＝，此時m＝AE+BE＝+3+2﹣＝5，當E點在線段AB延長線上時（不與B重合），AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝x﹣2，x﹣2＝（x+3），解得：x＝7，此時m＝AE+BE＝7﹣2+7+3＝15，綜上所述，m的值為5或15．【點評】本題考查數(shù)軸知識的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握新定義，利用新定義解決問題．5．（2021秋?埇橋區(qū)期末）如圖，將一根木棒放在數(shù)軸（單位長度為1cm）上，木棒左端與數(shù)軸上的點A重合，右端與數(shù)軸上的點B重合．（1）若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為30；若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為6，由此可得這根木棒的長為8cm；（2）圖中點A所表示的數(shù)是14，點B所表示的數(shù)是22；（3）由（1）（2）的啟發(fā)，請借助“數(shù)軸”這個工具解決下列問題：一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要37年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就119歲啦！”請問奶奶現(xiàn)在多少歲了？【分析】（1）根據(jù)圖象可知3倍的AB長為30﹣6＝24（cm），這樣AB長就可以求出來了．（2）A點在6的右側(cè)8單位長度，可以求出A點的數(shù)值為14，B點在A點右側(cè)8個單位長度，也可以求出B點的數(shù)值．（3）運用上邊的模型把奶奶與妙妙的年齡差理解為一個線段，119﹣（﹣37）就是兩人年齡差的3倍，可以求出兩人的年齡差．進而可以分別算出各自的年齡．【解答】解：（1）觀察數(shù)軸可知三根木棒長為30﹣6＝24（cm），則這根木棒的長為24÷3＝8（cm）；故答案為8．（2）6+8＝14，14+8＝22．所以圖中A點所表示的數(shù)為14，B點所表示的數(shù)為22．故答案為：14，22．（3）當奶奶像妙妙這樣大時，妙妙為（﹣37）歲，所以奶奶與妙妙的年齡差為：[119﹣（﹣37）]÷3＝52（歲），所以奶奶現(xiàn)在的年齡為119﹣52＝67（歲）．【點評】本題屬于數(shù)學閱讀題，主要考查了一個線段模型的運用．解題的關(guān)鍵在于運用前兩問給定的解題模型去求解奶奶與妙妙的年齡差，進而求出奶奶的年齡．6．（2023春?新干縣期末）數(shù)軸上點A、B、C的位置如圖所示，A、B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣5和1，已知線段AB的中點D與線段BC的中點E之間的距離為5．（1）求點D對應(yīng)的數(shù)；（2）求點C對應(yīng)的數(shù)．【分析】（1）先求出AB的長，再根據(jù)中點的性質(zhì)可得；（2）根據(jù)兩點間的距離公式可得．【解答】解：（1）1﹣（﹣5）＝6，6÷2﹣1＝3﹣1＝2，因D點在0點的左側(cè)所以用負數(shù)表示，是﹣2．答：D點對應(yīng)的數(shù)是﹣2．（2）5﹣2＝3因C點在0點的右側(cè)，所以用正數(shù)表示是+5．答：C點對應(yīng)的數(shù)是+5．【點評】本題主要考查數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點間的距離公式．三．絕對值（共1小題）7．（2022秋?包河區(qū)期末）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是a≤7．【分析】數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點x，y之間的距離．【解答】解：數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點x，y之間的距離．畫數(shù)軸易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2這四個點的距離之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3時，y＝11，x＝﹣1時，y＝7，x＝1時，y＝7，x＝2時，y＝9，可以觀察知：當﹣1≤x≤1時，由于四點分列在x兩邊，恒有y＝7，當﹣3≤x＜﹣1時，7＜y≤11，當x＜﹣3時，y＞11，當1≤x＜2時，7≤y＜9，當x≥2時，y≥9，綜合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7對一切實數(shù)x恒成立．從而a的取值范圍為a≤7．【點評】本題考查絕對值，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．四．有理數(shù)大小比較（共1小題）8．（2022秋?渠縣校級期末）a、b、c三個數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各數(shù)的絕對值；（2）比較a，﹣a、﹣c的大?。唬?）化簡|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【分析】（1）利用絕對值的解答即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，去括號合并即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c；（2）∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴﹣a＜a＜﹣c；（3）根據(jù)題意得：a+b＝0，a﹣b＞0，a+c＜0，b﹣c＞0，則|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|＝0+a﹣b﹣a﹣c+b﹣c＝﹣2c．【點評】此題考查了整式的加減，數(shù)軸，以及有理數(shù)比較大小，熟練絕對值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵．五．有理數(shù)的加法（共1小題）9．（2022秋?羅山縣期末）王先生到市行政中心大樓辦事，假定乘電梯向上一樓記作+1，向下一樓記作﹣1，王先生從1樓出發(fā)，電梯上下樓層依次記錄如下（單位：層）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）請你通過計算說明王先生最后是否回到出發(fā)點1樓．（2）該中心大樓每層高3m，電梯每向上或下1m需要耗電0.2度，根據(jù)王先生現(xiàn)在所處位置，請你算算，他辦事時電梯需要耗電多少度？【分析】（1）把上下樓層的記錄相加，根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則進行計算，如果等于0則能回到1樓，否則不能；（2）求出上下樓層所走過的總路程，然后乘以0.2即可得解．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10）＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10＝28﹣28＝0，∴王先生最后能回到出發(fā)點1樓；（2）王先生走過的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|）＝3×（6+3+10+8+12+7+10）＝3×56＝168（m），∴他辦事時電梯需要耗電168×0.2＝33.6（度）．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算，（2）中注意要求出上下樓層的絕對值，而不是利用（1）中的結(jié)論求解，這是本題容易出錯的地方．六．有理數(shù)的乘法（共1小題）10．（2022秋?山西期末）一輛貨車從超市出發(fā)，向東走3千米到達小李家，繼續(xù)向東走1.5千米到達小張家，然后又回頭向西走9.5千米到達小陳家，最后回到超市．（1）以超市為原點，向東為正，以1個單位長表示1千米，在數(shù)軸上表示出上述位置．（2）小陳家距小李家多遠？（3）若貨車每千米耗油0.5升，這趟路貨車共耗油多少升？【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸與點的對應(yīng)關(guān)系，可知超市在原點，小李家所在的位置表示的數(shù)是+3，小張家所在的位置表示的數(shù)是+4.5，小陳家所在的位置表示的數(shù)是﹣5；（2）3﹣（﹣5）＝8；（3）先算這趟路一共有多少千米，再乘以貨車每千米耗油的升數(shù)．【解答】解：（1）如圖：點O表示超市，點A表示小李家，點B表示小張家，點C表示小陳家．（2）從圖中可看出小陳家距小李家8千米．故小陳家距小李家8千米．（3）0.5×（|+3|+|+1.5|+|﹣9.5|+|﹣5|）＝0.5×19＝9.5（升）．故這趟路貨車共耗油9.5升．【點評】此題主要考查正負數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，所以學生在學這一部分時一定要聯(lián)系實際，不能死學．七．有理數(shù)的混合運算（共4小題）11．（2022秋?安岳縣期末）定義新運算：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作：a?，讀作“a的圈n次方”．特別地，規(guī)定：a①＝a．通過以上信息，請計算：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝3．【分析】認真讀懂題意，利用新定義計算即可．【解答】解：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+＝1×4+（﹣1）＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了有理數(shù)運算的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握新定義的計算法則，利用新定義計算．12．（2021秋?弋江區(qū)期末）計算：﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法、乘方和有理數(shù)的加法可以解答本題．【解答】解：﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）＝﹣（﹣2）+9×（﹣2）＝2+（﹣18）＝﹣16．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．13．（2022秋?奎屯市校級期末）已知a、b互為相反數(shù)，m、n互為倒數(shù)（m﹣n≠0），x絕對值為2，求的值．【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)、互為倒數(shù)的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)可知a+b＝0，mn＝1，x＝±2，分兩種情形代入計算即可．【解答】解：根據(jù)題意知a+b＝0、mn＝1，x＝2或x＝﹣2，當x＝2時，原式＝﹣2+0﹣2＝﹣4；當x＝﹣2時，原式＝﹣2+0+2＝0．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算、相反數(shù)的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、互為倒數(shù)的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022秋?薩爾圖區(qū)校級期末）某商場對顧客購物實行優(yōu)惠，規(guī)定：（1）如一次購物不超過200元的，則不予折扣；（2）如一次購物超過200元但不超過500元的，按標價給予九折優(yōu)惠；（3）如一次購物超過500元，其中500元按第（2）條給予優(yōu)惠，超過500元的部分則給予八折優(yōu)惠．某人兩次去購物，分別付款168元和423元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應(yīng)付款多少元？【分析】由于此人的總消費超過了500元，那么，其中500元按九折優(yōu)惠，（168+423÷90%﹣500）部分八折優(yōu)惠，全部加起來就是所付的款項．其中付款423元要求出標價．【解答】解：500×90%+[168+423÷90%﹣500]×80%＝560.4（元）．答：應(yīng)付款560.4元．【點評】注意要從低到高享受優(yōu)惠，優(yōu)惠后的部分應(yīng)該去掉．八．列代數(shù)式（共3小題）15．（2022秋?北京期末）新年聯(lián)歡，某公司為員工準備了A、B兩種禮物，A禮物單價a元，重m千克，B禮物單價（a+20）元，重（m+2）千克，為了增加趣味性，公司把禮物隨機組合裝在盲盒里，每個盲盒里均放兩樣，隨機發(fā)放，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，則兩個盲盒的總價錢相差20元，通過稱重其他盲盒，大家發(fā)現(xiàn)：稱重情況重量大于小林的盲盒的與小林的盲盒一樣重重量介于小林和小李之間的與小李的盲盒一樣重重量小于小李的盲盒的盲盒個數(shù)05094若這些禮物共花費3040元，則a＝65元．【分析】根據(jù)小林的盲盒比小李的盲盒重2千克可判斷兩個盲盒的總價錢相差1元，再根據(jù)重量小于小李的盲盒的為4盒可以得出結(jié)論：小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物，然后再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列一元一次方程求解即可．【解答】解：∵A禮物重m千克，B禮物重（m+2）千克，∴B禮物比A禮物重2千克，∵每個盲盒里均放兩樣，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，∴小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物或小李的盲盒中為2件B禮物，小林的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，∴不管以上哪種情況，兩個盲盒的禮物總價格都相差a+20﹣a＝20（元）；由表格中數(shù)據(jù)可知，重量小于小李的盲盒的有4盒，所以小李的盲盒中有1件A禮物和1件B禮物，不可能為2件B禮物，∴小李的盲盒中為1件A禮物和1件B禮物，小林的盲盒中為2件A禮物，∴重量小于小李的盲盒為2件B禮物，∵與小林的盲盒一樣重盲盒有5盒，與小李的盲盒一樣重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，∴2件A禮物的有4盒，1件A禮物和1件B禮物各有10盒，2件B禮物有6盒，∴2×6（a+20）+10×a+10（a+20）+2×4a＝3040，解得a＝65，故答案為：20，65．【點評】本題主要考查數(shù)據(jù)的收集與整理，能根據(jù)數(shù)據(jù)準確判斷小李與小林的盲盒中的禮物是解答此題的關(guān)鍵．16．（2022秋?興化市校級期末）將9個數(shù)填入幻方的九個格中，使處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和相等，如圖：將滿足條件的另外9個數(shù)中的三個數(shù)填入了圖二，則這9個數(shù)的和為9a+27（用含a的整式表示）．【分析】根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個數(shù)的和相等作出圖形，根據(jù)題意列出關(guān)于a與x的方程，可得x＝a+2，進一步求出這9個數(shù)的和即可．【解答】解：如圖所示：a+2a+5﹣x+3a+10﹣2x＝a+a+7+x，解得x＝a+2，a+a+7+x＝2a+7+a+2＝3a+9，3（3a+9）＝9a+27．故答案為：9a+27．【點評】此題考查了列代數(shù)式，整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?南陵縣期末）A、B兩倉庫分別有水泥20噸和30噸，C、D兩工地分別需要水泥15噸和35噸．已知從A、B倉庫到C、D工地的運價如下表：到C工地到D工地A倉庫每噸15元每噸12元B倉庫每噸10元每噸9元（1）若從A倉庫運到C工地的水泥為x噸，則用含x的代數(shù)式表示從A倉庫運到D工地的水泥為（20﹣x）噸，從B倉庫將水泥運到D工地的運輸費用為（9x+135）元；（2）求把全部水泥從A、B兩倉庫運到C、D兩工地的總運輸費（用含x的代數(shù)式表示并化簡）；（3）如果從A倉庫運到C工地的水泥為10噸時，那么總運輸費為多少元？【分析】（1）A倉庫原有的20噸去掉運到C工地的水泥，就是運到D工地的水泥；首先求出B倉庫運到D倉庫的噸數(shù)，也就是D工地需要的水泥減去從A倉庫運到D工地的水泥，再乘每噸的運費即可；（2）用x表示出A、B兩個倉庫分別向C、D運送的噸數(shù)，再乘每噸的運費，然后合并起來即可；（3）把x＝10代入（2）中的代數(shù)式，求得問題的解．【解答】解：（1）從A倉庫運到D工地的水泥為：（20﹣x）噸，從B倉庫將水泥運到D工地的運輸費用為：[35﹣（20﹣x）]×9＝（9x+135）元；（2）15x+12×（20﹣x）+10×（15﹣x）+[35﹣（20﹣x）]×9＝（2x+525）元；（3）當x＝10時，2x+525＝545元；答：總運費為545元．【點評】此題關(guān)系比較復雜，最后運用列表的方法，分類理解，達到解決問題的目的．九．代數(shù)式求值（共2小題）18．（2022秋?羅湖區(qū)校級期末）若a＜b＜c，x＜y＜z，則下面四個代數(shù)式的值最大的是（）A．a(chǎn)x+by+cz B．a(chǎn)x+cy+bz C．bx+ay+cz D．bx+cy+az【分析】要比較兩個多項式的大小，只需采用作差法，將它們的差因式分解就可解決問題．【解答】解：∵b＜c，y＜z，∴b﹣c＜0，y﹣z＜0，∴（ax+by+cz）﹣（ax+bz+cy）＝by+cz﹣bz﹣cy＝b（y﹣z）﹣c（y﹣z）＝（y﹣z）（b﹣c）＞0，∴ax+by+cz＞ax+bz+cy，即A＞B．同理：A＞C，B＞D，∴A式最大．故選：A．【點評】本題主要考查了整式的加減、因式分解、不等式的性質(zhì)、不等式的傳遞性等知識，比較大小常用作差法或作商法，應(yīng)熟練掌握．19．（2022秋?鳳臺縣期末）某中學七年級一班有44人，某次活動中分為四個組，第一組有a人，第二組比第一組的一半多5人，第三組人數(shù)等于前兩組人數(shù)的和．（1）求第四組的人數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）．（2）試判斷a＝12時，是否滿足題意．【分析】（1）用含a的代數(shù)式表示出第二、三組的人數(shù)，由第四組人數(shù)＝班級總?cè)藬?shù)﹣第一組人數(shù)﹣第二組人數(shù)﹣第三組人數(shù)可得結(jié)論．（2）把12代入計算第四組人數(shù)，可判斷是否滿足題意．【解答】解：（1）由題意：第二組的人數(shù)為a+5，第三組的人數(shù)為a++5＝+5，所以第四組的人數(shù)為：44﹣a﹣（+5）﹣（a+5）＝44﹣a﹣﹣5﹣a﹣5＝34﹣3a所以第四組的人數(shù)為（34﹣3a）人．（2）當a＝12時，第四組的人數(shù)為：34﹣3×12＝﹣2，不符合題意，所以當a＝12時不滿足題意．【點評】本題考查了列代數(shù)式及代數(shù)式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意用含a的代數(shù)式表示出各組人數(shù)．一十．規(guī)律型：數(shù)字的變化類（共1小題）20．（2020秋?懷寧縣期末）下列表格中的四個數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是（）A．135 B．170 C．209 D．252【分析】根據(jù)表格找出方格中每個對應(yīng)數(shù)字的表示規(guī)律然后求解．【解答】解：根據(jù)表格可得規(guī)律：第n個表格中，左上數(shù)字為n，左下數(shù)字為n+1，右上數(shù)字為2（n+1），右下數(shù)字為2（n+1）（n+1）+n，∴20＝2（n+1），解得n＝9，∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．故選：C．【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是通過表格找出每個位置的數(shù)字表示方法．一十一．規(guī)律型：圖形的變化類（共1小題）21．（2022秋?隆回縣期末）古希臘畢達格拉斯學派的數(shù)學家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究各種多邊形數(shù)，比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)（三邊形數(shù)）；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)（四邊形數(shù)）．（1）請你寫出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)，且大于1的最小正整數(shù)為36；（2）記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4．①N（3，3）＝6，N（n，3）＝n（n+1），N（n，4）＝n2．②通過進一步研究發(fā)現(xiàn)N（n，5）＝n2﹣n，N（n，6）＝2n2﹣n，請你推測N（n，k）（k≥3）的表達式，并由此計算N（10，24）的值．【分析】（1）由題意正方形數(shù)是n2，探究出三角形數(shù)是平方數(shù)是最小的值即可解決問題．（2）①探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．②提供公式變形，探究規(guī)律解決問題即可．【解答】解：（1）由題意第8個圖的三角形數(shù)為×8（8+1）＝36，∴既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)，且大于1的最小正整數(shù)為36，故答案為36．（2）①N（3，3）＝6，N（n，3）＝n（n+1），N（n，4）＝n2，故答案為6，n（n+1），n2．②∵N（n，3）＝＝＝，N（n，4）＝n2＝＝，N（n，5）＝＝，N（n，6）＝2n2﹣n＝＝，由此推斷出N（n，k）＝（k≥3），∴N（10，24）＝＝1000．【點評】本題考查三角形數(shù)、正方形數(shù)的規(guī)律、完全平方數(shù)與歸納推理等知識，觀察已知式子的規(guī)律并改寫形式是解決問題的關(guān)鍵．一十二．整式的加減—化簡求值（共5小題）22．（2021秋?霍邱縣期末）先化簡，再求值：，其中．【分析】先將原式去括號、合并同類項，再把x＝﹣2，y＝代入化簡后的式子，計算即可．【解答】解：＝5x2﹣（2xy﹣xy﹣6+4x2）＝5x2﹣2xy+xy+6﹣4x2＝（5x2﹣4x2）+（﹣2xy+xy）+6＝x2﹣xy+6，，＝4+1+6＝11．【點評】本題考查了整式的化簡求值．整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，這是各地中考的常考點．23．（2021秋?義安區(qū)期末）已知（x+1）2+|y﹣|＝0，求2（xy2+x2y）﹣[2xy2﹣3（1﹣x2y）]﹣2的值．【分析】原式去括號合并得到最簡結(jié)果，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，代入計算即可求出值．【解答】解：原式＝2xy2+2x2y﹣2xy2+3﹣3x2y﹣2＝﹣x2y+1，∵（x+1）2+|y﹣|＝0，∴x＝﹣1，y＝，則原式＝﹣（﹣1）2×+1＝﹣+1＝．【點評】此題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．24．（2022秋?阿瓦提縣期末）先化簡再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．【分析】先去括號，然后合并同類項得到原式＝﹣5x2y+5xy，然后把x、y的值代入計算即可．【解答】解：原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝﹣5x2y+5xy，當x＝1，y＝﹣1時，原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝0．【點評】本題考查了整式的加減﹣化簡求值：給出整式中字母的值，求整式的值的問題，一般要先化簡，再把給定字母的值代入計算，得出整式的值，不能把數(shù)值直接代入整式中計算．25．（2022秋?沈丘縣期末）若單項式3x2y5與﹣2x1﹣ay3b﹣1是同類項，求下面代數(shù)式的值：5ab2﹣[6a2b﹣3（ab2+2a2b）]．【分析】根據(jù)同類項的定義得出a、b的值，再去括號、合并同類項化簡原式，繼而將a、b的值代入計算可得．【解答】解：∵3x2y5與﹣2x1﹣ay3b﹣1是同類項，∴1﹣a＝2且3b﹣1＝5，解得：a＝﹣1、b＝2，原式＝5ab2﹣（6a2b﹣3ab2﹣6a2b）＝5ab2﹣6a2b+3ab2+6a2b＝8ab2．當a＝﹣1、b＝2時，原式＝8×（﹣1）×22＝﹣8×4＝﹣32．【點評】本題主要考查整式的加減﹣化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握去括號和合并同類項法則及同類項的定義．26．（2022秋?秦淮區(qū)期末）先化簡，再求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），其中a＝﹣1，b＝2．【分析】先進行整式的化簡，再代入求值即可．【解答】解：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），＝7a2b﹣4a2b+5ab2﹣2a2b+3ab2＝a2b+8ab2當a＝﹣1，b＝2時，原式＝（﹣1）2×2+8×（﹣1）×22＝2﹣32＝﹣30．【點評】本題考查了整式的加減，解決本題的關(guān)鍵是先化簡．一十三．解一元一次方程（共2小題）27．（2021秋?銅官區(qū)期末）解方程：．【分析】方程去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【解答】解：去分母得，2（x﹣7）﹣3（1+x）＝6，去括號得，2x﹣14﹣3﹣3x＝6，移項得，2x﹣3x＝6+14+3，合并同類項得，﹣x＝23，系數(shù)化為1得，x＝﹣23．【點評】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．28．（2021秋?烈山區(qū)期末）解方程﹣＝1．【分析】根據(jù)一元一次方程分解法容易得出答案．【解答】解：去分母得：3x﹣9﹣2x﹣1＝6，移項得：3x﹣2x＝6+9+1，合并同類項得：x＝16．【點評】本題主要考查一元一次方程的解法；熟練掌握一元一次方程的解法是關(guān)鍵．一十四．一元一次方程的應(yīng)用（共9小題）29．（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）為響應(yīng)習總書記“綠水青山，就是金山銀山”的號召，某校今年3月爭取到一批植樹任務(wù)，領(lǐng)到一批樹苗，按下列方法依次由各班領(lǐng)取：第一班領(lǐng)取全部的，第二班領(lǐng)取100棵和余下的，第三班領(lǐng)取200棵和余下的，第四班領(lǐng)取300棵和余下的…，最后樹苗全部被領(lǐng)完，且各班領(lǐng)取的樹苗相等，則樹苗總棵數(shù)為（）A．6400 B．8100 C．9000 D．4900【分析】設(shè)樹苗總數(shù)為x棵，根據(jù)各班的樹苗數(shù)都相等，可得出第一班和第二班領(lǐng)取的樹苗數(shù)相等，由此可得出方程．【解答】解：設(shè)樹苗總數(shù)x棵，根據(jù)題意得：x＝100+（x﹣x﹣100），解得：x＝9000，答：樹苗總數(shù)是9000棵．故選：C．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是得出各班的樹苗數(shù)都相等，這個等量關(guān)系，因為第一班，第二班領(lǐng)取數(shù)量好表示，所以我們就選取這兩班建立等量關(guān)系．30．（2021秋?潁東區(qū)期末）下表所示是2019年元月的月歷表．下列結(jié)論：①每一豎列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；②可以框出一豎列上相鄰的三個數(shù)（如圖所示），這三個數(shù)的和是24；③不可以框出一個2×2的矩形塊的四個數(shù)（如圖所示），這四個數(shù)的和是82；④任意框出一個3×3的矩形塊的九個數(shù)（如圖所示），這九個數(shù)的和是中間數(shù)的9倍，其中正確的是①②③④（把所有正確的序號都填上）．【分析】①觀察圖表，每一豎列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；②可以通過①中的規(guī)律設(shè)出一豎列上相鄰的三個數(shù)分別為a﹣7，a，a+7，相使其加等于24．若a的值為正整數(shù)，則本題正確，否則錯誤；③仿照②題，設(shè)一個2×2的矩形塊的四個數(shù)分別是b，b+1，b+7，b+8，相使其加等于82．若b的值為正整數(shù)，則本題正確，否則錯誤；④設(shè)一個3×3的矩形塊的9個數(shù)的中間數(shù)字是c，則另外八個數(shù)字分別是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8，使其相加等于9c，求解即可．【解答】解：①每一數(shù)列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；①正確②設(shè)這一數(shù)列上相鄰的三個數(shù)分別是a﹣7，a，a+7a﹣7+a+a+7＝24解得a＝8∴a﹣7＝1，a+7＝15∴可以框出一數(shù)列相鄰的三個數(shù)，分別是1，8，15，這三個數(shù)的和是24；②正確③設(shè)一個2×2的矩形塊的四個數(shù)分別是b，b+1，b+7，b+8b+b+1+b+7+b+8＝82解得b＝16.5∵b不是整數(shù)∴不可以框出一個2×2的矩形塊的四個數(shù)，這四個數(shù)的和是82；③正確④設(shè)一個3×3的矩形塊的9個數(shù)的中間數(shù)字是c，則另外八個數(shù)字分別是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8∴c﹣8+c﹣7+c﹣6+c﹣1+c+c+1+c+6+c+7+c+8＝9c得9c＝9c∴任意框出一個3×3的矩形塊的九個數(shù)（如圖所示），這九個數(shù)的和是中間數(shù)的9倍；④正確∴其中正確的是①②③④故填：①②③④【點評】本題考查一次方程的應(yīng)用，重點是通過觀察規(guī)律設(shè)出恰當?shù)奈粗獢?shù)（比如a），并用這個未知數(shù)（比如a）的式子來表示其他的未知數(shù)（比如a+7），從而能夠建立一元一次方程．31．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）某水果基地為提高效益，對甲、乙、丙三種水果品種進行種植對比研究．去年甲、乙、丙三種水果的種植面積之比為5：3：2，甲、乙、丙三種水果的平均畝產(chǎn)量之比為6：3：5．今年重新規(guī)劃三種水果的種植面積，三種水果的平均畝產(chǎn)量和總產(chǎn)量都有所變化．甲品種水果的平均畝產(chǎn)量在去年的基礎(chǔ)上提高了50%，乙品種水果的平均畝產(chǎn)量在去年的基礎(chǔ)上提高了20%，丙品種的平均畝產(chǎn)量不變．其中甲、乙兩種品種水果的產(chǎn)量之比為3：1，乙、丙兩種品種水果的產(chǎn)量之比為6：5，丙品種水果增加的產(chǎn)量占今年水果總產(chǎn)量的，則三種水果去年的種植總面積與今年的種植總面積之比為5：7．【分析】根據(jù)可得去年的甲的種植面積為5a，則乙的種植面積為3a，丙的種植面積為2a．去年甲種水果的平均畝產(chǎn)量為6b，則乙種水果的平均畝產(chǎn)量為3b，丙種水果的平均畝產(chǎn)量為5b，再根據(jù)今年水果總產(chǎn)量的關(guān)系可得今年種植面積的比為6：5：3，最后根據(jù)丙種水果的總產(chǎn)量與今年水果總產(chǎn)量的關(guān)系可得答案．【解答】解：∵去年甲、乙、丙三種水果的種植面積之比為5：3：2，甲、乙、丙三種水果的平均畝產(chǎn)量之比為6：3：5．∴設(shè)去年的甲的種植面積為5a，則乙的種植面積為3a，丙的種植面積為2a．設(shè)去年甲種水果的平均畝產(chǎn)量為6b，則乙種水果的平均畝產(chǎn)量為3b，丙種水果的平均畝產(chǎn)量為5b．∴今年甲種水果的平均畝產(chǎn)量為6b（1+50%）＝9b，則乙種水果的平均畝產(chǎn)量為3b（1+20%）＝3.6b，丙種水果的平均畝產(chǎn)量為5b．設(shè)今年甲、乙、丙三種水果的種植面積之比為x：y：z，∴今年甲種水果的總產(chǎn)量為9bx，乙種水果的總產(chǎn)量為3.6by，丙種水果的總產(chǎn)量為5bz，依題意得，9bx＝3×3.6by①，5×3.6by＝6×5bz②，分別整理①、②得，x＝1.2y，z＝0.6y，∴x：y：z＝6：5：3，∴可設(shè)今年甲的種植面積為6c，乙的種植面積為5c，丙的種植面積為3c，今年水果總產(chǎn)量為54bc+18bbc+15bc，丙水果增加的總產(chǎn)量為（54bc+18bbc+15bc）×＝5bc，依題意得，5b?2a+5bc＝5b?3c，整理得，a＝c，∴三種水果去年的種植總面積5a+3a+2a＝10a，今年的種植總面積為6c+5c+3c＝14c＝14a，10a：14a＝5：7．故答案為：5：7．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系整理出去年三種水果的總面積和今年三種水果的總面積是解題關(guān)鍵．32．（2022秋?黔江區(qū)期末）已知點O是數(shù)軸的原點，點A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢復原速，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復原速，運動時間為或30秒時，P、Q兩點到點B的距離相等．【分析】根據(jù)（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的數(shù)是9，C表示的數(shù)是15，由已知分四種情況討論：①當0≤t≤6時，P在線段OA上，Q在線段BC上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；②當6＜t≤9時，P、Q都在線段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③當9＜t≤15時，P在線段OB上，Q在線段OA上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；④當t＞15時，P在射線BC上，Q在射線OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，∴B表示的數(shù)是9，C表示的數(shù)是15，①當0≤t≤6時，P在線段OA上，Q在線段BC上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；②當6＜t≤9時，P、Q都在線段OB上，P表示的數(shù)為t﹣6，Q表示的數(shù)是9﹣3（t﹣6），∴P、Q兩點到點B的距離相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③當9＜t≤15時，P在線段OB上，Q在線段OA上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；④當t＞15時，P在射線BC上，Q在射線OA上，P表示的數(shù)為9+2（t﹣15），Q表示的數(shù)是﹣（t﹣9），∴P、Q兩點到點B的距離相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，綜上所述，P、Q兩點到點B的距離相等，運動時間為秒或30秒，故答案為：或30．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，涉及數(shù)軸上的動點表示的數(shù)，兩點間的距離等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論．33．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）南山植物園坐落在省級南山風景名勝區(qū)群山之中，與重慶主城區(qū)夾長江面峙，是一個以森林為基礎(chǔ)，花卉為特色的綜合性公園．備受重慶人民的喜愛；每到春季，上山賞花的人絡(luò)繹不絕；一植物園附近的市民嗅到了商機，開辦了植物花卉門市；將A、B、C三種花卉包裝成“如沐春風”、“懵懂少女”、“粉色回憶”三種不同的禮盒進行銷售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包裝成“如沐春風”禮盒；用A花卉2支、B花卉2支、C種花卉4支包裝成“惜懂少女”禮盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包裝成“粉色回憶”禮盒；包裝費忽略不計，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春風”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍；該商家將三種禮盒均以利潤率50%進行定價銷售；某周末，該門市為了加大銷量，將“如沐春風”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，“粉色回憶”禮盒打九折銷售；銷售完畢后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，三種禮盒的總成本恰好為總利潤的4倍，則該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤與三種禮盒的總利潤的比值為．【分析】設(shè)C花卉一支x元，A花卉一支y元，則B花卉一支4x元，根據(jù)每盒“如沐春風”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍，可得2y+4×4x+10x＝2（2y+2×4x+4x），即y＝x，從而A花卉一支x元，C花卉一支x元，B花卉一支4x元，設(shè)這兩種禮盒都銷售了a盒，粉色回憶”禮盒銷售了b盒，根據(jù)三種禮盒的總成本恰好為總利潤的4倍可得28x?a+14x?a+20x?b＝4[（33.6x﹣28x）?a+（16.8x﹣14x）?a+（27x﹣20x）?b]，即b＝a，即可得該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤與三種禮盒的總利潤的比值為．【解答】解：設(shè)C花卉一支x元，A花卉一支y元，則B花卉一支4x元，∵每盒“如沐春風”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍，∴2y+4×4x+10x＝2（2y+2×4x+4x），化簡整理得y＝x，∴A花卉一支x元，C花卉一支x元，B花卉一支4x元，∴“如沐春風”禮盒每盒成本為2x+4×4x+10x＝28x（元），以利潤率50%定價為28x×（1+50%）＝42x（元），打八折銷售售價是42x×0.8＝33.6x（元），“懵懂少女”禮盒每盒成本為2x+2×4x+4x＝14x（元），以利潤率50%定價為14x×（1+50%）＝21x（元），打八折銷售售價是21x×0.8＝16.8x（元），“粉色回憶”禮盒每盒成本為2x+3×4x+6x＝20x（元），以利潤率50%定價為20x×（1+50%）＝30x（元），打九折銷售售價是30x×0.9＝27x（元），由某周末，該門市為了加大銷量，將“如沐春風”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，設(shè)這兩種禮盒都銷售了a盒，粉色回憶”禮盒銷售了b盒，根據(jù)三種禮盒的總成本恰好為總利潤的4倍可得：28x?a+14x?a+20x?b＝4[（33.6x﹣28x）?a+（16.8x﹣14x）?a+（27x﹣20x）?b]，化簡整理得：b＝a，∴該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤為（27x﹣20x）?b＝7x?a＝7.35xa，該周末三種禮盒的總利潤為（33.6x﹣28x）?a+（16.8x﹣14x）?a+（27x﹣20x）?b＝5.6xa+2.8xa+7.35xa＝15.75xa，∴該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤與三種禮盒的總利潤的比值為＝，故答案為：．【點評】本題考查一次方程（組）的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀清題意，用含未知數(shù)的式子表示題中的量，再根據(jù)已知列方程解決問題．34．（2022秋?九龍坡區(qū)校級期末）臘味食品是川渝人民的最愛，去年12月份，某銷售商出售臘腸、臘舌、臘肉的數(shù)量之比為3：5：3，臘腸、臘舌、臘肉的單價之比為3：3：2．今年1月份，該銷售商將臘腸單價上調(diào)20%，臘舌、臘肉的單價不變，并加大了宣傳力度，預(yù)計今年1月份的營業(yè)額將會增加，其中臘肉增加的營業(yè)額占總增加營業(yè)額的，今年1月份臘肉的營業(yè)額將達到今年1月份總營業(yè)額的．若臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為1：5，則今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量之比是20：21．【分析】設(shè)去年12月份臘腸、臘舌、臘肉銷售的數(shù)量為3a、5a、3a，單價為3b、3b、2b；今年1月份臘肉的銷售量為x，可得今年1月份臘肉的營業(yè)額為2bx，今年1月份總營業(yè)額為bx，根據(jù)臘肉增加的營業(yè)額占總增加營業(yè)額的，即得2bx﹣6ab＝（bx﹣30ab），解得x＝a，故今年1月份總營業(yè)額90ab，臘肉的營業(yè)額為21ab，又臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為1：5，可得臘舌今年1月份的營業(yè)額是33ab，臘舌今年1月份的銷售的數(shù)量為11a，而臘腸今年1月份的營業(yè)額是90ab﹣33ab﹣21ab＝36ab，故臘腸今年1月份的銷售的數(shù)量為＝10a，即得今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量之比是（10a）：（a）＝20：21．【解答】解：由題意可設(shè)去年12月份臘腸、臘舌、臘肉銷售的數(shù)量為3a、5a、3a，單價為3b、3b、2b；∴去年12月份臘腸、臘舌、臘肉營業(yè)額分別是9ab、15ab、6ab，總營業(yè)額是30ab，設(shè)今年1月份臘肉的銷售量為x，因臘肉的單價不變，∴今年1月份臘肉的營業(yè)額為2bx，而今年1月份臘肉的營業(yè)額將達到今年1月份總營業(yè)額的，∴今年1月份總營業(yè)額為2bx÷＝bx，∵臘肉增加的營業(yè)額占總增加營業(yè)額的，∴2bx﹣6ab＝（bx﹣30ab），解得x＝a，∴今年1月份總營業(yè)額為bx＝b?a＝90ab，臘肉的營業(yè)額為2bx＝2b?a＝21ab，∵臘舌今年1月份增加的營業(yè)額與今年1月份總營業(yè)額之比為1：5，∴臘舌今年1月份的營業(yè)額是15ab+90ab×＝33ab，∴臘舌今年1月份的銷售的數(shù)量為＝11a，∴臘腸今年1月份的營業(yè)額是90ab﹣33ab﹣21ab＝36ab，而今年1月份，該銷售商將臘腸單價上調(diào)20%，∴臘腸今年1月份的銷售的數(shù)量為＝10a，∴今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量之比是（10a）：（a）＝20：21．故答案為：20：21．【點評】此題考查的是二元一次方程的應(yīng)用，掌握用代數(shù)式表示題中的量，并根據(jù)已知找等量列方程是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋?亳州期末）為舉辦校園文化藝術(shù)節(jié)，甲、乙兩班準備給合唱同學購買演出服裝（一人一套），兩班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人），下面是供貨商給出的演出服裝的價格表：購買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上每套服裝的價格60元50元40元如果兩班單獨給每位同學購買一套服裝，那么一共應(yīng)付5020元．（1）甲、乙兩班聯(lián)合起來給每位同學購買一套服裝，比單獨購買可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩班各有多少名同學？【分析】（1）若甲、乙兩班聯(lián)合起來購買服裝，則每套是40元，計算出總價，即可求得比各自購買服裝共可以節(jié)省多少錢；（2）設(shè)甲班有x名學生準備參加演出．根據(jù)題意，顯然各自購買時，甲班每套服裝是50元，乙班每套服裝是60元．根據(jù)等量關(guān)系：①共92人；②兩校分別單獨購買服裝，一共應(yīng)付5020元，列方程即可求解．【解答】解：（1）由題意，得：5020﹣92×40＝1340（元）．即兩班聯(lián)合起來購買服裝比各自購買服裝共可以節(jié)省1340元．（2）設(shè)甲班有x名學生準備參加演出（依題意46＜x＜90），則乙班有學生（92﹣x）人．依題意得：50x+60（92﹣x）＝5020，解得：x＝50．于是：92﹣x＝42（人）．答：甲班有50人，乙班有42人．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．36．（2021秋?廬江縣期末）盛盛同學到某高校游玩時，看到運動場的宣傳欄中的部分信息（如表）：院系籃球賽成績公告比賽場次勝場負場積分2212103422148362202222盛盛同學結(jié)合學習的知識設(shè)計了如下問題，請你幫忙完成下列問題：（1）從表中可以看出，負一場積1分，勝一場積2分（2）某隊在比完22場的前提下，勝場總積分能等于其負場總積分的2倍嗎？請說明理由．【分析】（1）仔細觀察表格中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律并計算即可；（2）仔細觀察表格中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律并設(shè)出未知數(shù)列出一元一次方程求解即可．【解答】解（1）由題意可得，負一場積分為：22÷22＝1（分），勝一場的積分為：（34﹣10×1）÷12＝2（分），故答案為：1，2；（2）設(shè)勝x場，負22﹣x場，由題知2x＝2（22﹣x），解得x＝11．答：勝場數(shù)為11場時，勝場的積分等于負場的2倍．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的重點語句找到等量關(guān)系并列出方程求解．37．（2022秋?安慶期末）某校體育組長王老師，到家樂福超市為學校購買乒乓球拍、羽毛球拍共三次，有一次購買時，乒乓球拍、羽毛球拍同時打折，其余兩次均按標價購買，三次購買乒乓球拍、羽毛球拍數(shù)量及費用如表：乒乓球拍的數(shù)量（副）羽毛球拍的數(shù)量（副）總費用（元）第一次購買651140第二次購買371110第三次購買981062（1）按打折價購買乒乓球拍、羽毛球拍是第幾次購買？（2）求乒乓球拍、羽毛球拍的標價；（3）若乒乓球拍、羽毛球拍的折扣相同，問家樂福超市是打幾折出售的？【分析】（1）根據(jù)圖表可得按打折價購買乒乓球拍、羽毛球拍是第三次購買；（2）設(shè)乒乓球拍、羽毛球拍的標價分別為x元、y元，根據(jù)圖表列出方程組求出x和y的值；（3）設(shè)家樂福超市是打a折出售這兩種商品，根據(jù)打折之后購買9副乒乓球拍和8副羽毛球拍共花費1062元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）按打折價購買乒乓球拍、羽毛球拍是第三次購買；理由：∵王老師到家樂福超市為學校購買乒乓球拍、羽毛球拍共三次，只有一次購買時，乒乓球拍、羽毛球拍同時打折，其余兩次均按標價購買，且只有第三次購買數(shù)量明顯增多，但是總的費用不高，∴按打折價購買乒乓球拍、羽毛球拍是第三次購買；（2）設(shè)乒乓球拍、羽毛球拍的標價分別為x元、y元，根據(jù)題意，得，解方程組，得．所以，乒乓球拍、羽毛球拍的標價分別為90元，120元；（3）設(shè)家樂福超市是打a折出售的．根據(jù)題意，得（90×9+120×8）＝1062，解得a＝6．所以家樂福超市是打六折出售的．【點評】本題考查了一元一次方程和二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．一十五．二元一次方程組的應(yīng)用（共2小題）38．（2021秋?宣州區(qū)校級期末）在正常情況下，一個人在運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)S（次/分）與這個人年齡n（歲）滿足關(guān)系式：S＝an+b，其中a、b均為常數(shù)．（1）根據(jù)圖中提供的信息，求a、b的值；（2）若一位63歲的人在跑步，醫(yī)生在途中給他測得10秒心跳為26次，問：他是否有危險？為什么？【分析】（1）根據(jù)年齡15歲最高心跳為164次，年齡45歲最高心跳為144次列出a和b的二元一次方程組，解方程求出a和b的值即可；（2）首先求出年齡為63歲時最高心跳，然后求出該人實際心跳，再作出對比即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得解這個方程組，得所以，a＝﹣，b＝174．（2）當n＝63時，S＝﹣×63+174＝132（次/分）．即63歲的人在運動時所能承受的最高心跳次數(shù)為132次/分．而26×＝156（次/分）＞132（次/分）．所以，他有危險．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個等量關(guān)系，準確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵．39．（2022秋?包河區(qū)期末）我市某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會的禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進行試生產(chǎn)．他們購得規(guī)格是170cm×40cm的標準板材作為原材料，每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材．如圖甲，（單位：cm）（1）列出方程（組），求出圖甲中a與b的值；（2）在試生產(chǎn)階段，若將30張標準板材用裁法一裁剪，4張標準板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙的豎式與橫式兩種禮品盒．①兩種裁法共產(chǎn)生A型板材64張，B型板材38張；②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成豎式有蓋禮品盒x個，橫式無蓋禮品盒的y個，求x、y的值．【分析】（1）由圖示利用板材的長列出關(guān)于a、b的二元一次方程組求解；（2）①根據(jù)已知和圖示計算出兩種裁法共產(chǎn)生A型板材和B型板材的張數(shù)；②根據(jù)豎式與橫式禮品盒所需要的A、B兩種型號板材的張數(shù)列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，然后求解即可．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，答：圖甲中a與b的值分別為：60、40；（2）①由圖示裁法一產(chǎn)生A型板材為：2×30＝60，裁法二產(chǎn)生A型板材為：1×4＝4，所以兩種裁法共產(chǎn)生A型板材為60+4＝64（張），由圖示裁法一產(chǎn)生B型板材為：1×30＝30，裁法二產(chǎn)生B型板材為：2×4＝8，所以兩種裁法共產(chǎn)生B型板材為30+8＝38（張），故答案為：64，38；②根據(jù)題意豎式有蓋禮品盒的x個，橫式無蓋禮品盒的y個，則A型板材需要（4x+3y）個，B型板材需要（2x+2y）個，所以，解得．【點評】本題考查的知識點是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，根據(jù)圖示列出算式以及關(guān)于x、y的二元一次方程組．一十六．三元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）40．（2022秋?江北區(qū)校級期末）量子中學國精部社會實踐活動策劃了咖啡售賣活動，現(xiàn)推出A、B、C三種新飲品試銷．9月份A、B、C三種飲品的銷量之比為4：3：1．為了回饋同學們對A飲品的喜愛，10月份負責運營的同學對三種飲品的售價做了調(diào)整，將A飲品的價格打8折銷售，B的價格不變，并停止銷售C飲品．結(jié)果原來C銷量的轉(zhuǎn)移購買了A，其余轉(zhuǎn)移購買了B．10月的總銷量在9月的基礎(chǔ)上增加了50%，其中B飲品的銷量除去從C轉(zhuǎn)移過的部分還增長了，10月A的銷售額占10月總銷售額的，10月的銷售總額是9月銷售總額的倍，則9月C的銷售額與9、10兩月的銷售總額的比為2：35．【分析】先設(shè)出A、B、C三種新飲品的銷售單價分別為a、b、c元，9月份A、B、C三種飲品的銷量分別為4x、3x、x瓶，則9月份的總銷量為8x瓶，根據(jù)10月的總銷量在9月的基礎(chǔ)上增加了50%得出10月份的總銷量為12x瓶，根據(jù)題中條件可求出10月份B飲品的銷量為4x瓶，即可推出10月份A飲品的銷量為8x瓶，根據(jù)10月A的銷售額占10月總銷售額的列出：0.8a?8x＝（0.8a?8x+4bx），求出a＝b，然后根據(jù)10月的銷售總額是9月銷售總額的倍列出：20bx＝（4ax+3bx+cx），推出c＝2b，然后求出10月份的銷售總額為20bx元，9月銷售總額為15bx元，9月C的銷售額為2bx元，即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)出A、B、C三種新飲品的銷售單價分別為a、b、c元，∵9月份A、B、C三種飲品的銷量之比為4：3：1，∴可設(shè)9月份A、B、C三種飲品的銷量分別為4x、3x、x瓶，則9月份的總銷量為8x瓶，∵10月的總銷量在9月的基礎(chǔ)上增加了50%，∴10月份的總銷量＝（1+50%）?8x＝12x（瓶），∵A飲品的價格打8折銷售，∴調(diào)整后A飲品的價格為0.8a元，∵原來C銷量的轉(zhuǎn)移購買了A，其余轉(zhuǎn)移購買了B，其中B飲品的銷量除去從C轉(zhuǎn)移過的部分還增長了，∴10月份B飲品的銷量＝x+（1+）?3x＝4x（瓶），∴10月份A飲品的銷量＝12x﹣4x＝8x（瓶），∵10月A的銷售額占10月總銷售額的，∴可列方程得：0.8a?8x＝（0.8a?8x+4bx），整理可得：a＝b，∴10月份的銷售總額＝0.8a?8x+4bx＝20bx（元），∵10月的銷售總額是9月銷售總額的倍，∴可列方程得：20bx＝（4ax+3bx+cx），整理可得：c＝2b，∴9月銷售總額＝4ax+3bx+cx＝15bx（元），9月C的銷售額＝cx＝2bx（元），∴9月C的銷售額與9、10兩月的銷售總額的比＝2bx：35bx＝2：35，故答案為：2：35．【點評】本題考查的三元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程．一十七．專題：正方體相對兩個面上的文字（共1小題）41．（2022秋?西安期末）如圖，正方體的六個面上標著六個連續(xù)的整數(shù)，若相對的兩個面上所標之數(shù)的和相等，則這6個數(shù)的和為81．【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題，根據(jù)題意分析可得：六個面上分別寫著六個連續(xù)的整數(shù)，故六個整數(shù)可能為11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，然后分析符合題意的一組數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意分析可得：六個面上分別寫著六個連續(xù)的整數(shù)，故六個整數(shù)可能為11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15；且每個相對面上的兩個數(shù)之和相等，11+16＝27，10+15＝25，故可能為11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，其和為81和75（11和14必須為對面，在本體圖片中，11和14為鄰面，故不合題意，應(yīng)舍去）故答案為：81．【點評】本題主要考查整數(shù)問題的綜合運用和幾何體的展開圖的知識點，解答本題的關(guān)鍵是對幾何圖形的觀察能力和空間想象能力．一十八．兩點間的距離（共2小題）42．（2020秋?馬鞍山期末）有兩根木條，一根長60厘米，一根長100厘米．如果將它們放在同一條直線上，并且使一個端點重合，這兩根木條的中點間的距離是20cm或80cm．【分析】分兩種情況：兩條線段的另一個端點在重合端點的同旁或異側(cè)．【解答】解：若兩條線段的另一個端點在重合端點的同旁，則中點間的距離為50﹣30＝20cm；若兩條線段的另一個端點在重合端點的異側(cè)，則中點間的距離為50+30＝80cm．故答案為20cm或80cm．【點評】此題考查兩點間的距離，注意分類討論．43．（2022秋?海珠區(qū)校級期末）如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，AB＝12厘米，點C在線段AB上，且AC＝8厘米．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、點B同時出發(fā)，在直線上運動，則經(jīng)過2、10、或秒時線段PQ的長為6厘米．【分析】首先根據(jù)AB＝12厘米，AC＝8厘米，求出CB的長度是多少；然后分四種情況：（1）點P、Q都向右運動；（2）點P、Q都向左運動；（3）點P向左運動，點Q向右運動；（4）點P向右運動，點Q向左運動；求出經(jīng)過多少秒時線段PQ的長為6厘米即可．【解答】解：∵AB＝12厘米，AC＝8厘米，∴CB＝12﹣8＝4（厘米）；（1）點P、Q都向右運動時，（6﹣4）÷（2﹣1）＝2÷1＝2（秒）（2）點P、Q都向左運動時，（6+4）÷（2﹣1）＝10÷1＝10（秒）（3）點P向左運動，點Q向右運動時，（6﹣4）÷（2+1）＝2÷3＝（秒）（4）點P向右運動，點Q向左運動時，（6+4）÷（2+1）＝10÷3＝（秒）∴經(jīng)過2、10、或秒時線段PQ的長為6厘米．故答案為：2、10、或．【點評】此題主要考查了兩點間的距離的求法，以及分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．一十九．角平分線的定義（共1小題）44．（2021秋?潁東區(qū)期末）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD內(nèi)的射線．（1）如圖1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．當OB繞點O在∠AOD內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，求∠MON的大小；（2）如圖2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．當∠BOC繞點O在∠AOD內(nèi)旋轉(zhuǎn)時求∠MON的大小；（3）在（2）的條件下，若以∠AOB＝10°為起始位置，當∠BOC在∠AOD內(nèi)繞著點O以2°/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)t秒時，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．【分析】（1）因為∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD內(nèi)的射線．若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，則∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD．然后根據(jù)關(guān)系轉(zhuǎn)化求出角的度數(shù)；（2）利用各角的關(guān)系求解：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC；（3）由題意得，，由此列出方程求解即可．【解答】解：（1）因為∠AOD＝160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD即∠MON＝∠MOB+∠BON＝∠AOB+∠BOD＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝80°；（2）因為OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC＝×180°﹣20°＝70°；（3）∵射線OB從OA逆時針以2°每秒的旋轉(zhuǎn)t秒，∠COB＝20°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．∵射線OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t．∵射線ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON＝2：3，∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，解得t＝21．答：t為21秒．【點評】此題主要考查角平分線的定義，根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)已知條件求解．二十．角的計算（共9小題）45．（2021秋?合肥期末）如圖，已知∠AOB＝150°，∠COD＝40°，∠COD在∠AOB的內(nèi)部繞點O任意旋轉(zhuǎn)，若OE平分∠AOC，則2∠BOE﹣∠BOD的值為110°．【分析】根據(jù)角平分線的意義，設(shè)∠DOE＝x，根據(jù)∠AOB＝150°，∠COD＝40°，分別表示出圖中的各個角，然后再計算2∠BOE﹣∠BOD的值即可．【解答】解：如圖：∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，設(shè)∠DOE＝x，∵∠COD＝40°，∴∠AOE＝∠COE＝x+40°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°﹣2（x+40°）＝70°﹣2x，∴2∠BOE﹣∠BOD＝2（70°﹣2x+40°+x）﹣（70°﹣2x+40°）＝140°﹣4x+80°+2x﹣70°+2x﹣40°＝110°，當角AOC小于80度時，OD在OE左側(cè)，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°當OD和OE重合時，同法可得，2∠BOE﹣∠BOD＝110°故答案為：110．【點評】考查角平分線的意義，利用代數(shù)的方法解決幾何的問題也是常用的方法，有時則會更簡捷．46．（2022秋?泉州期末）如圖，長方形紙片ABCD，點E在邊AB上，點F、G在邊CD上，連接EF、EG．將∠BEG對折，點B落在直線EG上的點B′處，得折痕EM；將∠AEF對折，點A落在直線EF上的點A′處，得折痕EN．∠FEG＝20°，則∠MEN＝100°或80°．【分析】分兩種情形：當點G在點F的右側(cè)；當點G在點F的左側(cè)，根據(jù)∠MEN＝∠NEF+∠MEG+∠FEG或∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG，求出∠NEF+∠MEG即可解決問題．【解答】解：當點G在點F的右側(cè)，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣20°）＝80°，∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝80°+20°＝100°；當點G在點F的左側(cè)，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB+∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°+20°）＝100°，∴∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG＝100°﹣20°＝80°，綜上，∠MEN的度數(shù)為100°或80°，故答案為：100°或80°．【點評】本題考查角的計算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題．47．（2021秋?義安區(qū)期末）已知O為直線AB上的一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如圖1，若∠COF＝34°，則∠BOE＝68°；若∠COF＝m°，則∠BOE＝2m°；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為∠BOE＝2∠COF．（2）當射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【分析】（1）由∠COF＝34°，∠COE是直角，易求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，進而可求∠BOE，若∠COF＝m°，則∠BOE＝2m°；進而可知∠BOE＝2∠COF；（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF＝90°﹣∠COF，而OF平分∠AOE，則有∠AOE＝2∠EOF，從而可得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2（90°﹣∠COF）＝2∠COF．【解答】解：（1）∵∠COF＝34°，∠COE是直角，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝112°，∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°，若∠COF＝m°，則∠BOE＝2m°；故∠BOE＝2∠COF；故答案是68°；2m°；∠BOE＝2∠COF；（2）∠BOE和∠COF的關(guān)系依然成立．∵∠COE是直角，∴∠EOF＝90°﹣∠COF，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2（90°﹣∠COF）＝2∠COF．【點評】本題考查了角的計算．解題的關(guān)鍵是注意找出所求角與已知角之間的關(guān)系，例如：互余、互補關(guān)系．48．（2020秋?廬江縣期末）已知長方形紙片ABCD，點E在邊AB上，點F、G在邊CD上，連接EF、EG．將∠BEG對折，點B落在直線EG上的點B′處，得折痕EM；將∠AEF對折，點A落在直線EF上的點A′處，得折痕EN．（1）如圖1，若點F與點G重合，求∠MEN的度數(shù)；（2）如圖2，若點G在點F的右側(cè)，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度數(shù)；（3）若∠MEN＝α，請直接用含α的式子表示∠FEG的大小．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，平角的定義，角的和差定義計算即可．（2）根據(jù)∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解決問題．（3）分兩種情形分別求解即可．【解答】解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若點G在點F的右側(cè)，∠FEG＝2α﹣180°，若點G在點F的左側(cè)，∠FEG＝180°﹣2α．【點評】本題考查角的計算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．49．（2020秋?廬陽區(qū)校級期末）如圖所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線．求：（1）∠COD的度數(shù)；（2）求∠MON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠COD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠BOD，代入即可求解；（2）先根據(jù)角平分線的意義求出∠COM和∠DON，再根據(jù)∠MON＝∠COM+∠DON+∠COD，即可求解．【解答】解：（1）因為∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，所以∠COD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣30°﹣60°＝90°（3）因所OM，ON分別平分∠AOC，∠BOD所以∠COM＝15°，∠DON＝30°，所以∠NOM＝∠COM+∠DON+∠COD＝15°+30°+90°＝135°．【點評】此題主要考查角的運算，根據(jù)圖形理清各個角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．50．（2020秋?金寨縣期末）已知點O是直線AB上的一點，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分線．（1）當點C、E、F在直線AB的同側(cè)時（如圖1所示）①若∠COF＝28°，則∠BOE＝56°°②若∠COF＝α°，則∠BOE＝2α°．（2）當點C與點E、F在直線AB的兩旁（如圖2所示）時，（1）中②是否仍然成立？請給出你的結(jié)論并說明理由．【分析】（1）①由余角的定義先求得∠FOE＝62°，由角平分線的定義可求得∠AOE＝124°，最后根據(jù)補角的定義可求得∠BOE的度數(shù)；②由余角的定義先求得∠FOE＝（90﹣α）°，由角平分線的定義可求得∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2α，最后根據(jù)補角的定義可求得∠BOE＝2α；（2）由余角的定義先求得∠FOE＝（90﹣α）°，由角平分線的定義可求得∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2α，最后根據(jù)補角的定義可求得∠BOE＝2α．【解答】解：（1）①∵∠COE＝90°，∠COF＝28°，∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°．∵OF是∠AOE的平分線，∴∠AOE＝2∠EOF＝124°．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣124°＝56°．②∵∠COE＝90°，∠COF＝α°，∴∠EOF＝90°﹣α°＝（90﹣α）°．∵OF是∠AOE的平分線，∴∠AOE＝2∠EOF＝2×（90﹣α）＝180°﹣2α．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α．故答案為：①56°；②2α．（2）成立．理由：∵∠COE＝90°，∠COF＝α°，∴∠EOF＝90°﹣α°＝（90﹣α）°．∵OF是∠AOE的平分線，∴∠AOE＝2∠EOF＝2×（90﹣α）＝180°﹣2α．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α．【點評】本題主要考查的是角的計算、補角和余角的定義，依據(jù)余角和鄰補角的定義求得∠EOF和∠BOE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5