專題01 實數(shù)（講義）（解析版）

專題01實數(shù)核心知識點精講了解有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對值的概念及意義，會比較實數(shù)的大??；3.知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，會用科學記數(shù)法表示有理數(shù)，會求近似數(shù)和有效數(shù)字；4.了解乘方與開方、平方根、算術平方根、立方根的概念，并理解這兩種運算之間的關系；5.了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質；6.掌握實數(shù)的運算法則，并能靈活運用.考點1：實數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質符號分類：考點2：實數(shù)的相關概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點的兩側，與原點距離相等的兩個點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.2.絕對值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．可用式子表示為：（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．距離是一個非負數(shù)，所以絕對值的幾何意義本身就揭示了絕對值的本質，即絕對值是一個非負數(shù)．用式子表示：若a是實數(shù)，則|a|≥0．3.倒數(shù)（1)實數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).4.平方根（1)如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根．一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．（2)一個正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術平方根記作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；0的立方根仍是0．考點3：實數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．考點4：實數(shù)的大小比較（1）對于數(shù)軸上的任意兩個點，靠右邊的點所表示的數(shù)較大.（2）正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)；絕對值大的反而小.（3）對于實數(shù)a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.（4）對于實數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.（5）無理數(shù)的比較大小：利用平方轉化為有理數(shù)：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒數(shù)轉化：如比較與.考點5：實數(shù)的運算1.加法同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．滿足運算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.減法減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．3.乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.幾個非零實數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負．幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．乘法運算的運算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)．（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0．5.乘方與開方（1)求n個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，a所表示的意義是n個a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)．（2)正數(shù)和0可以開平方，負數(shù)不能開平方；正數(shù)、負數(shù)和0都可以開立方．（3)零指數(shù)與負指數(shù)要點詮釋：加和減是一級運算，乘和除是二級運算，乘方和開方是三級運算．這三級運算的順序是三、二、一．如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，同一級運算中要從左至右依次運算．考點6：有效數(shù)字與科學計數(shù)法：一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位．一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個有效數(shù)字.把一個數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學記數(shù)法．【題型1：實數(shù)的有概念】【典例1】（1）a的相反數(shù)是，則a的倒數(shù)是_______．（2）實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示:則化簡=______．【答案】（1）5；（2）-a-b；【解析】（1）注意相反數(shù)和倒數(shù)概念的區(qū)別，互為相反數(shù)的兩個數(shù)只有性質符號不同，互為倒數(shù)的兩個數(shù)要改變分子分母的位置；或者利用互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積等于1來計算.（2）此題考查絕對值的幾何意義，絕對值和二次根式的化簡.注意要去掉絕對值符號，要判別絕對值內的數(shù)的性質符號.由圖知：1．5﹣的小數(shù)部分是_______．【答案】2﹣；【解析】由1＜＜2，得﹣2＜﹣＜﹣1．不等式的兩邊都加5，得5﹣2＜5﹣＜5﹣1，即3＜5﹣＜4，5﹣的小數(shù)部分是（5﹣）﹣3=2﹣，故答案為：2﹣．2．若互為相反數(shù)，則a+b的值為________．【答案】0；【解析】由絕對值非負特性，可知，又由題意可知：所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b=–2，所以a+b=0.3．已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值是1，則的值為________．【答案】0；【解析】原式=.【題型2：實數(shù)的分類】【典例2】下列實數(shù)、sin60°、、、3.14159、-、、中無理數(shù)有（）個A．1B．2C．3D．4【答案】C.【解析】無理數(shù)有sin60°、、.【點睛】對實數(shù)進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據(jù)結果去判斷．1．實數(shù)，，，中，負整數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)負整數(shù)是在自然數(shù)前加上負號進行判斷．【詳解】A.-3是負整數(shù)，正確；B.不是整數(shù)，錯誤；C.不是整數(shù)，錯誤；D.2是正整數(shù)，錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)，應熟練掌握有理數(shù)、無理數(shù)、正整數(shù)、負整數(shù)等基本概念．2．實數(shù)的絕對值是（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的性質：正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，即可求解．【詳解】故選：A．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的絕對值，掌握絕對值的性質是解題的關鍵．3．下列四個數(shù)：中，屬于無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．據(jù)此解答即可．【詳解】解：所給4個數(shù)中，是無理數(shù)，，，是有理數(shù)，故選項D符合題意，選項A、B、C不符合題意，故選：D【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．4．公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數(shù)”，意思是一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)的比（分數(shù)）表示．后來，這一學派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示，由此引發(fā)了第一次數(shù)學危機．這里“不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示的數(shù)”是指（

）A．有理數(shù) B．無理數(shù) C．質數(shù) D．實數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念即可解答．【詳解】解：整數(shù)屬于有理數(shù)，整數(shù)的比是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故“不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示的數(shù)”指的是無理數(shù)．故選：B．【點睛】此題考查了實數(shù)的分類和性質，解題的關鍵是熟知以下概念：實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，分數(shù)和整數(shù)屬于有理數(shù)．【題型3：實數(shù)與數(shù)軸】【典例3】實數(shù)、、、伍數(shù)軸上對應點位置如圖所示，這四個數(shù)中絕對值最小的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的意義即可判斷出絕對值最小的數(shù).【詳解】解：由圖可知，，，，，比較四個數(shù)的絕對值排除和，根據(jù)絕對值的意義觀察圖形可知，離原點的距離大于離原點的距離，，這四個數(shù)中絕對值最小的是.故選：B.【點睛】本題考查了絕對值的意義，解題的關鍵在于熟練掌握絕對值的意義，絕對值是指一個數(shù)在數(shù)軸上所對應點到原點的距離，離原點越近說明絕對值越小.1.實數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【詳解】A、，錯誤；B、，錯誤；C、，錯誤；D、，正確；故選D．【點睛】本題考查利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小關系．正確的識圖，掌握數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大，是解題的關鍵．2．實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，下列式子正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，，再根據(jù)逐項判定即可．【詳解】由數(shù)軸可知，∴，故A選項錯誤；∴，故B選項錯誤；∴，故C選項正確；∴，故D選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)進行判斷是解題關鍵．【題型4：科學記數(shù)法】【典例4】去年上海市林業(yè)用地面積約為50200000畝，用科學記數(shù)法表示為約____________．【答案】1.02×107畝.1．我國第六次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，居住在城鎮(zhèn)的人口總數(shù)達到665575306人．將665575306用科學記數(shù)法表示（保留三個有效數(shù)字）約為（）A．66.6×107 B．6.66×108 C．0.666×108 D．6.66×107【答案】B；【解析】科學記數(shù)法的表示形式為×10n的形式，其中1≤||＜10，n為整數(shù)．確定n的值是關鍵點，由于665575306有9位，所以可以確定n=9﹣1=8.有效數(shù)字的計算方法是：從左邊第一個不是0的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字，故選B．2．據(jù)市旅游局統(tǒng)計，今年“五·一”小長假期間，我市旅游市場走勢良好，假期旅游總收入達到8.55億元，用科學記數(shù)法可以表示為（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【答案】C.考查科學記數(shù)法的概念.【題型5：實數(shù)的大小比較】【典例5】比較下列每組數(shù)的大?。海?）與（2）a與（a≠0）（【答案與祥解】（1），，而與可以很容易進行比較得到：，所以；（2）當a<-1或O<a<1時，a<；當-1<a<0或a>1時，a>；當a=時，a=.【點評】（1）有時無理數(shù)比較大小，通過平方轉化以后也無法進行比較，那么我們可以利用倒數(shù)關系比較；（2）這道題實際上是互為倒數(shù)的兩個數(shù)之間的比較大小，我們可以利用數(shù)軸進行比較.1．比較下列每組數(shù)的大小：（1）和（2）和【詳解】（1）將其通分，轉化成同分母分數(shù)比較大小，，，，所以.（2）因為，所以.2.若，比較a、b、c的大小?！敬鸢概c解析】＜-1；＞-1且＜0；c＞0；所以容易得出：a＜b＜c.【題型6：平方根的應用】【典例6】則=______.【答案】－1；【解析】根據(jù)非負數(shù)的性質，要使，必須，即.因此.已知，求的值.【答案與詳解】∵≥0，≥0，≥0，.∴解得則.【點睛】利用≥0，≥0，≥0（為自然數(shù)）等常見的三種非負數(shù)及其性質，分別令它們?yōu)榱悖靡粋€三元一次方程組，解得、、的值，代入后本題得以解決。已知：x，y是實數(shù)，，若axy-3x=y，則實數(shù)a的值是_______.【答案】A.【詳解】∵+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－，y=3．∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3，∴a=∴答案選A.【題型7：實數(shù)的運算】【典例7】計算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案與詳解】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【點睛】該題是實數(shù)的混合運算，包括絕對值，0指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪等．只要準確把握各自的意義，就能正確的進行運算．1．計算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【詳解】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．2.計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【答案】5．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則、絕對值的性質、二次根式的性質計算．【詳解】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．3．計算：【詳解】設n=2001，則原式=（把n2+3n看作一個整體）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.1．在中，負有理數(shù)共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】先去括號、計算有理數(shù)的乘方、化簡絕對值，再根據(jù)負有理數(shù)的定義即可得．【詳解】解：，，，，，是負無理數(shù)，則負有理數(shù)是，共有4個，故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、絕對值、實數(shù)的分類，熟練掌握各運算法則和定義是解題關鍵．2．3184900精確到十萬位的近似值為（）A．3.18×106 B．3.19×106 C．3.1×106 D．3.2×106【答案】D【詳解】先利用科學記數(shù)法將3184900表示為,然后根據(jù)近似數(shù)的精確度求解,因為精確到十萬位,所以近似值是3.2×106,故選D.3．的絕對值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的意義求解即可．【詳解】解：∵>1，∴｜｜＝，故選：B．【點睛】本題考查絕對值，估算無理數(shù)，熟練掌握一個正數(shù)的絕對值是它的本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反相數(shù)，0的絕對值中0是解題的關鍵．4．下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式、絕對值、負指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】A.，故錯誤；

B.，故錯誤；C.，正確；

D.∵，∴無意義；故選C．【點睛】此題主要考查實數(shù)的運算，解題的關鍵是熟知二次根式、絕對值、負指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值．5．若與|b+1|互為相反數(shù),則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由非負數(shù)的性質可知a=-，b=-1，然后求得的值即可．【詳解】解：∵與|b+1|互為相反數(shù)∴，∵∴∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查的是非負數(shù)的性質以及分母有理化，掌握非負數(shù)的性質是解題的關鍵．A． B． C． D．1.在實數(shù)－，0，，－3.1415，，，－0.1010010001…（每兩個1之間依次多1個0），sin30°這8個實數(shù)中，無理數(shù)有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C；【解析】對實數(shù)分類，不能只為表面形式迷惑，而應從最后結果去判斷．首先明確無理數(shù)的概念，即“無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)”.一般來說，用根號表示的數(shù)不一定就是無理數(shù)，如是有理數(shù)，關鍵在于這個形式上帶根號的數(shù)的最終結果是不是無限不循環(huán)小數(shù)．同樣，用三角符號表示的數(shù)也不一定就是無理數(shù)，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…盡管有規(guī)律，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)．是無理數(shù)，而不是分數(shù)．在上面所給的實數(shù)中，只有，，－0.1010010001…這三個數(shù)是無理數(shù)，其他五個數(shù)都是有理數(shù)，故選C.2．若k＜＜k+1（k是整數(shù)），則k=（）.【答案】D.【解析】∵k＜＜k+1（k是整數(shù)），9＜＜10，∴k=9．故選：D．A．6 B．7 C．8 D．93．用四舍五入法按要求對0.05049分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.050（精確到0.001）D．0.05（精確到千分位）【解析】根據(jù)近似數(shù)與有效數(shù)字的概念對四個選項進行逐一分析即可：A、0.05049精確到0.1應保留一個有效數(shù)字，是0.1，故本選項正確；B、0.05049精確到百分位應保留一個有效數(shù)字，是0.05，故本選項正確；C、0.05049精確到0.001應是0、050，故本選項正確；D、0.05049精確到千分位應是0.050，故本選項錯誤.故選D.4．我國古代的“河圖”是由3×3的方格構成，每個方格內均有數(shù)目不同的點圖，每一行、每一列以及每一條對角線上的三個點圖的點數(shù)之和均相等．圖中給出了“河圖”的部分點圖，請你推算出P處所對應的點圖是()

【答案】C；【解析】設左下角小方格內的點數(shù)為x（如圖），則依題意得2+5+x=x+1+p,解得p=6.二、填空題5．已知：若符合前面式子的規(guī)律，則a+b=________．【答案】109；【解析】規(guī)律，所以a=99，b=10，a+b=109.6．將正偶數(shù)按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行2第2行46第3行81012第4行14161820……根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在行、列分別是________．【答案】第45行第13列【解析】觀察數(shù)列2，4，6，8，10，...每個比前一個增大2，2006是這列數(shù)字第1003個.每行數(shù)字的個數(shù)按照1，2，3，4，5，...，n遞增，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有數(shù)字的個數(shù).如果2006在第n行，那么設,解得n約為44.5，n取整數(shù)，因此n=45。到第44行（含44行）共有數(shù)