專題3.1 一元一次方程（全章知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（湘教版）

專題3.1一元一次方程（全章知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)1】一元一次方程只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，并且含未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不是零的整式方程是一元一次方程?！局R點(diǎn)2】一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式ax+b=0(x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0)?！局R點(diǎn)3】構(gòu)成一元一次方程的條件(1)它是等式;(2)分母中不含有未知數(shù);(3)未知數(shù)最高次項(xiàng)為1;(4)含未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)不為0.【知識點(diǎn)4】等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時加一個數(shù)或減去同一個數(shù)或同一個整式，等式仍然成立。等式的性質(zhì)二：等式兩邊同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)(0除外)，等式仍然成立。等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時乘方(或開方)，等式仍然成立。解方程都是依據(jù)等式的這三個性質(zhì)等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時加一個數(shù)或減同一個數(shù)，等式仍然成立?！局R點(diǎn)5】一元一次方程解法的一般步驟：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一般解法：(1)去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù);(2)去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號;(記住如括號外有減號的話一定要變號)(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊;移項(xiàng)要變號(4)合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系數(shù)化成1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a.【知識點(diǎn)6】同解方程如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程。【知識點(diǎn)7】方程的同解原理：(1)方程的兩邊都加或減同一個數(shù)或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。(2)方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程?！局R點(diǎn)8】列一元一次方程解應(yīng)用題：(1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題”仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套-----”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.(2)畫圖分析法：多用于“行程問題”利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看做已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ)【知識點(diǎn)9】解一元一次方程應(yīng)用題的方法：(1)認(rèn)真審題

(審題)(2)分析已知和未知量(3)找一個合適的等量關(guān)系(4)設(shè)一個恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(5)列出合理的方程(列式)(6)解出方程(解題)(7)檢驗(yàn)(8)寫出答案(作答)一元一次方程牽涉到許多的實(shí)際問題，例如工程問題、種植面積問題、比賽比分問題、路程問題，相遇問題、逆流順流問題、相向問題分段收費(fèi)問題、盈虧、利潤問題?！究键c(diǎn)一】一元一次方程的相關(guān)概念 【例1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是關(guān)于y的一元一次方程．（1）求a，b的值；（2）若是方程的解，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義可知、，從而求出、的值；（2）將的值代入所給方程中求出的值，再將、、的值代入待求式求解．（1）解：由題意得：0，解得．（2）將代入，得解得，所以．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2021春·湖北武漢·九年級?？甲灾髡猩┤羰顷P(guān)于的一元一次方程，則的值為（）A．5 B． C．或5 D．2【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程定義可得，且，再解即可．解：由題意得：，且，解得：，，故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了一元一次方程定義，關(guān)鍵是掌握只含有一個未知數(shù)（元，且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．【變式2】（2023秋·湖南長沙·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知是關(guān)于的方程的解，則式子的值為．【答案】【分析】將代入得出，代入代數(shù)式，即可求解．解：將代入得即∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的解的定義，代數(shù)式求值，得出是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】等式基本性質(zhì) 【例2】（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）能否從等式得到，為什么？反過來，能否從得到，為什么？【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．解：不能從等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0時，無意義；能從中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得兩邊都乘以（2a-1）．【點(diǎn)撥】本題考查了等式的性質(zhì)，等式的兩邊都乘以或除以同一個不為零的整式，結(jié)果仍是等式．【舉一反三】【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（

）A．如果，那么 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】應(yīng)用等式的性質(zhì)即可．解：A.如果，那么

，選項(xiàng)錯誤；B.若，則，選項(xiàng)正確；C.若，則，選項(xiàng)錯誤；D.若，則當(dāng)，或，選項(xiàng)錯誤；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確應(yīng)用等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化并解決問題．【變式2】（2021春·廣東廣州·七年級廣州市花都區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎匠蹋煤瑇的代數(shù)式表示y，則．【答案】2x-5/-5+2x【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，正確變形即可．解：∵，∴y=2x-5，故答案為：2x-5．【點(diǎn)撥】本題考查了等式的變形，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】一元一次方程的解法【例3】（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）求x的值．（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）方程兩邊同時減去，兩邊再同時乘6即可解答；（2）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)將比例化為方程，再兩邊再同時除以25即可解答；（3）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)將比例化為方程，再兩邊再同時除以9即可．（1）解：，，，，．（2）解：，，，，（3）解：，，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元一次方程、比例的基本性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022秋·湖南永州·七年級校考期中）已知方程的解滿足，則a的值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】由可得，再代入中求解即可．解：∵，∴，把代入得：，解得，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次方程的解的應(yīng)用，能得出關(guān)于a的方程是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期中）如果與的值相同；那么．【答案】【分析】根據(jù)題意得到方程，解方程可得的值．解：由題意得：，，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程及解方程．【例4】（2021秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是方程的解，n滿足關(guān)系式，求的值．【答案】或【分析】把代入原方程求出m，再代入滿足的關(guān)系式再求出n，進(jìn)而求解．解：把知代入方程，得，解得：，把代入方程，可得，即或，解得：或，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；綜上，或．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的求解，正確理解題意、熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·山西長治·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）小明同學(xué)在解方程去分母時，由于方程的右邊的忘記了乘以15，因而他求得的解為，該方程的正確的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)錯誤的結(jié)果，確定出的值，進(jìn)而求出正確的解即可．解：根據(jù)小明的錯誤解法，去分母得：，去括號得：，把代入得：，解得；將代入原方程得正確方程為：，去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)合并得，解得，所以原方程正確的解為．故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1，注意錯誤解題的位置，根據(jù)錯誤解，先求出字母的值；再根據(jù)正確的方程進(jìn)行解方程．【變式2】（2023秋·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為．【答案】【分析】設(shè)，再根據(jù)題目中關(guān)于x的一元一次方程的解確定出y的值即可．解：設(shè)，則關(guān)于y的方程化為：，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次方程的解．正確理解方程的解的概念和運(yùn)用整體代換是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】特殊的一元一次方程的解法【例5】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有無數(shù)多個解，求常數(shù)a、b的值．【答案】，【分析】首先把方程進(jìn)行化簡，方程有無數(shù)個解即方程的一次項(xiàng)系數(shù)等于0，據(jù)此即可求得的值，進(jìn)而得出b的值．解：化簡得：，即：，根據(jù)題意得：解得：，∴∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了含有一個未知數(shù)的方程有無數(shù)個解的條件，正確理解條件是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的解是正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的積是（

）A．8 B． C．12 D．【答案】A【分析】求得方程的解，根據(jù)解是正整數(shù)，分類計算即可．解：∵，∴，∴，∴，∵方程的解是正整數(shù)，∴，解得∴積為，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正確理解整數(shù)解的意義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是；若，則x=【答案】3或3【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式計算即可求解；（2）分情況討論，去絕對值，再解方程即可求解．解：（1），故答案為：3；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時方程無解，舍去；當(dāng)時，，故答案為：或3．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離以及解絕對值方程的知識，注重分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】同解原理【例6】（2021秋·廣東江門·七年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程和的解相同．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)等式的性質(zhì)求出每個方程的解，根據(jù)同解方程得出，再求出的值即可；（2）把代入，再根據(jù)積的乘方和有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．（1）解：由，得，由，得．因?yàn)檫@兩個方程的解相同，所以，解得；（2）解：把代入，得原式．【點(diǎn)撥】本題考查了同解方程和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，能得出關(guān)于m的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元一次方程與關(guān)于x的一元一次方程的解相同，則a的值為（

）A． B．9 C．3 D．【答案】C【分析】先求出方程的解，然后代入方程，可解出a的值；解：解得：將代入方程可得：，解得：故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了同解方程的知識，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是理解方程解得含義．【變式2】（2021春·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的方程與的解相同，則．【答案】【分析】把當(dāng)成已知數(shù)，求得，根據(jù)解相等，得到關(guān)于的方程，求解即可．解：由可得：，，，．由可得：，，，．又因?yàn)榻庀嗤?，所以，，，．故答案為：【點(diǎn)撥】此題考查了一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是正確的用表示出兩個方程的解．【考點(diǎn)六】一元一次方程的應(yīng)用【例7】（2022秋·河北保定·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O對應(yīng)原點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，對應(yīng)的數(shù)是a；點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，對應(yīng)的數(shù)是b，并且|a+4|+＝0．（1）a＝______；b＝______．（2）P，Q是數(shù)軸上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P的速度大于點(diǎn)Q的速度．若兩點(diǎn)同向運(yùn)動，經(jīng)過3秒相遇；若兩點(diǎn)相向而行，經(jīng)過1秒相遇，①P，Q兩點(diǎn)的速度分別是多少？②若點(diǎn)PQ相向而行，且點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B后原速返回，經(jīng)過幾秒鐘，點(diǎn)P，Q第二次相遇？（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P，Q沿數(shù)軸同向運(yùn)動時，經(jīng)過幾秒鐘，相距9個單位長度？【答案】（1）﹣4，2；（2）①P，Q兩點(diǎn)的速度分別每秒4個單位、每秒2個單位．②經(jīng)過3秒，點(diǎn)P，Q第二次相遇．；（3）經(jīng)過4.5秒鐘，相距9個單位長度．【分析】（1）由|a+4|+＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；（2）①由（1）知AB＝2－（﹣4）＝6，設(shè)P點(diǎn)的速度為每秒x個單位，由兩點(diǎn)相向而行，經(jīng)過1秒相遇，則Q點(diǎn)每秒的速度為（6－x）個單位，根據(jù)兩點(diǎn)同向運(yùn)動，經(jīng)過3秒相遇可列方程，求解即可；②設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)P，Q第二次相遇，列方程求解即可；（3）設(shè)經(jīng)過m秒鐘，相距9個單位長度，根據(jù)題意列方程求解即可．（1）解：∵|a+4|+＝0．|a+4|≥0，≥0，∴|a+4|＝0，＝0，解得a＝﹣4，b＝2，故答案為：﹣4，2（2）解：①由（1）知AB＝2－（﹣4）＝6，設(shè)P點(diǎn)的速度為每秒x個單位，由兩點(diǎn)相向而行，經(jīng)過1秒相遇，則Q點(diǎn)每秒的速度為（6－x）個單位，則，解得x＝4，6－x＝2，∴P，Q兩點(diǎn)的速度分別每秒4個單位、每秒2個單位．答：P，Q兩點(diǎn)的速度分別每秒4個單位、每秒2個單位．②設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)P，Q第二次相遇，由題意可得，4t－2t＝6，解得t＝3，答：經(jīng)過3秒，點(diǎn)P，Q第二次相遇．（3）解：設(shè)經(jīng)過m秒鐘，相距9個單位長度，由題意可得，4m－2m＝9，解得m＝4.5，答：經(jīng)過4.5秒鐘，相距9個單位長度．【點(diǎn)撥】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022春·湖南衡陽·七年級?？计谥校┠耻囬g有15名工人，每人每天可以生產(chǎn)300個螺釘或800個螺母，1個螺釘配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？設(shè)有名工人生產(chǎn)螺釘，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)有名工人生產(chǎn)螺釘，則有個工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意列出方程即可．解：設(shè)有名工人生產(chǎn)螺釘，則有個工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意，可得．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·山東日照·七年級?？计谀┯娩X片做聽裝易拉飲料瓶，每張鋁片可制瓶身16個或瓶底43個，一個瓶身配兩個瓶底?，F(xiàn)有150張鋁片，用多少張制瓶身，多少張制瓶底，可以正好制成成套的飲料瓶？解：設(shè)用x張做瓶身，可列方程為。【答案】【分析】設(shè)用x張鋁片做瓶身，則用張鋁片做瓶底，通過理解題意可知本題的等量關(guān)系，即瓶底個數(shù)=瓶身個數(shù)的兩倍。根據(jù)這個等量關(guān)系，可列出方程，再求解。解：設(shè)用x張鋁片做瓶身，則用張鋁片做瓶底，根據(jù)題意得：，故答案為：。【點(diǎn)撥】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，正確理解：一個瓶身配兩個瓶底是解題的關(guān)鍵。【例8】（2023秋·河北秦皇島·九年級?？茧A段練習(xí)）某公司設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是40元，為了合理定價，投放市場進(jìn)行試銷：據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是50元時，每天的銷售量是100件，而銷售單價每提高1元，每天就減少售出2件，但要求銷售單價不得超過65元．（1）若銷售單價為每件60元，求每天的銷售利潤；（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1350元，每件工藝品售價應(yīng)為多少元？（3）公司每天銷售這種工藝品獲利能否達(dá)到2000元？請說明理由．【答案】（1）1600元；（2）55元；（3）不能，見分析【分析】（1）利用總利潤等于每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件工藝品售價為元，則每天的銷售量是件，根據(jù)利用總利潤=每件的銷售利潤×每天的銷售量列方程求解即可；（3）設(shè)每件工藝品售價為元，則每天的銷售量是件，利用總利潤=每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程無解判斷即可．（1）解：由題意得，（元）．答：每天的銷售利潤為1600元；（2）解：設(shè)每件工藝品售價為元，則每天的銷售量是件，由題意得，，整理得，解得，（不符合題意，舍去）．答：每件工藝品售價應(yīng)為55元；（3）解：不能．理由如下：設(shè)每件工藝品售價為元，則每天的銷售量是件，由題意得，，整理得，，，方程無解，