專題04 實(shí)數(shù)重難點(diǎn)及規(guī)律性探究講義（原卷版）

專題04實(shí)數(shù)重難點(diǎn)及規(guī)律性探究講義【重點(diǎn)知識(shí)辨析】1.【算術(shù)平方根與平方根區(qū)別與聯(lián)系】算術(shù)平方根平方根區(qū)別定義一個(gè)正數(shù)x2=a，稱x為a的算術(shù)平方根，x=一個(gè)數(shù)x2=a，稱x為a的算術(shù)平方根，x=±個(gè)數(shù)1個(gè)；0的算術(shù)平方根為0正數(shù)平方根有2個(gè)（互為相反數(shù)），0的平方根為0聯(lián)系存在性條件1.只有非負(fù)數(shù)有平方根，算術(shù)平方根2.算術(shù)平方根屬于平方根2.【立方根】一個(gè)數(shù)x3=a，稱x為a的立方根，x=3.【幾個(gè)公式與結(jié)論】（1）（2）（3）；；（4）（a=0或1）；平方根等于本身的數(shù)為0；（a=0、1、-1）（5）若a+b=0，則（6）被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)每向右（左）移動(dòng)2位，算術(shù)平方根小數(shù)點(diǎn)每向右（左）移動(dòng)1位.被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)每向右（左）移動(dòng)3位，立方根小數(shù)點(diǎn)每向右（左）移動(dòng)1位.4.【實(shí)數(shù)】實(shí)數(shù)分為：有理數(shù)、無理數(shù).實(shí)數(shù)比較大?。海?）作差法；（2）作商法；（3）倒數(shù)法；（4）平方法a>b→；a>b→.數(shù)軸右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大.【典例解析】【例1】的平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．+2【變式1】（2020·廣東深圳期末）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．【例2】（2021·河南南陽期末）下列各數(shù)：0、3π、、、、1.1010010001…，其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】下列說法其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)（）①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；②無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)；③16的平方根是，用式子表示是；④負(fù)數(shù)沒有立方根；⑤某數(shù)的絕對(duì)值，相反數(shù)，算術(shù)平方根都是它本身，則這個(gè)數(shù)是0．A．0 B．1 C．2 D．3【例3】（2020·廣東深圳市期末）設(shè)n為正整數(shù)，且n＜＜n＋1，則n的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式3】（2021·廣西貴港期末）估算的值在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【例4】如圖，把半徑為0.5的圓放到數(shù)軸上，圓上一點(diǎn)A與表示1的點(diǎn)重合，圓沿著數(shù)軸滾動(dòng)一周，此時(shí)點(diǎn)A表示的數(shù)是（）A．或 B．或 C．或 D．或【變式4-1】（2021·北京海淀月考）直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）．

A．3 B．3.1 C． D．3.2【變式4-2】（2021·浙江湖州市·七年級(jí)期末）如圖，若數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D分別表示數(shù)，1，2，3，則表示數(shù)的點(diǎn)應(yīng)在（）A．點(diǎn)A與點(diǎn)O之間 B．點(diǎn)O與點(diǎn)B之間C．點(diǎn)B與點(diǎn)C之間 D．點(diǎn)C與點(diǎn)D之間【例5】（2021·山東煙臺(tái)期末）如圖所示，若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序如下：按鍵的結(jié)為：為，則下列結(jié)果判斷正確的是（）．A． B． C． D．無法確定【變式5】若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序如圖，則輸出結(jié)果應(yīng)為（）A．8 B．4 C． D．【例6】（2020·吳江市月考）解方程：（1）（2）．

【例7】（2021·遼寧沈陽市期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的值為9，則最后輸出的y值是（）

A． B．± C．3 D．±3【變式7-1】（2021·湖北十堰市期末）下面是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)表，那么第7行的第2個(gè)數(shù)是：（）第1行1第2行2第3行第4行……A． B． C． D．【變式7-2】（2021·武岡市月考）觀察下列各式：……請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算＋＋……其結(jié)果為多少？【例8】（2020·蘇州市月考）（1）已知和都是非負(fù)數(shù)m的平方根，求m的值；（2）已知的平方根是的立方根是3，求的算術(shù)平方根．【變式8-1】（2020·四川成都月考）解答下列各題．（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．（2）已知，求的值．

【變式8-2】（2021·江蘇鹽城期末）已知某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．【例9】（2021·武岡市月考）已知a，b滿足，則a+b的值為（）A．－2 B．0 C．﹣1 D．2【例10】（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)開學(xué)考試）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則|﹣b|+|a+|+的值_____．【例11】（2020·浙江杭州期末）如圖，順次連結(jié)方格四條邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)正方形．設(shè)每一個(gè)小方格的邊長為1個(gè)單位．（1）正方形的邊長介于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，請(qǐng)說明理由．（2）如果把正方形放到數(shù)軸上，使得邊與數(shù)軸重合，且點(diǎn)A與數(shù)軸的原點(diǎn)重合，數(shù)軸的單位長度就是小方格的邊長，請(qǐng)寫出點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)．

【變式11】（2021·浙江寧波期末）如圖1，把兩個(gè)邊長為1的小正方形沿對(duì)角線剪開，所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形．由此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的方法．（1）圖2中A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為___________，____________；（2）請(qǐng)你參照上面的方法：①把圖3中的長方形進(jìn)行剪裁，并拼成一個(gè)大正方形．在圖3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網(wǎng)格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長___________．（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）②在①的基礎(chǔ)上，參照?qǐng)D2的畫法，在數(shù)軸上分別用點(diǎn)M、N表示數(shù)a以及．（圖中標(biāo)出必要線段的長）

【例12】（2020·山東威海期末）本學(xué)期第四章《實(shí)數(shù)》中，我們學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：平方根立方根定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)數(shù)就叫做的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于，即，那么這個(gè)數(shù)就叫做的立方根（也叫做三次方根）．運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方．開平方和平方互為逆運(yùn)算．求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方．開立方和立方互為逆運(yùn)算性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)：的平方根是；負(fù)數(shù)沒有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；的立方根是；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．表示方法正數(shù)的平方根可以表示為“”一個(gè)數(shù)的立方根可以表示為“”今天我們類比平方根和立方根的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)四次方根．（類比探索）（1）探索定義：填寫下表類比平方根和立方根，給四次方根下定義：．（2）探究性質(zhì)：①的四次方根是；②的四次方根是；③的四次方根是；④的四次方根是；⑤的四次方根是；⑥（填“有"或"“沒有”）四次方根．類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：；（3）在探索過程中，你用到了哪些數(shù)學(xué)思想？請(qǐng)寫出兩個(gè)：．（拓展應(yīng)用）（1）；（2）；（3）比較大?。海咀兪?2】（2020·湖南婁底期末）規(guī)定：求若千個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于）的除法運(yùn)算叫做除方，如等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”，一般地，把記作，讀作“”的圈次方．（初步探究）（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：；；（2）關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．任何非零數(shù)的圈次方都等于B．對(duì)于任何正整數(shù)C．D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（3）試一試：，依照前面的算式，將，的運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式是，；（4）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)的圓次方寫成冪的形式是：；（5）算一算：．【例13】“比差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，即例如：比較與2的大??；，，則，，．請(qǐng)根據(jù)上述方法解答以下問題：（1）比較大?。篲______3；（2）比較與的大小，并說明理由．【例14】（2021·江蘇連云港市期末）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)表示，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為．（1）求的值；（2）在數(shù)軸上還有、兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)和，且有與互為相反數(shù)，求的平方根．【例15】（2020·浙江期末）閱讀下列信息材料信息1：因?yàn)橛壤頂?shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不夠百分百準(zhǔn)確；信息2：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，可以看成得來的；信息3：任何一個(gè)無理數(shù)，都可以夾在兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，如，是因?yàn)椋桓鶕?jù)上述信息，回答下列問題：（1）的整數(shù)部分是___________，小數(shù)部分是______________；（2）若，則的整數(shù)部分是___________；小數(shù)部分可以表示為_______；（3）也是夾在相鄰兩個(gè)整數(shù)之間的，可以表示為則______；（4）若，其中是整數(shù)，且，請(qǐng)求的相反數(shù)．【例16】先閱讀材料，再解答問題：我國數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計(jì)算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟也試一試：（1）我們知道，，那么，請(qǐng)你猜想：59319的立方根是______