四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（三）全國卷文科數(shù)學試題

2024屆高三沖刺卷（三）全國卷

文科數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若U為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)（）

1+i

A.-2B.2C.-1D.1

2.設全集為N,集合A={0,l,2,3,4,5,6},B={^x=2k+l,k&N},貝A=()

A.{0,2,4,6}B.{2,4,6}C.{0,1,3,5}D.{1,3,5}

3.如圖，平行四邊形ABC。中，DE=EC,BF=2FC,設=AD=b,則所=（）

C.L3D.2/

A.—ci—bB.—a—b

32232332

4.某超市集團共有4家超市，2023年4家超市的年利潤最小值和最大值分別為200萬元和240萬元，若

4家超市2023年年利潤的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則2023年該超市集團的總利潤為（）

A.980萬元B.920萬元C.880萬元D.840萬元

5.已知/(x)=sinx+x3+1,若/(一〃)=加，貝()

A.—mB.l-mC.2-mD.m-1

/+：=10〉0）的離心率為左,貝（

6.若橢圓C：)

-11D-2或與

A.2B.2或一c.一

22

7.如圖，網格紙上繪制了一個幾何體的三視圖，若網格中小正方形的邊長為1,則該幾何體的體積為

()

匕：IN

16兀28兀64兀112兀

A.——B.C.D.

3333

G若尸+則。一尸二(

8.已知a,p,y[0,-|-\,sino+sin/=sin〃，coscos/=cosa,)

7171兀71

A.B.一C.——D.—

366

9.已知直線/:y=Ax+3與圓C：(1『+(,_1)2=4交于A,8兩點，若C4-C8=—2,則左=

()

3311

A.—B.一C.一D.——

4422

10.“權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的，其具體內容為：設

m+lm+1/n+11>(4+%+%++aJ"M

m>0,則<+工+工+

an>Q,bn>0,〃￡N*,當

印星"廣他+…++bj"

且僅當?=答=答==3時，等號成立.根據權方和不等式，若xe(o,4],當上叵+，取得

4b2b3bti\2)smxcosx

最小值時，X的值為()

兀兀兀5兀

A.—B.-C.—D.—

126312

11.已知/(%)為定義在R上的單調函數(shù)，且對Vx$R,/[/(x)-ex]=2+ln2,則/(ln3)=

()

A.31n2B.3+ln2C.3-ln2D.In3

12.已知函數(shù)4x)=sins+2cos2學(G〉0)在［0,兀］上有且僅有4個零點，則/(%)圖象的一條對稱

軸可能為()

5兀

D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

'2x-y<0

13.若實數(shù)尤，y滿足約束條件2x+y20,則上的最大值為

xI3

14.寫出與函數(shù)〃x）=sinx在x=0處有公共切線的一個函數(shù)g（x）=

7T

15.在△ABC中，AB=5,C=-,且tanA=3,則A8邊上的高丸=

4

16.已知雙曲線C：必一/=4的左、右焦點分別為耳，B，過原點。的直線&丁=立仕W0）與C交

于A,8兩點，O為坐標原點.若a=|甲訃則△AO鳥的面積為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（-）必考題：60分.

17.（12分）生物病毒（Biologicalvirus,以下簡稱病毒）是一種個體微小、結構簡單、只含一種核酸

（DNA或RNA）的非細胞型生物.一部分病毒可以感染人類，導致人類出現(xiàn)病毒性疾病.研究人員為了

研究某種病毒在常溫下的存活時間與空氣相對濕度（以下簡稱濕度）的關系，對100株該種病毒樣本的存

活時間（單位：小時）進行統(tǒng)計，如果存活時間超過8小時，即認為該株病毒“長期存活”，經統(tǒng)計得到

如下的列聯(lián)表.

X.存活

長期存活非長期存活

濕度

濕度40%以上15a

濕度40%及以下b45

（1）以頻率估計概率，若在這100株病毒樣本中隨機抽取1株，該株病毒為“長期存活”的概率為",

求a,b；

（2）是否有95%的把握認為病毒“長期存活”與濕度有關:

2n^ad-bc^

附（a+Z?）（c+d）（〃+c）（b+d）

P（K2>k）

00.10.050.01

ko2.7063.8416.635

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,%=2,S2=8,且當2時，

S"+i=2S"-S〃T+2“+2.

⑴求a“；

（2）設數(shù)列工的前w項和為7；,證明：T“<1.

7T

19.（12分）如圖，四棱錐S—ABCD中，底面ABC。為菱形，ZDAB=-,側面△SCO是邊長為4的

3

正三角形，SA=2標.

（1）證明：平面SCD,平面A8CD；

（2）求點A到平面S8C的距離.

2

20.（12分）已知函數(shù)/（X）=]-4x+61nx+2.

⑴當6=3時，求〃龍）的單調遞減區(qū)間；

（2）若/（X）有兩個極值點X],x2（%!<%2）.

①求實數(shù)b的取值范圍；

②證明：/（%）+/（兀2）>lnb-6.

21.（12分）已知拋物線C：y2=2/（°>0）的焦點為R過點廠的動直線/與拋物線交于A,B兩點，

M為4B的中點，且點M到拋物線的準線距離的最小值為2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設拋物線在A,8兩點的切線相交于點。，求點。的橫坐標.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計分.

22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）

在平面直角坐標系尤Oy中，曲線C的參數(shù)方程為1（。為參數(shù)）.以坐標原點為極點，尤軸非

'y=l+sin。

負半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為「cos6-看=G.

(1)求曲線C的極坐標方程和直線/的直角坐標方程;

(2)若射線：。=］(夕》0)與曲線C和直線/分別交于A,2兩點，求

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)/(%)=,一4+忖+24.

(1)當，=2時，求不等式/(x)N2x+12的解集；

(2)若+a恒成立，求實數(shù)r的取值范圍.

2024屆高三沖刺卷(三)全國卷

文科數(shù)學參考答案

(a+i)(l-i)F+因為色"‘故j=°'得.j所以

1.D【解析】—

1+1(l+i)(I)

a=l.故選D.

2.A【解析】由題，8為全體正奇數(shù)構成的集合，故為全體非負偶數(shù)構成的集合，所以

@5)A={0,2,4,6}.故選A.

3.B【解析】EF=AF-AE=^AB+^BCj-^AD+^DCj=^a+^bj-\^b+^aj=^a-^b.故

選B.

4.C【解析】設4家超市2023年的年利潤數(shù)從小到大依次為200,a,b,240,則

200+“+"+24°=j,解得。+〃=440,所以2023年該超市集團的總利潤為880萬元.故選C.

42

5.C【解析】設g(x)=sinx+Pg(x)為奇函數(shù)，〃—Q)=g(—Q)+l=陽，則

g(-a)=-g(a)-m-1,所以g(Q)=l—m,/(〃)=g(a)+l=l-加+1=2—加.故選C.

6.B【解析】當方>1時，離心率為也旦=顯,解得6=2；當0<6<1時，離心率為

4b2

g二巨,解得〃綜上所述，6=2或。=,，故選B.

222

7.B【解析】由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺，且圓臺的上、下底面半徑分別為2和4,高為

4,所以其體積為；xgx4（4兀+,4兀x16兀等.故選B.

8.A【解析】由sina+sin/=sin〃，cos/?+cos/=coscr,得sina-sin/?=-sin/,

22

cosa-cos/3=cosy,.,.(sina-si”n『+(cos。一cos尸J=(^-sin/)+cos/=1.即

2-2sinosin尸一2cosacos尸=1,12-2cos(a-/?)=1,解得cos1a-f3)=f又a，B,

兀)兀71兀

ye0,—I,工sina-sinQ=-sin/<0,工sina<sin〃，：.0<a<J3<—,：.--<a-/3<Q,

22

兀

(X—B----.故選A.

3

9.A【解析】CACB=|C4|x|CB|cosZACB=4cosZACB=-2,得cos/ACB=—解得

2兀

ZACB=—,所以圓心C（l,l）到直線/的距離為1,即\+2=1,解得上=—3.故選A.

3，1+左24

10.C【解析】由題，sinx>0,cos%>0,則

333

37313萬P(3+1戶231

------+-------T+—>=42=8,當且僅當——=——,即

sinxcosx5sin-xcos-x

sin2x2cos2X2sin2x+cos2x

］TT

cosx=—時等號成立，所以％=一.故選C.

23

11.B【解析】設“%)—y=￡,則/(%)=.》,故/⑺=e'+I=2+ln2,故

er+lne?=2+ln2,設g(x)=x+lnx(x>0),易知g(尤)在(0,+<?)上單調遞增，所以e'=2,即

1=ln2,故/(x)=e%+ln2,所以+In2=3+ln2.故選B.

271

12.D【解析】/(x)=sin(7;x+2cos^=A/2sin|s+二+1,令/(X)=0,得

4

=一^~，因為％一［。，司,所以8+7171

sinCDX+—一,〃?兀+一,若“X）在［0,兀|上有且僅有4個

[444

EJ兀,兀21兀E/口7,「人兀7717rg4防1+兀

零點，則---(①71H----<-----，斛付-WG<5,令COXH----—kjlH----,左￡Z,付X---------

4442424。

keZ,因為所以4也+“<4.+*44也+兀，卜力,結合選項可知D正確.故選D.

2204a）14

13.1【解析】作出可行域如圖所示，設）二?二:言,則上為可行域內動點（羽丁）與點（一3,0）

連線的斜率，當點（羽y）位于4（—1,2）時，左取得最大值1.

【解析】由題"0）=0,/,（x）=cosx,/'⑼=1，答案不唯一，滿足

g(O)=O,g'(o)=l即可.

15.6【解析】tanA=3,可得sinA=±E0,cosA=,sinB=sin(A+C)=冬5,由正弦定

1010v'5

理得衛(wèi)-=」^,得AC=2jIU,所以/?=ACxsinA=2jiUx"0=6.

sinCsin310

16.2【解析】由雙曲線的對稱性可知，四邊形片4瑪5為平行四邊形，因為|人叫=閨耳所以

ZAF2B=^,/4A6=],不妨設點4在C的右支上，卜力，則?周=4+加，所以

m2+（4+m）2=|f；^|2=32,得加？+4m=8,所以

S5AxA=m24m2

AAOF2=1AA^2=!|^||^|1（+）=-

17.解：（1）若在這100株病毒樣本中隨機抽取1株，該株病毒為“長期存活”的概率為：，

則竺士2=L,所以15+力=20,解得6=5.

1005

又15+a+b+45=100,解得。=35,所以。=35,b=5.

（2）根據列聯(lián)表中數(shù)據，計算得K?=100X（15X45—35X5）=6.25>3.841.

50x50x20x80

所以有95%以上的把握認為病毒“長期存活”與濕度有關.

18.(1)解：由52=。1+。2=8，〃i=2,得%=6,

當2時，Sn+i=2Sn-Sn_1+2n+2,故(5向—Sj—(S,z-5八_1)=2〃+2,

即。〃+i=2〃+2,所以〃i=2,%—%=4，a3-a2=6,a4-a3=S,…，an-an_x=In,

n(2+2n)

將等式左、右兩邊分別相加得4=2+4+6++2〃=-^—=/9+

%=2,%=6符合上式，所以42=〃2+〃.

(2)證明：由(1)知己-二=^一=------=------,

ann+nH(H+1)nn+1

所以T=1—L+JL—工+工―」+.+J—1=1-1

n22334n-1nn

*1

因為〃eN,所以1一一<1,所以<<1.得證.

n

19.(1)證明：取CD中點E,連接SE,AE,BE,

TT

易得SELCD,BELCD,因為AB=5C=4,ADAB=-,

3

所以CE=2,ZBCD=~,ZABE=-,故BE=SE=20，

32

XAE2=AB2+BE2=28,SA=2710,

所以SA2=A￡2+S￡2,故AELSE,

因為AEu平面ABC。，CDu平面ABC。，AECD=E,

所以SE_L平面ABC。，又因為SEu平面SCD

所以平面SCO_L平面ABCD

(2)解：由(1)知SE_L平面A8C￡>,且SE=26,

在AABC中，AB=BC=4,

■t-|r\

所以S^ABC=上ABxBCxsinNABC=Lx4x4xsin臼=，

223

故匕-ABC=；*5少。*56=；*46*26=8.

在△SBC中，SC=BC=4,SB=^SE2+BE2=246,

所以SB邊上的高/z=峋2=M,

所以SASBC=；x2"xJIU=2JI??設點A到平面SBC的距離為d,

則^A-SBC=Vs-ABC,即§*S&SBCXd=8,解得d=—~—

所以點A到平面SBC的距離為邛^.

20.解：⑴Z?=3時，/(x)=y-4x+31nx+2,/(x)的定義域為(0,+<?).

/(+1+』―4-+3=(1)23)

XXX

令/'(x)<0,得l<x<3.所以"％)的單調遞減區(qū)間為(1,3).

(2)0/z(x)=x-4+—=———4x+',%G(0,+OO).

XX

因為〃龍)有兩個極值點X]，%，所以方程犬―4x+b=0有兩個不等正根看，.

A=16—4Z?>0

所以(玉+%=4〉0,解得0<b<4.則實數(shù)b的取值范圍為(0,4).

x[x2=b>0

②證明：/(石)+/(尤2)=；(%；+后)_4(石+x2)+Z?lnx1x2+4=blnb-b-4.

所以[/(%)+/(%2)]_仙6+6=(6-1)?lnb_b+2.

4,g(x)=(x-l)lnx-x+2(0<x<4),下面證明g(x)>0,

求導得g'(x)=lnx—L顯然g[x)=lnx—,在(0,4)上單調遞增.

因為g，⑴=—l<o,g12)=ln2—；>0,且g'(x)在(0,4)上連續(xù)，

所以，函數(shù)g'(x)=lnx-L存在唯一零點/e(l,2),即由「二,.

x/

并且)￡(0,%)時,g'(x)〈o,%￡(/0,4)時,g'(%)>0,

(1)

所以gGL,=(XoT)ln%_Xo+2=3-5+—?

(［、5

因為七)?L2),所以2<%+一<-,

IxoJ2

所以g(x)1nm>0,所以/(石)+>(/)>以/_6.命題得證.

21.解：(1)由題知直線/的斜率不為0,設直線/：x=my+^,與拋物線方程聯(lián)立,

x=my-\——1-)—

2，得y-2pmy-p9=0,A=4p2m+Ap2>0,

y2=2px

設A(F，X)，5(%2，%)，則3+y2=227〃，%%=_p\

由拋物線的定義，知點M到拋物線準線的距離

dABx+x+mm2+1)

=^\\=^i2P)=-(y1+y2)+p=P(

所以當m=0時，4^="=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.

(2)由題易知拋物線在A,B兩點處的切線與坐標軸不垂直，

設在點A(x,,yJ處的切線方程為4：x-\=n(y-yl),即x=期+西一"%,

與拋物線方程聯(lián)立］無：?+玉一“X,得J_4町;_4%+4〃%=0,