圓周運(yùn)動(dòng)模型中臨界問題和功與能-2024年高考物理二輪熱點(diǎn)模型含答案

圓周運(yùn)動(dòng)模型中臨界問題和功與能-2024年高考

物理二輪熱點(diǎn)模型

國(guó)扇威I模整電臨界問題曲功與能

目顯

1.圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況

2.常見的圓周運(yùn)動(dòng)及臨界條件

3.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見問題與二級(jí)結(jié)論

模型講解

1.圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況

⑴接觸面滑動(dòng)臨界：耳=小。

(2)接觸面分離臨界：琮=0。

(3)繩恰好繃緊：身=0；繩恰好斷裂：瑪達(dá)到繩子可承受的最大拉力。

2.常見的圓周運(yùn)動(dòng)及臨界條件

⑴水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

水平面內(nèi)動(dòng)力學(xué)方程臨界情況示例

水平轉(zhuǎn)盤上的物體

1

!

,干口,Ff=mct^r恰好發(fā)生滑動(dòng)

1__________:__________1

1

1

1

1

圓錐擺模型

7ngtan9—mrat2恰好離開接觸面

\、、一—」/

(2)豎直面及傾斜面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

輕繩模型

/，一一、

//、\2恰好通過最高點(diǎn)，繩的拉力

1\

/\最高點(diǎn)：弓+mg=m—

I,?;r

\1恰好為0

\1

\/

\/

輕桿模型

一一、、

/\2

/\恰好通過最高點(diǎn)，桿對(duì)小球

1\

1\最高點(diǎn)：mg+F—m—

1(.1

1'，1r

\1的力等于小球的重力

\/

\\//

!>J

帶電小球在疊加場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

關(guān)注六個(gè)位置的動(dòng)力學(xué)方程，最高

恰好通過等效最高點(diǎn)，恰好

點(diǎn)、最低點(diǎn)、等效最高點(diǎn)、等效最低

做完整的圓周運(yùn)動(dòng)

點(diǎn),最左邊和最右邊位置

等效法

傾斜轉(zhuǎn)盤上的物體

最高點(diǎn)：mgsin9±耳=mco2r

恰好通過最低點(diǎn)

最低點(diǎn)Ff—mgsin9—ma^r

/

//

3.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見問題與二級(jí)結(jié)論

【問題1】一個(gè)小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，軌道的最高點(diǎn)記為人和最低點(diǎn)記為

。，與原點(diǎn)等高的位置記為B。圓周的半徑為R

要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在最高點(diǎn)A的向心力恰好等于重力時(shí)，由mg=m*可得u=的互①

對(duì)應(yīng)。點(diǎn)的速度有機(jī)械能守恒

mg2A=fmv^_得vc=j5gR②

當(dāng)小球在。點(diǎn)時(shí)給小球一個(gè)水平向左的速度若小球恰能到達(dá)與。點(diǎn)等高的。位置則由機(jī)械能守恒

mgR=-^mvi得vc=12gR③

小結(jié)：(1).當(dāng)觀〉〃硒時(shí)小球能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道向內(nèi)的支持力

由牛頓第二定律K+mg=m等④

(2).當(dāng)Vc=招漉時(shí)小球恰能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道的支持力為0

由牛頓第二定律mg=772曾。⑤

rt

(3).當(dāng)J硒<vc<J硒時(shí)小球不能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運(yùn)動(dòng)

離開圓周，且。越大離開的位置越高，離開時(shí)軌道的支持力為0

在LL4段射重力與半徑方向的夾角為。則mgcos。=m*、cos3=與

(4).當(dāng)0<%</礪時(shí)小球不能通過最高點(diǎn)A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上

升的最高點(diǎn)為。永不脫離軌道

［問題2］常見幾種情況下物體受軌道的作用力

(1)從最高點(diǎn)人點(diǎn)靜止釋放的小球到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒mg2R=■癰

在。點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：FN-mg=m當(dāng)?shù)?=5mg@

(2)從與O等高的。點(diǎn)(四分之一圓弧)處靜止釋放到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒mgR=^mvl

在。點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：FN-mg=m號(hào)得瑪=3mg⑦

(3)從人點(diǎn)以初速度心=4gR釋放小球到達(dá)最低點(diǎn)

由機(jī)械能守恒mg2J?=-^-mvc一~

在。點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：圖—mg=m*

得FN=6mg⑧

案例剖析

.

til（2023上?安徽?高三校聯(lián)考期中）“旋轉(zhuǎn)秋千”是游樂園里常見的游樂項(xiàng)目，如圖甲所示，其基本裝置是將

繩子上端固定在轉(zhuǎn)盤的邊上,繩子下端連接座椅,游客坐在座椅上隨轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)而在空中飛旋。若將“旋轉(zhuǎn)

秋千”簡(jiǎn)化為如圖乙所示的模型，人和座椅看作質(zhì)點(diǎn)，總質(zhì)量約為館=80kg,圓盤的半徑為R=2.5m,繩

長(zhǎng)L=仞2,圓盤以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩子與豎直方向的夾角為0=45°,若圓盤到達(dá)最高位置時(shí)離地

面的高度為九=22.5館,重力加速度g取lOm/s??在游玩過程中，游客的手機(jī)不慎從手中自由滑落。忽略空

氣阻力的影響，求：

（1）手機(jī)滑落瞬間的速度大??；

（2）手機(jī)落地點(diǎn)距離中心轉(zhuǎn)軸的距離。

圖甲圖乙

血］2（2023上?黑龍江佳木斯?高三校聯(lián)考期中）如圖，在豎直平面內(nèi)，一半徑為R的光滑圓弧軌道和水平

軌道P4在A點(diǎn)相切，BC為圓弧軌道的直徑，O為圓心，04和OB之間的夾角為％sina=，一質(zhì)量

5

為m的小球沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道通過C點(diǎn)，落至水平軌道;在整個(gè)過程中，除受到重

力及軌道作用力外,小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在。點(diǎn)所受合力的方向指向圓心，且此

時(shí)小球?qū)壍赖膲毫η『脼榱?。重力加速度大小為g。（提示:可以嘗試把小球所受合力看作新的重力）

求：

（1）水平恒力的大小和小球到達(dá)。點(diǎn)時(shí)速度的大??；

（2）小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)動(dòng)量的大??；

吼且（2023?北京市海淀區(qū)一模）如圖所示，輕桿的一端固定在通過。點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一小球，輕

桿繞。點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中A點(diǎn)為最高點(diǎn)，。點(diǎn)為最低點(diǎn)，B點(diǎn)與。點(diǎn)

等高，下列說法正確的是（）

A.小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，所受桿的作用力一定豎直向下

B.小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí),所受桿的作用力沿著30方向

C.從A點(diǎn)到。點(diǎn)的過程，小球重力的功率保持不變

D.從A點(diǎn)到。點(diǎn)的過程，桿對(duì)小球的作用力做負(fù)功

【提煉總結(jié)】解決豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的三點(diǎn)注意

1.豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)通常為變速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力沿半徑方向的分力提供向心力，在軌跡上某點(diǎn)對(duì)物體進(jìn)

行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出向心力方程。

2.注意臨界問題:物體與軌道脫離的臨界條件是夙=0或瑪=00

3.求物體在某一位置的速度,可根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律，將初、末狀態(tài)的速度聯(lián)系起來。

題￡（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示，被鎖定在墻邊的壓縮彈簧右端與質(zhì)量為0.2kg、靜止于A點(diǎn)的滑

塊P接觸但不粘連,滑塊P所在光滑水平軌道與半徑為0.8m的光滑半圓軌道平滑連接于B點(diǎn),壓縮的彈

簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為2.8J,重力加速度取lOm/sz,現(xiàn)將彈簧解除鎖定，滑塊P被彈簧彈出，脫離彈簧后沖

上半圓軌道的過程中（）

D

AB

A.可以到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)O

B.經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力大小為9N

C.不能到達(dá)最高點(diǎn)。，滑塊P能到達(dá)的最大高度為1.35小

D.可以通過。點(diǎn)且在CD之間某位置脫離軌道,脫離時(shí)的速度大小為2.2m/s

綜合應(yīng)用

題目工（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示,質(zhì)量為小的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內(nèi)，它

和球心。的連線與豎直方向的夾角為30°?，F(xiàn)讓球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸一起轉(zhuǎn)動(dòng),物塊在球殼內(nèi)始終未

滑動(dòng)，重力加速度大小為。,則（）

A.靜止時(shí)物塊受到的摩擦力大小為猙mg

B.若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為J嚕,小物塊不受摩擦力作用

C.若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為藍(lán)，小物塊受到的摩擦力沿球面向下

D.若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為2丫^,小物塊受到的摩擦力沿球面向下

題目囪（2023上?山西忻州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示,長(zhǎng)度為Z的輕繩一端固定在。點(diǎn),另一端系著一

個(gè)質(zhì)量為m的小球，當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，獲得一個(gè)水平向右的初速度2四,重力加速度為g,不計(jì)空氣

阻力。在此后的運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是（）

T。

O—>vo

A.小球恰好能到達(dá)豎直面內(nèi)的最高點(diǎn)

B.當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最右端時(shí)，小球所受的合力大小為2mg

C.輕繩第一次剛好松弛時(shí),輕繩與豎直方向夾角的余弦值為4

D.初狀態(tài)在最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對(duì)小球的拉力大小為4mg

題目叵〕（2023?寧夏石嘴山?高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，小球m在豎直放置的光滑圓形

管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),下列說法中正確的有（）

A.小球通過最高點(diǎn)的最小速度為］g（R+r）

B.小球通過最高點(diǎn)的最小速度為零

C.小球在水平線ab以上管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力

D.小球在水平線就以下管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球可能無作用力

題目④（2023上?山東德州?高三統(tǒng)考期中）如圖所示，一半徑為R的圓環(huán)處于豎直平面內(nèi)，A是與圓心等高

點(diǎn)，圓環(huán)上套著一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的、質(zhì)量為m的小球?，F(xiàn)使圓環(huán)繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，小球和圓環(huán)圓心。的

連線與豎直方向的夾角記為。，轉(zhuǎn)速不同，小球靜止在圓環(huán)上的位置可能不同。當(dāng)圓環(huán)以角速度0勻速轉(zhuǎn)

動(dòng)且小球與圓環(huán)相對(duì)靜止時(shí)（）

C.若小球與圓環(huán)間的摩擦因數(shù)為〃，且小球位于A點(diǎn)，則角速度?？赡艿?=，詈

D.若小球與圓環(huán)間的摩擦因數(shù)為〃，且小球位于A點(diǎn)，則角速度?？赡艿扔?。=J1

題目回（2023上?重慶梁平?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落,好像軌

道對(duì)它施加了魔法一樣,被稱為“魔力陀螺”。其物理原理可等效為如圖乙所示的模型:半徑為R的磁性圓

軌道豎直固定，質(zhì)量為小的小鐵球視為質(zhì)點(diǎn)在軌道外側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩點(diǎn)分別為軌道上的最高、最低點(diǎn)，鐵

球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變,重力加速度為g,不計(jì)摩擦和空氣阻力，下列說法正確的是

A.鐵球可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

B.鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能不守恒

C.鐵球在A點(diǎn)的速度一定大于或等于癡反

D.要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg

【題目回（多選）（2024?四川成都?校考一模）如圖所示,傾角為30°的斜面體置于粗糙的水平地面上,斜面上有

一質(zhì)量為4m的滑塊，通過輕繩繞過光滑的滑輪與質(zhì)量為m的帶正電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）相連，滑輪下方

有一個(gè)光滑的小孔，輕繩與斜面平行。小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),輕繩與豎直方向的夾角也為30°。斜面

體和滑塊始終靜止，滑塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為乎，小球與小孔之間的繩長(zhǎng)為乙,重力加速度為9,下列說

法正確的是（）

A.斜面體所受到地面的摩擦力大小為mg

B.若增大小球的轉(zhuǎn)速，繩子對(duì)小孔的作用力減小

C.若增大小球的轉(zhuǎn)速,小球能達(dá)到的最大轉(zhuǎn)速為上、序

D.若此時(shí)在空間加上豎直向下的電場(chǎng)，要使小球的轉(zhuǎn)速不變，則小球到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離增大

額目叵〕（多選）.（2023上?陜西咸陽?高三統(tǒng)考期中）如圖所示,在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體人和

mA—4kg,mB—1kg,它們分居在圓心兩側(cè)，與圓心距離為rA—0.1m,rB—0.2m,中間用細(xì)線相連，4B與

盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=0.2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，若圓盤從靜止開始繞中心轉(zhuǎn)軸非常緩慢

地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，g=10m/s2,以下說法正確的是（）

A.B的摩擦力先達(dá)到最大

B.當(dāng)s=2A/5rad/s時(shí),繩子出現(xiàn)張力

C.當(dāng)。=，期rad/s時(shí)，兩物體出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)

D.當(dāng)。=52rad/s時(shí)，兩物體出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)

題目瓦（多選）（2024?湖南株洲?統(tǒng)考一模）如圖，質(zhì)量為機(jī)的電動(dòng)遙控玩具車在豎直面內(nèi)沿圓周軌道內(nèi)壁以

恒定速率級(jí)運(yùn)動(dòng)，已知圓軌道的半徑為五,玩具車所受的摩擦阻力為玩具車對(duì)軌道壓力的k倍,重力加速度

為g,P、Q為圓軌道上同一豎直方向上的兩點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，運(yùn)動(dòng)過程中，玩具車（）

A.在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小之差為6mg

B.通過P、Q兩點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小之和為圓管

C.由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)克服摩擦力做功為如mid

D.由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)電動(dòng)機(jī)做功為2k7imv2+2mgR

題目⑥侈選）（2023上?四川綿陽?高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在X星球表面宇航員做了一個(gè)實(shí)驗(yàn):如圖甲

所示,輕桿一端固定在。點(diǎn)，另一端固定一小球,現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)

到最高點(diǎn)時(shí),受到的彈力為F,速度大小為“，其F-d圖像如圖乙所示。已知X星球的半徑為耳）,引力常

A.X星球的第一宇宙速度g=

B.X星球的密度p=,九

4兀G%

。*星球的質(zhì)量河=桀

Gr/t

D.環(huán)繞X星球的軌道離星球表面高度為凡的衛(wèi)星周期T=4兀

［題目I（多選）（2023上?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示,在豎直平面內(nèi)固定有半徑為R的光滑圓弧

軌道ABC,其圓心為。，B點(diǎn)在0的正上方，4、。點(diǎn)關(guān)于OB對(duì)稱，AAOB=a.可看成質(zhì)點(diǎn)的物塊自A

點(diǎn)以初速度。。沿著軌道切線方向向上運(yùn)動(dòng),并且能沿軌道運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)。已知重力加速度為g,sin37°=

0.6,下列說法正確的有（）

B

>C

6*

A.若&=37°,則物塊在人點(diǎn)初速度可能為

B.若4=37°,則物塊在人點(diǎn)初速度可能為

C.若2=53°,則物塊在人點(diǎn)初速度可能為

D.若&=53°,則物塊在人點(diǎn)初速度可能為

題目Q1（多選）（2023上?湖南?高三校聯(lián)考期中）如圖所示,半圓豎直軌道與水平面平滑連接于B點(diǎn),半圓軌

道的圓心為O,半徑為五，。為其最高點(diǎn)。BD段為雙軌道，。點(diǎn)以上只有內(nèi)軌道，。點(diǎn)與圓心的連線與水

平方向夾角為仇一小球從水平面上的A點(diǎn)以一定的初速度向右運(yùn)動(dòng)，能沿圓弧軌道恰好到達(dá)。點(diǎn)。不計(jì)

一切摩擦。則（）

c

D

A.小球到達(dá)。點(diǎn)時(shí)速度為0

B.小球到達(dá)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)落在地面上

C.小球在A點(diǎn)的初速度為J硒

D.若小球到達(dá)。點(diǎn)時(shí)對(duì)內(nèi)外軌道均無彈力，則sin。=

題目衛(wèi)1（多選）（2023上?四川綿陽?高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，固定在豎直面內(nèi)的光滑

軌道ABC由直線段和圓弧段BC組成，兩段相切于B點(diǎn)，段與水平面夾角為。，BC段圓心為O,

最高點(diǎn)為。、人與。的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點(diǎn)以初速度加上軌道，能沿軌道運(yùn)動(dòng)恰

好到達(dá)。點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.小球從B到。的過程中，對(duì)軌道的壓力逐漸增大

B.小球A從到C的過程中，重力的功率先增大后減小

C.小球的初速度2=J硒

D.若小球初速度g增大,小球有可能從B點(diǎn)脫離軌道

題目J3（2023上?湖北?高三荊門市校聯(lián)考階段練習(xí)）生產(chǎn)流水線可以提高勞動(dòng)效率，下圖是某工

廠生產(chǎn)流水線的水平傳輸裝置的俯視圖，它由同一水平面的傳送帶和轉(zhuǎn)盤組成，每間隔0.2秒在A處無初

速放一個(gè)物品到傳送帶上，物品（可視為質(zhì)點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)到B處后進(jìn)入勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤表面，隨其做半徑R=

2.0m的圓運(yùn)動(dòng)（與轉(zhuǎn)盤無相對(duì)滑動(dòng)）,到。處被取走裝箱，已知A、B的距離L=6.4機(jī)，物品與傳送帶間的

動(dòng)摩擦因數(shù)〃尸0.5,傳送帶的傳輸速度和轉(zhuǎn)盤上與轉(zhuǎn)軸°相距為△處的線速度均為v=2.0m/s，取9=

10m/s2，問：

（1）物品從A處運(yùn)動(dòng)到5處的時(shí)間t多大？

（2）若物品在轉(zhuǎn)盤上的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，則物品與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃2至少為多大？

題目工（2023上?江蘇鹽城?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示,質(zhì)量為m的茶杯（視為質(zhì)點(diǎn)）放在水平餐桌的

轉(zhuǎn)盤上，茶杯到轉(zhuǎn)軸的距離為r,轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒鐘轉(zhuǎn)n周，茶杯與轉(zhuǎn)盤保持相對(duì)靜止。求：

（1）茶杯所受的摩擦力大小八

（2）每轉(zhuǎn)半周茶杯的動(dòng)量變化量大小幽。

題目J5（2024?四川自貢?統(tǒng)考一模）如圖，在豎直平面內(nèi)，固定有半徑品=1機(jī)和半徑上=0.3巾的光滑圓形

軌道,他們軌道弧長(zhǎng)分別占圓周的J和;，圓軌道與水平軌道分別相切于B點(diǎn)和。點(diǎn),且平滑連接。某時(shí)

亥U,讓質(zhì)量為mi=0.1kg,不帶電的絕緣小滑塊P從A點(diǎn)靜止釋放，經(jīng)圓軌道滑至B點(diǎn)，從B點(diǎn)進(jìn)入水平軌

道,與靜止在C點(diǎn)、的帶電小滑塊Q發(fā)生彈性碰撞，滑塊Q的質(zhì)量為巾2=0.1kg,電荷量為q=+lC=整個(gè)過

程中滑塊Q的電荷量始終保持不變，滑塊P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)，與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=

0.LBC間距±=2巾，CD段光滑?；瑝KQ從。點(diǎn)進(jìn)入光滑軌道DMN時(shí)，此時(shí)加入水平向右范圍足夠大

的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=V^N/C。已知重力加速度9=lOm/s?。求：

（1）小滑塊P剛到j(luò)滑道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)圓軌道的壓力；

（2）小滑塊P與小滑塊Q碰撞后Q的速度大小為多少？

（3）通過計(jì)算判斷當(dāng)Q進(jìn)入光滑絕緣半圓軌道后是否會(huì)脫離軌道？若不會(huì)，則求經(jīng)過N點(diǎn)的速度大

小;若會(huì)，試求Q離開半圓軌道時(shí)的速度大小為多少？（計(jì)算結(jié)果可用根式表示）

題|豆,（2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三呼和浩特市回民中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示,質(zhì)量為m的小球通

過長(zhǎng)度為五的輕繩懸掛于固定點(diǎn)現(xiàn)將其拉到某一高處A點(diǎn)（讓繃直）并由靜止釋放，當(dāng)小球擺動(dòng)到

O點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí),繩恰好斷掉,之后小球恰好垂直落到斜面CD上，已知斜面傾角為個(gè)=30°,OBC三點(diǎn)

在同一豎直線上，繩能承受的最大拉力為工mg,不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。求：

5

（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度%及釋放點(diǎn)距離B點(diǎn)的高度%;

（2）小球落到CD上的位置與。的距離s

10

o

、題目叵〕（2023上?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有一款彈球游戲的裝置如圖所示。平臺(tái)離地面的高為一

半徑為R、下端有一小缺口的豎直光滑圓軌道固定在平臺(tái)上，圓軌道的最低點(diǎn)與平臺(tái)邊緣重合。地面上的

彈射裝置將質(zhì)量為m的小球A以一定的速度斜射出，到最高點(diǎn)恰好射入平臺(tái),與放在圓軌道最低點(diǎn)的半徑

等大的小球B相撞。已知小球入與B碰撞前的速度大小為=2j硒，其中g(shù)為重力加速度。忽略空氣阻

力、小球的大小以及彈射裝置的高度。

（1）求彈射裝置與平臺(tái)邊緣的水平距離s；

（2）若在B上附著橡皮泥，球和泥總質(zhì)量為6,兩球碰撞后共同運(yùn)動(dòng)，求碰撞過程中損失的機(jī)械能E；

（3）若小球B的質(zhì)量為m”4、B的碰撞為彈性碰撞，碰撞后立即撤去球?qū)⑿∪笨谘a(bǔ)上，變成完整的圓軌

道，要使球B被碰后始終沿圓道運(yùn)動(dòng)，求神。的范圍。

題目［＞1（2023上?遼寧丹東?高三統(tǒng)考期中）粗糙水平地面AB與半徑7?=0.2m的光滑半圓軌道BCD平滑

連接,且在同一豎直平面內(nèi)，。是BCD的圓心。質(zhì)量m=0.1kg的小物塊在2.5N的水平恒力F的作用下,

從A點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)到半圓軌道上的B點(diǎn)時(shí)撤去恒力F。（小物塊與水平地面

間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.5,g=lOm/s,）求：

（1）若xAB=0.5小,小物塊運(yùn)動(dòng)到半圓軌道上的B點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的支持力的大?。?/p>

（2）若小物塊恰好能運(yùn)動(dòng)到半圓軌道上的。點(diǎn)，則間的距離此1s多大。

建目山（2023上?陜西西安?高三?？计谥校┤鐖D所示,水平粗糙軌道OB與處于豎直平面內(nèi)的半圓形光滑軌

道平滑連接，半圓的直徑與地面垂直,半圓形光滑軌道半徑R=0.5mo一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可

視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，小物塊恰好通過。點(diǎn)，并落回至A點(diǎn)，小物塊與地面間的動(dòng)摩

???

擦因數(shù)〃=0.1,重力加速度g=10m/s2o

⑴求A、B兩點(diǎn)間的距離；

（2）求彈簧被壓縮至A點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能；

（3）若改變半圓形光滑軌道的半徑,小物塊從。點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離也將改變,則R為多少時(shí),

水平距離有最大值？最大值為多少？

題目回（2023上?四川綿陽?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，不可伸長(zhǎng)、長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定在P點(diǎn)，

另一端系一質(zhì)量為小的小球。現(xiàn)將小球拉至細(xì)繩沿水平方向繃緊的狀態(tài)后，由靜止釋放，小球在豎直平面

內(nèi)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過某位置Q點(diǎn)，已知P、Q連線與水平面的夾角為心不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g。求：

（1）求小球在位置Q點(diǎn)時(shí)細(xì)繩對(duì)小球拉力T的大?。?/p>

（2）若小球在位置Q點(diǎn)時(shí)小球豎直分速度最大，求sin0的值。

題目叵（2023上?陜西商洛?高三校聯(lián)考期中）一豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑圓軌道如圖所示，一質(zhì)量為m

的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）在大小恒定、方向始終指向圓心的外力的作用下，在圓軌道外側(cè)沿著軌道做圓周運(yùn)

動(dòng)，當(dāng)小球通過最低點(diǎn)B時(shí)，小球的速度大小外=J硒（9為重力加速度大?。?，軌道對(duì)小球的彈力大小為

2mg,求：

（1）外力的大小；

（2）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受的彈力大小。

題目［22（2023?四川德陽?統(tǒng)考一模）為助力2025年全運(yùn)會(huì)，2023年11月25日-26日，粵港澳大灣區(qū)滑板公

開賽在廣州大學(xué)城體育中心滑板場(chǎng)順利舉辦,為大灣區(qū)市民群眾帶來了一場(chǎng)精彩紛呈的極限運(yùn)動(dòng)盛會(huì)。如

圖所示為一質(zhì)量機(jī)=50kg的運(yùn)動(dòng)員，從離水平地面高h(yuǎn)=7m的斜坡上靜止滑下,滑過一段水平距離后無

碰撞進(jìn)入半徑為五=5小、圓心角為。=53°的圓弧軌道BC,從。點(diǎn)沖出軌道后，在空中做出各種優(yōu)美動(dòng)作

后落于水平地面的。點(diǎn)。已知圓弧軌道的3點(diǎn)切線水平,運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中不計(jì)一切摩擦，同時(shí)將其視

為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6.求：

（1）運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),地面對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支持力大?。?/p>

(2)運(yùn)動(dòng)員從。點(diǎn)離開軌道至落地的過程，在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。X1)

6—■

77777777777

BD

??

國(guó)國(guó)運(yùn)前模整申臨界問題曲功與能

國(guó)顯

1.圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況

2.常見的圓周運(yùn)動(dòng)及臨界條件

3.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見問題與二級(jí)結(jié)論

______________W

模型講解

1.圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況

⑴接觸面滑動(dòng)臨界：吁=冗3

(2)接觸面分離臨界：琮=0。

(3)繩恰好繃緊：身=0；繩恰好斷裂：瑪達(dá)到繩子可承受的最大拉力。

2.常見的圓周運(yùn)動(dòng)及臨界條件

⑴水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

水平面內(nèi)動(dòng)力學(xué)方程臨界情況示例

水平轉(zhuǎn)盤上的物體

1

,干口,Ff=mct^r恰好發(fā)生滑動(dòng)

1__________:__________1

1

1

1

1

圓錐擺模型

7ngtan9—mrat2恰好離開接觸面

\、、一—」/

(2)豎直面及傾斜面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

輕繩模型

/，一一、

//、\2恰好通過最高點(diǎn)，繩的拉力

1\

/\最高點(diǎn)：弓+mg=m—

I,?;r

\1恰好為0

\1

\/

\/

輕桿模型

一一、、

/\2

/\恰好通過最高點(diǎn)，桿對(duì)小球

1\

1\最高點(diǎn)：mg+F—m—

1(.1

1'，1r

\1的力等于小球的重力

\/

\\//

!>J?M

帶電小球在疊加場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

關(guān)注六個(gè)位置的動(dòng)力學(xué)方程，最高

恰好通過等效最高點(diǎn)，恰好

點(diǎn)、最低點(diǎn)、等效最高點(diǎn)、等效最低

做完整的圓周運(yùn)動(dòng)

點(diǎn),最左邊和最右邊位置

等效法

傾斜轉(zhuǎn)盤上的物體

最高點(diǎn)：mgsin9±耳=mco'r

恰好通過最低點(diǎn)

最低點(diǎn)F)—mgsin9—ma^r

/

//

3.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)常見問題與二級(jí)結(jié)論

【問題1】一個(gè)小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，軌道的最高點(diǎn)記為人和最低點(diǎn)記為

。，與原點(diǎn)等高的位置記為B。圓周的半徑為R

要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在最高點(diǎn)A的向心力恰好等于重力時(shí)，由mg=m*可得u=的互①

對(duì)應(yīng)。點(diǎn)的速度有機(jī)械能守恒

mg2A=fmv^_得vc=j5gR②

當(dāng)小球在。點(diǎn)時(shí)給小球一個(gè)水平向左的速度若小球恰能到達(dá)與。點(diǎn)等高的。位置則由機(jī)械能守恒

mgR=-^mvi得vc=12gR③

小結(jié)：(1).當(dāng)觀〉〃硒時(shí)小球能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道向內(nèi)的支持力

由牛頓第二定律K+mg=m等④

(2).當(dāng)Vc=招漉時(shí)小球恰能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)受軌道的支持力為0

由牛頓第二定律mg=772曾。⑤

rt

(3).當(dāng)J硒<vc<J硒時(shí)小球不能通過最高點(diǎn)A小球在A點(diǎn)，上升至DA圓弧間的某一位向右做斜拋運(yùn)動(dòng)

離開圓周，且。越大離開的位置越高，離開時(shí)軌道的支持力為0

在LL4段射重力與半徑方向的夾角為。則mgcos。=m*、cos3=與

(4).當(dāng)0<%</礪時(shí)小球不能通過最高點(diǎn)A上升至CD圓弧的某一位置速度減為0之后沿圓弧返回。上

升的最高點(diǎn)為。永不脫離軌道

［問題2］常見幾種情況下物體受軌道的作用力

(1)從最高點(diǎn)人點(diǎn)靜止釋放的小球到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒mg2R=■癰

在。點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：FN-mg=m當(dāng)?shù)?=5mg@

(2)從與O等高的。點(diǎn)(四分之一圓弧)處靜止釋放到達(dá)最低點(diǎn)C：由機(jī)械能守恒mgR=^mvl

在。點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：FN-mg=m號(hào)得瑪=3mg⑦

(3)從人點(diǎn)以初速度心=4gR釋放小球到達(dá)最低點(diǎn)

由機(jī)械能守恒mg2J?=-^-mvc一~

在。點(diǎn)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：圖—mg=m*

得FN=6mg⑧

案例剖析

.

til（2023上?安徽?高三校聯(lián)考期中）“旋轉(zhuǎn)秋千”是游樂園里常見的游樂項(xiàng)目，如圖甲所示，其基本裝置是將

繩子上端固定在轉(zhuǎn)盤的邊上,繩子下端連接座椅,游客坐在座椅上隨轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)而在空中飛旋。若將“旋轉(zhuǎn)

秋千”簡(jiǎn)化為如圖乙所示的模型，人和座椅看作質(zhì)點(diǎn)，總質(zhì)量約為館=80kg,圓盤的半徑為R=2.5m,繩

長(zhǎng)L=仞2,圓盤以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩子與豎直方向的夾角為0=45°,若圓盤到達(dá)最高位置時(shí)離地

面的高度為九=22.5館,重力加速度g取lOm/s??在游玩過程中，游客的手機(jī)不慎從手中自由滑落。忽略空

氣阻力的影響，求：

（1）手機(jī)滑落瞬間的速度大小；

（2）手機(jī)落地點(diǎn)距離中心轉(zhuǎn)軸的距離。

圖甲圖乙

【答案】（l）5，^m/s;（2）15nz

【詳解】（1）設(shè)乘客和座椅的總質(zhì)量為m,繩子拉力為馬,對(duì)乘客和座椅整體進(jìn)行分析，有

Frcos3=mg,瑪sin。=+Esin。）

聯(lián)立，解得

co—V2rad/s

手機(jī)滑落瞬間的速度

v=+Lsin0）

解得

v=5V2m/s

（2）手機(jī)滑落后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有

h—Leos3=

解得

t=2s

則平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為

x=vt=10V2m

手機(jī)落地點(diǎn)距離中心轉(zhuǎn)軸的距離

s=J（R+Z/sin-y

解得

s=15m

血］2（2023上?黑龍江佳木斯?高三校聯(lián)考期中）如圖，在豎直平面內(nèi)，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平

軌道P4在人點(diǎn)相切，BC為圓弧軌道的直徑，。為圓心，。4和OB之間的夾角為sina=9一質(zhì)量

5

為小的小球沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道通過。點(diǎn)，落至水平軌道;在整個(gè)過程中，除受到重

力及軌道作用力外,小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點(diǎn)所受合力的方向指向圓心，且此

時(shí)小球?qū)壍赖膲毫η『脼榱?。重力加速度大小為g。(提示:可以嘗試把小球所受合力看作新的重力)

求：

(1)水平恒力的大小和小球到達(dá)。點(diǎn)時(shí)速度的大?。?/p>

(2)小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)動(dòng)量的大?。?/p>

【答案】⑴告mg,⑵叱跡

【詳解】(1)設(shè)水平恒力的大小為耳，小球到達(dá)。點(diǎn)時(shí)所受合力的大小為Fo由力的合成法則有

=tan。①

mg

F2=(mgy+片②

設(shè)小球到達(dá)。點(diǎn)時(shí)的速度大小為以由牛頓第二定律得

2

F=m4③

rt

由①②③式聯(lián)立解得

用=-|-mg④

懺⑤

(2)設(shè)小球到達(dá)4點(diǎn)的速度大小為上，作CD，P4,交P4于。點(diǎn)，由幾何關(guān)系得

DA=_Rsina@

CD=22(1+cosa)⑦

由動(dòng)能定理有

—mg-CD—號(hào)DA=-^-mv2-

由④⑤⑥⑦⑧式解得，小球在人點(diǎn)的動(dòng)量大小為

my/23gR向

p=mVi=---------(9)

【總結(jié)提升】解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的基本思路

I分析物體受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力來源T

|利用平行四邊形定則、正交分解法等表示出徑向合力|

一根據(jù)牛頓第二定律及向心力公式列方程

@18（2023?北京市海淀區(qū)一模）如圖所示，輕桿的一端固定在通過。點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一小球，輕

桿繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中A點(diǎn)為最高點(diǎn)，。點(diǎn)為最低點(diǎn)，B點(diǎn)與。點(diǎn)

等高，下列說法正確的是（）

A

/、、

//\\

//\\

------]

'\------------!/I

\\/'

\、?/

、?/

C

A.小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，所受桿的作用力一定豎直向下

B.小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí),所受桿的作用力沿著80方向

C.從A點(diǎn)到。點(diǎn)的過程，小球重力的功率保持不變

D.從A點(diǎn)到。點(diǎn)的過程，桿對(duì)小球的作用力做負(fù)功

【答案】。

2

【解析】小球經(jīng)過4點(diǎn)時(shí)，合外力提供向心力，則當(dāng)小球速度較小時(shí)有m號(hào)Vmg,則所受桿的作用力豎直

22

向上；當(dāng)小球速度較大時(shí)有叫■>mg,則所受桿的作用力豎直向下；當(dāng)小球速度滿足=mg時(shí)，則桿

對(duì)小球無作用力，故A錯(cuò)誤；

小球重力和桿的作用力的合力提供向心力，則小球在B點(diǎn)所受桿的作用力斜向右上方，故3錯(cuò)誤；

人點(diǎn)和。點(diǎn)處重力與速度方向垂直，則小球重力的功率為0,B點(diǎn)處重力與速度共線，故重力功率不為0,

則從4點(diǎn)到。點(diǎn)的過程，小球重力的功率先增大再減小，故。錯(cuò)誤；

A到C的過程中，重力做正功，根據(jù)動(dòng)能定理可知叫什用產(chǎn)△瓦=0,故桿對(duì)小球的作用力做負(fù)功，故。

正確。

【提煉總結(jié)】解決豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的三點(diǎn)注意

1.豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)通常為變速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力沿半徑方向的分力提供向心力，在軌跡上某點(diǎn)對(duì)物體進(jìn)

行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出向心力方程。

2.注意臨界問題:物體與軌道脫離的臨界條件是0=0或瑪=0。

3.求物體在某一位置的速度，可根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律，將初、末狀態(tài)的速度聯(lián)系起來。

皿￡（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示，被鎖定在墻邊的壓縮彈簧右端與質(zhì)量為0.2kg、靜止于A點(diǎn)的滑

塊P接觸但不粘連，滑塊P所在光滑水平軌道與半徑為0.8m的光滑半圓軌道平滑連接于B點(diǎn)，壓縮的彈

簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為2.8J，重力加速度取10m/s2，現(xiàn)將彈簧解除鎖定,滑塊P被彈簧彈出，脫離彈簧后沖

上半圓軌道的過程中（）

A.可以到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)。

B.經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力大小為9N

C.不能到達(dá)最高點(diǎn)。，滑塊P能到達(dá)的最大高度為1.35小

D.可以通過。點(diǎn)且在CD之間某位置脫離軌道,脫離時(shí)的速度大小為2.2m/s

【答案】BC

【詳解】設(shè)滑塊P恰能通過最高點(diǎn)。，則有

mg=m—vl

it

解得

vD—2V2m/s

則滑塊P從B點(diǎn)到D點(diǎn),根據(jù)動(dòng)能定理有

V/Q7~）__121，2

—mgX2R——mvD---mvB

解得滑塊在B點(diǎn)的動(dòng)能為

f

EkB=4J>2.8J

所以滑塊不能到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)O,故A錯(cuò)誤；

石.滑塊經(jīng)過6點(diǎn)時(shí)的速度大小為。以根據(jù)功能關(guān)系可得

j-i_12

E彈簧一%TTIVB

在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律可得

FN-mg=m^

聯(lián)立解得

FN=9N

根據(jù)牛頓第三定律可知對(duì)半圓軌道的壓力大小為9N,故B正確；

CD.滑塊在。點(diǎn)的重力勢(shì)能為

Ep'—mgR—0.2X10X0.8J=1.6J<2.8J

則滑塊可以通過。點(diǎn)且在CD之間某位置脫離軌道，此時(shí)的速度大小為0

E彈簧=3md+mgR（l+cos。）

根據(jù)牛頓第二定律可得

mgcosd^m^

K

聯(lián)立解得

9=60°,v=2m/s

滑塊離開軌道后做斜上拋運(yùn)動(dòng)

v=ncos30°=2x=V3m/s