四川省綿陽(yáng)某中學(xué)2021屆高三年級(jí)下冊(cè)4月熱身考試文科數(shù)學(xué)試題 含解析

綿陽(yáng)南山中學(xué)高2021級(jí)高三下期綿陽(yáng)三診熱身考試試題

數(shù)學(xué)（文科）

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)集合A=2<》<0},5={%]-14x41},則（）

A.B.{%|-2<%<1}

C{x|-l<x<0}D.{x|-2<x<l}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)并集的定義，即可求解.

【詳解】由4={刀|一2<%<0},5=何一1WxWl},可知,AuB=1x|-2<x<l}.

故選：D

2.已知復(fù)數(shù)z滿足_^=i2°24。為虛數(shù)單位），則目=（）

l+2i11

A.3B.73C.5D.75

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則、虛數(shù)單位乘方的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模定義進(jìn)行求解即可.

詳解】由二？=i2°24,

1+2i

則z=i20240+2i）=l+2i,

所以忖=A/12+22=非■

故選：D

3.在直角坐標(biāo)系中，向量。A=（l,-1）,03=（5,加）,0。=（7,3）,其中相eR,若A,三點(diǎn)共

線，則實(shí)數(shù)"2的值為（）

,35

A.—B.—7C.—D.2

53

【答案】c

【解析】

【分析】先由題意求得A3,AC,再利用向量共線的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)椤?=(1,—1),03=(5,加),0。=(7,3),

所以AB=OB_04=(4,加+1),AC=OC-OA=(6,4),

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，則A3,AC共線，

所以4x4=6(m+1),則加=：.

故選：C.

4.蘇格拉數(shù)學(xué)家科林.麥克考林(ColinMaclaurin)研究出了著名的Maclauin級(jí)數(shù)展開(kāi)式，其中一個(gè)為

—=l+x+x2+x3+x4+---+xn+---,據(jù)此展開(kāi)式，如圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果S約為(

1-x

T

-

2

i=i+\

B.1C.0.5D.0.25

【答案】B

【解析】

【分析】直接代入得s=+[3]++(1)，再利用麥克勞林公式即可.

【詳解】按照題中所給程序運(yùn)行:，=1時(shí)，

sf="=；+,),i=3,S=；+目+出…?=10000時(shí).

S=1+W+W++W,z=10001>N,退出循環(huán)，輸出S,

又—1+X+X+X+X++X+L,

1-X

令工.得：心

2

故選：B.

5.函數(shù)/（x）=（2+：°sx）e*的部分圖像大致為（）

-e2'+l

斗斗

A----B.=-^

x

斗斗

C./\D.」

一O一1----

Ox

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性排除A,B,再根據(jù)/（K）=（2+：：：；）e:

-〉0得至地

【詳解】因?yàn)?（耳=（2+：；：；）］定義域?yàn)镽,

（2+cosx）

xx

、［2+cos（-x）］eex（2+cosx）e

以町-e-2x+l—e2，+l-e2x+l—“X），

C2x

所以/（可為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除A,B；

x

e

因?yàn)?+cosx>0,ex>0,e2x>0,所以=（2+：一；）一>0，故C錯(cuò)誤，D正確,

故選：D.

6.已知等比數(shù)列｛an｝的第二項(xiàng)為1,貝々020<?2023”是“?2022<出024”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由充分性必要性的定義以及等比數(shù)列性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的第二項(xiàng)為1,所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)一定為正，

若。2020<%023，則一^=。>1，即4>1,

“2020

此時(shí)如=g2>l,故g022<4024,即充分性成立；

“2022

若。2022<。2024,則詠=^>］，所以4>1或4<T,

%022

此時(shí)4=g3>i或血型=［3<一1,所以見(jiàn)020<“2023不一定成立，即必要性不成立.

“2020%020

故選：A.

7.一般來(lái)說(shuō)，輸出信號(hào)功率用高斯函數(shù)來(lái)描述，定義為/（力=/口屋嚶*1，其中4為輸出信號(hào)功率最大值

（單位：mW）,尤為頻率（單位：Hz）,〃為輸出信號(hào)功率的數(shù)學(xué)期望，/為輸出信號(hào)的方差，3dB

帶寬是光通信中一個(gè)常用的指標(biāo)，是指當(dāng)輸出信號(hào)功率下降至最大值一半時(shí)，信號(hào)的頻率范圍，即對(duì)應(yīng)函

（x-2）2

數(shù)圖象的寬度?，F(xiàn)己知輸出信號(hào)功率為/（力=/0丁丁（如圖所示），則其3dB帶寬為（）

,^^,3處帶寬,^^：

-1012345

A.71^2B.47^2C.3^/iK2D.2^/21K2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定信息，列出方程并求解即可作答.

1（X-2）2-1-2）212

【詳解】依題意，由/（x）=『。，/（］）="--，得/°e2=；小即e「=2，

則有（x—2）2=21n2,解得（=2-J21n2,%=2+J21n2,

所以3dB帶寬為七—七=2J21n2.

故選：D

8.已知函數(shù)/（x）=3sina>x+4cosa>x（a>>0）在區(qū)間（0,兀）恰有兩個(gè)零點(diǎn)為、/，則/（%+/）的值為

A.4B.5C.-5D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式可得/（x）=5sin（°x+0）,然后結(jié)合條件代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

34

【詳解】因?yàn)?（x）=3sin?x+4coss=5sin（如+0）,其中coso=《,sin°=M，

且G>0,函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,兀）恰有兩個(gè)零點(diǎn)%、%2，

則《,即+修）=3兀-2。，

CDXX+（P-2TI'

4

所以/（須+W）=5sin[①（玉+W）+夕J=5sin（3兀-2。+夕）=5sin0=5x1=4.

故選：A

22

9.已知雙曲線C:3f—y2=37〃2的一條漸近線/與橢圓石：工+1=1（6?〉5〉0）交于4,B兩點(diǎn),若

ab

\F}F2\^\AB\,（月,心是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)），則E的離心率為（）

A.6—1B.當(dāng)

C.D.（-co,0）

【答案】A

【解析】

【分析】由題意求出雙曲線的漸近線，則可得NAO《=60。，由已知條件可得四邊形為矩形，則

卜0|=|0閭=|和|=0,|砍|=6°,再根據(jù)橢圓的定義列方程化簡(jiǎn)可求出離心率.

22

【詳解】由已知C:二一二=1,則雙曲線的一條漸近線/:>=氐，即NAO鳥(niǎo)=60。，

m3m

又國(guó)月即網(wǎng)=儂,且四邊形A43居為矩形，

所以|=Q閭=|4閭=c,則\AFX|=耳且『―=底,

又根據(jù)橢圓定義可知|A￡|+|A居|=gc+c=2a,

所以離心率e=（=￡+[=^T.

故選：A

10.已知拋物線y2=4x,弦AB過(guò)其焦點(diǎn)，分別過(guò)弦的端點(diǎn)A3的兩條切線交于點(diǎn)C,點(diǎn)C到直線A3

距離的最小值是（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)4（%,%）,5（%,為），設(shè)出過(guò)點(diǎn)過(guò)A處的切線方程與拋物線聯(lián)立，由A=0,得出其斜率，化簡(jiǎn)

點(diǎn)過(guò)A處的切線方程，同理得出點(diǎn)過(guò)8處的切線方程，根據(jù)題意得出點(diǎn)。的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式

可得出答案.

【詳解】設(shè)設(shè)過(guò)A處的切線方程是y—%=左（1—七），

聯(lián)立=左（*_/），y2=4x<y2---^+-^-4%,=0,

kk

由題意A=0,即與一3x+4y；=o/3—=0,k=—,

kkykJ%

則在A處的切線方程為=2為+2x,

同理，B處的切線方程為y2y=2%+2X,

設(shè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（毛,為），點(diǎn)。（5?0）在兩條切線上，

所以％及）=2%+2/，y2yo=2々+2/，則直線A3的方程是）%=2》+2%.

又A3過(guò)其焦點(diǎn)（1,0）,易知交點(diǎn)。的軌跡是x=—1,所以C（—1,%）,AB-.yy0=2x-2,所以交點(diǎn)C

I—2—-21/------r

到直線AB的距離是4=—/,+,

所以當(dāng)先=。時(shí)距離最小值為2.

故選：D

11.在一ABC中，角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,若A=^，（百一1卜inC=0tanAsin[C+；],

則（）

A.c<b<42cB.42c<b<s/3cC.6c<b<2cD.b>2c

【答案】A

【解析】

【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系以及三角恒等變換化簡(jiǎn)（、石-1卜inC=J5tanAsin[c+￡）,可得

sinB=（V3cosA-sinA）sinC,再利用正弦定理角化邊可得=2sin",結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)推出

v'c30

/―1

2sin守（1/,即可得答案.

【詳解】由題意知（石一1卜inC=tanAsin[c+,

11

故（百一0sinC=J^?s’'.^^sinC+^^cosC,

\'cosAI22）

則在sinCcosA=sinAsinC+sinAcosC+sinCcosA

=sinAsinC+sin（A+C）=sinAsinC+sinB,

故51口5=（6（3054-5111人）5苗。，即^—=^cosA-sinA

'7sinC

兀mb_.f7t八c.7兀

又A=—,則——2sin----A—2sin—,

10cUJ30

，十兀57177171故"嗚（s崎<，嗚=今即2si礙e（1,夜）

由于一=—<—<—,

630304

**?c<b<A/2C，

故選：A.

12.已知函數(shù)/(1)=2*+2一，+cos%+%2,若］=/(血)，b=于(—最)，c=/(兀片)，貝I()

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

Inx

【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)判斷了⑺的奇偶性與單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=——，利用導(dǎo)數(shù)

X

判斷得23<3<￡，從而得解.

【詳解】因?yàn)?(%)=2,+2r+cosx+x2的定義域?yàn)镽,

又/(-%)=2T+2X+cos(-%)+(-%)-=2*+2~x+cosx+x2=/(%)，

所以/(x)是偶函數(shù)，

又f'(x)=(2*-2-x)In2+(2x-sinx)，

令/z(x)=2%-sinx,則//(x)=2-cosx>0恒成立，

所以當(dāng)x>0時(shí)，A(%)>/z(0)=0,即2x—sinx>0,

又y=2X-2r在(0,+")上單調(diào)遞增，所以y=2工—2-x〉20-2°=0,

所以尸(尤)>0在(0,+“)上恒成立，則于(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=^^,則g<x)=l

XX

令g'(x)>0,得0<x<e,令g'(x)<0,得％〉e,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

「In2In4

所以g(4)<g3)<g(e),又——=——

24

.In2In4InnIne.iii

所以一=—<—<——，所以熨

24兀e2<兀<e

所以所以"c”.

故選：B.

第II卷(非選擇題，共90分)

二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）

y<x

13.已知羽丁滿足線性約束條件（y—2x+220,若2=!工+丁，則z的最大值為.

x>0

【答案】3

【解析】

【分析】首先畫(huà)出可行域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】如圖，畫(huà)出不等式組表示的可行域，再令z=0,畫(huà)出初始目標(biāo)函數(shù)y=-

當(dāng)初始目標(biāo)函數(shù)平移至點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

y=x/、1

聯(lián)立/0°,得x=y=2,即4（2,2）,則z=—義2+2=3.

y=2x-21mx2

14.若命題“HxeR,2工一。=0”為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】伍1。<。｝

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，推得VxeR,2工-a/0為真命題，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域的范圍，即可求解.

【詳解】命題“HxeR,2*—a=O”為假命題,

則VxeR,2工一。/0為真命題，又2*>0

貝1JaW0,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為｛aIa<0｝.

故答案為：｛a[a<。｝.

15.已知圓G：/+y2=3,圓。2：(%-1)2+(丁—2)2=3,直線/：y=x+2.若直線/與圓C1交于A,3兩

點(diǎn)，與圓。2交于RE兩點(diǎn)，M,N分別為的中點(diǎn)，則|MN|=

【答案】-V2

2

【解析】

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，以及兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓G，C2的半徑為小馬，由題可得：C1(O,O),C2(l,2),/I=/;=V3,

故|。102|=JE+22=后,滿足o=g-司<|GG|<|G+用=26，故兩圓相交,

連接C2MGM，過(guò)C2作垂足為"，如下圖所示:

,QM=*=3,

則|GM=|G"HGN|=等，又CGI=近，

在直角三角形中，

由勾股定理可得MM=\C2H\==卜―；=孚.

故答案為：一

2

16.已知長(zhǎng)方體ABC。-4百6。|中，側(cè)面3CC用的面積為2,若在棱AD上存在一點(diǎn)使得

為等邊三角形，則四棱錐舷-BCG4外接球表面積的最小值為.

【答案】-71

3

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的特征，確定四棱錐外接球的球心，結(jié)合長(zhǎng)度和幾何關(guān)系,基本不等式確定半徑的最小

值，即可求解.

【詳解】如圖，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)又是的中點(diǎn)，設(shè)則

AD5C=x,=H1%,CG=2,點(diǎn)N是

2X

的中點(diǎn)，

M

B

由底面矩形BCG4的對(duì)角線的交點(diǎn)H作底面3。。1片的垂線，過(guò)等邊三角形MBC的中心G作平面

MBC的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。是四棱錐腸-BCG與外接球的球心,

OH=GN=B

6

R2=OB2=OH

3九23

當(dāng)1必=4,即時(shí)，等號(hào)成立，則R2的最小值為漢I,

3x3

所以四棱錐M-BCG4外接球表面積的最小值為還兀.

3

故答案為：8粗矛

3

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.2023年12月25日，由科技日?qǐng)?bào)社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評(píng)選出的2023年國(guó)內(nèi)十大科技新

聞揭曉.某高校一學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了本校100名學(xué)生對(duì)這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分

組，得到如下列聯(lián)表:

不太了解比較了解合計(jì)

男生204060

女生202040

合計(jì)4060100

（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異；

（2）若把這100名學(xué)生按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，則這2

人中至少有1人為女生的概率.

附:

①/二n(ad-bc}

其中〃=a+b+c+d；

"(a+b)(c+d)(a+c/b+d)

②當(dāng)z2>3.841時(shí)有95%的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián).

【答案】（1）沒(méi)有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異

【解析】

【分析】（1）首先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，代入公式求力之，再與臨界值3.841比較大小，即可判斷；

（2）首先將抽到的學(xué)生編號(hào)，再采用列舉的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得2=10°義（20義20-20義40）=—?2,778<3,841-

40x60x40x609

所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異

【小問(wèn)2詳解】

這100名學(xué)生中男生60人，女生40人，按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，則抽取的男生有3人,

女生有2人，

設(shè)男生為A，4,4；女生為耳，人.

則從這5人中選出2人的組合有（A，4）,（a，A）,（A，4）,（4心），（4，A）,（4,4），（4也）,

（A，4）,（4，B2）,（耳,與）共IO種,

其中至少有1人為女生的組合有（4,4），（4，員）,（4,4），（4也）,（4,4），（4也），（4也）

共7種，

7

故所求概率為尸=一.

10

（、33a

18.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=不，且滿足4+1=五七.

（1）求證：數(shù)列<,-1>為等比數(shù)列；

1%J

1111c…

（2）若一+—+—++—<2024,求滿足條件的最大整數(shù)幾

YI

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）2023

【解析】

11121if1

【分析】（1）對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)得一?一+丁，變形為-----1=--—1,然后根據(jù)等比數(shù)列

%3??3an+i3”）

定義證明即可；

（2）由（1）可得」-=2?1工）+1,利用分組求和思想求和后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求解.

413,

【小問(wèn)1詳解】

3a12丑=」+2,

4+1—0,1,一"

2%+14+i3a”3an3

,1,112,

可得-----1=--------1-----1=

an+i3a”331%）

31,21121

又由q=一,所以--1=三，則數(shù)列一-1表示首項(xiàng)為：，公比為—的等比數(shù)列.

5333

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可得2—1=2x（』]=,所以工=2-（g]+1.

設(shè)數(shù)列<—>的前n項(xiàng)和為Sn

+F

+n=n+l-—>

3n

若S“<2024,gpzi+1-—<2024,因?yàn)楹瘮?shù)y=x+1—1■為單調(diào)遞增函數(shù),

所以滿足Sn<2024的最大整數(shù)n的值為2023.

19.在邊長(zhǎng)為。的正方形ABCD中，E,尸分別為BC,CD的中點(diǎn)，M、N分別為A3、C尸的中點(diǎn)，現(xiàn)

沿AE、AF>石尸折疊，使8、C、。三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐5—AEF,如圖所示.

（1）在三棱錐3—AE尸中，求證：AB±EF；

（2）求四棱錐E—AA小丁的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

13

（2）-CT.

32

【解析】

【分析】（1）利用線線垂直可得線面垂直；

31

⑵根據(jù)題意得到通過(guò)乙BEF《ZBEFXAB計(jì)算即可?

【小問(wèn)1詳解】

在三棱錐3—A石’尸中，

因?yàn)锳B±BF,BF=B,BE,BFu面BEF,

所以AB1面5防.又EFu平面BEF,

所以

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)樵赯VLBE中，M,N分別為AB、毋'的中點(diǎn),

3

所以四邊形AMNF的面積是AABF面積的一?

4

又三棱錐E—A*與四棱錐E-AMNF的高相等，

3

所以，四棱錐石-AAWF的體積是三棱錐石一Aar的體積的一，

4

3

因?yàn)閂E-ABF=VA-BEF,所以VE-AMNF=H匕-8所?

3

因?yàn)樨癛FF=-S/.RFFxAB=—x—xBExBFxAB=—a.

7A_oc,r3△ZJCF322yl

31313

所以匕MMNF》a=32a,

13

故四棱錐E—AAWF的體積為一/.

32

20.已知函數(shù)/'(x)=e*-aln—.

⑴若a=e,求〃尤)的極小值；

(2)若對(duì)任意xe(0,+oo)aG(0,4w),不等式/(x)?加恒成立，求人的最大值.

【答案】(1)/(l)=2e

(2)2

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極小值的定義求出即可；

(2)參變分離后，利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求得人的取值范圍，繼而求解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=e時(shí)，/(x)=eA-elnx+e,

所以廣(%)=4一一,xe(O,+oo),

X

易知/'(九)在(0,+“)上單調(diào)遞增，且/'⑴=0,

所以當(dāng)X?0,1)時(shí)，/(x)<oj(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)XG(1,-K?)時(shí)，/(%)>0,/(%)在(1,-H?)上單調(diào)遞增，

所以/(%)在x=1處取得極小值f(1)=2e.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椤?gt;0,

所以“x”上恒成立等價(jià)于G-In2”恒成立.

aa

設(shè)g(x)=^——In—,貝!)g，(x)=^———

aaax

易知g，(x)=2―工在(0,+")上單調(diào)遞增，

ax

且當(dāng)XfO時(shí)，g'(x)—T?,當(dāng)Xf+00時(shí)，g〈X)f+CO,

所以g'(X)在(0,+8)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)X。，

「與11

即g'(%o)=-------二°，---=一(*)，

axGax0

當(dāng)xe(O,5)時(shí)，8，(力<0遙(力在(0,%)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(%+oo)時(shí),g[x)>O,g(x)在伉,+oo)上單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g(%o)-

結(jié)合(*)式，可知:

^(%o)=￡l-ln^=—+ln—+ln?

aaaxG

1e/1_

----FIn---FIna----FN2,

x0axQ

當(dāng)且僅當(dāng)％0=l，Q=e時(shí)取等號(hào),

即當(dāng)a=e時(shí)，g(x)的最小值為2,

要使g(x)2次恒成立,須左W2,

即k的最大值為2.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論:

(1)恒成立1mx；

⑵a</(x)恒成立oaW/(xL.

21.如圖，已知曲線C|是以原點(diǎn)。為中心、耳,心為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線。2是以原點(diǎn)。為中心，

耳,巴為焦點(diǎn)的雙曲線的一部分，A是曲線C|和曲線。2的交點(diǎn)，且/4工片為鈍角，我們把曲線G和曲線

。2合成的曲線C稱(chēng)為“月蝕圓”.設(shè)A（2夜，而），耳（—2,0）名（2,0）.

（1）求曲線G和。2所在的橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過(guò)點(diǎn)B作一條與x軸不垂直的直線，與“月蝕圓”依次交于B,C,D,E四點(diǎn)，記G為CQ的中點(diǎn),

CD\\HF

“為BE的中點(diǎn).問(wèn):2是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

BE\\GF2

.2,2,2,2

【答案】（1）橢圓C1所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+二=1,雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-匕=1

161222

局\CD局\-\是HFJ定值,為苧也理由見(jiàn)解析

(2)

【解析】

22

【分析】（1）設(shè)橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+當(dāng)=l[a>b>0）,雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為

a2b2

22

__2_〃2〉0,”〉0）,根據(jù)A在曲線上、焦點(diǎn)坐標(biāo)可得答案;

m2n2

（2）設(shè)直線BE的方程為尤=切+2,5（不，（毛，％），。（％4，%），直線BE的方程與橢

圓方程、雙曲線方程分別聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出|x-%|、I%—%|，由g.|G閭轉(zhuǎn)化為

y+%

一%|2

1%化簡(jiǎn)可得答案.

2

【小問(wèn)1詳解】

V2y2

設(shè)橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+=1(6Z>/?>0),

ab2

Y2

雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為二m>0,?>0)，

mH2

tz2—b2=4m2+n2=4

所以可得《

868g=1'

=1

廳*n

a2=16m2=2

解得《

b2=12n2=2

,2,2,2,2

所以橢圓C所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1,雙曲線G所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-匕=1；

161222

【小問(wèn)2詳解】

\CD\-\HF2\正

［二是定值，為注，理由如下，

\BE\-\GF2\4

2222

由（1）橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+工=1,雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-匕=1,

161222

因?yàn)橹本€班與“月蝕圓”依次交于8,C,D,E四點(diǎn)，所以直線班的斜率不為0,

設(shè)直線班的方程為％=沖+2,5（%%）,￡（9,%），。（七，%），。（修，為），

22

雙曲線土—2L=1的漸近線方程為y=±x,所以加?！?，

22

%3+%4%+%

可得G,H%+%2X+%

2222

%=my+2

直線BE的方程與橢圓方程聯(lián)立\X2y2，整理得

——+—=1

11612

加+4)/+12my-36=0,

—12m-36

所以%+%=——s，X%=——

3m2+41-3療+4

|="X+%)2-4%%=144m2144+1

所以陰一必=24

222

(3m2+4i3m+44

x=my+2

直線BE的方程與雙曲線方程聯(lián)立《x2V_,整理得

----------1

122

-1)y2+4mj+2=0,

—

所以i

16m28m2+1

2夜

所以舊一色2212，

m2—1?m—1m2—11

CDHFCD

\l_\RI1-y3-V42

BE-|G^|BE\\GF2\I%—%%+為

2

是定值YZ.

所以

忸斗4

>3-%|

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)是C由D|-后H扇K轉(zhuǎn)|化為

―--，再利用韋達(dá)定理.

%+為

2

請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

x=3cosa+3sina

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C