江西省南昌市安義中學2024屆高考數(shù)學一模試卷含解析

江西省南昌市安義中學2024屆高考數(shù)學一模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/(x)=sin(a)x+0(o>O,O<0<%)的圖象如圖所示，為了得到g(x)=cosox的圖象，可將九)的圖象

A.向右平移B個單位B.向右平移三個單位

612

C.向左平移二個單位D.向左平移9個單位

126

2.已知函數(shù)/(x)=妲(xeR),若關于x的方程/(尤)-機+1=。恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范

圍為()

A.(絲」)D.(1,"+1)

C.(1,—+1)

e2e

3.如圖，在正方體ABC?！?4cA中，已知E、F、G分別是線段AG上的點，且4石=石尸=RG=GQ.則下

列直線與平面平行的是()

B

A.CEB.CFC.CGD.CCX

4.已知函數(shù)/（x）=孚土.下列命題：①函數(shù)/（x）的圖象關于原點對稱；②函數(shù)Ax）是周期函數(shù)；③當x=g時，

X+12

函數(shù)”X）取最大值；④函數(shù)/（X）的圖象與函數(shù)＞=』的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

5.一小商販準備用50元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價4元，乙每件進價7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

6.已知拋物線。：/=4內（.〉0）的焦點為口，過焦點的直線與拋物線分別交于A、B兩點,與V軸的正半軸交于

點S,與準線/交于點T,且|E4|=2|AS|,則:^=（）

I八I

27

A.-B.2C.-D.3

52

7.《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“■一”表示一個陽爻，“■?■”表示一個陰爻）.若從含有兩個及以上陽

爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）

22

C.D.

4

8.將一塊邊長為acm的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成

一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為72j5cm3,則。

的值為（）

(1)⑵

A.6B.8C.10D.12

9.已知函數(shù)/(%)=忙2］+?—2)e%—%(Z>0),若函數(shù)/(%)在XER上有唯一零點，貝"的值為()

A.1B.工或0C.1或0D.2或0

2

10.已知實數(shù)%。滿足卜+丁-1?0,則z=x+2y的最大值為()

y^-1,

3

A.2B.-C.1D.0

2

11.若函數(shù)/(x)=xlnx—ox?有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.陷B.gjC.(1,2)D.(2,e)

12.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，若%4=3,貝!|log3%+log34++log3?10=()

A.l+log35B.6C.4D.5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

STTSTT71

13.四邊形ABC。中，ZA=——，NB=NC=——，ND=—,BC=2,則AC的最小值是.

6123

2

14.已知點歹為雙曲線E：%=1@〉0)的右焦點，M,N兩點在雙曲線上，且M,N關于原點對稱，若

7171

MFLNF,設ZMNF=0,且，e—,則該雙曲線E的焦距的取值范圍是_______.

126

15.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,X,8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為.

16.若函數(shù)〃x)=ax+lnx(aeR)的圖象與直線y=3x—l相切，則。=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設函數(shù)/(x)=7九e*-X?+3,其中WIGR.

(I)當/Xx)為偶函數(shù)時，求函數(shù)/?(%)=4(%)的極值;

(II)若函數(shù)/Xx)在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點，求心的取值范圍.

18.(12分)某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如

圖所示)，規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.

頻率

晉級成功晉級失敗合計

男16

女50

合計

(1)求圖中。的值；

(2)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關？

(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X,求X

的分布列與數(shù)學期望E(X).

2

,2n(ad—be),八

(參考公式：k=(a+,)(c+d)(q+c)S+d)，其中〃=a+b+c+d)

0.400.250.150.100.050.025

氏00.7801.3232.0722.7063.8415.024

19.(12分)已知曲線G：夕+=和。2：=(。為參數(shù)).以原點。為極點，x軸的正半軸

I6J2[y=V2sin^

為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.

(1)求曲線G的直角坐標方程和Q的方程化為極坐標方程；

(2)設a與％,y軸交于〃，N兩點,且線段MN的中點為尸.若射線o尸與q,G交于P，。兩點，求P，Q

兩點間的距離.

20.(12分)如圖，已知在三棱臺ABC—AgG中，AC=2AB=2,BC=6A5I1BBy-

(1)求證：AB±CCX.

(2)過A5的平面ABDE分別交用C，AC于點。，E,且分割三棱臺ABC-A31G所得兩部分幾何體的體積比

為VAAE-BBQ=%BC-BDG=4:3,幾何體ABC-EDC］為棱柱，求4耳的長.

提示：臺體的體積公式V=g(S'+JMM+S)/z(S',S分別為棱臺的上、下底面面積，//為棱臺的高).

21.(12分)在四棱椎尸—A3CD中，四邊形ABC。為菱形，PA=5,PB=J石，A3=6,POLAD,O,E

分別為AD,AB中點.440=60。.

(1)求證：AC±PE；

(2)求平面POE與平面P9所成銳二面角的余弦值.

22.(10分)如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，出工平面/^^底面”切滿足人?！ㄟ?AP=AB=BC=-AD=2,

2

ZABC=90°,E為AO的中點，AC與5E的交點為O.

(1)設〃是線段3E上的動點，證明：三棱錐H-PCD的體積是定值;

(2)求四棱錐尸-ABCD的體積；

(3)求直線與平面尸3。所成角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到/(x)=sin2x+1,結合圖像變換知識得到答案.

【詳解】

.,T7C7CTC

由圖象知：—=-------=—=>T=7i,??。二2?

212122

71

又x=一時函數(shù)值最大，

12

所以2x+夕=萬+2k兀=>+2kji.又(p￡(0,7T),

71

??0=y,從而/(x)=sin(2x+y1,g(力=cos2x=sin(2%+^—sin2xH----H—

32123

只需將〃龍)的圖象向左平移個單位即可得到g(X)的圖象，

故選C.

【點睛】

已知函數(shù)y=Asin(<ur+0)+5(A>O,o>O)的圖象求解析式

(1)IAl=>ax—mm,3=ymax+ymm.Q)由函數(shù)的周期7求0,T=2紇

1122m

(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求(P,一般用最高點或最低點求.

2、D

【解析】

討論尤>0,x=Q,x<0三種情況，求導得到單調區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

故竟，函數(shù)在W上單調遞增，在；，+，|上單調遞減，且”￡|=答

當%>0時,

當％=0時，/(0)=0;

當x<0時，/(%)=互，/'(x)=一與蕓<0,函數(shù)單調遞減;

ex2dxe

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則0<加—1</［工］=叵，故機e(L叵+1).

\2J2e2e

故選：D.

【點睛】

本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.

3、B

【解析】

連接AC,使AC交6D于點。，連接4。、CF,可證四邊形AOCE為平行四邊形，可得AO〃CR，利用線面平

行的判定定理即可得解.

【詳解】

如圖，連接AC,使AC交8。于點。，連接4。、CF,則。為AC的中點,

在正方體ABCD-A4GA中，A4〃CG且A4]=CG，則四邊形為平行四邊形,

.1.A^C^UAC且4G=AC,

。、廠分別為ac、AG的中點，二4/〃oc且AR=oc，

所以，四邊形為平行四邊形，則CF〃4。，

CF.平面A#。，A。u平面48。，因此，c尸〃平面45。.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題.

4、A

【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤；函數(shù)定義域為R,最值點即為極值點，由/

知③錯誤；令g（x）=/（%）—-，在％>0和x<0兩種情況下知g（x）均無零點，知④正確.

【詳解】

由題意得：/（九）定義域為E,

sin（一X）：sinx

八）（-x）2+lx2+l=一/（x）,，/（可為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，①正確;

；y=sinx為周期函數(shù)，y=x2+1不是周期函數(shù)，，/（九）不是周期函數(shù)，②錯誤；

/、（X2+l）cosx-2xsinx（仃、（仃、

"1）2,1口不是最值，

③錯誤;

1

1.1sinx—x—

令Ag（x）=/（x）.L岑—

-XX+1XX+1

當x>0時，sinx<x9—>0,/.g（x）<0,此時/（x）與y」無交點;

XX

當x<0時，sinx>x9—<0,.\g（x）>0,此時/（x）與y」無交點;

X%

綜上所述：/（X）與y=g無交點，④正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的

求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.

5、D

【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結合即可解決.

【詳解】

4x+7y<50,

設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別x,y利潤為z元，由題意*z=x+L8y,

.x,yeN,

畫出可行域如圖所示，

【點睛】

本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷％,y是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出

可行域，本題是一道基礎題.

6、B

【解析】

過點A作準線的垂線，垂足為與y軸交于點N,由|E4|=2|AS|和拋物線的定義可求得利用拋物線的性

112,,

質向+何=/可構造方程求得忸目，進而求得結果.

【詳解】

過點A作準線的垂線，垂足為AM與V軸交于點N,

由拋物線解析式知：E（p,O）,準線方程為％=-

I砌=2闋，??.鬻=；，???網(wǎng)|=；|叫=已喇=］，

419

由拋物線定義知：M司.?/As|=eM司=§p,；.|s耳=2°,

.?.網(wǎng)|=|S同=2p.

1121311,,

由拋物線性質］7石+五石=丁=一得：1+而后=一，解得：忸司=4〃，

\AF\\BF\2pp4p\BF\p11

.同一行.

故選：B.

【點睛】

本題考查拋物線定義與幾何性質的應用，關鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.

7、B

【解析】

基本事件總數(shù)為6個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為3個，由此求出概率.

【詳解】

解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，

取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共6個，其中符合條件的

基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共3個，

31

所以，所求的概率尸=二=一.

62

故選：B.

【點睛】

本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應用意識，屬于基礎題.

8、D

【解析】

推導出PM+7W=a,且PM=PN,MN^—a，PM=2,設MN中點為。，則尸0,平面ABC。，由此能表

22

示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值.

【詳解】

解：如圖(4),APACV為該四棱錐的正視圖，由圖(3)可知，PM+PN=a,且PM=PN=巴,由APMN為等

2

腰直角三角形可知，

MN^—a,設MN中點為。，則尸0,平面A3CD,二PO=LMN=?2a,

224

解得a=12.

故選：D

【點睛】

本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應用，屬于中檔題.

9、C

【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù)，當，>0時，只需/(—ln/)=o,即ln/二+l=0,令g⑺=ln/二+l,利用導數(shù)求其單調區(qū)間,

tt

即可求出參數(shù)f的值，當/=0時，根據(jù)函數(shù)的單調性及零點存在性定理可判斷；

【詳解】

解：?.?/(幻=得'+?—2)e'—x(Z>0),

f'(x)=2te2x+(7—2)e*—1=3—1)(2e，+1),.?.當/>0時，由f\x)=0得無=—Inf,

則/(x)在—In。上單調遞減，在(-In/,y)上單調遞增，

所以/(—In/)是極小值，.?.只需/(-In/)=0,

即3-；+1=。?令g⑺5-；+1,則g'(E+A。，.?.函數(shù)g⑴在(。收)上單

調遞增.???g(l)=O,.?"=1

當/=0時，f(x)^-2ex-x,函數(shù)/'(X)在R上單調遞減，???/⑴=—2e—1<0,/(-2)=2-2e-2>0,函數(shù)/Xx)

在R上有且只有一個零點，的值是1或0.

故選：C

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應用，屬于中檔題.

10、B

【解析】

作出可行域，平移目標直線即可求解.

【詳解】

解：作出可行域：

由z=x+c2y得m，V=——1x+—1z

22

由圖形知，丁=-工工+^2經(jīng)過點時，其截距最大,

此2時最大

22

<y=x得,5,cf-,-1

x+y-l=O1〔22)

V=2

1

X———

當；2時，123

故選：B

【點睛】

考查線性規(guī)劃，是基礎題.

11,A

【解析】

試題分析：由題意得了'(x)=lnx+l—2以=0有兩個不相等的實數(shù)根，所以尸(力=工-2。=0必有解，則。＞0,

且尸山〉0,...0＜aQ

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)極值點

【方法點睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略

(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導數(shù)為0的點，再判斷導數(shù)為。的點的左、右兩側的導數(shù)符號.

(2)已知函數(shù)求極值.求f，(x)—-＞求方程F(x)=0的根一-＞列表檢驗f，(x)在F(x)=0的根的附近兩側的符

號一一＞下結論.

(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(xo,yo)處取得極值，則f，(xo)=0,且在該點左、右兩側的導數(shù)值符號

相反.

12、D

【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質計算.

【詳解】

由題意logs。1+log3&2++log3aw=\og^axa2?10)

5

=log3(o5o6)=5log3(o5a6)=5log33=5.

故選：D.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的性質，考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質是解題關鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

&A/6+A/2

■1LJ、--------

2

【解析】

2sin—7i

在中利用正弦定理得出.八，進而可知，當時，人。取最小值，進而計算出結果.

AABC12AC=--------2=u

sinZCAB

【詳解】

.5".(7C7l\.7C7C71.71n+行

sin——=sin——I——=sin—cos——Feos—sin—=----------,

12^46J46464

如圖，在AABC中，由正弦定理可得W=.阮,

sinZBsmZCAB

[)

.5￡

9述+后

即AC=U，故當NC45=工時，AC取到最小值為

-------2-2

sinZCAB

故答案為：丁

【點睛】

本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.

14、[272,273+2]

【解析】

設雙曲線的左焦點為廣，連接MF；NF',由于所以四邊形尸NE0為矩形，故|入加|=怛尸|=2°,由雙

曲線定義INB|—|N尸|=|NP|—|FW|=2a可得,—管網(wǎng)外］，再求丁=&cos］，+的值域即可.

【詳解】

如圖，

設雙曲線的左焦點為廣，連接“‘，入/尸，由于所以四邊形尸MM為矩形,

故|M7V|=.]=2c.

在RtAA/FM中|FN|=2ccosO.\FM|=2csin0,

由雙曲線的定義可得

2=2a=\NF\-\NF|=|NF\-\FM\=2ccos6—2csin6=2y/2ccos(3+^]

1

Ceos]

臥畸牛嗚Ml

二冬〈怯0sH〈日

.-.A/2<c<73+1,2點<2C<26+2.

故答案為：[272,273+2]

【點睛】

本題考查雙曲線定義及其性質，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學生的運算能力，是一道中檔題.

15、1

【解析】

7+9+X+8+10

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得=9,解得x的值，進而由方差公式計算，可得答案.

5

【詳解】

根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7,9,x,8,10的平均數(shù)為9,

.7+9+x+8+10

則---------------=9,解得:x=ll,

則其方差S2=1[(7-9)2+(9-9)2+(11-9)2+(8-9)2+(10-9)2]=2.

故答案為：1.

【點睛】

本題考平均數(shù)、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出工的值，屬于基礎題.

16、2

【解析】

f'(x0)=<2+—=3

設切點4(%,%)由已知可得飛，即可解得所求.

/(x0)=axQ+lnx0=3XQ-1

【詳解】

設4(%,為)，因為/'(x)=a+L所以a+—=3,即時=3/一1,又為%=3%-1.所以In%=0,

即%=1,a=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度較易.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)極小值加-1)=一2,極大值/z(l)=2；(II)-2e<m<g或，〃=?

ee

【解析】

(I)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程，解得加=0.再求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，即得極值，(II)

2o

先分離變量，轉化研究函數(shù)g(x)=±U，九q-2,4］,利用導數(shù)研究g(x)單調性與圖象，最后根據(jù)圖象確定滿足

e

條件的機的取值范圍.

【詳解】

(I)由函數(shù)"X)是偶函數(shù)，得〃T)=〃X),

即nze^-(-x)2+3=mer-x2+3對于任意實數(shù)x都成立，

所以機=0.

此時/z(x)=(%)=-%3+3%,貝!!//(x)=-3x2+3.

由〃(九)=0,解得％=±1.

當x變化時，〃'(力與人(力的變化情況如下表所示：

X(-8,一1)-1(-M)1(L+8)

-0+0-

h{x)極小值7極大值

所以人⑺在1),。,內)上單調遞減，在(-M)上單調遞增.

所以h(x)有極小值/z(-l)=-2,h(x)有極大值/i(l)=2.

2_Q

(II)由/(力=冰'—f+3=0,得根=±二.所以“〃力在區(qū)間［—2,4］上有兩個零點”等價于“直線y="與曲

e%

2「

線g(x)=土y-一3，2,41］有且只有兩個公共點”.

e

對函數(shù)g(x)求導，得g，(x)=7+2x+3

由解得石=一

g'(x)=O,1,x2=3.

當x變化時，g'(力與g(x)的變化情況如下表所示:

X(-2,-1)-1(T3)3(3,4)

g'(x)-0+0-

g(x)極小值7極大值

所以g(x)在(―2,-1),(3,4)上單調遞減，在(-1,3)上單調遞增.

又因為g(—2)=e2,g(-L)=-2e,g(3)=g<g(-2),g(4)=：>g(—1),

ee

所以當-2e(加(號或m=g時，直線y=m與曲線g(x)==l,2,4］有且只有兩個公共點.

eee

即當-2e<m<q或加=?時，函數(shù)/(九)在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點.

ee

【點睛】

利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

⑴利用零點存在的判定定理構建不等式求解.

⑵分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.

(3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.

18、(1)a=0.005；(2)列聯(lián)表見解析，有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關；(3)分布列見解析，E(X)=3

【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求。的值；

(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，

填寫2x2列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，

知隨機變量X服從二項分布，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a=0.005；

（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25,

所以晉級成功的人數(shù)為100x0.25=25（人）,

填表如下：

晉級成功晉級失敗合計

男163450

女94150

合計2575100

假設“晉級成功”與性別無關,

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得y=*黑需染'NG〉2。72,

所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關；

（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75,

將頻率視為概率，

則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75,

所以X可視為服從二項分布，即X?514,2

p(X=Q=C(q)(左=0,1,2,3,4),

故”=。）=0圖°8=*,

“工川J假

P-2Y圖I步裝

"=3）同上）=喘

”"J(/2

所以X的分布列為:

X01234

1125410881

P(X=k)

256256256256256

3112541nsQ1

數(shù)學期望為后(乂)=4*'=3.或(E(X)=—x0+—xl+—x2+—x3+^x4=3).

4256256256256256

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的應用問題，屬于中檔題.若離散型隨機變量

XB(n,p),則磯乂)=碼￡)(力=吵(1-同.

19、(1)x+也y=6夕2=——^-―；(2)1.

l+2sin"0

【解析】

(1)利用正弦的和角公式，結合極坐標化為直角坐標的公式，即可求得曲線G的直角坐標方程；先寫出曲線。2的普

通方程，再利用公式化簡為極坐標即可；

(2)先求出的直角坐標，據(jù)此求得中點P的直角坐標，將其轉化為極坐標，聯(lián)立曲線G，02的極坐標方程，即

可求得RQ兩點的極坐標，則距離可解.

【詳解】

(1)G：夕sin(e+7)=方可整理為夕cos6+?sine=百，

利用公式可得其直角坐標方程為：x+^y=y/3,

22

x=v6COS(prv

c2：”的普通方程為L+上=1,

>=12sin062

6

利用公式可得其極坐標方程為夕92=

l+2sin-0

(2)由(1)可得G的直角坐標方程為％+君〉=百，

故容易得M(百,0),N(0,l),

'P1等'Bl，二OP的極坐標方程為夕=W，

把9=看代入夕sin[+5|=”得q=1,小>

把6=工代入夕2=—L-

得。2=2,

6l+2sin26>

***IPQ1=|夕2—夕11=1，

即P,。兩點間的距離為L

【點睛】

本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化，涉及參數(shù)方程轉化為普通方程，以及在極坐標系中求兩點之間的距

離，屬綜合基礎題.

20、(1)證明見解析；(2)2

【解析】

(1)在AABC中，利用勾股定理，證得又由題設條件，得到43,34,利用線面垂直的判定定理，證

得AB，平面BCC圖1,進而得到AB±CQ；

(2)設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為〃，根據(jù)棱臺的體積公式，列出方程求得得到

2

AB1

5,即可求解.

【詳解】

(1)由題意，在AABC中，AC=2AB=2,5c=6,

所以462+5。2=人。2,可得

因為4與_134，可得A3,3男.

又由3CBB]=B,BC,BBXU平面BCCXBX，所以AB，平面BCCXB},

因為。。1匚平面5。。|耳，所以

(2)因為匕L^E-BBQ：C-EDCX=4:3,可得匕3C-AB1G:^ABC-EDQ=7:3,

令SAABC=S',S,8]G=S,

設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為人,

V-(s'+y/s'-s+s]-h

則VABC-AB?=3\)I，整理得6S'——S=O,

S'-h3

匕BC-Eg

AB]_

即6----J------1=0,解得J一二—即雨

S\SvS22

又由A3=l,所以4耳=2.

【點睛】

本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應用，以及幾何體的體積公式的應用，其中解答中熟記線面位置關系的判定

定理與性質定理，以及熟練應用幾何體的體積公式進行求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.

21、(1)證明見解析；(2)應匣.

91

【解析】

(1)證明4。_10￡得到4。，平面20石，得到證明.

(2)以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,平面POE的一個法向量為〃2=(百,-1,0),平

面PBD的一個法向量為〃=(-4百,4,3百),計算夾角得到答案.

【詳解】

(1)因為四邊形ABC。是菱形，且4W=60。，所以AABZ)是等邊三角形，

又因為。是AO的中點，所以5OLA。，又因為A3=6,AO=3,所以3。=36，

又PO=4,PB=匹,BO~+PO2=PB2,所以POLO3,

又PO_LAT),ADc->OB=O,所以尸01.平面ABC。，所以POJ_AC,

又因為ABC。是菱形，OEIIBD,所以ACJ_OE,又POOE=O,

所以AC，平面POE,所以AC，PE.

(2)由題意結合菱形的性質易知OPOP1OB,OArOB,

以點。為坐標原點，建立如圖