新高考新題型高三19題新定義題型（學(xué)生版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

新高考新題型高三19題新定義題型精選

L題型解密■

[題目|1]在九義n(n>2)個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表中，Q句表示第i行第/列的數(shù)，記r~%+Q62H---卜時(shí)

(l<i<n),5=QI,+Q22T---FQ%(1Wn).若與e{—1,0,1}(1,且丁Wi。,…，金兩兩不

等,則稱此表為“八階H表"，記Hn={ri,r2,??Wi,。2,.

(1)請寫出一個(gè)“2階H表”；

(2)對任意一個(gè)“n階H表"，若整數(shù)X6[―n,n],且40式，求證：久為偶數(shù)；

(3)求證:不存在“5階H表”.

題目可已知整數(shù)山，九>3,集合Xu{(如為2,…,力九)IXiE{0,l},i=l,2,…,?i},對于Xn中的任意兩個(gè)元素4

n

=@,電,…,。九)，B=(仇也,…也)，定義A與B之間的距離為d(A,B)=匯|七一印.若4,4,…,4neX九且

i=l

dCALyyudC/k>yh-uWAmT.Am)，則稱是4,4,一、4?是"1中的一個(gè)等距序列.

(1)若4=(1,0,0,0),^2=(1,1,0,0),4=(0,1,1,0),4=(0,1,1,1),判斷4,42,4,4是否是X4中的一布等距

序列？

⑵設(shè)4B,C是X3中的等距序列,求證：d(A,C)為偶數(shù);

(3)設(shè)4,A2,…,41是中的等距序歹!],且4=(1,1,1,1),Am—(0,0,---,0),d(4,4)—5.求？n的最小

6個(gè)16個(gè)o

值.

???

^■1］設(shè)A為非空集合，定義AxA={（C,g）陵,沙eA}（其中3y）表示有序?qū)Γ?，稱AxA的任意非空子

集R為A上的一個(gè)關(guān)系.例如A={0,1,2}時(shí)，AxA與{（0,0）,（2,1）}都是A上的關(guān)系.設(shè)五為非空集合

A上的關(guān)系.給出如下定義:①（自反性）若對任意，C4有（①㈤CR,則稱R在A上是自反的;②（對稱

性）若對任意Q,u）e凡有（“㈤CA,則稱「在A上是對稱的;③（傳遞性）若對任意（x,y）,（n，z）eR,有

Q,z）C五,則稱五在A上是傳遞的.如果人上關(guān)系R同時(shí)滿足上述3條性質(zhì)，則稱R為人上的等價(jià)關(guān)系.

任給集合S1,$2,…,Sa，定義S1US2U…U'為{，■eS1,或，e$2,或?…，或，CSm}.

（1）若人={0,1,2},問：人上關(guān)系有多少個(gè)？A上等價(jià)關(guān)系有多少個(gè)？（不必說明理由）

（2）若集合A有n個(gè)元素（n>l）,A的非空子集兒,兒,…,4”。<m<n）兩兩交集為空集，且力=4U兒

U…U4”,求證：R=（AxA）U（A2XA2）U…U（4?xAm）為人上的等價(jià)關(guān)系.

（3）若集合A有n個(gè)元素（九>1）,問:對A上的任意等價(jià)關(guān)系凡是否存在A的非空子集4,4,…,

（14小〈九），其中任意兩個(gè)交集為空集，且A=4U4U--U4n，使得A=（4x4）U（A2XA2）U---U

（4?x4?）?請判斷并說明理由.

■□已知集合A={ctiQ,…,a”}sCR,i=1,2,…，九并且九>2.定義T（A）=￡1%—a/（例如g

|a廠&』=履一的|+血一￡11|+|&3-（12］）.

⑴若集合4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},M={1,2,3,4,5},集合A的子集N滿足：N于M,且T（M）=T（N）,

求出一個(gè)符合條件的N；

（2）對于任意給定的常數(shù)。以及給定的集合A={5,a2,…,斯},求證:存在集合_8={仇也，…,勾},使得T

（B）=T（A），且。=仇+與+…；

（3）若集合A={^,02,滿足：at<ai+1,i=1,2,???,2m-l,m>2,a尸a,a2m=6,其中實(shí)數(shù)a,b為給定

的常數(shù)，求T（⑷的取值范圍.

題目區(qū)在信息論中，嫡的加?？?）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息牖信源燧平均

自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件樣本或特征.（燧最好理解為不確定性的量度而不

是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的焙越大）來自信源的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，

比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（”商）定義為概率分

布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量,這個(gè)隨機(jī)變量

的均值（即期望）就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即燧）.嫡的單位通常為比特，但也用Sh、nat.

用比計(jì)量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲

一次硬幣提供了ISh的信息,而擲m次就為小位.更一般地，你需要用log2n位來表示一個(gè)可以取n個(gè)值

的變量.在1948年,克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的燧，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.而正是

信息燧的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)

想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量￡所有取值為1,2,…,71,定義￡的信息燧H（￡）=—W>log2舄，

i=l

（與H=1,i=

（1）若n=2,試探索f的信息燧關(guān)于R的解析式,并求其最大值；

（2）若月=2=&，忌+產(chǎn)2忌依=2,3,…，"），求此時(shí)的信息嫡.

2

題目包中國是紙的故鄉(xiāng)，折紙也是起源于中國.后來數(shù)學(xué)家將幾何學(xué)原理運(yùn)用到折紙中，并且利用折紙來研

究幾何學(xué)，很好的把折紙藝術(shù)與數(shù)學(xué)相結(jié)合.將一張紙片折疊一次，紙片上會留下一條折痕,如果在紙片上

按照一定的規(guī)律折出很多折痕后,紙上能顯現(xiàn)出一條漂亮曲線的輪廓.如圖，一張圓形紙片的圓心為點(diǎn)

A是圓外的一個(gè)定點(diǎn)，P是圓。上任意一點(diǎn)，把紙片折疊使得點(diǎn)A與P重合,然后展平紙片，折痕與直線

DP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，得到點(diǎn)Q的軌跡.

⑴證明：點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線；

（2）設(shè)定點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,0）,紙片圓的邊界方程為Q+2y+峭=產(chǎn).若點(diǎn)“⑵3）位于⑴中所描述的雙曲線

上，過點(diǎn)M的直線I交該雙曲線的漸近線于E,F兩點(diǎn)，且點(diǎn)E,F位于y軸右側(cè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),求岫OF

面積的最小值.

題目⑦“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動蘊(yùn)含

豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如:用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)

步驟1：設(shè)圓心是在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn),標(biāo)記為F；

步驟2:把紙片折疊,使圓周正好通過點(diǎn)F；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不斷重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.則這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.

現(xiàn)取半徑為42的圓形紙片，定點(diǎn)尸到圓心E的距離為2n，按上述方法折紙.以向量屈的方向?yàn)榱⑤S正

方向，線段EF中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求折痕圍成的橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知點(diǎn)M是圓s2+y2=10上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M做橢圓r的兩條切線，切點(diǎn)分別是求面積

的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)河的坐標(biāo).

注:橢圓：耳+g=l(a>6>0)上任意一點(diǎn)P(x0,y0-)處的切線方程是：號+等=1.

a2b1a2b2

題目包帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)小,

九，函數(shù)/⑸在①=0處的［碎汨階帕德近似定義為：RQ)="出上士Q,且滿足：/(O)=7?(o),f

n

l+bi/H---|-6nT

(0)=4(0)，/(0)=4'(())???,嚴(yán)+叫0)=用")(0).已知/㈤=inQ+1)在，=0處的［1,1］階帕德近似

為碼>注:產(chǎn)㈤=?(詡'/'3)=［尸(詡"⑷3)=(初"⑸3)=［/⑷⑹'，…

⑴求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)求證：(x+b)f(—)>1；

(3)求不等式(1+?y〈eV(1+!y+'的解集，其中e=2.71828

題目回利用拉格朗日(法國數(shù)學(xué)家，1736-1813)插值公式，可以把二次函數(shù)FQ)表示成F(0=

d(c—6)(2一c)eQ—a)Q—c)f(x—a)(2一b)的形式

(a—b)(a—c)(b—a)(b—c)(c—a)(c—b)/工

⑴若a=Lb=2,c=3,d=4,eV/,把F{x}的二次項(xiàng)系數(shù)表示成關(guān)于/的函數(shù)G(f)，并求G⑺的值域

(此處視e為給定的常數(shù)，答案用e表示)；

/、什-、十d(b2—c2)+e(c2—a2)+/(a2—b2)

⑵右aVbVc,d>0,e<0,/>0,求證：a+b<---------------------------<b+c.

d\b—c)+e(c—a)+f(a—b)

題目也在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列(整點(diǎn)即橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))

A(n)：A，4,4,…，4與BS)：及，B.2,B3,…，3,其中九>3,若同時(shí)滿足:①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別

相同;②線段44+1J_BB+i，其中i=1,2,3,…，九―1,則稱4(n)與B(n)互為正交點(diǎn)列.

⑴求43)：4(0⑵，4(3,0),4(5,2)的正交點(diǎn)列B⑶;

⑵判斷力⑷：4(0,0)，4(3,1),4(6,0),4(9,1)是否存在正交點(diǎn)列項(xiàng)4)?并說明理由；

(3)V">5,九GN,是否都存在無正交點(diǎn)列的有序整點(diǎn)列4(九)？并證明你的結(jié)論.

［題目|11］已知無窮數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，當(dāng)九<4時(shí)，％&與；當(dāng)n>4時(shí)，an=max｛ai+an-i,a2

n4

+Q九_2,Q3+Q九—3,…,Q^T+QJ,其中max｛g,x2i63,…,g｝表示g,62,g,…,g這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).

(1)若數(shù)列｛QJ的前4項(xiàng)為1,4,3,8,寫出的值;

(2)是否存在。，外例產(chǎn)qN,使Qioo=PiQi+p2a2+P3Q3+P4Q4,且P1+2P2+3例+404=100?請說明理由；

fcG

(3)設(shè)bn="QL4Q九,證明：b4k+i>b4(fc+i)+pN(i=1,2,3,4).

7

［題目［②對于數(shù)列Aai,a2,a3@eN*,i=1,2,3),定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：瓦也網(wǎng),其中“=

|a「a"(i=1,2),且b3^\a3-ai\.這種“T變換”記作6=T(A),繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：

C1,c2,C3,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束.

(1)寫出數(shù)列426,4經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列；

⑵若5,a2,a3不全相等,判斷數(shù)列Aaisg經(jīng)過不斷的"變換”是否會結(jié)束，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列A400,2,403經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求看的最小值.

題目,已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,2、再

接下來的三項(xiàng)是2。，21,22,依此類推.設(shè)該數(shù)列的前幾項(xiàng)和為S”，

規(guī)定:若三館CN*,使得Sm=2P(peN),則稱m為該數(shù)列的“佳基數(shù)”.

(1)將該數(shù)列的“佳基數(shù)”從小到大排列，直接寫出前3個(gè)“佳塞數(shù)”；

(2)試判斷50是否為“佳幕數(shù)”，并說明理由；

(3)(i)求滿足70的最小的“佳基數(shù)”

(弦)證明:該數(shù)列的“佳幕數(shù)”有無數(shù)個(gè).

8

題目@《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下,落下的水又逆流而上，荒

唐至極，但又會讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者,似乎他沒發(fā)現(xiàn)什么不對勁.止匕時(shí)，他既

是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體,左塔上方是著名的“三立方體合體”由

三個(gè)正方體構(gòu)成,右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）

圖1圖2

埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個(gè)正方形構(gòu)造，設(shè)邊長均為2，定義正方形AnBnCnDn,n=

1,2,3的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記為g,將極點(diǎn)3Qi，分別與

正方形4顯。2。2的頂點(diǎn)連線,取其中點(diǎn)記為%，&，巾=123,4,如（圖3）.埃舍爾多面體可視部分是由

12個(gè)四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點(diǎn)均為“框架點(diǎn)”，底面四邊形由兩個(gè)“極點(diǎn)”與兩個(gè)“中點(diǎn)”構(gòu)成，為了便于

理解，圖4我們構(gòu)造了其中兩個(gè)四棱錐Ai—PiEiRE2與A-P^F,

（1）求異面直線丹兒與QB成角余弦值；

（2）求平面打兒區(qū)與平面AXE2P2的夾角正弦值；

（3）求埃舍爾體的表面積與體積（直接寫出答案）.

題目向五一小長假到來,多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新奇活動以吸引游客,小明去

成都某熊貓基地游玩時(shí),發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趣味游戲，游戲規(guī)則為:在一個(gè)足夠長的直線軌道的中心處有一個(gè)會走

路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會隨機(jī)選擇向前行走或向后行走，且每一

步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置,則視為勝利.

（1）若小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步,記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為X步，求X的分布列和期

望；

（2）記”（ieN*）為設(shè)定機(jī)器人一共行走2i步時(shí)游戲勝利的概率，求自，并判斷當(dāng)i為何值時(shí),游戲勝利的概

率最大；

（3）該基地臨時(shí)修改了游戲規(guī)則，要求機(jī)器人走完設(shè)定的步數(shù)后,恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小

明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識無法推斷設(shè)定多少步時(shí)獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學(xué)的哥哥,哥哥告

訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑:將幾個(gè)。和n個(gè)1排成一排，若對任意的1WkW2rl，在前k

個(gè)數(shù)中，0的個(gè)數(shù)都不少于1的個(gè)數(shù)，則滿足條件的排列方式共有嗎-G二種，其中，6-01的結(jié)果被稱

為卡特蘭數(shù),若記Pt為設(shè)定機(jī)器人行走2i步時(shí)恰好第一次回到初始位置的概率，證明:對（2）中的p”有舄

10

題目西離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X={1,2,…,p-1},若u,”ex,meNe

為切除以p的余數(shù)，小何為鵬除以2的余數(shù)；設(shè)&ex,1,al弋…,a'?兩兩不同，若廢您=

b(nG{0,1,…,p—2}),則稱?1是以a為底b的離散對數(shù),記為n=log(p)a&.

(1)若°=ll,a=2,求Qi念；

(2)對mi,m2€{0,1,…,p—2},記皿十?ri2為皿+館2除以0—1的余數(shù)(當(dāng)皿+人能被「一1整除時(shí)，皿十

m2=0).證明：log(p)a(bg)c)=log(p)ab十log。)/,其中b,cGX；

kk

(3)已知n—log(p)ab.對力eX,kG{1,2,…,p—2},令%=a'?,y2=x^)b0.證明：%=統(tǒng)③式”⑶偽.

a12。13…QE)(bnb12b13…瓦九、

a

21。22。23…2n甌匕22匕23…b2rl

題目17已知數(shù)表人(九,九)=a3i?32a-33…a3n,B(n,n)=如如履…b3n,C(n,n)

1Q?ii。九2a?i3…ann)Ibnibn2bn2…bnri)

'Cuc12C13??5、

C21C22C23??c2n

C31C32C33,?C3rl，其中aij9bij9EN*,i,j&n)分別表示A(n,n),B(n,n),C(n,n)中第i行第，

ICnl

Cn2Cn3??Cnn>

列的數(shù).若Ci—應(yīng)也+Q四如H----Fa加%，則稱C(n,n)是A(n,n),B(n,n)的生成數(shù)表.

⑴若數(shù)表42,2)=(81,B(2,2)=:20，且。⑵2)是A(2,2),B(2,2)的生成數(shù)表，求。(2,2)；

4315MJ

(2)對VneN*,九>3,

r41-142-l43-l-4n-l)如612v…3

6

2122232n1

O21O22w…b2n

2x+222+223+22"+2