2024年高考數(shù)學(xué) 復(fù)數(shù) 同步練習(xí)（解析版）

復(fù)數(shù)

目錄一覽

2023董題展現(xiàn)

考向一復(fù)數(shù)的運(yùn)算

考向二復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

真題考查解讀

近年真題對比

考向一.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

考向二.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

考向三.共輾復(fù)數(shù)

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

易錯(cuò)易混速記/二級結(jié)論速記

：2023年真題展現(xiàn)

考向一復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1.(2023?新高考I?第2題)已知z=則z-，=()

A.-zB.iC.0D.1

【答案】/

副IT1IT1(1-Q21.

角牛：Z-24-2i-2，l+i-2，(l+i)(l-0一一5'‘

貝亞=去,

故z-7=-z.

故選：A.

考向二復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

2.(2023?新高考H?第1題)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3z)(3-i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】4

解：(l+3z)(3-z)—3-z+9z+3—6+8z,

則在復(fù)平面內(nèi)，(l+3z)(3-z)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,8),

位于第一象限.

故選：A.

真題考查解讀

力—

【命題意圖】考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與四則運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.

【考查要點(diǎn)】復(fù)數(shù)是高考考查熱點(diǎn)之一，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念

與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算交匯.?？嫉拿}角度①復(fù)數(shù)的概念問題②復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算③復(fù)數(shù)的幾

何意義；④復(fù)數(shù)的模.

【得分要點(diǎn)】

1.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.

(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輾復(fù)數(shù).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

(l)z=o+M(tz,bGR)=Z(a,b)Q.

(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系

在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

近年真題對比］

考向一.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

1.(2021?新高考II)復(fù)數(shù)2L在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為()

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A.

解...2-i_(2-i)(l+3i)^2+6i-i-3i2_5+5i1.

,,l-3i(l-3i)(l+3i)=I2+(-3)2IF革節(jié)i，

二在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2^■對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(工，工)，位于第一象限.

l-3i22

考向二.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

2.(2022?新高考II)(2+2力(1-2力=()

A.-2+4/B.-2_4zC.6+2zD.6-2z

【答案】D.

解:(2+2，)(1-2z)—2~4z+2z-4於=6-2z.

考向三.共舸復(fù)數(shù)

3.(2022?新高考I)若i(1-z)=1,則z+W=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D.

解：由i(1-z)=1,得1-z=—

i-2L

；?z=l+3則z=l-i，

z+z=l+i+l-i=2.

4.(2021?新高考I)已知z=2-3則z(zH)=()

A.6-2zB.4-2zC.6+萬D.4+2/

【答案】C.

解：'：z=2-i,

：.z(z+z)=(2-z)(2+z+z)=(2-z)(2+2z)=4+4/-2/-2z2=6+2z.

命題規(guī)律解密

分析近三年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)考察四個(gè)考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其

幾何意義、復(fù)數(shù)的模。預(yù)計(jì)2024年還是主要體現(xiàn)在這四個(gè)考點(diǎn)上出題。

名校模擬探源

一、單選題

3-i_

1.(2023?陜西咸陽?武功縣模擬預(yù)測)己知復(fù)數(shù)2==，若z的共輾復(fù)數(shù)為1則z；=()

1+1

A.亞B.5C.V10D.10

【答案】B

2.(2023?安徽合肥?二模)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于

1-Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

2z2z(l+z).、

解：由題意得口T+i,所以在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)-1+i的點(diǎn)為在第二象限.

2

3.（2023?四川德陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)「（i是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點(diǎn)位于（

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

解：匕=（1，；1）=二="，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

4.（2023,江蘇徐州模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z-2亍=l+3i,其中i是虛數(shù)單位，貝心=（）

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

【答案】C

解：設(shè)z=a+6i,bwR,則z-2亍=一。+3歷=1+3i,

故。=-1,b=l,z=-l+i,

5.(2023?全國校聯(lián)考三模)已知復(fù)數(shù)z,z。滿足|z-z0|=后,聞=收，貝||z|的最大值為()

A.V2B.2-\/2C.4D.3A/2

【答案】B

解：因?yàn)閨2|-田斗-1=拒，所以所以|z區(qū)2vL所以⑶的最大值為2血.

6.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,-1）,則土=（）

1

A.-l-3iB.-3-iC.3-iD.-l+3i

【答案】D

解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,-1）,

所以z=-3-i,

7-3-i_(-3-i)i_l-3i

所以*=-l+3i.

1

7.（2023?寧夏銀川?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（0,1）,則——=（）

z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

解：復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（OJ）,則2=匕

所以上=1

Zi-ix(-i)1

8.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知（2-i）z=3,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

/、33（2+i）6+3i63.

解：因?yàn)椋?T）Z=3,所以z=12T（2+i）=—I—i

131555

63

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為,位于第一象限;

555

9.(2023?湖南常德市模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)Z］與z=4-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則?=

1-1

（）

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

解:由z=4-2i對應(yīng)點(diǎn)為(4,-2),則Z］對應(yīng)點(diǎn)為(4,2),故4=4+2i,

所以二=2(2+1)=2(2+DU+1)=］+不,

1-i1-i2

10.(2023?河北滄州?統(tǒng)考三模)若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等或虛部相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)為同部復(fù)數(shù).已知

z=(l-i)3,則下列數(shù)是z的同部復(fù)數(shù)的是()

A.2+iB.3-2iC.4-iD.-3+2i

【答案】B

解：由于z=(l-i『(l-i)=-2i(l-i)=-2-2i,其實(shí)部和虛部均為-2,

而3-2i與z的虛部相等，其余選項(xiàng)均不符合題意，所以3-2i是z的同部復(fù)數(shù).

11.(2023?海南?？谀M預(yù)測)設(shè)二7=，_i,其中a,6為實(shí)數(shù)，則()

1+21

A.a=-5,b=2B.a=5fb=-2

C.a=5,b=2D.a=—5,b=—2

【答案】A

角軍：一山=(b+i)(l+2i)=(b-2)+(2b+l)i,

a-2=0

'\2b+l=-af

b=2,a=—5.

12.（2023?吉林長春模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)2i的平方根是（）

A.1+i或—l—iB.2iC.1+iD.-1-i

【答案】A

解：設(shè)2i的平方根為x+yi（xj￡R）,則（x+yi）2=2i,BPx2-y2+2xyi=2i,

x--1,

從而「"。'解得

2xy=2J,y=i

所以復(fù)數(shù)2i的平方根是1+i或-l-i,

13.(2023?陜西安康中學(xué)模擬預(yù)測)設(shè)復(fù)數(shù)z=(l-2i)(〃+i)(a￡R),z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則。=

()

A.-3B.--C.2D.3

3

【答案】D

解：z=(l-2i)(a+i)=4+2+(l-2a)i,

由已知得。+2+1-2。=0,解得a=3,

14.(2023海南華僑中學(xué)一模)設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=(-l+i)2,則匕+2|=()

A.41B.2C.y/3D.1

【答案】A

解：?；z=(T+i『=芻=_一,...|z+2|=|l-i|=V2.

1+i1+i

15.(2023?廣西模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足z+彳=8,zN=25,貝。2=()

A.3±4/B.±3+4zC.4±3zD.±4+3z

【答案】C

解：設(shè)2=°+現(xiàn)。/€尺)，

依題意得，2。=8,a2+b2-25-

解得”=4,b=±3,所以z=4±3i.

16.(2023?江西南昌十中模擬預(yù)測)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為尸，則復(fù)數(shù)z.i=()

A.2-iB.l-2iC.-l+2iD.-2-i

【答案】D

解：由圖可知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,2),故z=T+2i,

貝5]z-i=(-l+2i)-i=-2-i.

17.(2023?河南鄭州模擬預(yù)測)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足2(l+i)=l+3i,貝丘+2i的虛部為()

A.2B.3C.2\D.3i

【答案】B

l+3i_(l+3i)(l-i)_4+2i

=2+i

解:由題可得2=1+i-(l+i)(l-i)-2

故z+2i=2+3i,其虛部為3,

??2?2023

18.（2023?河南南陽中學(xué)三模）已知i為虛數(shù)單位，zJ+1+…+1，則復(fù)數(shù)I在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)

1-i

在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

解：因?yàn)閕W+i’z+i,N+i*=j_1_i+]=0,

..2.2023

1+1+???+1T=Y+i)11.

則2=---------1

1-il-i-(l-i)(l+i)22

所以三=—+gi在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.

19.（2023江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)三模）已知復(fù)數(shù)Z1=l+2i,Z2=2-i（i為虛數(shù)單位），Z3在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)

分別為若四邊形為平行四邊形（O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)），則復(fù)數(shù)公為（）

A.l-3iB.l+3iC.-l+3iD.-l-3i

【答案】B

解：因?yàn)閺?fù)數(shù)Z=l+2i、z?=2-i（i為虛數(shù)單位）、Z3在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為4B、C,

所以4（1,2）/（2,T）,

設(shè)C（xj）,因?yàn)?/8C為平行四邊形（。為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)），

所以罰=。心，

fx=1

所以（1,-3）=（x,y）,所以

b=-3

所以Z3=l-3i,所以兀=l+3i,

20.（2023?河南鄭州模擬預(yù)測）已知（3+叫（-l+i）=4+2i（°,beR,i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)

a--bi=()

2

A.2B.V5C.gD.6

【答案】B

解：?.?(3+ai)(-l+i)=-6+2i,

.?.(3-a)i-Q-3=2i-b,

-a-3=-ba=1

3?2'解得

6=4

所以a——bi=|1—2i|=V5.

21.（2023?河南,校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=a+bi,其中a,6為實(shí)數(shù)，且滿足（2+a）（l-2i）=5-5歷,

則Z的虛部為（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】D

解：依題意，（2+。）（1一2i）=（2+a）-（4+2a）i=5-5歷，而a力為實(shí)數(shù),

[2+。=5

則”.“，解得“=3,6=2,所以復(fù)數(shù)z=3+2i的虛部為2.

[4+2。=56

22.（2023?河南模擬預(yù)測）已知ZMTR+I則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

（J）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

M23

解：?.-Z=^+i-（5-i）=^+（-i）.（5-i）=1i+2-5i-l=l-|i；

（1-1）-2122

???復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為，，-T]，位于第四象限.

Ii2023111

23.（2023?云南曲靖模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2="!—（i是虛數(shù)單位），則H=（）

l+2i|z|

A.—B.WC.V5D.V3

53

【答案】C

解：4一州一『一’.

24.（2023?河北滄州模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足Z2+2Z+2=0,則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一，四象限D(zhuǎn).第二、三象限

【答案】D

解：設(shè)z=a+6i,a,bwR,所以z?+2z+2=0na?-b?+2abi+2a+2bi+2=0,

所以I：J：?：*2°,解得a=；T8=±l,所以z=-l土i,

[2ab+2b^0

25.（2023?安徽?合肥一中模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足z（cos6（F+isin60o）=T+Gi,貝1的共輾復(fù)數(shù)的虛部

是（）

A.-V3B.-V3iC.也D.后

【答案】A

+i*=-l+?

解：因?yàn)閆

_-1+V3i_rr.

所以“「NF’

5+1了

所以彳=1-戊，

所以彳的虛部是-石,

26.（2023?湖南益陽安化縣第二中學(xué)三模）已知復(fù)數(shù)z滿足Z（l+2i）=5,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-2B.5C.-2iD.2

【答案】A

5

解：因?yàn)閦（l+2i）=5,所以z=1-2i,

l+2i(l+2i)(l-2i)

故復(fù)數(shù)z的虛部為-2.

27.（2023?江蘇?金陵中學(xué)三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=5+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于

)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

?r5+i（5+i）（l—i）6—4i

解：因m為z=——-----——L=---------=3-21,

1+i22

所以點(diǎn)（3,-2）位于第四象限.

28.（2023?湖南長沙倜南中學(xué)二模）若復(fù)數(shù)z=三，則|z+2-3i|=（）

1+1

A.V13B.V17C.4D.5

【答案】D

所以i+2-3i=l-i+2-3i=3-4i,

所以|z+2_3i|=|3_4i|=小32+（-4）2=5.

29.（2023?福建泉州?五中模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=l,則匕+1］的最大值為（）

A.V2B.2C.V2+1D.3

【答案】C

解：設(shè)2=。+〃,4,6wR,

因?yàn)閨2+“二,+(6+1)4=1,

所以1+e+1）2=1,

因?yàn)閨z+11=卜+1+歷|=++/，

所以匕+1|相當(dāng)于圓/+伍+1）2=1上的點(diǎn)到點(diǎn)（TO）距離，

所以匕+1|的最大值為圓心（O,T）到點(diǎn)（T,0）距離與圓的半徑1的和，即夜+1.

30.（2023?云南模擬預(yù)測）己知Z1,Z?是方程/一2x+2=0的兩個(gè)復(fù)根，則忖一z,=()

A.2B.4C.2iD.4i

【答案】B

解：已知％,Z2是方程》2一2》+2=0的兩個(gè)復(fù)根，所以z=生石=斗&=1土i,

-22

則設(shè)Z]=l+i,z2=l-i,所以忖-z4=|（zi+z2）（z1-z2）|=|2x2i|=|4i|=4,

31.（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)z是復(fù)數(shù)且匕-l+2i|=l,則目的最小值為（）

A.1B.V3-1C.V5-1D.V5

【答案】C

解：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，|-1+切=1表示復(fù)平面內(nèi)以（1,-2）為圓心，1為半徑的圓，而目表示復(fù)

數(shù)z到原點(diǎn)的距離，

22

由圖可知，|z|mm=^1+（-2）-1=V5-1.

32.（2023?新疆喀什模擬預(yù)測）已知目=5,z+彳=8則z在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)是（）

A.（4,3）B.（4,-3）

C.（4,3）或（4,一3）D.（4,3）或（一4,3）

【答案】C

解：設(shè)2=。+研氏b^R）,由忖=5,z+亍=8得

22

yja+b=5，a+bi+a-bi=Sf解得Q=4,b=3,或a=4,b=—3,

所以z=4+3i,或z=4-3i,則z在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)是（4,3）或（4,-3）.

二、多選題

33.（2023?重慶?統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)句，Z2，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若z/zcR,則Z2=Z]B.若2必2=0,則4=0或Z2=0

C.若Z/2=Z]Z3且2]#0,貝!|Z2=Z3D.若z；=z；,則㈤=22|

【答案】BCD

解：對于A,若2]Z2eR,例如：4=1/2=2,貝I]馬W馬，故A錯(cuò)誤;

對于B,若空2=0,則匕閔二閡㈤二。，所以歸|=0或"|=0至少有一個(gè)成立，即4=0或Z2=0,故B正

確;

對于C,由Z[Z2=Z]Z3，則Z](Z2-Z3)=0,z^O,z2=z3,故C正確;

對于D：若z：=z；,則㈤=%|,故D正確.

34.（2023?重慶一中模擬預(yù)測）定義復(fù)數(shù)的大小關(guān)系：已知復(fù)數(shù)%=%+恒，z2=a2+b2i,%,a2,b1,

%eR.若為＞。2或（％=。2且4＞打），稱4＞22.若％=出且稱4=4.共余情形均為

2

Z1<Z2?復(fù)數(shù)〃，V,W分別滿足：W2+l/+l=0,V=|w+l|=l,則()

A.u<w<vB.ii=v-wC.v>u=wD.w<u<v

【答案】ACD

解：設(shè)復(fù)數(shù)n=a+6i(a,6eR),若6=0,因?yàn)閍eR,貝！I/+.+1=0無解,

所以a,bwR,6wO,將M=a+6i代入〃2+〃+1=0,可得,

a2-b2+2abi+Q+bi+]=0,BPa2-b2+?+l+(2?+l)M=0,

1

a=----

Z)2+q+l=0

所以，丹r以〃=—土—1，

(2a+l)6=0入)322

b=±——

2

2

'6+1|4+273=z,

又因?yàn)関=

242

設(shè)卬=x+yi(x,yeR),所以|校+1|=J(x+iy+y2=1,

所以（x+iy+r=i,

所以復(fù)數(shù)卬=工+加對應(yīng)的點(diǎn)在以（-1,0）為圓心，1為半徑的圓上,

所以-24xW0,-l4〉（l,從而v最大，故B錯(cuò)誤;

若x=_:，y=±^-,則土烏,

2,222

所以當(dāng)“=一!+91,心」+近?或16

U=-----------1

222222

時(shí)〃=w,則v>〃=w,C正確;

若」<xWO,此時(shí)〃<w,

貝A正確;

2

若無<_g,此時(shí)則v>“>w,D正確；

35.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知z是復(fù)數(shù)，且二■為純虛數(shù)，則（）

z-1

A.|z|=1B.z-z=1

C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上D.匕-2-24的最大值為行

【答案】ABC

/、z+1（x+l+yz）（x-l-^z）x2-1+y2-2yiz+1

解：由題意設(shè)2=苫+”.5了?1i）,則口=（x_i+”）（x7f「（xT『+V?因?yàn)?為純虛數(shù),

所以--1+/=0,且y力0,因此問="一+.=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上，所以A,C正

確;z-z=x2+y2=l,所以B正確;匕-2-24表示圓Y+/=i（"0）上的點(diǎn)到點(diǎn)（2,2）的距離，且最大距

離為20+1，所以D不正確.

36.（2023?河北石家莊三模）己知復(fù)數(shù)4=1+27,復(fù)數(shù)z滿足|z-zj=2,則（）

A.4?4=5

B.V5-2<|z|<V5+2

C.復(fù)數(shù)引在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,2）

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為ZG，y）,則（x-l）2+（y-2）2=4

【答案】AD

解：由已知1=1-2i,其對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）,C錯(cuò);

22

zI-zI=1+2=5,A正確；

由|z-zj=2知z對應(yīng)的點(diǎn)在以句對應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，匕|=6,

因此逐一24目W6+2,B錯(cuò)誤；

Z對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,因此D正確.

37.（2023■江蘇蘇州?模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)句=（加-l）+"+l）i.eR）,

z2=cos^+isin^(^eR),貝"()

A.任意〃zeR,均有團(tuán)＞"|B.任意加21,均有zRO

C.存在〃zeR,使得Z[=2D.存在“zeR,使得匕112|=拒-1

【答案】AD

解：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知4=（加-l）+（/+l）i（加21）不能與實(shí)數(shù)比大小，故B錯(cuò)誤;

由復(fù)數(shù)的模長公式可得閔=J（加-I）。+（〃/+i）~，㈤=Vcos20+sin20=1,

(777-1)2>0

易知＜且不能同時(shí)取得等號，故團(tuán)＞1="|,即A正確;

(m2+l)2>1

%-2腳動(dòng)點(diǎn)E（m-l,m2+l）到動(dòng)點(diǎn)F（cos^,sin^）的距離，顯然E在拋物線＞=（》+爐+1上,尸在單位圓

上，如圖所示，

當(dāng)防=0,。=_45。時(shí)，,-22|=后一1，故D正確；

fm-l=cos0

若存在mER,使得弓=z,貝U2?4

12[m+l=sm0

由上知（加-l）2+（/+l）2＞l=cos*+sin*,即上述方程組無解，故C錯(cuò)誤；

三、填空題

38.（2023福州第一中學(xué)三模）已知復(fù)數(shù)4,Z2滿足4=1,歸一21=3,則㈤的最大值為.

【答案】4

解：設(shè)z?=。+&(。eR,6eR),

則Zj_z?—i_(q+6i)=—a+(1-b)i,

所以|z「Z2|=擊2+僅_1/=3,即"+(6-1)2=9,吐卜2,4],

222

|z2|=>Ja+b=+b=126+8,

當(dāng)6=4時(shí)，則㈤取得最大值，最大值為j2x4+8=4.

39.（2023?上海華師大二附中模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z滿足2+1=1,卜-4=2,則目=.

【答案】當(dāng)

解：設(shè)z=a+6i(a,6eR),則［=°_歷，

〃+歷+Q-bi=2。

所以z+z=l,i(z-z)=2^lj

i(a+bi-a+bi)=-2b

ci=-

所以2,所以z丁i,

b=-\2

故書后J+(->學(xué)

40.(2023?福州第一中學(xué)二模)已知復(fù)數(shù)z=l+2i,若i”-z(〃eN*)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，

寫出一個(gè)滿足條件的n=.

【答案】3(4〃+3,〃eN中的一個(gè)均可)

解：復(fù)數(shù)z=l+2i,可得i"-z=i"-(l+2i)=i"+2嚴(yán)I

當(dāng)”=4后+3時(shí)，可得i軟+3.z=i?+3+2i軟+4=2—i，

此時(shí)復(fù)數(shù)i".z對于點(diǎn)點(diǎn)位于第四象限，

當(dāng)先=0時(shí)，”=3符合題意.

41.(2023?廣東佛山模擬預(yù)測)已知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+g=0的一個(gè)根，其中P,0為實(shí)數(shù)，

貝”+4=.

【答案】38

解：因?yàn)?i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+g=0的一個(gè)根，

所以-3-2i也是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0的一個(gè)根，

所以(2i—3)+(—3-2i)=_"^■且■^■=(2i—3〉(—3—2i),

所以p=12,j=(-3)2-(2i)2=13,<7=26,

所以p+q=38.

42.(2023?安徽蚌埠三模)已知aeR,i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=i(a-i),忖=2,則。=.

【答案】土百

解：因?yàn)閦=i(a-i)=l+ai

由匕|=2,得+]=2,得°=±6.

43.(2023?上海華師大二附中三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為