指向初中生模型觀念培養(yǎng)的教學(xué)實踐與反思

【摘要】數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界聯(lián)系的基本途徑，模型觀念的培養(yǎng)則是數(shù)學(xué)建模在初中階段的具體目標(biāo)。本文通過對模型觀念的描述，得出初中階段模型觀念的四個主要表現(xiàn)和模型觀念培養(yǎng)中存在的三大主要問題，接著從三個“理解”的視角構(gòu)建初中生模型觀念培養(yǎng)的路徑與方法，最后通過教學(xué)設(shè)計完整呈現(xiàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式的數(shù)學(xué)模型，研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)與形的關(guān)系和變化規(guī)律的過程，為有效培養(yǎng)初中生的模型觀念做出有益的嘗試與實踐?！娟P(guān)鍵詞】模型觀念；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對模型觀念有如下說明：“模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識。知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。”［1］10具體而言，初中階段模型觀念的主要表現(xiàn)包含以下四個方面：（1）在方程（不等式）、函數(shù)等概念的形成過程中感悟模型思想；（2）能夠選擇適當(dāng)?shù)姆匠?、不等式或者函?shù)模型解決簡單的實際問題；（3）經(jīng)歷現(xiàn)實情境中提出問題，選擇合適的模型嘗試解決問題的過程，感悟數(shù)學(xué)建模的思想方法；（4）在跨學(xué)科綜合實踐中運用數(shù)學(xué)知識與方法，構(gòu)建模型解決跨學(xué)科類問題。［2］對比模型觀念的主要表現(xiàn)，筆者發(fā)現(xiàn)現(xiàn)今學(xué)生模型觀念的培養(yǎng)存在如下問題：（1）知識之間缺乏內(nèi)在關(guān)聯(lián)，知識形成、發(fā)展過程中的邏輯關(guān)系缺失，沒有形成完整的知識鏈條和結(jié)構(gòu)體系，缺乏對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系的整體把握，難以促使學(xué)生模型觀念的真正形成和發(fā)展［3］；（2）缺乏對模型觀念產(chǎn)生原理的分析與理解，缺乏對學(xué)習(xí)活動的整體規(guī)劃與統(tǒng)籌設(shè)計，缺乏對學(xué)生認(rèn)知的學(xué)情調(diào)查和研究分析，導(dǎo)致學(xué)生難以形成穩(wěn)定的模型觀念，教與學(xué)的過程浮于表面；（3）脫離生活經(jīng)驗，忽視研究知識的路徑與方法經(jīng)驗的積累，模型觀念的培養(yǎng)缺乏清晰的落地舉措和實施路徑。本文正是基于《標(biāo)準(zhǔn)》，試圖解決上述問題而進(jìn)行的研究嘗試。一、理解數(shù)學(xué)，剖析實際問題是基礎(chǔ)初中階段，模型觀念所面對的實際問題可分為三類——現(xiàn)實原型、實際模型、數(shù)學(xué)形式。［4］真實的實際問題屬于現(xiàn)實原型；將現(xiàn)實原型進(jìn)行修改和簡化，形成比較精確和簡潔的表達(dá)，稱為實際模型；將實際模型進(jìn)一步簡化、架設(shè)，用數(shù)學(xué)符號表達(dá)實際模型中的變量和關(guān)系，則形成數(shù)學(xué)形式。模型觀念的培養(yǎng)應(yīng)立足“四基”，指向?qū)W科核心素養(yǎng)。教師要在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上揭示教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，挖掘其內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，明確教學(xué)內(nèi)容在整個單元及數(shù)學(xué)體系中所處的地位和作用，在培養(yǎng)模型觀念的同時實現(xiàn)學(xué)科育人的目標(biāo)。1.教學(xué)內(nèi)容與知識結(jié)構(gòu)圖函數(shù)、方程和不等式是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型。通過函數(shù)視角再次審視一元一次方程、一元一次不等式，有利于學(xué)生形成三個“一次”的整體觀念，加強關(guān)聯(lián)知識間更深入的比較研究，加強對原有知識（一元一次方程、一元一次不等式）的理解，并且能從函數(shù)的角度將三者進(jìn)行統(tǒng)一，將知識進(jìn)行橫向與縱向的有效貫通，建立循環(huán)關(guān)聯(lián)。另外，從方程到不等式再到函數(shù)，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程，這也是初中階段形成和發(fā)展模型觀念的有效路徑。三個“一次”的探究對發(fā)展學(xué)生模型思想和數(shù)學(xué)建模能力具有重要的意義，也為后續(xù)高中階段的二次函數(shù)、解一元二次不等式的學(xué)習(xí)做了鋪墊和準(zhǔn)備。一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式的知識結(jié)構(gòu)如圖1所示。2.教學(xué)流程解析從代數(shù)的知識框架解析：從宏觀視角看，是從生活原型抽象出實際模型的三種形式（函數(shù)模型、方程模型、不等式模型）；從中觀視角看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)到一次函數(shù)的最后一節(jié)內(nèi)容，了解一次函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑；微觀角度則是研究一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式的關(guān)系，讓學(xué)生對初中代數(shù)內(nèi)容產(chǎn)生整體的認(rèn)知［5］。情境引入則可從學(xué)生物理課所用的彈簧入手，分別構(gòu)建函數(shù)模型、方程模型及不等式模型來解決問題，同時從數(shù)的角度初步感受一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次方程及一元一次不等式的條件。根據(jù)以上思路展開問題設(shè)計，下文“教學(xué)過程”中問題1—3的設(shè)計是進(jìn)一步讓學(xué)生從數(shù)的角度體會當(dāng)一個變量的取值確定時一次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程，當(dāng)一個變量的取值范圍確定時，一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式；問題4—6的設(shè)計則是讓學(xué)生從形的角度利用一次函數(shù)圖象去解決一元一次方程和一元一次不等式的問題，通過問題串的方式感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法；例題與變式設(shè)計是為了讓學(xué)生能利用本節(jié)課所學(xué)知識在給定的數(shù)學(xué)背景下提出問題并解決問題；歸納小結(jié)是讓學(xué)生對本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法有進(jìn)一步理解，同時對所學(xué)知識進(jìn)行發(fā)展性的思考；課后作業(yè)是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，抓住模型研究的實質(zhì)。二、理解學(xué)生，建立認(rèn)知基礎(chǔ)是關(guān)鍵模型觀念的培養(yǎng)方式大致分為兩類：一類是在教學(xué)中經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，重點培養(yǎng)學(xué)生整體建模的能力，評價學(xué)生在全過程參與中的水平和等級，進(jìn)行行為特征和水平等級的分類；另一類是根據(jù)學(xué)生的學(xué)情特點，設(shè)置片段式的教學(xué)任務(wù)，考查學(xué)生在各個環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)。前者反映了數(shù)學(xué)建模的整體性，但操作難度較大；后者更適合日常的教學(xué)，教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)情特點，制訂行之有效的培養(yǎng)方案，以點帶面地達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)。1.學(xué)情分析是模型觀念培養(yǎng)的前提（1）學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)通過之前學(xué)習(xí)，學(xué)生從數(shù)的角度認(rèn)識了一次函數(shù)和一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系，也從形的角度理解了一次函數(shù)和用數(shù)軸表示不等式解集的方法。本課將從形的角度再次引導(dǎo)學(xué)生體會一次函數(shù)圖象和一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系，進(jìn)而通過函數(shù)的觀點來認(rèn)識方程和不等式的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行研究與應(yīng)用。（2）學(xué)生的認(rèn)知特點初二學(xué)生的思維特點已經(jīng)開始從直觀思維逐漸向抽象思維過渡，具備了一定的邏輯推理能力和概括歸納能力，在學(xué)習(xí)中更愿意嘗試動手實驗，產(chǎn)生了利用所學(xué)知識解決實際問題的意愿。因此，教師要在課堂中指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“動手做，動腦想，多合作，大膽猜，會驗證”的合作探究，幫助學(xué)生掌握探究學(xué)習(xí)的方法。因此，本課從問題情境出發(fā)，通過問答和交流的形式引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從形的角度出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型解決對應(yīng)問題，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念和創(chuàng)新意識［5］。2.凝練教學(xué)過程是學(xué)生模型觀念培養(yǎng)的關(guān)鍵（1）以觀察活動為抓手——讓學(xué)生初步形成模型觀念通過觀察彈簧的伸展變化來激發(fā)學(xué)生的想象力，實驗操作掛重物的過程又加強了學(xué)生的感性認(rèn)識，學(xué)生通過觀察、想象、實驗、計數(shù)、分析、作圖、歸納等過程，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，通過合作探究將函數(shù)模型逐漸過渡到一元一次方程和一元一次不等式的模型上，初步形成了本課涉及的三種基本模型，也將新知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。（2）以思想方法為引領(lǐng)——讓學(xué)生領(lǐng)悟建模的精髓數(shù)形結(jié)合思想是本節(jié)課的重要思想方法，但如果僅僅停留在形的角度研究問題顯然是不夠的?？梢試L試運用圖像法解方程和不等式，更重要的一點是本節(jié)課應(yīng)站在更高的視角下，用函數(shù)觀點統(tǒng)領(lǐng)方程、不等式的研究過程，通過函數(shù)思想形成模型觀念。在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把側(cè)重點放到模型觀念的培養(yǎng)上，數(shù)與形的研究作為輔助，通過問題串的設(shè)計和數(shù)學(xué)活動的開展，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的方法和精髓，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。［3］（3）以探索交流為形式——讓學(xué)生主動參與建模過程探索是無聲的思維，交流是有聲的思考。新課改倡導(dǎo)學(xué)生在思考中合作，在合作中交流，在交流中體驗，在體驗中感悟。良好的氛圍可以促使學(xué)生積極參與課堂，只有主動參與其中，才能真正感受數(shù)學(xué)建模過程的真諦。數(shù)學(xué)建?；顒涌梢詫F(xiàn)實問題可視化，任務(wù)驅(qū)動具體化，探究活動有效化，歸納反思結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生不僅在大腦中體會數(shù)學(xué)建模的全過程，更能身臨其境地完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的活動過程，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。三、理解教學(xué)，課堂教學(xué)的有效實施是核心1.課時教學(xué)目標(biāo)（1）通過探究彈簧秤稱物過程中彈簧的變化，體會一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系。（2）了解一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式在解決問題過程中的作用和聯(lián)系。（3）經(jīng)歷實際問題的探究過程，初步形成模型觀念，發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2.教學(xué)的重點和難點（1）教學(xué)重點：通過彈簧秤的實例，初步體會一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系。（2）教學(xué)難點：了解一元一次不等式與一元一次方程、一次函數(shù)在解決問題過程中的作用和聯(lián)系。3.教學(xué)過程（1）生活情境，激發(fā)興趣【導(dǎo)入】教師提出現(xiàn)代社會通常用電子秤來稱量物體的質(zhì)量，電子秤上的讀數(shù)會隨著物體質(zhì)量的變化而變化，再往前有桿秤，一邊是秤砣，另一邊是盛物體的秤盤，利用的是杠桿原理，教師隨后提問還有什么秤。學(xué)生提到彈簧秤，即彈簧的一端固定，另一端掛物體，物體的質(zhì)量和彈簧伸長的長度是有關(guān)系的。于是，教師順理成章地與學(xué)生共同研究彈簧秤的工作原理。【實驗操作】教師在彈簧秤上先掛50g的砝碼，測量彈簧長度并記錄（5cm），再依次增加砝碼質(zhì)量（每次增加50g的砝碼）并記錄彈簧的長度，得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，得出規(guī)律（胡克定律：在彈性限度內(nèi)，物體的形變與引起形變的外力成正比）?！驹O(shè)計意圖】從日常生活中的彈簧秤出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對生活中的實際問題保持?jǐn)?shù)學(xué)觀察與數(shù)學(xué)思考。（2）知識整合，溫故知新教師引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識描述上述變化過程：每掛50g的物體，彈簧伸長1cm，如果把物體的質(zhì)量設(shè)為xg，把彈簧的長度設(shè)為ycm，則得到函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=1/50x+4。教師引導(dǎo)學(xué)生作圖，繪制表示彈簧長度和物體質(zhì)量之間變化關(guān)系的圖象：y隨x的增大而增大，是一條經(jīng)過（0，4）點的直線（如圖2）。從圖2可以看出，隨著物體質(zhì)量的不斷增大，彈簧的長度是不斷增長的。彈簧秤其實不是直接測量物體的質(zhì)量，而是測量彈簧的長度，這就是彈簧秤的原理。提問：你能不能通過測量彈簧的長度來確定所掛物體的質(zhì)量？【設(shè)計意圖】通過對彈簧秤原理的研究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，從現(xiàn)實問題中理解函數(shù)是描述變量關(guān)系的模型；通過“彈簧掛物”中測量彈簧長度求物體質(zhì)量的過程，引導(dǎo)學(xué)生從實際操作中理解方程是描述相等關(guān)系的模型，以及一元一次方程和一次函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系。（3）學(xué)生活動，深入研究學(xué)生活動：每人分別取未知質(zhì)量的砝碼裝進(jìn)小袋子，掛在彈簧秤上，請其他同學(xué)讀出彈簧的長度后，求物體的質(zhì)量（袋子質(zhì)量可忽略不計）。（教師以問題串的形式展開活動）問題1：彈簧長度是10cm時，物體質(zhì)量是多少？問題2：請觀察，如何由一次函數(shù)得到一元一次方程？問題3：在一次函數(shù)的圖象上，你能求出當(dāng)彈簧長度為12cm時，彈簧所掛物體的質(zhì)量嗎？在y=1/50x+4的函數(shù)圖象中，如何找到一元一次方程1/50x+4=12的解？問題4：你能利用一次函數(shù)的圖象求出相應(yīng)的一元一次方程的解嗎？問題5：彈簧的長度是有限的，彈簧秤必須在彈簧的彈性限度內(nèi)才能有效使用。這根彈簧最多能伸長到16cm，請問它最多能掛多少克的物體？你能用什么方法來解決這個問題？歸納小結(jié)：為了研究彈簧秤的原理，我們得到了一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式，這就是我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容——一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式。問題6：同學(xué)們，今天一起來研究這三者之間有什么關(guān)系。先來回想下，我們是怎樣得到這三個式子的？學(xué)生通過小組研討，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動后得到結(jié)論：從相等關(guān)系和不等關(guān)系中得出一元一次方程和一元一次不等式。當(dāng)長度范圍小于等于16時，y≤16，有1/50x+4≤16，即在變化過程中，確定了一次函數(shù)兩個變量中某一個變量的范圍時，就有了一元一次不等式，求解不等式，解集是另一個變量的范圍。問題7：x取何值時，函數(shù)y=2x+4的值是正數(shù)？問題8：在一次函數(shù)的圖象上，當(dāng)x取何值時，1/50x+4≤16？哪些點的縱坐標(biāo)小于等于16，你能把它們描出來嗎？它們的橫坐標(biāo)取值是多少？不等式的解集是多少？當(dāng)x取何值時，1/50x+4≤8？歸納小結(jié)：由已知的變量取值范圍，通過函數(shù)圖象求出另一個變量的取值范圍，即為不等式的解。從數(shù)的角度看，一次函數(shù)確定一個變量的范圍，可以轉(zhuǎn)化成不等式，進(jìn)而求另一個變量的范圍。從形的角度看，可以利用一次函數(shù)圖象求得一元一次不等式的解。所以一次函數(shù)和一元一次不等式不僅有數(shù)的轉(zhuǎn)換，也有形的聯(lián)系?！驹O(shè)計意圖】通過對彈簧秤量程的研究，從實際問題中理解不等式是描述不等關(guān)系的模型，以及一元一次不等式和一次函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系。教師引領(lǐng)學(xué)生親身體驗，充分活動，學(xué)以致用，感受三個“一次”在刻畫不同現(xiàn)實模型時的區(qū)別和聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)和形兩方面對三個“一次”之間的聯(lián)系進(jìn)行討論、研究，使學(xué)生深入了解三個“一次”在解決問題中的作用和聯(lián)系。（4）應(yīng)用練習(xí)，能力提升例題：請你畫出y=2x+4的圖象，并根據(jù)圖象求2x+4=0，2x+4＞0，2x+4＜6的解。變式1：y=kx+b（k≠0）的圖象如圖3所示，經(jīng)過（-2，0）和（0，3），請你解方程kx+b=0和不等式kx+b＞0。變式2：圖4是一次函數(shù)y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的圖象，其中y1=k1x+b1過點（-2，0）和點（0，4），y2=k2x+b2過點（3，0）和點（0，4），解不等式k1x+b1＞k2x+b2?！驹O(shè)計意圖】在例題與變式中，有用方程來解決函數(shù)問題的，也有利用函數(shù)圖象來解決方程、不等式的問題，引導(dǎo)學(xué)生感受函數(shù)圖象的直觀形象，便于學(xué)生從形的特征解決方程、不等式的問題，幫助學(xué)生在形與數(shù)之間建立對應(yīng)與聯(lián)系。（5）課后探索，學(xué)有所用課后作業(yè)：請你利用彈簧自制一個彈簧秤，明確量程，在制作過程中，利用一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式解決問題?！驹O(shè)計意圖】課后的探索活動讓學(xué)生把課堂所得的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到現(xiàn)實生活中，經(jīng)歷“生活—數(shù)學(xué)建?！睢钡膶W(xué)習(xí)流程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用能力，引導(dǎo)他們在具體問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本方法和基本思想，積累基本活動經(jīng)驗。（6）歸納總結(jié)，知識建構(gòu)反思提升：學(xué)完這節(jié)課，你能說出一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式之間的聯(lián)系嗎？今后的學(xué)習(xí)中，你還想研究什么？（如其他函數(shù)、方程、不等式以及它們之間的關(guān)系）【設(shè)計意圖】圍繞主干一次函數(shù)來找到三個“一次”之間的關(guān)系，可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系和區(qū)別，也為后面三個“二次”的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗和方法。4.小結(jié)本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊“一次函數(shù)”單元的最后一節(jié)課，學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念、圖象性質(zhì)及其在實際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，具備了研究一次函數(shù)在數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)部的關(guān)聯(lián)的知識基礎(chǔ)。對比同類單元（八年級下冊“反比例函數(shù)”、九年級下冊“二次函數(shù)”“銳角三角函數(shù)”組成了初中階段的函數(shù)類單元）可以發(fā)現(xiàn)，這是同類單元的起始單元。教師在解讀教材時，不僅要注重本課的知識要點，還要挖掘、研究這些知識要點