河南省鄭州市2024屆高三年級下冊第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

2ab

1.已知實(shí)數(shù)b5.ab>0,則取得最大值時，a+6的值為（)

a2+b2+a2b2+9

A.73B.26C.-2A/3D.2g或-2抬

3

2.已知。=一，3"=5,5。=8,則()

2

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

3.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754年)發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)4i(cos^+isin6?),

z2=r2(cos^+isina)(4,弓>0),則ZjZ2=4弓[cos(6<+幻+isin(q+02)]z=----i,則

Z2024的虛部為()

A.B.@C.1D.0

22

4.己知a,尸滿足私一;vpv：,且3,一當(dāng))+2cosa=5,96加+2sin2￡=—5,則

V3口娓-也「A/2-A/6?V6-V2

AA.D.-----------C.-----------D,-----------

2244

5.在平面直角坐標(biāo)系中，集合A={（x,y）M-y+左=0},集合8={（x,y）|y=Ax-l},已知

點(diǎn)、MwA,息NeB,記d表示線段MN長度的最小值，則d的最大值為（）

A.2B.73C.1D.0

6.算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，是中國古代的一項(xiàng)偉大的發(fā)明.在阿拉伯

數(shù)字出現(xiàn)前，算盤是世界廣為使用的計(jì)算工具，下圖一展示的是一把算盤的初始狀態(tài)，自右

向左分別表示個位、十位、百位、千位，L,上面的一粒珠子（簡稱上珠）代表5,下面的

一粒珠子（簡稱下珠）代表1,五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如圖二，個位上

撥動一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動一粒下珠至梁上，代表數(shù)字17.現(xiàn)將算盤的個位、十

位、百位、千位、萬位、十萬位分別隨機(jī)撥動一粒珠子至梁上，則表示的六位數(shù)至多含4

個5的情況有（）

個

位

17

圖二

A.57種B.58種C.59種D.60種

7.已知等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S”,%+%=-2。]0，/+%=—26,則滿足的

值為（）

A.14B.15C.16D.17

8.已知為定義在（-*0）U（0,E）上的偶函數(shù)，已知/⑴=0,當(dāng)尤＞0時，有

2〃力-靖⑺＞0,則使〃力＞0成立的x的取值范圍為（）

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-l,0)u(l,+oo)

C.(^o,-l)u(l,+oo)D.(-l,0)U(0,l)

二、多選題

9.已知/（x）=binx|cosx+sin2x,則（）

A.小）的圖象關(guān)于點(diǎn)go1對稱

B./（尤）的值域?yàn)?5,5

C.7（元）在區(qū)間（0,50）上有33個零點(diǎn)

D.若方程〃彳）=^在（0,。（f＞0）有4個不同的解尤，（z=l,2,3,4）,其中國＜打

（i=l,2,3）,貝！J%+Z+%+%4+，的取值范圍是

10.已知正方體ASCD-43'。。'的棱長為1,M是AA中點(diǎn)，P是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足

DN=4DC'Ww[0』），平面MPN截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別

為％%,則下列判斷正確的是（）

A.幾=:時，截面面積為在B.彳=；時，匕=匕

22

試卷第2頁，共4頁

c.MF隨著2的增大先減小后增大D.忖-％|的最大值為:

22O

11.已知雙曲線C：十方=1（。>0,“0）上一點(diǎn)A到其兩條漸近線的距離之積為萬，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.—+—7=-B.ab<3C.a2+b2>6D.—+—<―—―

a2b-3ab3

三、填空題

12.曲線〃無）=Hn（2x-l）++在點(diǎn)處的切線方程為.

13.已知有A,8兩個盒子，其中A盒裝有3個黑球和3個白球，3盒裝有3個黑球和2個白

球，這些球除顏色外完全相同.甲從A盒、乙從8盒各隨機(jī)取出一個球，若2個球同色，則

甲勝，并將取出的2個球全部放入A盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2個球全部

放入B盒中.按上述方法重復(fù)操作兩次后，8盒中恰有7個球的概率是.

14.一個圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時，其底面圓

的半徑為.

四、解答題

Q

15.已知等比數(shù)列｛%｝的公比4=3,且4+%=1.

⑴求｛%｝的前"項(xiàng)和s.；

（2）若等差數(shù)列出｝的前2項(xiàng)分別為出，g%，求也｝的前w項(xiàng)和人

16.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCZ）為正方形，PA平面45。。尸。與底面所成

的角為45。，E為PO的中點(diǎn).

⑴求證：平面PCD；

⑵若AB=2,G為ABCD的內(nèi)心，求直線PG與平面PCD所成角的正弦值.

17.某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天

從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)(千步為單位),并將樣本數(shù)據(jù)分為日,5),

［5,7),［7,9),…，［17,19),［19,21］九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；

⑵據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)［3,9),［9,15),［15,21］的會員中體檢為“健康”的比例分別為:

3

p以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.

18.已知拋物線＜7：、2=20吠。＞0)的焦點(diǎn)為/，〃［為C上一點(diǎn)，且阿司=，

(1)求C的方程；

⑵過點(diǎn)尸(4,0)且斜率存在的直線/與C交于不同的兩點(diǎn)AB,且點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為。,

直線AD與x軸交于點(diǎn)Q.

(i)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(ii)求一OAQ與的面積之和的最小值.

19.對于函數(shù)y=/(x),xeD］,y=g(x),xe￡)2及實(shí)數(shù)若存在玉??！瘪R?，：，使得

f(xi)+g(x2)=m,則稱函數(shù)/(x)與g(x)具有關(guān)聯(lián)”性質(zhì).

⑴若/(尤)=sinx與g(x)=cos2x具有“/關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；

⑵己知a＞0,/(X)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足；

①在［0,2a］上，當(dāng)且僅當(dāng)工=1時，Ax)取得最大值1；

②對任意xeR,有/(a+x)+f(a-x)=0.

求證：％=sin口+/(%)與必=cosKX-f(x)不具有"4關(guān)聯(lián)''性.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】利用基本不等式求解.

lab2ab2

..--------------------------<----------------------=------------------

【詳解】a2+b2+a2b2+9~2ab+a2b2+91,9

z+ab-\---

ab

又ab>0,所以"+222jab—=6,

abVab

mi、i2ab1

所以片+戶+/〃+9一“

當(dāng)且僅當(dāng)〃。=3,即a=b=6，或a=6=->/§'取等號,

所以a+b=2-\^或a+b=—2A/3.

故選：D

2.C

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較。，6與。，。的大小，然后結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及基本不

等式比較b,。的大小，即可求解.

【詳解】由題意得6=bg35,c=log58,

32__

因?yàn)镼=5=log3y=log3^/27>log35=b,a>b,

32___

?=—=log552=log5J125>log58,艮|3a>c,

8二lg5xlg5_(lg5)2)(lg5『一4(lg5『一/25〉1

因?yàn)镴lg8Ig8-lg3?怛逑暨單，42-2,所以b>c,

故.

故選：C.

3.B

【分析】變形復(fù)數(shù)z,根據(jù)題中定義進(jìn)行計(jì)算，即可判定.

,4兀..4兀

【詳解】z=--1=cos-----Fisin——，

233

20244TIx2024..471x2024

所以z=cos------------+isin-------------

33

2兀..2兀1

=cos-----Fisin—=——+包

33221'

所以Z2024的虛部為B

2

答案第1頁，共16頁

故選:B.

4.D

【分析】根據(jù)已知條件及誘導(dǎo)公式，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合兩角差的

正弦公式即可求解.

【詳解】由96，+2sin2夕=一5,<3(-2^)5+2sin(-2^)-5=0,

由3,—1)+2cosa=5,得31a-+2sin［a-￡)-5=0,

故-2尸和a-9是方程3/+2siiw-5=0的兩個實(shí)數(shù)根.

2

兀71

因?yàn)閍e［兀,2兀］,/?€,

所以a-與和-2廣的取值范圍都是《《，

因?yàn)楹瘮?shù)尸3v,"2$加在區(qū)間上均單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=3%5+2siiu在區(qū)間-今卷上單調(diào)遞增，

TT7T

故方程3—+2sinx-5=0在區(qū)間一展,上只有一個根，

所以"苧=3,即夕+2/?=浮于是有當(dāng)+￥=7,

....(2a4/3兀、.(71兀1.717171.716一0

所cr以sm---1-------=sin------=sin—coscos—sin—=---------

199(34)34344

故選：D.

5.D

【分析】將集合A5看作是直線的集合，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案.

【詳解】集合A={%&-丁+左=。}可以看作是表示直線4：履->+左=。上的點(diǎn)的集合,

由依_丁+左=0變形可得，左(x+l)_y=0,

x+l=0x=-l

由可得,

y=0y=0

所以直線4：質(zhì)-y+0。過定點(diǎn)E(TO).

集合8={(%丁)卜=履-1}可看作是直線，2:>=丘-1上的點(diǎn)的集合,

答案第2頁，共16頁

由丫="一1變形可得，辰一(y+l)=O,

%=0x=0

由>+1=?？傻?

y=T

所以，直線/?：y=丘-1過定點(diǎn)產(chǎn)(0,-1).

顯然，當(dāng)點(diǎn)V,N與點(diǎn)分別重合，且線段MN與直線乙，都垂直時，d有最大值

\EF\=,J(O+l)2+(-l-O)2=A/2.

故選：D.

6.A

【分析】根據(jù)出現(xiàn)5的個數(shù)分類討論后可求符合條件的所有的總數(shù).

【詳解】至多含4個5,有以下5種情況：

不含5,有線=1種；含1個5,有含=6種;

含2個5,有C：=15種；含3個5,有C：=20種；

含4個5,有C：=15種;

所以，所有的可能情況共有C+C：+或+或+或=57種，

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)題意列式求4,d,進(jìn)而可得S“，分析其符號即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為心

a5+as=-2ai0則<‘2q+lld=—2（%+9d）q=—29

因?yàn)?%+8d=—26'角牛將

%+%=—26d=4

可得=-29n+

且〃￡N*,當(dāng)〃W15時，S“<0；當(dāng)〃之16時，S〃>0；

可知：當(dāng)或〃216時，SnSn+i>0；當(dāng)〃=15時，SnSn+i<0；

若S￡+-0,所以〃=15.

故選：B.

答案第3頁，共16頁

8.D

【分析】令g(x)=/魯，其中XWO,分析函數(shù)g(無)的奇偶性及其在(。,+8)上的單調(diào)性，

由〃力>0可得出g(x)>0,可得出g(|x|)>g⑴，可得出關(guān)于x的不等式，解之即可.

【詳解】令g(x)=/詈，其中xwO,因?yàn)楹瘮?shù)〃x)為定義在(―e,0)U(0,E)上的偶函數(shù)，

貝!J/(-x)=/(x),所以,g(T)==g⑺,

所以，函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>。時，g，(尤卜立與至3=型唳@<0,

所以，函數(shù)g(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，且g⑴=*=0,

由〃%)>?？傻?(司=^^>0,則g(x)=g(|x|)>O=g6,

所以，解得-1<x<0或0<彳<1,

["0

因此，使/(x)>0成立的x的取值范圍為(-1,0)11(0,1).

故選：D.

9.AB

【分析】根據(jù)題意可得/(兀-x)=-“X),從而可對A判斷；由題意可得“x+2兀)=/(x),

則2兀為的一個周期，不妨討論[0,2對內(nèi)的值域情況，從而可對B判斷；令〃力=0,

13

可得sinx=O或cosx=0,即工=彳也(keZ),從而可對C判斷；根據(jù)/(x)=：分情況討

2'/4

29冗49兀

論得至五，%+尤2+迅+匕=5兀，從而可對D判斷.

【詳解】對A：由

/(兀一尤)=忖!1(兀一尤)卜0$(71：—尤)+$1112(71—*)=同11天卜(一(：05元)一($1112尤)=一卜incos尤一sin2x=—f(x)

所以〃?！獂)+/(x)=0,則〃x)的圖象關(guān)于對稱，故A正確；

對B：由/(%)=|sinx|cos%+sin2x=|sinx|cosx+2sinxcosJ;,

答案第4頁，共16頁

因?yàn)?（尤+2兀）=忖11（*+271）,05（尤+271）+$111（2X+471：）=匣11彳卜05彳+251112犬=/'（尤）,所以

/（元）的一個周期為2兀，

不妨討論[。,2可一個周期的值域情況，

TT

當(dāng)0?九工一,此時sinxNO,cos%NO,

2

113

貝Uf（x）-|sinx|cosx+sin2x=—sinxcosx+sin2尤二萬sin2x+sin2x=—sin2x,

jr3

因?yàn)閤e0,-,所以2xe[0,7t],貝公吊2r40,1],則“尤）e0,；；

當(dāng)一71止匕時sin%N0,cos%40,

2

[13

貝Uf（x）-1sinx|cosx+sin2x=—sinxcosx+sin2x=—sin2x+sin2x=—sin2x,

因?yàn)閤egn,所以2xe（兀,2可，貝i]sin2xe[-1,。],則〃x）e-1,0,

3兀

當(dāng)?！?止匕時sin尤KO,cos%KO,

2

貝U/（%）=,inx|cos%+sin2x=—：sinxcos%+sin2x=—：sin2x+sin2x=^sin2x,

因?yàn)獒軃（兀,三,所以2xe（27i,37i],則sin2xe[0,1],則〃x）e0,g,

3兀

當(dāng)一＜無工2兀，止匕時sin%KO,cos%之0,

2

貝U/（%）=忖口乂cos%+sin2x=—：sinxcosx+sin2x=—：sin2x+sin2%=gsin2x,

因?yàn)閤w仁，2兀,所以2xe（3兀,4可，則sin2xe[—1,。],則-g,0,

一33一

綜上所述/（“￡,故B正確；

對C：/（x）=cosx（|sinx|+2sinx）,“工）=。得sinx=0或cosx=。，可得無（左）,

41斤a,打

所以曹＜50,節(jié)＞50,所以〃x）在（0,50）上有31個零點(diǎn)，故C錯誤；

「33-

對D：/⑺是以2兀為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x?0，司時〃x）e--，2,

則/（尤）=：在（0,可上有2個實(shí)根毛，巧，且網(wǎng)與尤2關(guān)于彳=：對稱，所以%+%=。

當(dāng)X?71,2可時,則〃x）=a在（兀,2可上沒有實(shí)根，

則"》）=：在（2兀,3可上有2個實(shí)根￡，Z，且￡與Z關(guān)于個對稱，且無3+無4=今，

答案第5頁，共16頁

EC兀C3兀

目.XQ—27rH,XA-2兀~\,

1212

「]]]a

當(dāng)了?3私4兀]時〃x)e,則〃x)=:在(兀,2可上沒有實(shí)根，

當(dāng)了?4兀,5司時，=1有2個實(shí)根，但〃x)只需有4個零點(diǎn)，

29兀49兀

所以[2</<]2，又因?yàn)?+%2+%3+%4=5兀，

(89兀109兀

所以玉+/+三+七+/的取值范圍是7r,故D錯誤，

I1/1Z_

故選：AB.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

10.BCD

【分析】對于A,易于判斷截面形狀，計(jì)算即得其面積；對于B,可由A項(xiàng)圖形進(jìn)行對稱

性判斷得到；對于C,要結(jié)合A項(xiàng)中點(diǎn)N從點(diǎn)以運(yùn)動到點(diǎn)C'的過程中，截面形狀的變化,

以及B項(xiàng)中的結(jié)論合并進(jìn)行判斷；對于D,要在選項(xiàng)C的基礎(chǔ)上判斷|乂-匕|取最大值時,

對應(yīng)于3=0或a=1時的情形，故只需要求出這兩種情形下的％-用的值即得.

如圖1,當(dāng)幾=；時，點(diǎn)N是DC'的中點(diǎn)，易得截面為正六邊形.其棱長為吩7，=等,

故截面面積為6乂?><(5)2=￥，故人項(xiàng)錯誤；

由對稱性可知.當(dāng)人=1時.平面分兩部分是全等的，故體積相等，故B項(xiàng)正確；

2

答案第6頁，共16頁

DC

圖2

如圖2.當(dāng)；l從0變化到1時.截面從四邊形MD'C尸變化至五邊形的"C。（其中1/為3c靠

近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)）.

結(jié)合B項(xiàng)可知，被截面所分兩部分體積之差的絕對值先減小至0,再逐漸增大，故C項(xiàng)正

確；

必-匕|取最大值時對應(yīng)為久=0,或％=1時情形.

當(dāng)4=0時，不妨記匕為截面MD'CP左上角的部分幾何體，則

“T7L111,7

V\=VP-AMD'D+VT7P-DD'C+=

7=（，此時M-引=］一（5

貝UK=1~24l2

當(dāng)2=1時，不妨記匕為截面M9C'。左上角的部分幾何體，則

、、,T/I,、、,I..I.

TTX

匕=^P-DAMQD,+^P-DCC,D'+^Q-PCJ+^Q-JC'C=7Q一~T)~+TX1X1+TX7X1+TXTX1——,

312233o3372

47ll

則匕=1-女此時36

,四一叫的最大值為《，故D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查正方體的截面面積和分割成的幾何體的體積問題，屬于難

題.

解題思路在于要有從特殊到一般的思想，先考慮點(diǎn)N為。'C’的中點(diǎn)時的截面和分割成的幾

何體體積的關(guān)系，再考慮點(diǎn)N分別與點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)C'重合時的截面形狀以及分割成的兩部分的

體積，總結(jié)出體積變化規(guī)律即可.

ll.ACD

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式及雙曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合基本不等式一一判定選項(xiàng)即可.

答案第7頁，共16頁

Y2b

【詳解】易知：雙曲線1的漸近線方程為>=土士尤,

aba

設(shè)點(diǎn)A（x,y）到兩條漸近線的距離分別為4,乙，

|&_切||（法）（沖）2]

則利用點(diǎn)到直線的距離公式可得=華但2-

y/a2+b2y/a2+b2a?+/

22

因?yàn)楸?2=1,所以（法）2_（分）2=/凡

ab

22

\ab\a2b23112

所以4d2=所以部+記FA正確;

a2+b2a2+b22

1122

因?yàn)閪+=彳2,所以必23,B錯誤；

ab3ab

因?yàn)?+/=（/+/）化+31。=（2+*《岸/2+2\旦磯、。=6,

I\a2b~）2Ia2b2J2［\a2b2）2

當(dāng)且僅當(dāng)々=〃時等號成立，C正確；

因?yàn)椋?力11222,224

--------11=—??—?—=—所以--1-----<-----------,

a1b2ab3ab333ab3

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立，D正確.

故選:ACD.

12.7x-4y-5=0

【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?疝1（2無-1）+」^,貝廳⑴=lxlnl+1T=：，

十ILiL乙

所以切點(diǎn)為［，；］,>f，W=ln（2x-l）+^-^—

?17

則左=/'0）=lnl+耳一聲=^，

17

由直線的點(diǎn)斜式可得丁-：=；（尤-1）,化簡可得7x-4y-5=0,

所以切線方程為7x-4y-5=0.

故答案為：7x-4y-5=0

13.衛(wèi)

300

【分析】確定出兩次取球后B盒中恰有7個球必須滿足兩次取球均為乙獲勝，再分別計(jì)算出

第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得結(jié)果.

答案第8頁，共16頁

【詳解】若兩次取球后，8盒中恰有7個球，則兩次取球均為乙獲勝；

若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率為1;x±9=±1,

255

第一次取球后A盒中有2個黑球和3個白球，3盒裝有4個黑球和2個白球，

ooQjX

第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€白球一個黑球，其概率為+

565615

1QQ

此時3盒中恰有7個球的概率為；

51575

133

若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為=而，

第一次取球后A盒中有3個黑球和2個白球，8盒裝有3個黑球和3個白球，

第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€白球一個黑球，其概率為=33+=2義=3=二1；

56562

此時B盒中恰有7個球的概率為53義彳1=39；

10220

QQ77

所以B盒中恰有7個球的概率為卷+扁=?.

77

故答案為：旃

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的突破口在于先分清楚兩次取球后，3盒中恰有7個球必須滿足

兩次取球均為乙獲勝；再分別討論并計(jì)算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、

第二次取黑球的概率即可求得結(jié)果.

14.逑

3

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，高為心分圓錐頂點(diǎn)與底面在球心。的異側(cè)和同側(cè)兩種情

況討論，由圖可得尸=〃（4-〃），得丫=9/F（4-/z）結(jié)合不等式求最大值.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,，高為〃，則圓錐的體積為了=:兀//2,

當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心。的同側(cè)時，有無=2-Oq=2-，4-心,0<h<2,

r2=/i（4—/z）,

1/7、1./（/Z+/Z+8-2/ZY256TI

：.TV7=—Tih2（4-/z）=—Tih2（o8-2/z）<—TIxI-----------I=,

Q

當(dāng)且僅當(dāng)/?=8-2/z,即：時等號成立，X0<//<2,所以等號不成立.

答案第9頁，共16頁

s

當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心。的異側(cè)時，/2=2+。9]=2+，4--,2<^<4,

112（Ai\172/c1（h+h+^—2h\256TI

:.V=-Tih2（4-/z）=—Tih2（8-27z）<—7：x-----------=----當(dāng)且僅當(dāng)/i=8—2/z,即

3663J81

人=|時等號成立.

此時『2哼,即

所以當(dāng)圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為逑.

3

故答案為：逑

3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意可知圓錐頂點(diǎn)與球心。在底面同側(cè)或異側(cè)，設(shè)圓錐的底面半徑為

高為心根據(jù)圖形關(guān)系可得/=力（4-力），則V=9/（4-可轉(zhuǎn)化為

V=^7T/z2（4-/z）=171/12（8-2/7）,利用基本不等式求最值，注意取等號條件是否成立.

3o

1

15.（1電=3〃一2

9

6

2

【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程求得結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可

求解;

答案第10頁，共16頁

771

(2)由(1)得4=(，h=1，得到也｝的公差〃結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，

即可求解.

Q9

【詳解】(1)解：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的公比4=3,所以4+g=q+34=44=],可得4=g，

2

所以4=|X3〃T=2X3〃-3,所以§11(1_/)=5(1_邛)=3-21.

9〃―\-q1-39

7171

(2)解：由(1)得偽=出=§，a=5。3=1，所以｛4｝的公差〃=1一耳=§，

而1、57”(1),2H2+3H

所以工二孔仇T——----d=-n-\——-------=---------.

〃12366

16.(1)證明見解析

⑵“

4

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可證；

(2)由等腰直角三角形內(nèi)心的特點(diǎn)確定點(diǎn)G的位置，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫

出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線面角的空間向量公式計(jì)算可得出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)樯?,平面A8CD,C￡>u平面ABCD,所以R4，CD,

因?yàn)槭?與平面ABCD所成的角為45°,上4_L平面ABCD,

所以/PZM=45°,且/PZM=/APD=45。，所以上4=AD,

又E為PD的中點(diǎn)，所以AE_LBD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD_LAD,

又CDLPAPAAD=ARl,ADu平面PAD,

所以CD_L平面尸/山，

因?yàn)锳Eu平面PAD,所以

因?yàn)槭?gt;c8=。尸￡>,C￡>u平面PCD,

所以AE_L平面PCD.

(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，G為的內(nèi)心，

所以G在對角線AC上.

如圖，設(shè)正方形的對角線的交點(diǎn)為。，

所以O(shè)G=GF,CG=Jk>G,

答案第11頁，共16頁

所以CO=CG+OG=(0+1)OG,AC=2CO=2(0+1)OG,

所以AG=4O+OG=CO+OG=W+2)OG=@1+@OG,

n

所以AG=Y^AC,又因?yàn)锳B=2,所以AG=2.

2

由題意知AB,AT）,AP兩兩垂直，以AB，AD,AP所在的直線分別為X軸，y軸，Z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

所以G（&,&,0）,由（1）知AP=AD,

所以P（0,0,2）,D（0,2,0）,E（0,l,l）,

所以PG=（忘,&,-2）.

又因?yàn)殂@，平面PCD，所以平面PCD的一個法向量為AE=（0,1,1）.

設(shè)直線PG與平面PCD所成角為。，

,,AEPG|(0,U).(""T2一0

貝I]sin。=cos<AE,PG)=------------

11AE\-\PG忘x*一4

17.(1)14.5

(2)0.38

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和總體百分位數(shù)的定義直接求解即可.

答案第12頁，共16頁

(2)設(shè)任取的會員數(shù)據(jù)在［3,9),［9,15),［15,21］中分別為事件A，A,4，先求出對應(yīng)概

率，即可求解體檢為“健康”的概率.

【詳解】(1)解：(1)由于在［3,13)的樣本數(shù)據(jù)比例為：0.01+0.02+0.12+0.17+0.23=0.55

樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在［13,15)內(nèi).?.估計(jì)為：13+2x設(shè)］黑=14.5.

(2)(2)設(shè)任取的會員數(shù)據(jù)在［3,9),［9,15),［15,21］中分別為事件A，4,

尸(A)=0.01+0.02+0.12=0.15,尸(&)=0.17+0.2+0.23=0.6,

P(4)=0.17+0.06+0.02=0.25

設(shè)事件A=在該地區(qū)工會會員中任取一人體檢為“健康”

113

P(A)=0.15x-+0.6x-+0.25x-=0.38.

18.(l)y2=3x

⑵(i)2(-4,0)；(ii)876

【分析】(1)由條件結(jié)合拋物線的定義列方程求。，相，由此可得拋物線方程；

(2)(i)設(shè)/的方程為x孫+4,聯(lián)立方程組并化簡，設(shè)4(網(wǎng),必),8。2，%)，。(尤2，-%)，應(yīng)

用韋達(dá)定理得%+%，%%，寫出直線AD方程，求出它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即得;

(ii)由(i)的結(jié)論計(jì)算三角形面積和，結(jié)合基本不等式求其最值.

p3

m-\——二一

7?3

【詳解】⑴由題意可得A解得P==,

2pm=——

所以C的方程為：y2=3x；

(2)(i)由已知可得直線/的斜率不為0,且過點(diǎn)(4,0),

故可設(shè)的直線/的方程為尤=7^+4,

代入拋物線產(chǎn)=3x的方程，

可得y?-3my-12=0,

方程y2-3my-12=0的判別式A=9/+48>0,

答案第13頁，共16頁

設(shè)A(X],%),8(X2，%),。(尤2,一必)

不妨設(shè)％>0,則M+%=3九乂%=一12,