2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第二章2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)單元4

圓的方程圓是同學(xué)們熟悉的基本平面曲線,也是最簡(jiǎn)單的封閉曲線.在平面直角坐標(biāo)系中,我們借助直線的幾何要素建立了直線方程,通過(guò)直線方程解決直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)以及距離等問題.類比直線的研究方式研究圓,根據(jù)確定圓的幾何要素建立圓的方程,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程及一般方程.通過(guò)圓的方程,運(yùn)用坐標(biāo)法解決一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單問題,初步理解軌跡問題.這是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線.具體知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示:在上述知識(shí)明線的學(xué)習(xí)過(guò)程中,逐步加深對(duì)利用解析幾何解決問題的方法的認(rèn)識(shí),對(duì)“四步曲”的大觀念以及坐標(biāo)法的理解,提升用代數(shù)方法研究幾何問題的能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.(邏輯推理)2.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題.(直觀想象)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

定長(zhǎng)

名師點(diǎn)睛1.當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2.2.當(dāng)圓心在原點(diǎn),半徑長(zhǎng)r=1時(shí),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1,這樣的圓稱為單位圓.微思考1.圓中的幾何關(guān)系是什么?幾何關(guān)系如何用代數(shù)方式來(lái)表示?

2.若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+5)2=3,則它表示了怎樣的幾何意義?

提示

幾何關(guān)系:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng).代數(shù)方式表示:設(shè)圓上任一點(diǎn)為P(x,y),定點(diǎn)為M(a,b),定長(zhǎng)為r(r>0),即|PM|=r.然后用兩點(diǎn)間距離公式表示距離,再經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)運(yùn)算,即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.提示

到點(diǎn)(1,-5)的距離等于

的點(diǎn)的軌跡.知識(shí)點(diǎn)2

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r

(x0-a)2+(y0-b)2>r2位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)特點(diǎn)點(diǎn)在圓上d=r

點(diǎn)在圓內(nèi)d<r

(x0-a)2+(y0-b)2<r2(x0-a)2+(y0-b)2=r2重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1對(duì)于圓來(lái)講,其幾何要素是什么?幾何定義是什么?問題2根據(jù)圓的幾何要素及定義,在平面直角坐標(biāo)系中,如何建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?問題3根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能否看出圓的幾何要素?探究點(diǎn)一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題4求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是要知道什么幾何量?若從代數(shù)的角度來(lái)思考,要求解含有幾個(gè)量的方程?【例1】

求圓心在直線x-2y-3=0上,且過(guò)點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

(方法1)設(shè)點(diǎn)C為圓心,∵點(diǎn)C在直線x-2y-3=0上,∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),∴|CA|=|CB|.∴圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑r=.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.規(guī)律方法

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)直接法求圓的方程.圓的方程由圓心、半徑?jīng)Q定,因此求出圓心和半徑即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法,圓心(a,b),半徑為r.特殊位置標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2圓心在y軸上x2+(y-b)2=r2與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2(3)利用圓的性質(zhì)求方程.求圓的方程時(shí),可以利用圓的性質(zhì)求圓心、半徑,如弦的垂直平分線過(guò)圓心,過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線過(guò)圓心等.探究點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題5借助圓的方程,如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?請(qǐng)從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度來(lái)思考.【例2】

(1)點(diǎn)Q(m2,5)與圓x2+y2=20的位置關(guān)系是(

)A.點(diǎn)Q在圓內(nèi)

B.點(diǎn)Q在圓外C.點(diǎn)Q在圓上

D.不確定B解析因?yàn)?m2)2+52=m4+25>20,所以點(diǎn)Q在圓外.(2)已知點(diǎn)M(5+1,)在圓(x-1)2+y2=26的內(nèi)部,則a的取值范圍是

.

[0,1)規(guī)律方法

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用(2)位置關(guān)系的應(yīng)用:代入點(diǎn)的坐標(biāo),利用不等式求參數(shù)的取值范圍.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.2.方法歸納:直接法、幾何法、代數(shù)法、待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū):幾何法求圓的方程容易出現(xiàn)漏解情況.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)121.(例1對(duì)點(diǎn)題)已知圓過(guò)點(diǎn)A(1,-2),B(-1,4),求圓心C在直線2x-y-4=0上的圓的方程.12122.(例2對(duì)點(diǎn)題)若點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)