上海市十二校2024屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

上海市十二校2024屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.小張家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30-7：30之間把報(bào)送到小張家，小張離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上

7.00-8:00之間.用A表示事件：“小張?jiān)陔x開(kāi)家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x,小張離開(kāi)家的時(shí)間為y,

(x，y)看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P(A)等于()

2.已知函數(shù)/'(%)='一"入，"(?！?),若函數(shù)g(x)=/(x)—4國(guó)有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

5-X,%>6Z

(0,1)[5,+8)(0,1)U[5,4W)

3.已知非零向量滿足同=%W，若a/夾角的余弦值為?，且(a-24乂3。+可，則實(shí)數(shù)X的值為()

4

9

函數(shù)y=在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則f(x)可能是(

77X

/(%)=ln|sinx|

/(%)=ln(cosx)

/(x)=-sintanx

D./(%)=-tan|cos%|

5.已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列{q}中，。2+%+。4=15,若4+2,%+4,/+16成等比數(shù)列，則《0=()

A.19B.20C.21D.22

6.如圖，在正四棱柱ABCD—A4Gq中，AB=y[2AAl,E,F分別為AB,的中點(diǎn)，異面直線A耳與C尸所

成角的余弦值為小，貝!1()

A.直線4E與直線C]b異面，且加=Y2B.直線AE與直線C]B共面，旦m二包

33

C.直線4E與直線C|B異面，且m=3D.直線AE與直線GF共面，且機(jī)=迫

33

7.已知集合A={0,1,2,3},B=[x\x=n--l,neA},p=Ar>B,則尸的子集共有()

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

8.已知向量a=(—m,4),b=(m,I)(其中心為實(shí)數(shù))，貝!1“加=2”是“，6”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))之和，也就

是我們所謂的“1+1”問(wèn)題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤(rùn)等在哥德巴赫猜想

的證明中做出相當(dāng)好的成績(jī).若將6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()

1132

A.—B.—C.—D.一

5353

10.設(shè)i是虛數(shù)單位，aeR,8色=3—2i,則。=()

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

11.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：

有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，間折斷處離地面的高為

()尺.

A.5.45B.4.55C,4.2D.5.8

2i

12.如圖，雙曲線Cr：1—3=1（。>02>0）的左，右焦點(diǎn)分別是耳（―c,0）,乙（c,0）,直線y=f與雙曲線C的

ab2〃

TT

兩條漸近線分別相交于AB兩點(diǎn).若/8耳耳=§,則雙曲線。的離心率為（）

R4后

A.2B.------

3

D.正

C.夜

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/（x）=e'cosx+x5,則曲線y=/（x）在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程是.

14.如圖，在士ABC中，已知AB=3,AC=2,Z￡L4C=120°,。為邊的中點(diǎn).若CELAZ）,垂足為E,

則仍的值為一.

15.已知。為矩形ABC。的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從A&C。,。這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為

16.已知四棱錐尸-ABC。，底面四邊形ABC。為正方形，PA=PB=PC=PD,四棱錐的體積為城，在該四

棱錐內(nèi)放置一球。，則球。體積的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在銳角AABC中，a,b,c分別是角A,B,。所對(duì)的邊，AABC的面積S=2,且滿足

tzcos5=Z?（1+cosA）,則（。+々一））（。+人一〃）的取值范圍是（）

8A/3-8

A.(8A/2-8,8)B.(0,8)

18.（12分）已知橢圓C：三+二=1的右頂點(diǎn)為。，￡為上頂點(diǎn)，點(diǎn)4為橢圓。上一動(dòng)點(diǎn).

43

（1）若DELAE,求直線AD與V軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)口為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4,0）與x軸垂直的直線為9的中點(diǎn)為N,過(guò)點(diǎn)4作直線的垂線，垂

足為B,求證：直線AE與直線8N的交點(diǎn)在橢圓C上.

19.（12分）已知點(diǎn)加（工,為）為橢圓C：f+y2=i上任意一點(diǎn)，直線/:尤0x+2%y=2與圓（x—ly+j?=6交于人，

B兩點(diǎn),點(diǎn)R為橢圓。的左焦點(diǎn).

（1）求證：直線/與橢圓C相切；

（2）判斷乙韭8是否為定值，并說(shuō)明理由.

20.（12分）如圖，四棱錐尸—A3CD中，平面ABC。，AB=BC=2,CD=AD=幣，ZABC=12Q°.

（I）證明：BDA.PC；

（II）若"是P。中點(diǎn)，8M與平面R45所成的角的正弦值為上叵，求K4的長(zhǎng).

10

21.(12分)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA-四asinB=1.

(1)求A；

(2)已知a=2石，B=y,求AABC的面積.

22.(10分)如圖，已知拋物線E：y2=4x與圓M：(X—37+>2=/(廠>0)相交于4,B,C,。四個(gè)

點(diǎn)，

(1)求廠的取值范圍；

(2)設(shè)四邊形ABC。的面積為S,當(dāng)S最大時(shí)，求直線AD與直線的交點(diǎn)尸的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.

【詳解】

解：事件A發(fā)生，需滿足XVy,即事件A應(yīng)位于五邊形BCDEN內(nèi)

,111

1--X—X—r

P（A）=——-~~-=-

v'18

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.

【詳解】

作出>和y=5—x,丁=4忖的圖像如下所示:

函數(shù)g(x)=/(x)-4國(guó)有三個(gè)零點(diǎn),

等價(jià)于y=/(X)與y=4W有三個(gè)交點(diǎn)，

又因?yàn)椤?gt;0,且由圖可知，

當(dāng)xWO時(shí)y=/(x)與y=4|R有兩個(gè)交點(diǎn)A,。，

故只需當(dāng)尤>0時(shí)，y=/(x)與y=4|x|有一個(gè)交點(diǎn)即可.

若當(dāng)x>0時(shí)，

ae(O,l)時(shí)，顯然□=□(口)與口=4|口有一個(gè)交點(diǎn)口，故滿足題意;

。=1時(shí)，顯然□=□｛口)與口=4［口|沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；

ae(l,5)時(shí)，顯然匚=□(□)與口=4|口|也沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意;

ae[5,”)時(shí)，顯然y=/(x)與y=4|x|有一個(gè)交點(diǎn)C,故滿足題意.

綜上所述，要滿足題意，只需a?(0,1)[5,+8).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.

3、D

【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合同=4可以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.

【詳解】

依題意，得(a—2b)?(3a+Z?)=0,即一5。??！?M?=0.

將同=州代入可得，1822-192-12=0.

解得/=—3(彳=—4舍去).

29

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

【詳解】

解：當(dāng)x=0時(shí)，sin0=0,1叫吊0|無(wú)意義，故排除A；

又cos0=l,貝U/(0)=—tan|cos0|=-tanl#0,故排除D；

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，|tanx|>0,所以/(x)=—sinkanx1不單調(diào)，故排除C；

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問(wèn)題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

試題分析：設(shè)公差為d,4+生+。4=3/=15=>%=4+2d=5=>囚=5-2d=>(弓+2)(6+5d+16)

=(7—2d)(3d+21)=81n2d2+74—22=0=>2=2或4=—口(舍)=:=：=匚=：-1->:=：］，故選A.

2-.

考點(diǎn)：等差數(shù)列及其性質(zhì).

6、B

【解析】

連接EE,4。1，G。，DF,由正四棱柱的特征可知MPAG，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線4E與直線q歹共

面.，同理易得A與CQ,由異面直線所成的角的定義可知，異面直線A4與G歹所成角為NDGb，然后再利用

余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示：

連接EF,AG，QD,DF,由正方體的特征得跖P4G，

所以直線4E與直線。1尸共面.

由正四棱柱的特征得AgCyD,

所以異面直線A片與C歹所成角為

設(shè)朋=拒，則48=應(yīng)相=2,則。E=石，C、F=6QD=遍，

由余弦定理，得"？=cosNr>C7="A"g.

2x〈3x，63

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

7、B

【解析】

根據(jù)集合A中的元素，可得集合5,然后根據(jù)交集的概念，可得P,最后根據(jù)子集的概念，利用2”計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：A={0,1,2,3},B={無(wú)卜=M2-1,HGA)

當(dāng)〃=0時(shí)，x=-l

當(dāng)〃=1時(shí)，x=Q

當(dāng)〃=2時(shí)，x=3

當(dāng)〃=3時(shí)，％=8

所以集合5=1k=n--l,neA}={-1,0,3,8)

則尸=AcB={0,3}

所以P的子集共有22=4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合P中有〃元素時(shí)，集合尸子集的個(gè)數(shù)為2"，真子集個(gè)數(shù)為

2n-b非空子集為2"-1，非空真子集為2"-2,屬基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.

【詳解】

由加=2,則a?/?=(-2,4)-(2,1)=-4+4=0,所以而

當(dāng)a則a==-〃2?+4=0,解得=2或機(jī)=一2.所以

?m=2”是"a±b”的充分不必要條件.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).

9、A

【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.

【詳解】

6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和含有的基本事件有",5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),

根據(jù)古典概型知，所求概率為P=g.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.

10、C

【解析】

由三義=3-2,，可得5+切=(a+z)(3-2z)=3a+2+(3-2a)z,通過(guò)等號(hào)左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出?的

a+i

【詳解】

55+ai

解：-----二=3-2i,/.5+ai=（a+z）（3-2z）=3^z+2+（3-2a）i

a+i

5=3a+2

，解得：。=1

3—2a=a

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算類問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是把當(dāng)成1進(jìn)行運(yùn)算.

11、B

【解析】

如圖，已知AC+AB=1O,BC=3,AB2-AC2=BC1=9

：.{AB+AC\AB-AC）=9,解得AB-AC=0.9,

AB+AC=10[AB=5.45

[AB-AC=0.9[AC=4.55

折斷后的竹干高為4.55尺

故選B.

12、A

【解析】

易得3（-不c笄be），過(guò)3作x軸的垂線，垂足為7,在中，利用吃B7T=tan7wi即可得到a/,c的方程.

22a3

【詳解】

由已知，得3（-二竺），過(guò)3作X軸的垂線，垂足為T,故片T=￡,

22a2

be

又NBFiF,=工所以魯=tang=6,即22=0=6，

-3FJ3ca

2

所以雙曲線C的離心率e=Jl+§）2=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率問(wèn)題，在作雙曲線離心率問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到七仇c的方程或不等式，本題屬于容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、y=x+l

【解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可

【詳解】

/'（x）=ex{cosx-5znx）+5x4,則/'（0）=1,又/（0）=1

故切線方程為y=x+l

故答案為y=x+l

【點(diǎn)睛】

本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題

一27

14、---

7

【解析】

EB.EC=（EA+AB）.EC=AB.EC=（AD+DB）.EC=CD.EC=-EC。,

由余弦定理，得BC=V9+4-2X3X2XCOS120=y/19，

市「4+19-97J73J3

得cosC=——一—,S=、一

4jM=-=2MAD=—2,4

所以“=￥，所以EB-EC=—二

a7

點(diǎn)睛：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用.本題中存在垂直關(guān)系，所以在線性表示的過(guò)程中充分利用垂直關(guān)系，得到

EBEC=-EC?，所以本題轉(zhuǎn)化為求CE長(zhǎng)度，利用余弦定理和面積公式求解即可?

4

15、一

5

【解析】

基本事件總數(shù)”=C：=10,這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和BOD,由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率.

【詳解】

解：。為矩形ABC。的對(duì)角線的交點(diǎn)，

現(xiàn)從A,B,C,D,。這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，

基本事件總數(shù)〃=C；=10,

這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和30。,

24

，這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為。=1磊=.

4

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

A/6

16、u

【解析】

由題知，該四棱錐為正四棱錐尸-A3CD,作出該正四棱錐的高7W和斜高QE,連接HE,則球心。必在PHE

的7W邊上，設(shè)NOEH=e,由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知/尸缶=28,設(shè)A5=2a,用。和。表示四棱錐的體

積，解得“和。的關(guān)系，進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑，并求出半徑的最大值，進(jìn)而求出球的體積的最大值.

【詳解】

設(shè)/OEH=0,AB=2a,

由球O內(nèi)切于四棱錐可知，ZPEH=ie,EH=a,

則尸//=atan28,球。的半徑R=atang,

^P-ABCD」x4/xatan2，=童

33

citan20=a=———，

22tan20

33

33c瓜tan0A/6tan0

2tan2。2x2tan6

1-tan*20

76tan26^^1-tan20^R

4~~L6

當(dāng)且僅當(dāng)tan。=交時(shí)，等號(hào)成立，

2

此時(shí)匕苧落和

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐的體積問(wèn)題，內(nèi)切球問(wèn)題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、A

【解析】

由正弦定理化簡(jiǎn)得sin(A-5)=sin5,解得A=23(工，進(jìn)而得到C=?―33e(三,工)，利用正切的倍角公式求得

242

Cr-4

l>tan->-l+V2,根據(jù)三角形的面積公式，求得進(jìn)而化簡(jiǎn)

2sinC

Q「

(c+a-b)(c+b-a)=------(1-cosC)=8tan—,即可求解.

sinC2

【詳解】

由題意，在銳角AABC中，滿足QCOS3=Z?(1+COSA),

由正弦定理可得sinAcosB=sinB+sinBcosA，即sinAcosB一sinBcosA=sinB,

TT

可得sin(A—6)=5足6,所以A—6=5,即A=23<一,

2

所以3G(0,￡),所以4+3=33e(￡,當(dāng))，則C="一33e(f,1)，

42442

2ctan一cr_

所以tanC=--------J>1,可得l>tan->-4+0,

l-tan2c2

2

14

又由AABC的面積S=—〃0sinC=2,所以=-----,

2sinC

貝(I(c+a-b)(c+b-a)=c2-a2-b2+lab——2abcosC+2^Z?=2a/?(l-cosC)

X1—(1—2sin2一)「

=^—(l-cosC)=8x--------------^-=8tan—G(8A/2-8,8).

sinCc.CC2

2sin—cos—

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應(yīng)用，著重考查了推理

與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

18、(1)[°，一寧J的)見(jiàn)解析

【解析】

(1)直接求出直線AE方程，與橢圓方程聯(lián)立求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線AO方程，得其與>軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)AO。,%),則3(4,%),求出直線和A尸的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，

即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程.代入驗(yàn)證即可.注意分毛=1和不力1說(shuō)明.

【詳解】

解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，

(1)由題知0(2,0),E(0,G),則殳￡=—#.因?yàn)镺ELAE，所以的E=竽，

_26A48

y=——x+y/3x=-----

則直線AE的方程為丫=氈％+6,聯(lián)立《25

,,，可得‘

3773

三+I匕—-1■\;-..........

43"25

述

(487g).則左。4=，^=走，直線AD的方程為y=3(x—2)?令尤=0,

故A「王

DA。，4814-14

ZH----

25

，故直線AD與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

⑵證明：因?yàn)槭?1,0),M(4,o),所以Ne,o).設(shè)點(diǎn)4%0，%),則5(4,%).

設(shè)

當(dāng)毛=1時(shí)，設(shè)貝!此時(shí)直線4尸與X軸垂直,

其直線方程為x=l,

5

直線BN的方程為y-0=即Hny=x_].

在方程y=x—g中，令x=l,得丁=一：，得交點(diǎn)為顯然在橢圓°上?

同理當(dāng)A,一|

時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓。上.

當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線BN的方程為

直線AF的方程為y=4彳a-1)，

/一1

5%0—8

消去y得(X-1),化簡(jiǎn)并解得x=

2x0-5

□xn-dyn/八3yn

將x=；7y代入y=中，化簡(jiǎn)得)=三弋.

2x0-5x0-12x0-5

所以兩直線的交點(diǎn)為

72

因?yàn)?出YJ3%

3^2x-5

412%-5J0

25—80%0+643y；25XQ—80%0+64+12y；

4（2x°—5）2+（2x0_5）,―

4（2x。-5）2

22

又因?yàn)榻??=1,所以4y=12—3片，

川25蒼—80x0+64+12y：4xj—20x0+25（2x（）—5）1

）-）2

月4（2--52（2x°—52-（2x0-5）-

所以點(diǎn)在橢圓°上.

（2%-52x0-5J

綜上所述，直線AF與直線BN的交點(diǎn)在橢圓C上.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓相交問(wèn)題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線

方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線.本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）是，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)判別式即可證明.

（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明，需要分類討論,

【詳解】

解：（1）當(dāng)先=0時(shí)直線/方程為了=&或》=—0,直線/與橢圓C相切.

「2

X?2_］

當(dāng)兒片0時(shí)，由＜2+y—得（2/+片）龍2-4X0%+4-4尤=0,

xox+2yoy=2

由題知，］+此=1,即x：+2y；=2,

所以A=（TX°）2-4（2y；+x；）（4-4端=16［片-2（1-y；）］=16（君+2常-2）=0.

故直線/與橢圓C相切.

⑵設(shè)4（%,%）,8（%，%），

當(dāng)為=0時(shí)，引=々，％=-乂，尤i=±&，

叢?FB=（F+1）2—y；=（石+1）2—6+（石一1）2=2尤；_4=0

所以E4_LEB，即NAFB=90°.

，丁得田收2

當(dāng)必。0時(shí)，由<(2y；+%)尤+2—10y：=0,

則…=2Q""

1*21+y；1+￥

2備?+尤2)+3=—5%Q—4%Q+4

%2+2y；

因?yàn)镋4-￡B=(玉+1,%卜(％2+L%)

=%9+玉+%2+l+M%

4—20寸+8yj+4XQ+2+-5君-4%0+4

2+2+2yj

5（片+2y；）+10

一?—u?

2+2y；

所以E4J.EB，即NAFB=90°.故N/VB為定值90°.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

20、（I）見(jiàn)解析；（n）#

【解析】

（I）取4。的中點(diǎn)。，連接08,。。，由43=6。，A￡>=C￡>,得6。,。三點(diǎn)共線，且ACLB。，又

再利用線面垂直的判定定理證明.

2

（II）設(shè)=則PB=G+4,PD=y/x+7>在底面ABC。中，BD=3,在中，由余弦定理得：

PB?=BM2+PM2-2-BM-PM-cosNPMB，在ADBM中，由余弦定理得

DB2=颯2+刎2_2.颯.刎.cosNZW，兩式相加求得磁=J；19，再過(guò)。作￡）石，胡，則四，

DH

平面P45,即點(diǎn)。到平面R鉆的距離，由“是尸。中點(diǎn)，得到"到平面PLB的距離一，然后根據(jù)8M與平面

2

R45所成的角的正弦值為"求解.

10

【詳解】

(I)取AC的中點(diǎn)。，連接03,8,

由AB=BC,AD=CD,得8,。,。三點(diǎn)共線，

且ACL3。，又BD上PA,ACr>PA=A,

所以平面K4C,

所以5DLPC.

(II)設(shè)B4=*，PB=G+4,P￡)=4+7,

在底面ABC。中，BD=3,

在/的W■中，由余弦定理得：PB2=BM2+PM2-2-BM-PM-cosNPMB，

在△DRW中，由余弦定理得龍2BM2+DM2-2-BM-DM-cos/DMB，

兩式相加得：加2+陽(yáng)2=2W2+2DM2，

所以砌2+

F+13=22

/+19

BM=

過(guò)。作則平面R4B,

3^/3

即點(diǎn)。到平面PAB的距離DH=BD-sin60

2

因?yàn)?是中點(diǎn)，所以為M到平面R鉆的距離"=里

24

因?yàn)锽M與平面R45所成的角的正弦值為空,

10

解得x=A/6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔

題.

21、(1)—；(2)6^/3?

6

【解析】

(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinHcosA-6sinAsinb=L結(jié)合sinb>l,可求tanA=——,結(jié)合范圍AW(1,

3

九)，可得A的值；(2)由已知可求。=工，可求方的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解.

2

【詳解】

(1)VbcosA-

?二由正弦定理可得：sinBcosA-J^sinAsin5=L

VsinB>l,

:.cosA=,

/.tanA=^-^,

3

VAG(1,