2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 橢圓 高頻考點+精練（解析版）（藝考生基礎(chǔ)版）

第05講橢圓（精練）

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

2222

1.（2022?四川眉山中學(xué)高二期中（文））橢圓一+2r=1與雙曲線二一=1有相同的焦

4a~a22

點，貝！!。=（）

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】C

【詳解】由題知，橢圓與雙曲線的焦點都在無軸上，且焦點相同，

所以c=,4-/='Ja2+2>

解得。=±1（經(jīng)檢驗，都符合題意），

故選：C.

y2

2.（2022?江蘇?無錫市第一中學(xué)高二期中）橢圓。:爐+=1的一個焦點是（0,1）,則上的

k

值是（）

A.yB.2C.3D.4

【答案】B

2

【詳解】,?橢圓c：r+匕=1的一個焦點是（0,1）,焦點在y軸上，

k

c—1,a?=k,6=1,

k=c2+b2=2.

故選：B

2222

3.（2022?湖南師大附中高二期中）曲線工+匕=1與曲線^=1（左<9且％W0）

2599一k25-k

的（）

A.長軸長相等B.短軸長相等C.焦距相等D.離心率相等

【答案】C

2

【詳解】曲線二f+乙V=1表示焦點在X軸上，長軸長為10,短軸長為6,離心率為4三，焦距

2595

為8的橢圓.

22

曲線』一+二一=1（k<9且左。0）表示焦點在丁軸上，長軸長為2425-k，

9-k25-k

____?-------------------------4

短軸長為27^1,焦總巨為2J（25-1）-（9-左）=8,離心率為岳二的橢圓.

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故選：c.

4.（2022?天津河北?高二期中）若橢圓［+==1上一點P到右焦點的距離為5,則它到左

焦點的距離為（）

A.31B.15C.7D.1

【答案】C

【詳解】橢圓（+《=1中，a2=36=>a=6,

3620

22

記橢圓芻+9=1的左焦點為%右焦點為匕則|尸耳1=5,

3620

由橢圓的定義可知:歸耳+|P&|=2a=12,

所以|P司=12—5=7,

故選：C.

5.（2022,山東青島?高二期中）在平面上，動點尸與兩個定點片，工的距離之和為7,若

閨閶=10,則P點的軌跡為（）

A.線段B.兩條射線C.橢圓D.不存在

【答案】D

【詳解】由題意可知，歸耳|+|尸局=7<10=寓司，

所以P點的軌跡為不存在.

故選：D.

22

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知耳，B是橢圓C：工+匕=1的兩個焦點，點〃在C上，

94

則“閾閭的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【詳解】法一：由題意，"=9*2=4,貝”嶼|+|年|=2〃=6,

所以耳卜|年區(qū)［畫業(yè)=9（當且僅當|町|二|叫|=3時，等號成立）.

I2J

法二：設(shè)〃（々，幾），-3<x0<3,

由焦半徑公式可得：\MF1\=a+exQ=3+xQ,\MF2\=a-exQ=3-&,

故阿娟.|加月|=3+岑入0.3一半/=9一■|/2,

因為—3（工043,所以0W%02K9,

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當x02=o,即毛=0時，|嗎居|取得最大值，最大值為9.

故選：C.

7.（2022?河南?駐馬店市第二高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知"、尸2是橢圓C：工+匕=1的

59

焦點，尸為C上一點，且歸耳|=|月月則△2/笆的內(nèi)切圓半徑一（）

A.1B.75C.叵D.苣

53

【答案】C

22

【詳解】橢圓C:工+匕=1中，片=9,片=5，

59

則，=/->2=4,、」.“=3,c=2,.,.寓用=2c=4.

|尸耳|+|尸閭=%=6,忸耳|=|耳弱二|%|=2,

22

VSPFJF2=1X2XV4-1=715,

」?S曄=1（］尸聞+|產(chǎn)國+山川）“小，

解得一巫.

5

故選：C.

8.（2022?浙江?長興縣教育研究中心高二期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓

錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；當平面不垂

直于圓錐軸時得到的截面可能是橢圓.若用周長為28的矩形ABC。截某圓錐得到橢圓丁,

且橢圓「與矩形ABCD的四邊恰好相切.設(shè)橢圓「在平面直角坐標系中的方程為

22

=+與=l（a>6>0）,下列選項中滿足題意的方程為（）

ab

22

AB.旦+片=1C片+片-1D.片+片=1

A.——%+—y=1,

36646436169916

【答案】C

【點睛】?「用周長為28的矩形A5c。截某圓錐得到橢圓匯,且與矩形A3CD的四邊相切,

4（〃+。）=28,即a+b=7,

對于A,Q=6,。=8,不滿足故A錯誤,

對于B,4=8,。=6,。+6=14/7,故B錯誤,

對于C,〃=4,b=3,滿足〃+b=7,故C正確,

對于D,〃=3,6=4,不滿足故D錯誤.

故選：C.

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二、多選題

22

9.（2022?江蘇?高二期中）若橢圓C：±+T—=1上的一個焦點坐標為（0,1）,則下

mm—1

列結(jié)論中正確的是（）

A.m=2B.C的長軸長為2A

C.C的長軸長為4D.C的離心率為:

【答案】AB

【詳解】因為焦點坐標為（0』），所以1一1一根=1,解得帆=2或機=-1（舍），

所以橢圓C的方程為］+：=1,長軸長為2折離心率eg4.

故選：AB.

10.（2022?云南?昆明一中高二期中）已知橢圓C:三+二=1,%總是橢圓的左右焦點,

43

尸為橢圓上任意一點.下列說法中亞確的是（）

A.橢圓離心率為：B.|P周的最大值為3

C.0<ZF,PF2<^D.|「國+|尸閭=4

【答案】ABCD

221

【詳解】A：由工+工=1知。=2*=石，則C=GF=1，所以e=￡）,故A正確；

43a2

B：當點P為橢圓的右頂點時，歸周最大，且最大值為a+c=3,故B正確；

C：當點P為橢圓的左、右頂點時，/與尸工最小，且最小值為0,

當點尸為橢圓的上、下頂點時，/耳尸鳥最大，此時|P耳|=|P閭=|片閭=2,

△￡產(chǎn)工為等邊三角形，NRPRW，所以故C正確；

D：由橢圓的定義知，忸耳|+怛鳥|=2。=4,故D正確.

故選：ABCD.

11.（2022?廣西?桂平市潺州高級中學(xué)高二期中）已知橢圓以2+9=1的離心率為半，則

加的值可能為（）

J51

A.—B.-C.5D.25

55

【答案】BC

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［詳解］晟+丁=］可化為I+y=1

m

當山＞1時，0＜工＜1,橢圓血2+y2=l的離心率為］工=2叵,解得m=5；

mVm5

當0＜相＜1時，-＞1,橢圓3Z+y2=l的離心率為產(chǎn)/=馬5,解得根=：.

m55

故選：BC.

22

12.（2022?廣東潮州?高二期末）方程上+工=1表示的曲線為C,下列正確的命題是（）

4-kk-1

A.曲線C可以是圓B.若1（上＜4,則曲線C為橢圓

C.若曲線C為雙曲線，則上＜1或%＞4D.若曲線C表示焦點在無軸上的橢圓，則

2

【答案】ACD

【詳解】A.若曲線C是圓，則4-左=左-1＞0,解得％=￡,故正確；

,4-%＞0

B.若曲線C為橢圓，則珠-1＞0,解得1＜%＜4且k\,故錯誤；

4-k^k-1~

C,若曲線C為雙曲線，則（4-相左一1）＜0,解得左＜1或左＞4,故正確；

4-%＞0

D.若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則＜01＞0,解得1（上故正確；

4-%＞左-1"

故選：ACD

三、填空題

22

13.（2022?四川省綿陽江油中學(xué)高二期中（文））若點尸為橢圓土+匕=1上的一點，式,

43

7T

尸2為左右焦點，若/￡產(chǎn)工=耳，則點尸到X軸的距離為.

【答案】b

【詳解】由己知a=2,b=y/3,因此c=J4-3=1,

\FXF2\=2,

當尸為短軸端點時，|P周=|P圖=。=2,△21后是等邊三角形，NF\PF『三,

此時P到x軸距離等于6=?.

故答案為：6

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22

14.(2022?上海復(fù)旦附中高二期中)橢圓±+q=l優(yōu)>0)的焦距為2,則實數(shù)上的值為

【答案】夜或2##2或0

【詳解】當橢圓的焦點在無軸上時，則〃=鼠b=y/3,此時°=收—3=\,

k>0,解得k=2；

當橢圓的焦點在y軸上時，則4=若，b=k,此時c=J/_Z?=13-/=1，

k>0,解得笈=0.

綜上所述，上=2或0.

故答案為：2或夜.

22

15.(2022?江蘇省響水中學(xué)高二期中)設(shè)《，工是橢圓C：三+乙=1的兩個焦點，尸為

94

橢圓C上的點，當鳥=90時，工的面積為.

【答案】4

2

【詳解】Vo=3,b=2；/.c=V5,因為/月尸&=90,所以|Pf；「+|P用=|居聞2,

設(shè)網(wǎng)因，|尸引=切

則4+^=6①，片+以=(2石『②,

由①2-②得區(qū)=8,

=?12

??S.F{PF22^=5x8=4.

故答案為：4.

22

16.(2022?山西?高二期中)設(shè)乙巴分別是橢圓C*+方=l(a>6>0)的左、右焦點,

點P,Q在橢圓C上，若博+叫=摩-明，且尸耳=26。，則橢圓C的離心率為

【答案】祖

3

【詳解】由同+叫=%-明兩邊平方并化簡得尸耳?也=0,所以尸耳口吃

設(shè)周=2|Q閶=2/(>0),

貝ij|尸耳|=2a—2t,\QF^=2a—t,

(2Q-2^+(2疔=(2域a?—2at+2t2-W

所以a

(2Q-+(3/『=(2Q-Jt=-

3

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c2_5c

故答案為：與

四、解答題

17.（2022?遼寧?大連市第二十三中學(xué)高二期中）分別求適合下列條件的橢圓的標準方程:

⑴經(jīng)過兩點（2,-3卜

（2）長軸長是短軸長的2倍，且過點（-2,T）.

22

【答案】％+一

222

VvV尤2

(2)土+2=1或乙+土=1

6817328

42

=1

22L后/=8

【詳解】（1）①當焦點在X軸時，設(shè)橢圓方程為1+多=1,則，,解得

ab17〃=4'

[a2-2-b-21-=-1--

22

所以此時橢圓方程為二+二=1;

84

241

--------1-------=1「2

②當焦點在y軸時，設(shè)橢圓方程為**=1,貝Ub\,解得仁:，不符合要

ab/?11匕=8

—T+F=1

[2a2b2

求；

22

所以橢圓方程為二+二=1.

84

（2）①當焦點在x軸時，設(shè)橢圓方程為京+￡=1,則京+，=1,解得〃=17,所以

22

此時橢圓方程為土+上~=1；

6817

221/7A

②當焦點在y軸時，設(shè)橢圓方程為泰+點=1,則券+3=1，解得廿=8,所以此時橢

22

圓方程為匕+工=1,

328

所以橢圓方程為反+片=1或$+旦=1.

6817328

22

18.（2022?山東青島?高二期中）已知橢圓C：=+與4,用分別為其左、

ab

第7頁共10頁

右焦點’短軸長為2,離心率”與過耳作傾斜角為6。。的直線,‘直線"與橢圓交于4

2兩點.

⑴求線段A8的長;

⑵求&AB的周長和面積.

【答案】⑴半

(2)/AB的周長為4正，面積為警.

【詳解】(1)1?橢圓的短軸長為2,

b=l,又=e=,

2

c2a2-b2

=—^>a=\/2,

a2a22

橢圓C的方程為：y+y2=l,4(TO),耳(1,0),

設(shè)4口,必)，B(x2,j2),直線/的方程為：y=6(x+l),

y=石(％+1)

由(爐,可得7尤2+12X+4=0,

—+y=1

12'

124

所以％+%=--'X\X2=~

所以|AB|=J(%2_%1)2+⑶-My=_占y+［同/+1)_君a+nJ

Tx二還

2J(%2+玉)2_4玉%2-2

77

(2)由于f；,總分別為橢圓的左、右焦點,

所以一旦AB的周長為|"|+|A司+忸制+忸國=4°=4忘,

273

因為區(qū)(1,0)到直線/：y=G(x+l)的距離為〃==&,

所以一小的面積=g網(wǎng)M=；x半x艮孚

B能力提升

22

19.(2022?安徽?馬鞍山二中高二期中)在平面直角坐標系中，橢圓C：*■+2=1(〃〉"0)

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的離心率為且，焦距為2后.

3

⑴求橢圓C的方程.

(2)若過橢圓C的左焦點，傾斜角為60。的直線與橢圓交于A,8兩點，求.403的面積.

22

【答案】⑴土+匕=1

96

36

⑵z——

11

【詳解】(1)因為橢圓離心率為6=且，，焦距2c=20，則解得。=3,。=出力=遙，

3a

所以橢圓方程為工+工=1.

96

(2)已知橢圓方程《+反=1,左焦點為尸(-四,0),若傾斜角為60。，則斜率為tan60。=6,

96

過左焦點且傾斜角為60。的直線方程為：J=A/3(X+A/3)

設(shè)A,8點的坐標分別為(占,%),(馬,為)，則sAOB=Jo4%-%|=今代再-氐J％|