湖南省新高考教學教研聯盟2024屆高三年級下冊第二次聯考數學試題（含答案與解析）

2024屆新高考教學教研聯盟高三第二次聯考

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數學試卷

長郡中學；衡陽市八中；永州市四中；岳陽縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中；石門縣一中；

澧縣一中；益陽市一中；桃源縣一中；株洲市二中；麓山國際；郴州市一中；岳陽市一中；

婁底市一中；懷化市三中；邵東市一中；洞口縣一中；九江市一中；南昌市二中.

聯合命題

命題學校：石門縣一中，審題學校：九江市一中；邵陽市二中

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時,選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

1.某10人的射擊小組，在一次射擊訓練中射擊成績數據如下表，則這組數據的中位數為（）

成績（單位：環(huán)）678910

人數12241

A.2B.8C.8.2D.8.5

22

2.若橢圓=+2L=l（a〉0）的焦距為2,則該橢圓的離心率為（）

"4

A.昱B.BC.好或;D.更-或6

535235

3.張揚的父親經營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等

差數列.有一天，張揚幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進貨，張揚在進貨單上

標記了兩個缺貨尺寸.幾天后，張揚的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚無法找到標記缺貨尺寸的進

貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼.現在問題

是，另外一個缺貨尺寸是（）

A.28碼B.29.5碼C.32.5碼D.34碼

4.如圖，在三棱柱ABC-44cl中，瓦分別為5用,用，4C的中點，則下列說法錯誤的是

()

A.E,”G,"四點共面B.EF//GH

CEG,切,"三線共點D.NEGB[=NFHQ

5.設QA=（l,O）,QB=（O,2）,對滿足條件"C-Q?=2必-04的點

C（x,y）,|x—2y+m|+|x—2y—7|的值與龍,丁無關，則實數機的取值范圍為（）

A.(^?,-7)B,[13,+<?)

C.（13,+co）D.（-co,—7）[13,+co）

22

6.已知雙曲線C:二-2=1（。>0/>0）左、右焦點分別是耳，工，。為坐標原點，以與耳為直徑的圓與雙

a~b~

—.3

曲線C交于點P,且0P在。耳上的投影向量為§。耳，則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.3C.4D.75

7.2024年春節(jié)期間，某單位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班

人員只安排一天，正月初三到初八值班人員安排兩天，其中甲因有其他事務，若安排兩天則兩天不能連

排，其他人員可以任意安排，則不同排法一共有（）

A.792種B.1440種C.1728種D.1800種

8.在一ABC中，角A,5c所對邊分別為a/,c,且〃+c2+0ac=O若cos(A—C)=~~，

(兀兀、cos(?+A)cos(?+C)J1…上―,，、

cre—,—,——-------J---------=——，則tana的值為()

U2)cos2a5

A.1B.2C.4D.2或4

二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)

9.已知i為虛數單位，下列說法正確的是()

A.若復數2=上1，則z30=—1

1-1

B.若㈤>區(qū)|,則4>4

C.若Z2W0,則五=口

D.復數z在復平面內對應的點為Z,若|z+i|+|z—i|=2,則點Z的軌跡是一個橢圓

10.己知〃x)=6sin學cos拳+cos?學—g,0>O,下列結論正確的是()

A.若的最小正周期為兀，則。=2

B.若/(%)的圖象向左平移g個單位長度后得到的圖象關于>軸對稱，則。min=1

(513

C.若"％)在[0,2兀)上恰有4個極值點，則。的取值范圍為不

D.存在0,使得了(左)在-上單調遞減

|_o4

11.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,g(x+l)+/(l—x)=l,/(x+l)—g(x+2)=l,且y=/(九)

的圖像關于直線x=l對稱，則以下說法正確的是()

A.“X)和g(x)均為奇函數B.VxeR,/(x)=/(x+4)

C.VxeR,g(x)=g(x+2)D.g[T]=°

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.己知集合/={#2—2-3<0}4=卜卜2一奴<0”2},若集合McN恰有兩個元素，則實數

a的取值范圍是.

13.已知表面積為100兀的球面上有四點S,A,5,C,△ABC是邊長為4君的等邊三角形，若平面S46,平

面ABC,則三棱錐S-ABC的體積的最大值為,

14.已知/(%)=|2"+*一向,尤6|?,4+2],/(1)皿=g(m),若｛Hg(m)213｝=R,則實數”的取值范

圍是，

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.已知｛為｝是各項都為正數的等比數列，數列也｝滿足：2=2現24+1,且4=1,%=7.

(1)求數列｛。"｝,｛2｝的通項公式；

(2)若對任意的“eN*都有2442〃-2,求實數2的取值范圍.

16.在直角梯形ABCD中，4。//8。,3。=248=24￡)=4,45,3。，點￡為4。中點，沿3D將

△ABD折起，使BELCD,

(1)求證：1平面ACD；

(2)求二面角￡—5。一。余弦值，

17.現有甲、乙、丙三個工廠生產某種相同的產品進入市場，已知甲、乙、丙三個工廠生產的產品能達到優(yōu)

秀等級的概率分別為9,現有某質檢部門，對該產品進行質量檢測，首先從三個工廠中等可能地隨

362

機選擇一個工廠，然后從該工廠生產的產品抽取一件進行檢測.

(1)若該質檢部門的一次抽檢中，測得的結果是該件產品為優(yōu)秀等級，求該件產品是從乙工廠抽取的概

率；

(2)因為三個工廠規(guī)模大小不同，假設三個工廠進入市場的產品的比例為2：1：1,若該質檢部門從已

經進入市場的產品中隨機抽取10件產品進行檢測，求能達到優(yōu)秀等級的產品的件數J的分布列及數學期

望.

18.已知拋物線nV=4x,焦點為歹，過尸(4,4)作兩條關于直線x=4對稱的直線分別交「于兩點.

(1)判斷直線A3的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

（2）若。（小乂卜以當.卜儀為刈三點在拋物線^上，且滿足尸C+FZ>+尸E=0，證明.CDE三個頂

點的橫坐標均小于2.

19.羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一，它與導數和函數的零點有關，是由法國數學家米歇爾?羅

爾于1691年提出的.它的表達如下：如果函數/（尤）滿足在閉區(qū)間［。,勿連續(xù)，在開區(qū)間（53內可導，且

于9）=于①）,那么在區(qū)間（a,切內至少存在一點〃z,使得/'（m）=0.

（1）運用羅爾定理證明：若函數/（幻在區(qū)間［a,可連續(xù)，在區(qū)間（a,切上可導，則存在％6（。力），使得

b-a

1,

（2）已知函數/（乃=加我送（；0=5%2—法+1,若對于區(qū)間（1,2）內任意兩個不相等的實數對飛，都有

"（xj-f（x2）|>|g4）—g（%）I成立,求實數6的取值范圍.

,c1111,

⑶證明：當p>1,在2時，W-<—r

參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

1.某10人的射擊小組，在一次射擊訓練中射擊成績數據如下表，則這組數據的中位數為（）

成績（單位：環(huán)）678910

人數12241

A.2B.8C.8.2D.8.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用中位數的定義即可得解.

【詳解】將射擊成績由小到大排列：6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,

第5,6個數分別為8,9,因而中位數為&5.

故選：D.

2.若橢圓1+匕=1（?！?）的焦距為2,則該橢圓的離心率為（）

a-4

A.好B.走C,@或：D.B或與

535235

【答案】C

【解析】

【分析】分。＞2與0＜。＜2兩種情況，結合焦距得到方程，求出。，得到離心率.

【詳解】當。＞2時，2=2，/-4，解得a=J?，

則離心率為

當0＜a＜2時，2=2〃-〃，解得a=6，

則離,心率為』,=4-3=七1.

V42

故選：C

3.張揚的父親經營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等

差數列.有一天，張揚幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進貨，張揚在進貨單上

標記了兩個缺貨尺寸.幾天后，張揚的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚無法找到標記缺貨尺寸的進

貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼.現在問題

是，另外一個缺貨尺寸是（）

A.28碼B.29.5碼C.32.5碼D.34碼

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差數列的通項公式求得尺碼的總個數，再利用等差數列的前九項和公式求得總尺碼，繼而得

到缺貨尺寸的總碼數，進一步計算即可.

【詳解】設第一個尺碼為4,公差為d,

則％=25,d=0.5,

則=25+(〃-l)x0.5=0.5〃+24.5,

當冊=0.5〃+24.5=36.5時，n=24,

故若不缺碼，所有尺寸加起來的總和為

(+凡4)x24-

S,,二」一史——=738碼,

2

所有缺貨尺碼的和為738-677=61碼，

又因為缺貨的一個尺寸為28.5碼，

則另外一個缺貨尺寸61—28.5=32.5碼，

故選：C.

4.如圖，在三棱柱ABC-A與G中，瓦分別為3片,。。1，4與，401的中點，則下列說法錯誤的是

()

A.E,RG,”四點共面B.EF//GH

C.EGM.AA三線共點D.NEGB[=NFHCi

【答案】D

【解析】

【分析】對于AB,利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對于C,利用平面公理判斷得EG,

EH的交點尸在A4,從而可判斷；對于D,舉反例即可判斷.

【詳解】對于AB,如圖，連接所，GH,

因為G"是△AB?的中位線，所以GHg,

因為用E//C/,且用E=C/，所以四邊形與EFG是平行四邊形，

所以EF〃耳G，所以EF//GH,所以及RG,"H四點共面，故AB正確；

對于C,如圖，延長EG,EH相交于點P,

因為PeEG,EGu平面ABB14,所以平面AB與A，

因為PeEH,"Hu平面ACG4,所以Pe平面ACG4，

因為平面43用41平面ACG4=明，

所以PeAA，所以EG,EH,A4三線共點，故C正確；

對于D,因為EB[=FC],當GB產HQ時，tan/EGB、手tan/FHC、,

TT

又。<NEGBJFHG<3,則NEGBIHNEHG，故D錯誤.

故選：D.

5.設。A=(1,0),03=(0,2),對滿足條件|OC—。4—O0=2pA_Oq的點

。(羽丁),忖一2,+7舛+歸一2丁—7|的值與乂丁無關，則實數機的取值范圍為()

A.(fo,-7)B,[13,+<?)

C.(13,-H?)D.(-oo,-7)[13,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】先根據平面向量的坐標表示得出C點軌跡，結合直線與圓的位置關系計算即可.

【詳解】易知OC—OA—O3=(x—l,y—2),2(OA—O8)=(2,—4),所以(x—+(y—2『=20,

即C點軌跡為(1,2)為圓心，2岔為半徑的圓，

11-2x2-71廠

易知(1,2)到直線4：x—2y—7=0的距離為d=[鵬2.=,

即該圓與直線4相切，

若2y+訓+|x—2y—71的值與羽V無關，

則該圓在兩平行直線4:x—2y+根=0,4：X-2y—7=0之間,

275^|m-3|>10

所以（1,2）到直線乙：x-2y+m=0的距離為1=

由圖可知加之13

故選：B

22

6.已知雙曲線C:二-±=1（。>0/>0）的左、右焦點分別是耳，居，。為坐標原點，以與耳為直徑的圓與雙

erb"

3

曲線C交于點P,且。尸在上的投影向量為弓。耳，則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.3C.4D.逐

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意得到尸點坐標關于c的表示，再將其代入雙曲線方程得到關于七仇c的齊次方程，從而得

解.

【詳解】不妨設點P在第二象限，如圖,

3（3

因為OP在。耳上的投影向量為《。耳，則「1一二。,光

又忸0「=r=02,所以芯=023c

又尸在雙曲線上，.?.￡-生=1,則25a2〃+16a2c2—%2c2=0,

25/25b2

2222222

即25a2/2_4）+]6a2c2_9（c-?）c=0,整理得（9c-5?）（c-5?）=0,

所以僅e?—5）1—5）=0,解得e?=5或e2=j（舍去），.、=石.

故選：D.

7.2024年春節(jié)期間，某單位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班

的人員只安排一天，正月初三到初八值班人員安排兩天，其中甲因有其他事務，若安排兩天則兩天不能連

排，其他人員可以任意安排，則不同排法一共有（）

A.792種B.1440種C.1728種D.1800種

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論甲是否安排在初一或初二兩種情況，結合平均分組分配法分別考慮兩種情況的安排種數，

從而利用分類加法計數原理即可得解.

【詳解】當甲安排在初一或初二時，再安排一人在初二或初一，則有C；C]種排法，

再利用平均分組分配法將初三到初八分配給剩下的3人，有C：C；C；種排法，

所以一共有C；C；或CjC；=720種排法；

當甲不安排初一或初二時，安排兩人在初一或初二，有A；種排法,

不考慮甲兩天不能連排的情況，有種排法,

其中甲兩天連排的排法有5C：C；種，故初三到初八的值班安排有-5C：C；種排法,

所以一共有A；（C犯;C；-5C；C；）=720種排法;

綜上可知共有720+720=1440種不同排法.

故選：B.

若cos（A—。）=蔡

8.在.ABC中，角ABC所對邊分別為a,dc,且/_62+°2+0/=0

兀兀、cos(?+A)cos(tz+C)叵…-,一、，,、

—,—,---------"二------=—,則tana的值為()

42)cos2a5

A.1B.2C.4D.2或4

【答案】C

【解析】

【分析】利用余弦定理先得8,結合余弦的和差公式構造齊次式弦化切解方程計算即可.

【詳解】由余弦定理得3八工￡=一當=八+瓜+0號'

cos（A-C）=^一30

cosAcosC=-----

5

即V

?4.C0

cos（A+C）=sinAsinC=—

Lio

cos（a+A）cos（。+C）_cos2acosAcosC+sin2asinAsinC

cos2a―2cosa

sinacosa（sinAcosC+sinCcosA）

cos2a

3A/22,四.2①.

—cosa+——sina------sinacosa

5102=迫+顯ta/a-顯tana=顯'

cos2a51025

所以tan?a-5tanc+4=0ntana=1或tana=4,

nn

又tze,所以tana=4.

4,2

故選：C

3JT71

【點睛】思路點睛：由余弦定理先求3=—,A+C=—，根據條件及余弦的和差角公式、弦化切構造齊

44

次式方程解方程即可.

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.己知i為虛數單位，下列說法正確的是（）

A.若復數z=5,則z3°=—1

1-1

B.若閡＞閭，則z；＞z；

C.若Z2/0,貝I］五=口

Z222|

D.復數z在復平面內對應的點為Z,若|z+i|+|z—i|=2,則點Z的軌跡是一個橢圓

【答案】AC

【解析】

【分析】利用復數的四則運算與i的乘方性質判斷A,舉反例排除B,利用復數的四則運算與模的運算判斷

C,利用復數的幾何意義，結合兩點距離公式判斷D.

1+i(1+i)2

【詳解】對于因為=i

A,l^i-(l-i)(l+i)

所以Z3°=i3°=i4、7+2=i2=—],故A正確;

對于B,令z=2i,Z2=l,滿足團＞閭，但z；＜z；,故B錯誤;

對于C,設4=a+歷/eR),Z2=c+di(c,deR且不同時為0),

a+bi(a+bi)(c-di)ac+bd+(be-ad)i

c+di(c+di)(c-di)c1+d2

212?ac+bd)2+(bc-ad)2=？[(4+片).十/)

cic?

y1a+b2IzJ

故C正確;

\lc2+d~\zi\

對于D,設復數z=x+yi,則點Z(x,y),

由IZ+i1+1Z—i|=2,得J%2+(y+])2++(y_])2=2,

則點Z到點（0,-1）與點（0,1）的距離和為2,

故點Z的軌跡是線段，故D錯誤.

故選：AC.

10.已知f(x)=V3sin-^cos-^+cos2>0,下列結論正確的是()

A.若/（%）的最小正周期為兀，則。=2

B.若/（%）的圖象向左平移三個單位長度后得到的圖象關于＞軸對稱，則。min=1

（513

C.若〃力在［0,2兀）上恰有4個極值點，則。的取值范圍為￡,工

D.存在0,使得了(%)在-上單調遞減

o4

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二倍角公式及輔助角公式先化簡函數式，再利用三角函數的圖象與性質一一判定選項即可.

工=3sins+4°ss=sm|s+—

.r(\仄.①XCOX2COX兀

【詳解】由j(xJ=v3smcos+cos

22226

2JT

對于A,若“力的最小正周期為兀，則7=——=。=2,故A正確;

CD

兀兀.71?！?/p>

對于B,若“尤)的圖象向左平移三個單位長度后得y=sina>\x+—+—=sins+一0+一，其

36I36J

圖象關于縱軸對稱,

則有］*G+W=5+左兀(左￡Z)=>G=1+3左，顯然0min=1，故B正確;

7171

對于C,XG[0,2K)n69%+^e一，2c0兀H—,

66

77cTt97t(513

根據題意有X-<26971+：<??=>69￡不丁，故C正確;

2o2\3o

一717171環(huán)兀①71兀

對t于D,xe--n<7>x+—G----------1----,--------1----

6466646

.(1)71717CCt)TL7C7C、、_.、_、r人兀,,,...,__.

顯a然一-----+即n該區(qū)間為包含一的連v續(xù)區(qū)間,

4666-666

根據正弦函數的單調性可知：該區(qū)間不可能單調遞減，故D錯誤.

故選：ABC

11.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,g(x+l)+/(l—x)=l,/(x+l)-g(x+2)=l,且y=/(%)

的圖像關于直線％=1對稱，則以下說法正確的是()

A./(%)和g(x)均為奇函數B.VxeR,/(x)=/(x+4)

C.VxwR,g(x)=g(x+2)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用函數奇偶性，對稱性與周期性的性質，逐一分析各選項即可得解.

【詳解】對于B,由/(x+1)—g(x+2)=l,得/(x)—g(x+l)=l,

又g(x+l)+/(l-x)=l,/(x)+/(l-x)=2,

y=/(x)的圖象關于直線x=1對稱，,/(l-x)=/(I+%),

/(x)+/(I+x)=2,f(x+2)+/(I+x)=2,

.-./(%)=/(%+2),則是周期函數，且周期為T=2，

所以/(x)=/(%+4),故B正確；

對于A,:丁=/(幻的圖象關于直線1=1對稱，

.?./(—%)=f(2+x),:.f(x)=是偶函數，

若/⑺為奇函數，則/(尤)=0恒成立，不滿足/(x)+/(l+x)=2,故A錯誤；

對于C,由/(x+1)-g(x+2)=l,得g(x)+/(2—x)=1,

g(x)+/(尤)=1,，g(2+%)+/(2+尤)=1,

因為/(%)=/(%+2),則g(x+2)=g(x),

所以gH)是周期函數，且周期為T=2,貝|g(x)=g(x+2),故C正確；

對于D,由y(x)+/(i—%)=2,得，￡|=1，

又/(x)=/(x+2),"?l,

由g(x)+/(x)=l，得+==故D正確

故選：BCD.

【點睛】結論點睛：解決抽象函數的求值、性質判斷等問題，常見結論：

(1)關于對稱：若函數f(x)關于直線％軸對稱，貝U/(x)=/(2a-x),若函數f(x)關于點(心切中心

對稱，則/(x)=2)-/(2a-x),反之也成立;

(2)關于周期：若/(x+〃)=—/(%),或/(x+a)=J],或/(x+a)=—二k，可知函數的周

/(X)/(X)

期為2a.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知集合/={#2—2了-3<0}4=卜卜2—以<0”2},若集合McN恰有兩個元素，則實數

a的取值范圍是.

【答案】(2,+co)

【解析】

【分析】解二次不等式化簡集合再利用二次不等式解的形式與交集的結果即可得解.

【詳解】因為河={%,2一2X-3<0}={X|—1<X<3},

N={,f-ar<0,xezj={x|x{x-a)<O,xeZ},

又集合McN恰有兩個元素，

所以McN恰有兩個元素1和2,所以a>2.

故答案為：(2,+co).

13.已知表面積為100兀的球面上有四點S,A,3,C,AABC是邊長為4方的等邊三角形，若平面5鉆_1平

面ABC,則三棱錐S-ABC的體積的最大值為,

【答案】12(6+J7)

【解析】

【分析】根據題意作出相應的圖形，利用外接球的性質依次求得OO'與過平面出出的截面圓的半徑廠，從

而得到點S到平面ABC的最大距離，再利用三棱錐的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，。為S—ABC的外接球的球心，。為正,48。的中心，

B

則OOU平面ABC,

因為球。的表面積為100兀，設球。的半徑為A,貝|」4兀尺2=1()0兀，故火=5,

因為^ABC是邊長為4岔的等邊三角形，則O'C=2C。=2x@x4百=4，

332

所以OO,=yjoc2-O'C=3，

因為平面S4B，平面ABC,所以過平面SAB的截面圓的半徑廠=打+Q后=0T，

點S在截面圓圓周上，所以點S到平面ABC的最大距離為人=3+J亓，

所以S—ABC的體積的最大值為V=abc=；(3+01)*￥義(4石)2

=12(73+77).

故答案為：12(6+6

14.己知/(x)=|2"+x—W，xe［a,a+2］,/(x)1mx=g(M，若{w|g(m)213}=R,則實數0的取值范

圍是,

【答案】［3,+8)

【解析】

【分析】構造函數五(x)=2*+x-〃z,先分析其值域，從而得到的最大值，進而利用解絕對值不等式得

到2〃+a—m4—13或2K2+a+2-m>13,結合集合的并集運算即可得解.

【詳解】設丸(x)=2*+x—m，

因為丁=2",〉=x-m在R上單調遞增，可知/z(x)在R上單調遞增，

即h(x)在［a,a+2］上單調遞增,則h(a)<h(x)<h{a+2),

且h(a)=2"+a—tn,h(a+2)=2"+~+a+2—7Ti,

由絕對值的性質可知f(x)=|h(x)|的最大值為|〃(a)|或|/z(a+2)|,

Jz(tz)|>13

因為卜Mg(7“)213}=R等價于<,又h(d)<h(a+2),

h(a+2)\>13

即關于加的不等式2"+a—mV—13或2-2+。+2213在R上恒成立，

由2"+。一根三—13，得加22"+。+13;

由2"+2+Q+2—機213，得mV2"+2+a—11；

所以1m|m>2a+47+13jo|m|m<2a+2+a—11｝=R,

則2。+2+a—1122"+a+13，整理得2"28，解得a?3,

所以實數。的取值范圍是［3,+s).

故答案為：［3,+co).

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，將｛加保(加)213｝=1i等價于關于加的不等式

2"+a—mV—13或2"2+a+2—m213在R上恒成立，從而得解.

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.己知｛4｝是各項都為正數的等比數列，數列｛〃｝滿足：d=21og24+l,且仇=1,"=7.

(1)求數列｛4｝,也｝的通項公式；

(2)若對任意的“eN*都有24見之2-2,求實數X的取值范圍.

【答案】(1)%=2"T；b"=2n-l

(2)A>—

8

【解析】

【分析】(1)利用題設條件求得4,%，再利用等比數列的通項公式求得4,進而求得切；

(2)將問題轉化為22萬^恒成立，再利用作差法求得了(")=與^的最大值，從而得解.

【小問1詳解】

因為2=21og2a?+1,b］=1,b4=7,

所以偽=l=21og24+1,則％=1,

d=7=2log2%+1,則。4=8,

因為｛4｝是各項都為正數的等比數列，所以/=y=8即4=2,

所以=2"T,貝?。菽?21og2an+1=2（?-1）+1=2/z-l.

【小問2詳解】

,b-22/z-3

因為24%>bn-2恒成立，所以％2左一=-恒成立，

、幾、2〃-3/、T*\皿..，/、2n-l2n-35-In

設=),則/S+D—=------^

當時，/(H+1)-/(H)>0,則/(3)>/(2)>〃l)；

當〃23時，/(/7+l)-/(/7)<0,則/⑶>/(4)>/(5)>；

33

所以/(%ax="3)=d，則人羨

OO

16.在直角梯形A3CD中，AD//BC,BC=2AB=2AD=4,AB±BC,點E為AD中點，沿將

△ABQ折起，使BELCD,

FX「

BCBC

(1)求證：AB7,平面ACD；

(2)求二面角￡—5?！?。的余弦值，

【答案】(1)證明見解析

⑵

11

【解析】

【分析】(1)利用平面幾何的知識證得CD，3D,再利用線面垂直的判定與性質定理即可得證；

(2)根據題意建立空間直角坐標系，分別求得平面E6C與平面5CD的法向量，再利用空間向量法即可得

解.

【小問1詳解】

在梯形ABCD中，AB=2,AD=2,AB±AD,

所以=2夜,C￡>=20,

又3c=4,所以BD?+CD2=BC2,.-.CD±BD,

又一BE工CD,BDcBE=B,BD,BEu平面ABD,故C。，平面MD,

ABu平面ABD,ABLCD,

又AB，AD,CDcA。=0,CD,ADu平面AC。，..Afi1平面ACD

【小問2詳解】

取3D中點。，連接40,由于A3=A￡),則A0_L6￡),AO=應,

因為CD_L平面"D,AOu平面ABO,所以AO_LC￡),

又BDeCD=D,BD,CDu平面BCD,所以AO,平面5C。，

以OB,OA分別為無軸、z軸建立如圖空間直角坐標坐標系，

ZA

，

\yc

0,A/2)?-E一字0,受,

則B6,0,0),D(-A/2,0,0),C(-V2,20,0),A(0,

設平面EBC的法向量為m=(x,y,z),

又=[-乎,0,中],30=(-2后,2后,0),

122J

’3也也門

-------XH------Z—U

「.<22，令％=1,貝!Jy=1,z=3.m=(1,1,3),

-2^/2x+2^/^y—0

易知平面BCD的一個法向量為n=(0,0,1),

7T

設二面角E―5C—。為仇o<e<一,

2

所以8S'=|C°S⑺，河=揶=卡=誓，

故二面角E—5C—。的余弦值為主叵.

11

17.現有甲、乙、丙三個工廠生產某種相同的產品進入市場，己知甲、乙、丙三個工廠生產的產品能達到優(yōu)

秀等級的概率分別為3,3，J，現有某質檢部門，對該產品進行質量檢測，首先從三個工廠中等可能地隨

機選擇一個工廠，然后從該工廠生產的產品抽取一件進行檢測.

(1)若該質檢部門的一次抽檢中，測得的結果是該件產品為優(yōu)秀等級，求該件產品是從乙工廠抽取的概

率；

(2)因為三個工廠的規(guī)模大小不同，假設三個工廠進入市場的產品的比例為2：1：1,若該質檢部門從已

經進入市場的產品中隨機抽取10件產品進行檢測，求能達到優(yōu)秀等級的產品的件數J的分布列及數學期

望.

【答案】(1)—

12

,20

(2)分布列見解析；—

3

【解析】

【分析】(D根據題意，利用全概率公式與貝葉斯公式即可得解；

(2)利用全概率公式求得從市場中任抽一件產品達到優(yōu)秀等級的概率，再利用二項分布的概率公式與數學

期望公式即可得解.

【小問1詳解】

設4="抽的產品是優(yōu)秀等級”，用=”產品是從甲工廠生產”，

外=”產品是從乙工廠生產"，4="產品是從丙工廠生產”，

1251

則尸倒)=尸(與)=尸(國)=鏟

P(A|BI)=-,P(A|B2)=-,P(A|B3)=-.

則尸

P(A)=(4)P(A|4)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

1215112

=-x——i■一x——1--x—=—,

3336323

15

X

P(伍)P(B2)P(A|B2)365

則P(閔A)=

P(A)P(A)—2—12

3

所以該件產品是從乙工廠抽取的概率為之.

【小問2詳解】

依題意，設從市場中任抽一件產品達到優(yōu)秀等級的概率為2,

2215112

則.=—X——I——X——I——X—=

4346423

由題意可知45110,1

則=Q==等(左<l(UeN>

則自分布列為:

4012345678910

799QlOplO

2yo21cl22c②23c32y25c52612C；2yo2C

P乙Jo乙^10乙J10乙Jo0乙Jo

310310310310310310310310310310310

故Ee)=ioxg=g

18.已知拋物線r：V=4x,焦點為尸，過。(4,4)作兩條關于直線x=4對稱的直線分別交「于A3兩點.

(1)判斷直線A5的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

(2)若C&,%),￡)(%,%),E(&,%)三點在拋物線F上，且滿足尸C+ED+尸E=0,證明,CDE三個頂

點的橫坐標均小于2.

【答案】(1)是定值，—工

2

(2)證明見解析

【解析】

y—4-4

【分析】(1)設直線A3的方程為丁=履+八與拋物線聯立，利用韋達定理代入4^+二^=°,整

理計算可得答案；

(2)利用坐標計算戶C+尸D+尸E=0,設直線CD的方程為》=沖+〃，與拋物線聯立，利用韋達定理可

得E點坐標，代入拋物線方程結合判斷式可得其橫坐標的范圍，同理可得兩點的橫坐標，進而可證明

結論.

【小問1詳解】

由題意不妨設直線AB的方程為丁=+f,設4（%4，%），5（升，％），

y-kx+tco/,、o

聯立＜24，消去V得左x+（2k—4）1+才=0,A=16—16At＞0,

2比—4儼

所以九4+%5=p一，％4%5=記，

因為直線B4與PB關于直線％=4對稱，

所以+河=0,且￡=4%,￡=4/,

%4一今天——

%-4%-4_44

----------1---------------------1----------U

所以-y-：----qA-y--l---qA%+4%+4，即/+為+8=0，

44

/、2kl~—42kl~—4

即左(%4+/)+2，+8=0,將七+毛=----「代入得--------+2/+8=0

kk

由已知b（1,0），

因為FC+FD+FE=0>FC=(x1-1,%),FD=(%—1,%),莊=(%-1,%)，

玉+九2+冗3—3=0

所以（玉+馬+七-3,%+%+%）=（°，°），所以,

/+%+為=0

x=my+n。（）、

設直線CD的方程為光=沖+〃，聯立＜2，消去X得丁一4加丁一4幾=0,A=16（m2+n）＞0,

y=4x'）

2

所以〃〉一冽2,%+%=4m,yxy2=-4n,所以石+9+4m+2n,

x.=3-4m2-In

所以“即點E的坐標為（3-4m2-22一4根）,