廣東省深圳市南山區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前試卷類型：A

南山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)

高二數(shù)學(xué)試題2024.01

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線x+y—1=0的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.圓G：/+丁=9與q:r+產(chǎn)―4%+3=0的位置關(guān)系為（）

A.外切B.內(nèi)切C.相交D.外離

3.如圖，在三棱錐0—48。中，點(diǎn)分別為棱48,。。的中點(diǎn)，設(shè)面=無礪=初玩=己，則麗=

)

+I一同B.；伍一1一B

4.若拋物線/=2.（2>0）上一點(diǎn)尸（2,%,）到其焦點(diǎn)的距離為3,則該拋物線的方程為（）

A.y2=4xB.y2=6xC.y2-8xD.y2=10x

226

5.已知雙曲線與-1=1（?！?/〉0）的焦距為2c,若名九組c依次成等比數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程

ab6

為（）

A.y=±y/2xB.j；=±-^-xC.y=±V§XD.j7=+--x

6.記公差不為零的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若岳5=3（&+349+以），則左=（）

A.13B.12C.llD.10

22

7.過點(diǎn)〃（2,1）作斜率為一1的直線與橢圓。：二+4=1相交于4臺(tái)兩點(diǎn)，若M為線段的中點(diǎn)，則。的

ab

離心率為（）

8.已知Eb是圓。：/+/一2%一4y+3=0的一條弦，且匿，C尸，2是Eb的中點(diǎn)，在直線x—>—3=0上

總存在兩點(diǎn)48,使得當(dāng)弦EF在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，■恒成立，則|/目的最小值為()

A.472+2B.4V2-2C.272+1D.272-1

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若向量@=(1,2,0),3=(—2,0,1),則下列結(jié)論正確的為()

A.a+b=(-1,2,1)B.|5|=||

C.a//bD.展石=2

10.已知圓M:x2+y2+6x+8y=0,則下列結(jié)論正確的為()

A.M的半徑為10

B.M關(guān)于直線x-y-l=Q對(duì)稱

C.直線x->+3=。被M所截得的弦長(zhǎng)為

D.若點(diǎn)尸(見人)在M上，則7(O-3)2+(Z)-4)2的最大值為25

11.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,且?！?1+%=(-1)",8“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的為()

A.S2H=-n

B.數(shù)列｛4+(-1)"｝為等比數(shù)列

C.數(shù)列｛(-1)"七"｝為等差數(shù)列

111

D.----------1----------1-???H-------------〉一1

,。2。2?。3冊(cè),冊(cè)+1

12.已知尸是拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)，43是。上的兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為()

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2

B.若|4F|=4,則”0歹的面積為6

C.若直線N8過焦點(diǎn)/，且48=竺，則。到直線N8的距離為4

32

D.若OAVOB,則|。4|-\OB\>32

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線4：x-2y+l=0J2：》+即+2=0,若I1〃1,則4,的距離為.

14.已知平面a的一個(gè)法向量為為=(1,—1,2),若點(diǎn)2(—1,0,1),8(2,3,c)均在a內(nèi)，則國(guó)=.

15.若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為Tn=(G)""",則｛4｝的前〃項(xiàng)和Sn=.

16.已知點(diǎn)片/6,0)、鳥(6,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足N耳明=60°,記P的軌跡為G，以|尸團(tuán)的最大值為長(zhǎng)軸,

且以月,月分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓為C2,則G和G的交點(diǎn)到x軸的距離為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

己知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且&=一9,%=-6.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S,為｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S”>13,求〃的最小值.

18.(12分)

己知圓C:(x—l)2+(y+l)2=4.

(1)過點(diǎn)尸(3,2)作c的切線/,求/的方程；

(2)若點(diǎn)。為直線/'：3x-4y+13=0上的動(dòng)點(diǎn)，過。作圓。的切線，記切點(diǎn)為當(dāng)取最小值時(shí),

求的大小.

19.(12分)

如圖，在平面四邊形Z5CP中，。為P4的中點(diǎn)，PALAB,CD//AB,且PZ=CD=2Z8=4.將此平面

四邊形/8CP沿CD折成直二面角尸-DC-8,連接PA,PB,BD.

(1)證明：平面PAD,平面P8C；

(2)求直線NP與平面P8C所成角的正弦值.

20.（12分）

記S.為數(shù)列｛□“｝的前〃項(xiàng)和，已知％=1,且V”eN*,%S,+1-.

(1)證明：|顯|為等差數(shù)列；

(2)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(3)若W",求數(shù)列｛“｝的前〃項(xiàng)和卻

21.（12分）

如圖，在四棱錐尸—/BCD中，已知AB〃CD,ADLCD,BC=BP,CD=2AB=4,是等邊三角

形，且E為。P的中點(diǎn).

(1)證明：/￡〃平面P8C；

(2)當(dāng)P2=6時(shí)，試判斷在棱5C上是否存在點(diǎn)〃，使得二面角M-P4-￡的大小為60°.若存在，請(qǐng)求

出也的值；否則，請(qǐng)說明理由.

BC

22.（12分）

22

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動(dòng)點(diǎn)尸在雙曲線C：=-J=1S〉4〉O）的一條漸近線上，已知C的焦距為4,

ab

且尸為C的一個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)|產(chǎn)司最小時(shí)，,QF的面積為年.

（1）求C的方程；

⑵已知點(diǎn)0（2,3）,直線/:y=k（X—2）與C交于48兩點(diǎn).當(dāng)陽〈百時(shí)，/上存在點(diǎn)M使得K+k2=2k3,

其中左,右，&依次為直線。加的斜率，證明：〃在定直線上.

絕密★啟用前試卷類型：A

南山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)

高二數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分參考

一、單項(xiàng)選擇題:

題號(hào)12345678

答案DBBACCDA

8.解析：由題可知：圓C:(x—iy+(y—2)2=2,圓心C(l,2),半徑廠=1,

又CEJ.CRP是川的中點(diǎn)，.?.。0=,防=1,

2

???點(diǎn)P的軌跡方程為(x—l)2+(y—2)2=1,圓心為點(diǎn)C(1,2),半徑為1

若直線/：》一了一3=0上總存在兩點(diǎn)48,

JT

當(dāng)P在圓(x—l)2+(y—2)2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，欲使/力必之萬恒成立，

7T

只需當(dāng)尸至I"的距離最遠(yuǎn)時(shí)，有N4P32—即可，

2

???只需以為直徑的圓要包含圓(x-l)2+(y-2)2=1,或兩圓內(nèi)切(如圖)即可,

顯然當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|48|取得最小值,

11-2-311-

■.?點(diǎn)C（l,2）至ij/的距離為d=/+（=2。2,

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，的最小值為2(d+l)=40+2,故選A.

二、多項(xiàng)選擇題:

題號(hào)9101112

答案ABBCACDBD

12.解析：對(duì)于/：由拋物線的方程/=4x可得準(zhǔn)線方程為x=-1,故選項(xiàng)N錯(cuò)誤;

對(duì)于必設(shè)Z（x,y）,則x+l=4,可得x=3,從而可得回=26,

:.S"=1-|OF|-|y|=|xlx2V3=V3,故選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C：拋物線C:/=4x,可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（1,0）,

不妨設(shè)直線AB的方程為x=my+l,

x=my+1.

聯(lián)立方程組《2,,整理得p2—4加"4=0,

b=4%

設(shè)/（%,%）,3（々，為），可得%+%=4加，且％%=14,

:.\AB\=^l+m2+8)2_4坊了2=40+加2)=3，解得

3

...直線48的方程為x=±日y+1，即3x±J§j—3=0,

不妨取3x+舟—3=0,，。到直線/8的距離為,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：設(shè)直線04的方程為〉=丘（不妨設(shè)左〉0）,

y-kx力???四=16

由＜2（，可得力2=4

3=4x

由CM，08,同理可得|。司=4,向+左2,

x444+左2=16,1+1+*+左2>16+J2+2

\0^-\0B\=X6=32,

1,

當(dāng)且僅當(dāng)記=公，即4=1時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)。正確，綜上所述，應(yīng)選BD.

三、填空題:

13114,3A/2

153用-3

--2-

1

16.-

3

解析：設(shè)/尸片?=。,/尸8月，則1+。=120°/@11（夕+。）=一6,

即tana+tan夕百

1-tana-tan夕

/、y:y:

設(shè)尸若y>0,則即尸=tana=——~j=,kPF^=—tanp=——尸,

x+V3-X-yJ3

代入整理得必+O—1)2=4,y>0,

同理當(dāng)y<0時(shí)，f+(y+l)2=4,y<0,

易知當(dāng)為圓f+(y—i)2=4的直徑時(shí)，歸用取得最大值%

2

...曲線G的方程為、+/=i,

f+3—1)2=4

(方法一)聯(lián)立方程組L2,，解得y=—,

—+V=13

[4'

同理解得y=；,.?.曲線G和曲線G的交點(diǎn)到*軸的距離為1.

(方法二)/月？￡=60。，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式，

則S=：x2cx卬=%an笞右，解得卬=；,

曲線G和曲線G的交點(diǎn)到％軸的距離為1.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

解：⑴設(shè)｛4｝的公差為d,

a4=-9,a7=-6

%+3d——9,

%+6d=-6,

Q]=—12,

解得

d=1,

故%=4+(〃—1"二一12+(〃—1)x1=〃一13.

、n(n-\\125

(2)S二一12〃-1——------=—n27------n，

〃222

175

令S〃>13,即一/——兒>13,

22

/.n2—25〃—26>0?即(〃—26)(〃+1)>0,解得〃>26,

故〃的最小值為27.

18.(12分)

當(dāng)取最小值時(shí)，求/C。/的大小.

解：(1)當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，x=2滿足條件.

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為了-2=左(％-3),

即kx—y+2—3k—0,

/\k+1+2—3.

圓心c(l,—1)到/的距離為II=2,

解得左=』，

12

可得/的方程為5x-12y+9=0,

綜上所述，/的方程為x=2,或5x—12y+9=0.

(2)-AQM^QC\2-\CM\2=\QC\2-4,

..?不難知道當(dāng)最短時(shí)，即C。，/'時(shí)，|。閭?cè)〉米钚≈?

,,13+4+131

C

此時(shí)\Q\=/2。=4,

利+(-4)2

:.sinZCQM=^\=-,

32

ZCQM=30°.

19.(12分)

解：(1)證明：：尸―DC—3為直二面角的平面角，

平面PDC±平面ABCD,

又平面PDCc平面ABCD=CD,

且尸。J_CD,PDu平面尸DC,

:.PD1平面ABCD,

又5Cu平面ABCD,

PD1BC,

又在平面四邊形48CD中，連接3。，

由題意可知BD=BC=272,CD=4,

BD~+BC?=CD"

BD1BC,

又PDcBD=D,

BDu平面PBD,PDu平面PBD,

.?.BC,平面PB。，

又5Cu平面P8C,

..?平面尸30,平面P8C.

(2)由(1)知，PD±DA,PD±DC,DC±DA,故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,4,0),尸(0,0,2),元=(—2,2,0),麗=(2,2,-2),

m?BC--2x+2y=0

設(shè)平面P8C的法向量為應(yīng)=(x,y,z),貝卜

m-PB=2x+2y-2z=0

可取比=(1,1,2),

又9=(-2,0,2),

，cos<Q,而〉

\AP\\m\6

直線AP與平面PBC所成角的正弦值為B.

6

20.(12分)

QQ

解：⑴?.?V〃eN*,%S"「4+S=y

—=-(??eN*

21

an+\a.

,/=1,

v1

數(shù)列」是首項(xiàng)為1，公差為一的等差數(shù)列.

a?2

1/\〃+1

(2)S—=1l+y(?-1l)=—

an2/

即2S“=("+1)?！?/p>

2S,i=〃4_](?>2),

兩式作差得2a“=(〃+l)a“—〃％_],

即一斗向

%%-2%-36〃—1〃—21

即％==〃(〃N2),

4=1,

/.a〃=n.

(3)-：bn=an-T

X1X2X

:.Tn=12+22+---+/72"

.-.27；,=1X22+2X23+---+/?X2,,+1

l2nn+i

:.-Tn=2+2+---+2-nx2

=―----1-nx2,,+1=2"+i—2—〃義2"+i'

1-2

.-.T=(77-1)2H+1+2.

21.（12分）

解：（I）證明：在四棱錐尸—NBCD中，已知N8//CD,AD1CD,BC=BP,CD=2AB=4,如圖，取尸。

的中點(diǎn)/，連接EF,BF,

???△4。尸是等邊三角形，且E為。P的中點(diǎn).

AELPD,

???￡是棱PE＞的中點(diǎn)，尸為PC的中點(diǎn)，

:.EF//CD,且斯」CD

2

AB//CD,AB=^CD,

EF//AB,且EF=AB.

■.四邊形/E是平行四邊形，

AE//BF.

■：BFu平面PBC,AE（Z平面PBC,

AE//平面PBC.

（2）?.?△NDP是等邊三角形，￡為。尸的中點(diǎn)，

,:BC=BP,且尸為尸。的中點(diǎn)，，8尸，PC,

,/AE//BF,.'.AE±PC,

又AE上PD,且/E，PC,PCcPD=P,PCu平面PCD,PDu平面PCD,

NEL平面PCD.

AELCD,又ADLCD,ADcAE=A,且u平面4。尸，

:.CD1平面ADP,

.?.E/，平面/DP,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，而，或，麗的方向分別為x/,z軸的正方向，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系E-町z,

則尸(3,0,0),/(O,3G,O),3(O,36,2),C(—3,0,4),

假設(shè)存在滿足題設(shè)的點(diǎn)"，不妨設(shè)M(a,8c),且g竺=彳，則2e[0,l],

BC

.-.W=(O,6-373,c-2),且前=卜3,—3百,2),

W=ABC，即(a,b—3百,C—2)=(-32,-3732,22),

a=—3/1,

:.<b-3M=-3區(qū),

c=2(1+2),

a=—32,

.?/=3+1-X),即必-343G(1-2),2(1+砌，

c—2=22,

不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為乃=(x,y,z),

易知百=卜3,36,0),兩+百+

PA-n=—3x+3也y=0,

|||v

[而.力=_3(l+4)x+3省(1—2萬+2(l+4)z=0,

令x=百，則歹=1,z=

1+X

顯然平面尸/￡的一個(gè)法向量為應(yīng)=（0,0,1）,

3履

/m'n

cos(m,n)=——-——-------=cos600=—

|mil/21?“27乃2,

lx4+-------

(1+獷7

3732

，存在滿足題設(shè)的點(diǎn)此時(shí)也=2.

BC7

22.（12分）

解：（1）由已知，得2。=4,「.。=2,

當(dāng)|尸典最小時(shí)，即P7FP0,

易知|PF|=b,|PO|=a,

瓜

?：APOF的面積為—:.ab=6,

2

（方法一）易知c?=/+A?=4,（a+b）2=4+2A/31即a+6=6+l①,

.,.（"3）2=4-273，又b>a>0,:.b-a=6-'②,

聯(lián)立①，②，解得a