19.2 正比例函數(shù)（原卷版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》19.2正比例函數(shù)知識點一知識點一正比例函數(shù)的概念◆正比例函數(shù)的概念：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．◆正比例函數(shù)反應(yīng)的是兩個變量之間的關(guān)系，是正比例關(guān)系.【注意】判斷一個函數(shù)是正比例函數(shù)：（1）所給等式是形如y＝kx的等式，自變量的指數(shù)只能是1.（2）比例系數(shù)k是常數(shù)，且k≠0，必須同時滿足這兩個條件的才是正比例函數(shù).知識點二知識點二正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)◆1、正比例函數(shù)的圖象：正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是經(jīng)過原點（0,0）和點(1，k)的一條直線.◆2、正比例函數(shù)的性質(zhì)：正比例函數(shù)y＝kx（k是常數(shù)，k≠0），我們通常稱之為直線y＝kx．當(dāng)k＞0時，直線y＝kx依次經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，直線y＝kx依次經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，y隨x的增大而減小．◆3、若某函數(shù)圖象是直線且經(jīng)過原點（坐標軸除外），那么它對應(yīng)的函數(shù)是正比例函數(shù).◆4、正比例函數(shù)的圖象的位置、函數(shù)的增減性是由比例系數(shù)k的符號決定的；反過來也是成立的.知識點三知識點三正比例函數(shù)解析式的確定◆1、確定正比例函數(shù)的解析式就是確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx（k≠0）中的常數(shù)k．◆2、求正比例函數(shù)解析式一般步驟是：（1）設(shè)：設(shè)出正比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx；（2）代：將自變量與函數(shù)的一組對應(yīng)值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解：解方程求出待定系數(shù)k的值；（4）還原：寫出函數(shù)解析式．題型一正比例函數(shù)的概念題型一正比例函數(shù)的概念【例題1】（2022秋?金塔縣期中）下列函數(shù)中y是x的正比例函數(shù)的是（）A．y＝x﹣3 B．y=3x C．y＝3﹣x D．解題技巧提煉正比例函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．注意：正比例函數(shù)的定義是從解析式的角度出發(fā)的，注意定義中對比例系數(shù)的要求：k是常數(shù)，k≠0，k是正數(shù)也可以是負數(shù)．【變式1-1】（2022春?汶上縣期末）下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（）A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y=【變式1-2】（2022春?長安區(qū)校級期中）已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2022秋?無為市月考）若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣4）x+b是正比例函數(shù)，則a，b應(yīng)滿足的條件是（）A．a(chǎn)≠4且b≠0 B．a(chǎn)≠﹣4且b＝0 C．a(chǎn)＝4且b＝0 D．a(chǎn)≠4且b＝0【變式1-4】（2021秋?靜安區(qū)校級期末）下列問題中，兩個變量成正比例的是（）A．圓的面積和它的半徑 B．長方形的面積一定時，它的長和寬 C．正方形的周長與邊長 D．三角形的面積一定時，它的一條邊長與這條邊上的高【變式1-5】（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是關(guān)于x的正比例函數(shù)，則m的值為（）A．2 B．1 C．0或2 D．0【變式1-6】（2022春?豐南區(qū)期末）若函數(shù)y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函數(shù)，則k的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【變式1-7】（2022春?金川區(qū)校級期末）已知函數(shù)y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函數(shù)，則m+n＝．【變式1-8】（2022春?信都區(qū)期末）若一次函數(shù)y＝b﹣2x是正比例函數(shù)，則b＝，此時的比例系數(shù)是．【變式1-9】（2022秋?高陵區(qū)期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函數(shù)，求m，n的值．【變式1-10】（2021秋?臨渭區(qū)期末）已知：函數(shù)y＝（b+2）xb2-3且y是x的是正比例函數(shù)，5a+4的立方根是4，c（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+c的平方根．題型二題型二正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【例題2】（2022?南京模擬）正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象經(jīng)過坐標系的（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限解題技巧提煉本題考查的是正比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷k的范圍是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022春?古冶區(qū)期末）下列關(guān)于正比例函數(shù)y＝3x的說法中，正確的是（）A．當(dāng)x＝3時，y＝1 B．它的圖象是一條過原點的直線 C．y隨x的增大而減小 D．它的圖象經(jīng)過第二、四象限【變式2-2】（2022秋?太原期中）下列正比例函數(shù)中，y隨x的增大而增大的是（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=-12x D．y＝﹣【變式2-3】（2021?湘西州模擬）下列圖象中，表示正比例函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．【變式2-4】在下列各圖象中，表示函數(shù)y＝﹣kx（k＜0）的圖象的是（）A． B． C． D．【變式2-5】在直角坐標系中，y隨x的增大而減小的正比例函數(shù)y＝kx的圖象是（）A． B． C． D．【變式2-6】（2022秋?豐順縣校級期末）在y＝k1x中，y隨x的增大而減小，k1k2＜0，則在同一平面直角坐標系中，y＝k1x和y＝k2x的圖象大致為（）A． B． C． D．【變式2-7】已知正比例函數(shù)y=57x，下列結(jié)論：①y隨x的增大而增大；②y隨x的減小而減小；③當(dāng)x＞0時，y＞0；④當(dāng)x＞1時，y＞A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-8】（2022秋?渠縣校級期中）三個正比例函數(shù)的表達式分別為①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【變式2-9】已知正比例函數(shù)y＝（m﹣1）x5-m2題型三題型三畫正比例函數(shù)的圖象【例題3】畫出正比例函數(shù)y＝2x的圖象．解題技巧提煉正比例函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，因此可以用“兩點法”畫正比例函數(shù)的圖象，所以經(jīng)過原點與點（1，k）的直線是y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象．【變式3-1】請在網(wǎng)格中畫出y＝﹣2x，y=13【變式3-2】在同一平面直角坐標系上畫出函數(shù)y＝2x，y=-13x，y＝﹣0.6【變式3-3】在同一平面直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象．（1）y=32x；（2）y＝﹣3【變式3-4】用你認為最簡單的方法畫出下列函數(shù)的圖象．（1）y＝5x；（2）y=-52【變式3-5】（1）畫出函數(shù)y＝﹣x的圖象；（2）判斷點A（-32，32），B（0，0），C（32，-3題型四題型四利用正比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小【例題4】（2022春?倉山區(qū)校級期中）如果一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同象限的兩點A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0解題技巧提煉利用正比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小的方法一般有三種：（1）利用求值比較法；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想；（3）利用函數(shù)的增減性來比較大小.【變式4-1】已知，函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過點A（1，y1），點B（﹣2，y2），則（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．y1、y2無法比較大小【變式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直線y＝﹣3x上的兩點，且x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．以上都有可能【變式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函數(shù)y＝x的圖象上的兩點，則y1，y2的大小關(guān)系為（）A．y1＝y(tǒng)2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1，y2的大小關(guān)系不確定【變式4-4】（2022秋?玄武區(qū)期末）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y＝﹣5x圖象上的兩個點，若x1﹣x2＜0，則y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【變式4-5】（2022秋?丹東期末）已知點A（﹣1，m），點B（2，n）在直線y＝8x上，則mn（填“＞”“＜”或“＝”）．【變式4-6】（2022?賓陽縣二模）已知點（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直線y＝﹣3x上，則y1，y2，y3的值的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2【變式4-7】（2022?榆陽區(qū)一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b【變式4-8】（2021春?沙河口區(qū)期末）已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在該函數(shù)的圖象上，那么a和b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)≥b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)＜b【變式4-9】已知函數(shù)y＝x；y＝﹣2x．y=12x，y＝3（1）在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．（2）探索發(fā)現(xiàn)：觀察這些函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)，隨|k|的增大直線與y軸的位置關(guān)系有何變化？（3）靈活運用已知正比例函數(shù)y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐標系中的圖象如圖所示，則k1與k2的大小關(guān)系為．題型五利用正比例函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的問題題型五利用正比例函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的問題【例題5】（2022春?道里區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（k﹣3）x，y隨x的增大而減小，則常數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0解題技巧提煉由正比例函數(shù)的性質(zhì)y隨x的增大而增大（或減小），可以判斷比例系數(shù)的符號，當(dāng)y隨x的增大而增大時，比例系數(shù)大于0，反之，比例系數(shù)小于0.【變式5-1】（2023?惠陽區(qū)開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝mx|m|，它的圖象除原點外都在第二、四象限內(nèi)，則m的值為．【變式5-2】（2022秋?任城區(qū)校級期末）在正比例函數(shù)y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y隨x的增大而減小，則m＝．【變式5-3】（2022秋?句容市期末）在正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x中，y的值隨著x值的增大而減小，則m的取值范圍是．【變式5-4】（2022春?曲阜市期末）已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣1）x|m|（m為常數(shù)），若y隨x的增大而減小，則m＝．【變式5-5】（2021秋?上蔡縣校級月考）若正比例函數(shù)y＝（a﹣2）x的圖象經(jīng)過第一、三象限，化簡(a-1)2的結(jié)果為【變式5-6】（2021秋?楊浦區(qū)期中）如果函數(shù)y＝（m﹣1）xm2-3是正比例函數(shù)，且y的值隨x的值的增大而增大，那么m的值【變式5-7】（2021?包河區(qū)校級開學(xué)）已知正比例函數(shù)y＝kx，當(dāng)﹣2≤x≤2時，函數(shù)有最大值3，則k的值為．【變式5-8】按照下列條件求k的取值范圍：（1）正比例函數(shù)y＝（k﹣2）x的圖象經(jīng)過一、三象限；（2）正比例函數(shù)y＝（1-22k）x中，y隨（3）已知y＝（1﹣m）xm【變式5-9】已知正比例函數(shù)y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的圖象經(jīng)過第一、三象限．（1）求m的值；（2）當(dāng)-34≤x＜2【變式5-10】已知函數(shù)y=(k+12)（1）當(dāng)k為何值時，該函數(shù)是正比例函數(shù)？（2）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而增大？（3）當(dāng)k為何值時，正比例函數(shù)y隨x的增大而減小？題型六求正比例函數(shù)解析式題型六求正比例函數(shù)解析式【例題6】（2022秋?南海區(qū)校級月考）已知一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣2，3），則這個正比例函數(shù)的表達式是（）A．y＝x+5 B．y=-32x C．y=-23x D．y解題技巧提煉求正比例函數(shù)解析式一般步驟是：（1）設(shè)：設(shè)出正比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx；（2）代：將自變量與函數(shù)的一組對應(yīng)值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解：解方程求出待定系數(shù)k的值；（4）還原：寫出函數(shù)解析式．【變式6-1】（2022?廣州）點（3，﹣5）在正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象上，則k的值為（）A．﹣15 B．15 C．-35 D【變式6-2】（2022春?望城區(qū)期末）已知y關(guān)于x成正比例，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6，則當(dāng)x＝1時，y的值為（）A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12【變式6-3】（2022春?聊城期末）若正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過點(-1，12)，則k＝【變式6-4】（2021?碑林區(qū)校級模擬）若一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（m，6），B（5，n）兩點，則m，n一定滿足的關(guān)系式為（）A．m+n＝11 B．m﹣n＝1 C．mn＝30 D．m【變式6-5】（2021?上海）已知函數(shù)y＝kx經(jīng)過二、四象限，且函數(shù)不經(jīng)過（﹣1，1），請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式．【變式6-6】（2021春?晉江市期末）已知y是x的正比例函數(shù)，且當(dāng)x＝2時，y＝﹣6．（1）求這個正比例函數(shù)的表達式；（2）若點（a，y1），（a+2，y2）在該函數(shù)圖象上，試比較y1，y2的大?。咀兪?-7】已知正比例函數(shù)的自變量x減少2時，對應(yīng)的函數(shù)值y增加4，求該正比例函數(shù)的解析式．【變式6-8】如果正比例函數(shù)y＝（m﹣2）xm2﹣【變式6-9】已知點（a，1），（a+2，a）在一個正比例函數(shù)的圖象上．（1）求a的值；（2）寫出這個正比例函數(shù)的表達式．【變式6-10】已知y與x成正比例，且當(dāng)x＝﹣1時，y＝2．（1）求出y與x之間的函數(shù)解析式；（2）畫出該函數(shù)的圖象；（3）求當(dāng)y＝﹣8時x的值；（4）如果x的取值范圍是﹣2＜x＜3，求y的取值范圍．題型七正比例函數(shù)在實際中的應(yīng)用題型七正比例函數(shù)在實際中的應(yīng)用【例題7】某商店零售一種商品，其質(zhì)量x（kg）與售價y（元）之間的關(guān)系如下表：x/kg12345678y/元2.44.87.29.61214.416.819.2（根據(jù)銷售經(jīng)驗，顧客在此處零買商品均未超過8kg）（1）由上表推出售價y（元）隨質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象；（2）顧客購買這種商品5.5kg應(yīng)付多少元？解題技巧提煉正比例函數(shù)在實際中的應(yīng)用關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題，要注意自變量的取值范圍.【變式7-1】在水管放水的過程中，放水的時間x（分）與流出的水量y（立方米）是兩個變量．已知水管每分鐘流出的水量是0.2立方米，放水的過程共持續(xù)10分鐘，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．【變式7-2】一輛汽車由A地勻速駛往相距300千米的B地，汽車的速度是100千米/小時，那么汽車距離A地的路程S（千米）與行駛時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（）A． B． C． D．【變式7-3】蠟燭點燃后縮短長度y（cm）與燃燒時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx（k≠0），已知長為21cm的蠟燭燃燒6分鐘后，蠟燭變短3.6cm，求：（1）y與x之間的函數(shù)解析式；（2）自變量x的取值范圍；（3）此蠟燭幾分鐘燃燒完．【變式7-4】小明家最近購買了一套住房，準備在裝修時用木質(zhì)地板鋪設(shè)臥室，用瓷磚鋪設(shè)客廳，經(jīng)市場調(diào)查得知，買這兩種材料和用這兩種材料鋪設(shè)地面的工錢都不一樣．小明根據(jù)地面的面積，對鋪設(shè)臥室和客廳的費用（購買材料費和工錢）分別做了預(yù)算，并用x（平方米）表示鋪設(shè)地面的面積，用y（元）表示購買和鋪設(shè)的總費用，并制成下圖，請你根據(jù)圖中所提供信息，解答下列問題：（1）鋪設(shè)臥室每平方米的費用為元，鋪設(shè)客廳每平方米的費用為元；（2）表示鋪設(shè)臥室的費用y1（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為；表示鋪設(shè)客廳的費用y2（元）與面積x（平方米）之間的關(guān)系式為．（3）已知在小明的預(yù)算中，鋪設(shè)瓷磚的工錢比鋪設(shè)木質(zhì)地板的工錢多5元，購買瓷磚的單價是購買木質(zhì)地板的單價的34題型八正比例函數(shù)的綜合應(yīng)用題型八正比例函數(shù)的綜合應(yīng)用【