遼寧省協(xié)作校2024屆高三年級下冊第一次模擬考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高三第一次模擬考試試題

數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

已知集合{L2,3,4},且AB=A則集合g可以是（）

1.t

{小

A.{1,2,3}B.2>1C.|x|log2x>0}D.

2.已知Q,beR,a-3i=(b-i)i(i為虛數(shù)單位)，貝!j()

A.〃=1,b=—3B.a=—1,b=3

C.Q=—1,b=—3D.a=l,b=3

（2b

3.已知。力eR.貝廣a>0且〃>0"是“一+—22”的（)

ba

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2

4.已知雙曲線C：?-必=1下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線y=x+m與C交于A,8兩點(diǎn)，若

鳥面積是；6A3面積的4倍，則〃?=（）

10-10

A.3B.-3C.—D.—

33

5.猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動(dòng)之一.已知甲、乙、丙三人每人寫一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同小

球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝.若他們每人必能猜對自己

寫的燈謎，并有5的概率猜對其他人寫的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為（）

1111

A—B.—C.—D.-

2418126

6.若函數(shù)〃龍）使得數(shù)列4=/（〃），〃eN*為遞減數(shù)列，則稱函數(shù)7（%）為“數(shù)列保減函數(shù)”，已知函

數(shù)〃x）=lnx—依為“數(shù)列保減函數(shù)”，則。的取值范圍（）

A.[in3,+oo)B.(In2,+ao)c.[1,+co)D.(0,+oo)

「什，c42+2cos26r-3sin26r/

7.若tan2a=—,則----------------=()

31—cos2a

A.-工或21

B.—2或gC.2D.——

22

8.已知函數(shù)〃x）=log2（4，+16）-x-2,若“a—l）N/（2a+l）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.(f-2]B.(—00?—2]l[0,4-oo)

4

D.(-oo,-2]—,+00

3

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（）

O1.52^3.54.55.56.57.5O2,53.54.55.56.57.58.5

甲乙

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差

B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)

C.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)

IJIJI\[71\

10.已知函數(shù)"x）=sin（2九+。）一彳＜。＜彳，則/（九）在區(qū)間二二上為減函數(shù)的充分條件是

)

TT

A.（p=——B.）⑴的圖象關(guān)于直線％二—對稱

36

C./（X）是奇函數(shù)D."X）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

11.已知不相等的實(shí)數(shù)。，力滿足而＞0,則下列四個(gè)數(shù)。，b,q芋，J瓶經(jīng)過適當(dāng)排序后（）

A.可能等差數(shù)列B.不可能是等差數(shù)列

C.可能是等比數(shù)列D.不可能是等比數(shù)列

12.設(shè)直線系尤cos*+ysin"9=l（其中0,加，〃均為參數(shù)，0＜夕＜2兀，m,Tie{1,2}）,則下列命

題中是真命題的是（）

A.當(dāng)根=1,〃=1時(shí)，存在一個(gè)圓與直線系M中所有直線都相切

B.存在"z,〃，使直線系M中所有直線恒過定點(diǎn)，且不過第三象限

C.當(dāng)機(jī)="時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M中所有直線的距離最大值為1,最小值為巫

2

D.當(dāng)m=2,〃=1時(shí)，若存在一點(diǎn)A（a,O）,使其到直線系M中所有直線的距離不小于1,則aWO

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.拋物線V=以口/0）上的一點(diǎn)P（-1,4）到其準(zhǔn)線的距離為.

14.己知函數(shù)/（%）=%3+依2+陵+〃在］=_］處有極值g,則/⑴等于.

15.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)是繼1990年北京亞運(yùn)會(huì)、2010年廣州亞運(yùn)會(huì)之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格

的國際綜合性體育賽事.本屆亞運(yùn)會(huì)徽寶由上下兩方玉璽組成（如圖一），上方以杭州城市文化代表（錢

塘潮和杭州奧體中心體育場）為主體元素（如圖二），，若將徽寶上方看成一個(gè)圓臺(tái)與兩個(gè)圓柱的組合體，

其軸截面如圖三所示，其中兩個(gè)圓柱的底面直徑均為10,高分別為2和6；圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為

8和10,高為2.則該組合體的體積為.

uU/工叫1U111L

16.已知弓名是空間單位向量，=105。，若空間向量q滿足eq=1,a-e2=42,且對于任意

ifirir?.riitr?II

x,yeR,都有卜一（和+四2）月。一（%4+%02）尸（其中知%eR）,則眄=.

四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.在A5C中，內(nèi)角A5C所對的邊分別為。，4c,滿足6（b+a）=c2.

（1）求證：C=2B-

（2）若.ABC為銳角三角形，求2sinC+cos3-sinB的最大值.

18.已知5〃為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，滿足+J%-l（〃eN*）,且%,。2，%，。4，。5成等比數(shù)列，當(dāng)

”之5時(shí)，an>0.

（1）求證：當(dāng)”之5時(shí)，｛6J成等差數(shù)列；

（2）求｛4｝的前"項(xiàng)和S”.

19.某教育教研機(jī)構(gòu)為了研究學(xué)生理科思維和文科思維的差異情況，對某班級35名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績和語文

成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)并整理成如下2X2列聯(lián)表(單位：人):

數(shù)學(xué)成績良好數(shù)學(xué)成績不夠良好

語文成績良好1210

語文成績不夠良好85

(1)能否有95%的把握認(rèn)為該班數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)？(計(jì)算結(jié)果精確到0.001)

(2)從該班的學(xué)生中任選一人，A表示事件“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績良好”，B表示事件“選到的學(xué)生語文

成績良好”，隅今與短卷的比值是文、理科思維差異化的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為凡

P(3|A)P(耳IZ)

⑴證明:

P(B|A)P(B|A)

(ii)利用該表中數(shù)據(jù)，給出P(@A),P(同Z)的估計(jì)值，并利用⑴的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

附：—n{ad-bc^----

(a+))(c+d)(a+c)(6+d)

P(K2>k)0.0500.0100001

k3.8416.63510.828

20.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD是正方形，側(cè)面?zhèn)让?？AB,歹為8。中點(diǎn)，E

是上的點(diǎn)，PA=PD=2,PALPD.

(1)求證：平面上4D_L平面ABCD；

(2)若二面角石―。尸—A的余弦值為生叵，求石到平面尸的距離

11

22

21.已知圓G：/+,2=1和橢圓c,：=+A=i(a〉6〉o),橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為4&Bt,B2,如

ab

圖.

(1)圓6：必+丁2=1與平行四邊形A層44內(nèi)切，求6+4片的最小值；

(2)已知橢圓的內(nèi)接平行四邊形的中心與橢圓的中心重合.當(dāng)°,b滿足什么條件時(shí)，對。2上任意一點(diǎn)

P,均存在以尸為頂點(diǎn)與C1外切，與。2內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論.

22.己知函數(shù)/(x)=/?lnx,g(x)=x2+ax(其中a,b為實(shí)數(shù)，且6>0)

(1)當(dāng)°=一1時(shí)，/(X)Wg(x)恒成立，求6；

(2)當(dāng)〃=2時(shí)，函數(shù)G(x)=/(x)—g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的最大整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù)：

In-?0.223)

4

2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高三第一次模擬考試試題

數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合”={12*4},且A3=A,則集合B可以是（）

2

A,{1,2,3}B.|x|x>1|C.|x|log2x>0}D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)AB=A可得出AoB,顯然A錯(cuò)誤，并且可求出瓦的集合，然后即可得出正確的

選項(xiàng).

【詳解】QAIB=A,:.A^B,且4={1,2,3,4},故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

W爐>1}={削x<—1或x>l},故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

{x|log2x>0}={x|x>l},故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

{%|2*>1}={刀|%>0},故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

2.已知a,AeR,。-3i=（A—i）i（i為虛數(shù)單位），貝|（）

A.a=l,b=—3B.a=—1,b=3

C.a=—l,b=—3D.a=l,b—3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可解.

【詳解】因?yàn)閍—3i=S—i）i=l+歷,

所以a=l,b=-3.

故選：A

ab

3.已知。力eR.貝!|“a>0且6>0”是“一+—22”的()

ba

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)。>0且〃>0時(shí)，->0,->0,所以巴+2N2，F(xiàn)=2,當(dāng)且僅當(dāng)q=即時(shí)取等

babaaba

號

Z7h

所以由a>0且6>0可以得出一+—22,

ba

nh

顯然，當(dāng)Q=/?=-2,有一+—22成立，但得不出〃>0且〃>0,

ba

ab

所以“〃>0且人>0”是“一+—22”的充分而不必要條件，

ba

故選：A.

2

4.已知雙曲線c：《-必=1的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)],直線y=x+m與C交于A,8兩點(diǎn)，若

月A3面積是6A3面積的4倍，則機(jī)=()

c1010

A.3B.—3C.—D.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角形面積比轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線A3的距離之比即可得解.

2

【詳解】由C:g—/=1可知,可(0,—2),每(0,2),

、^-x2=l_

聯(lián)立<3，消兀得：2d—2nu+3—根2=o,

y=x+m

則△=4根2—8(3—根2)>o,即加2>2，

由.aA3面積是：面積的4倍可知，工到直線AB的距離是月到直線AB距離的4倍，即

\2-m\_\2+m\

化簡可得15m2+68m+60=0，即（3加+10）（5m+6）=0,

解得〃2=-3或加=—1（舍去），

35

故選：D

5.猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動(dòng)之一.已知甲、乙、丙三人每人寫一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同的小

球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝.若他們每人必能猜對自己

寫的燈謎，并有［的概率猜對其他人寫的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為（）

1111

A.——B.——C.—D.-

2418126

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用古典概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】記事件A：甲獨(dú)自獲勝,

因?yàn)槊咳穗S機(jī)選一個(gè)球（不放回），用（x,y,z）表示甲、乙、丙選到誰寫的燈謎，有（甲，乙，丙），（甲,

丙，乙）,

（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6種選法,

又因?yàn)槊咳吮啬懿聦ψ约簩懙臒糁i，并有4的概率猜對其他人寫的燈謎,

2

當(dāng)甲選到自己寫的燈謎，乙、丙選到對方寫的燈謎時(shí)，甲獨(dú)自獲勝的概率為

o2224

當(dāng)甲選到乙寫的燈謎，乙選到丙寫的燈謎，丙選到甲寫的燈謎時(shí)，甲獨(dú)自獲勝的概率為

n11,,1、八1、1

Pj=-X—x（l——）x（1——）=——，

2622248

當(dāng)甲選到丙寫的燈謎，乙選到甲寫的燈謎，丙選到乙寫的燈謎時(shí)，甲獨(dú)自獲勝的概率為

n11

P-.=-x—乂(1--)x(1--)=—

3622248

1111

所以P（A）--1---1--=-

24484812'

故選：C.

6.若函數(shù)八％）使得數(shù)列4=/5）,〃eN*為遞減數(shù)列，則稱函數(shù)八％）為"數(shù)列保減函數(shù)”，已知函

數(shù)〃x）=lnx—依為“數(shù)列保減函數(shù)”，則。的取值范圍（）

A.[ln3,+<x>)B.(in2,+oo)C.[1,+<?)D.(0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】易知/(n+1)</(")對任意的“eN*恒成立，參變分離即可求解.

【詳解】由題可知/(n+1)</(〃)對任意的〃eN*恒成立，

即a〉In11+，)對任意的“eN*恒成立，

因?yàn)閠=\-\—在“21時(shí)單調(diào)遞減，y=In?在r>0時(shí)單調(diào)遞增,

n

二.y=In]Id—j在時(shí)單調(diào)遞減,

「In1+：在

n=\時(shí)取最大值，且最大值為In2,

:.a>ln2.

故選：B.

一H八4?2+2cos2a—3sin2a/、

7.若tan2a=—,則------------------=()

31-cos2a

1?i1

A.一一或2B.—2或7C.2D.一一

222

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，利用正切的二倍角公式求出tana,再利用正余弦二倍角公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)

關(guān)系化簡要求值的式子，帶值計(jì)算即可得到答案.

力.入42tana4

【詳解】tan2a=-n-------^―=—ntana=一或一2,

31-tanor32

2+2cos2a-3sin2a

1-cos2a

2+2(2cos2a-l)-6sinacosa

l-(l-2sin2a)

4cos2。一6sinacos。

2sin2a

2-Stance

一

tan2a

代入tana求得值均為：2.

故選：C.

8.已知函數(shù)〃x)=log2(4，+16)-x-2,若/(a—l)2/(2a+l)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-oo,-2]B.(-OO,-2]U[0,H^O)

4

D.(-co,-2]—,+00

-苗3

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(%)=/(%+2),判斷g(x)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性將

不等式去掉函數(shù)符號即可求解.

【詳解】記g(x)=/(x+2)=log2(4'+2+16)—x—4,xwR,

x+2

4ln414%+2一16

令g'(x)==0,解得％=0,

(4r+2+16)ln2-4,+2+16

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x<0時(shí)，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減.

因?yàn)間(-%)=log2(4-*+2+i6)+x—4=log2―L——\+x-4

A+2

=log2(4+16)-x-4=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù).

所以/(a-l)>/(2a+l)<t>/(a-3+2)>/(2a-l+2)<t>g(a-3)>g(2a-l),

又g(x)在(O,+“)上單調(diào)遞增，

所以|a—31212a—1|,即3a2+2a—8<0,解得—

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)不等式問題主要利用單調(diào)性求解，本題需結(jié)合奇偶性，并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)

性進(jìn)行求解.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（）

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差

B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)

C.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值可判斷極差，從而判斷A；根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結(jié)

合圖象可判斷BCD.

【詳解】對于選項(xiàng)A：

甲的數(shù)據(jù)介于［1.5,7.5］之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于［2.5,8.5］,極差小于或等于6；從而甲和乙

的極差可能相等，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：

根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于［2.5,5.5）之間，乙的眾數(shù)介于（5.5,6.5］,故乙的眾數(shù)大于甲的眾

數(shù)，B正確；

對于選項(xiàng)C：

甲的數(shù)據(jù)平局分布，乙的數(shù)據(jù)分布波動(dòng)較大，故甲的方差小于乙的方差，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：

對于甲，各組頻率依次為：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10,因?yàn)榍皟山M頻率之和

0.15+0.20=0.35<0.5,前三組頻率之和0.15+0.20+0.20=0.55>0.5，故中位數(shù)位于［3.5,4.5）之間;

同理，對于乙，各組頻率依次為：0.05,0.10,0.15,0.50,0.20,0.15,前三組頻率之和

0.05+0.10+0.15=0.3<0.5,前四組頻率之和0.05+0.10+0.15+0.50=0.8>0.5,故中位數(shù)位于

[5.5,6.5)之間，所以乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù).故D正確.

故選：BD.

/JIJIAn7i

10.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+。)[一?＜。＜耳)，則/(＞)在區(qū)間上為減函數(shù)的充分條件是

()

71TT

A.(D=------B.fW的圖象關(guān)于直線x=—對稱

36

fM的圖象關(guān)于點(diǎn),0)對稱

C.7(x)是奇函數(shù)D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)了(幻,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.

TTJI71717C[7n1\

【詳解】A.當(dāng)夕=一3時(shí)，/(x)=sin(2x——),由xe,得2%—€I0,—I,因?yàn)閥=sin%在

333

0,。上遞增，故錯(cuò)誤;

TTTTTC7T

B.若〃尤)的圖象關(guān)于直線％二一對稱，則2x—+0=左》+—,左wZ,解得夕=左"+—取

6626

TCitt0/、./cTC、

夕=一，則/(x)=sin(2x+—),

66

兀n71715萬715〃

由xe,得2%H--E，因?yàn)閥=sinx在上遞減，故正確;

6萬'不2,~6

7171

C.若/(x)是奇函數(shù)，則0=左不左eZ,取夕=0,則/(x)=sin2x,由xe，得

兀2〃712萬

2xe，因?yàn)閥=sinx在不單調(diào)，故錯(cuò)誤;

3丁

5萬5乃

D.若/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則2、不+夕=左》,左eZ,解得0=k%—可，keZ,取

63

JITT

0=W，則/(X)=sin(2x+-),

7127r因?yàn)閥=sinx在萬）上遞減，故正確;

由xe得2x+]d3K

故選：BD

11.已知不相等的實(shí)數(shù)。，b滿足而>0,則下列四個(gè)數(shù)口，b,gLJ法經(jīng)過適當(dāng)排序后（）

A.可能是等差數(shù)列B.不可能是等差數(shù)列

C.可能是等比數(shù)列D.不可能是等比數(shù)列

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】不相等的實(shí)數(shù)a,b滿足必>0,不妨設(shè)

當(dāng)a>6>0時(shí)，顯然有。>巴心>J法>人，要想構(gòu)成等差數(shù)列，則有：

2

a+b=-+yfab=>a+^=y/aba=b,這與矛盾，因此不能構(gòu)成等差數(shù)列，

22

若能構(gòu)成等比數(shù)列，則有ab="2.踴=竺2=M=a=b,這與矛盾，因此不能構(gòu)成等比

22

數(shù)列，

當(dāng)0>a>b時(shí)，^/ab>a>>b,

2

要想構(gòu)成等差數(shù)列，則有：a+^=4ab+b^b=9a^b=a（舍去），

2

要想成等比數(shù)列，則有：因?yàn)镴法>0,a,"2力<0這是不可能的，因此不能構(gòu)成等比數(shù)列，

2

故選：AD

12.設(shè)直線系尤cos"'，+ysin"，=l（其中0,〃均為參數(shù)，0<6><2兀，m,/ie{l,2}）,則下列命

題中是真命題的是（）

A.當(dāng)加=1,”=1時(shí)，存在一個(gè)圓與直線系加中所有直線都相切

B.存在小使直線系M中所有直線恒過定點(diǎn)，且不過第三象限

C.當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M中所有直線的距離最大值為1,最小值為正

2

D.當(dāng)m=2,〃=1時(shí)，若存在一點(diǎn)A（a,0）,使其到直線系〃中所有直線的距離不小于1,則aWO

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，設(shè)x2+y2=i,圓心（0,0）到直線“：xcose+ysin6=l的距離等于1,故滿足要求；B

選項(xiàng)，直線〃：xcose+ysin6=l恒過（1,1）,結(jié)合直線的斜率存在和不存在兩種情況，得到直線

M:尤cos2e+ysin26=1不過第三象限；C選項(xiàng)，得到加=72=1和巾=〃=2,得到原點(diǎn)到直線距離的范

圍；D選項(xiàng)，由題意得到不等式，得至乂4―l）cos26?2a—1,分4_1=0,4―1>。和片一1<0三

種情況，得到不等式，求出答案.

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)根=1,〃=1時(shí)，M:xcos0+ysin0=l,

設(shè)圓為x2+V=i,則圓心（（J,。）到直線M：xcos6+ysin，=l的距離d=，=M^==l,故

Vcos2e+sin?0

2

M:xcos0+ysin6=l與Y+-y=1總相切，A正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)機(jī)=〃=2時(shí)，M:xcos2+ysin23=1,

由于cos20+sin2，=1，故直線M:xcos2夕+ysii？8=1恒過(1,1),

若sin6=0時(shí)，直線為=

若Sin。W0時(shí)，直線無cosZO+ysin?*：!的斜率為一笑二40,

sin0

故直線M:xcos20+ysin20=1不過第三象限，

所以存在徵，n,使直線系M中所有直線恒過定點(diǎn)，且不過第三象限，B正確;

C選項(xiàng)，當(dāng)加=〃=1時(shí)，M'.xms0+ysmO=l,

111

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M的距離為4=,"==1,

Vcos26>+sin26(

當(dāng)當(dāng)機(jī)=〃=2時(shí)，M:xcos20+ysin20-1,

111

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M的距離為4=/J=

Vcos8+sin0

其中cos46+sin46=cos20cos20+sin28sin26Vcos20+sin26=1，

111

故豆二I~~jl-'IC錯(cuò)誤.

Vcos40+sin40

D選項(xiàng)，當(dāng)根=2,〃=1時(shí)，M:xcos2^+ysin^=l,

/、Leos2^-11

點(diǎn)A(〃,0)到直線系M中所有直線的距離4=J」>1，

Vcos4+sin20

化簡得(a2—l)cos2922a—1恒成立，

由于cos?[0,1],

若"_1=0，解得〃=±1,

當(dāng)々=1時(shí)，021,不合要求，舍去，

當(dāng)。=一1時(shí)，0之一1,滿足要求，

若/_1>0，即或a<—1,此時(shí)(a2—l)cos2。的最小值為0,

則022。一1,解得故此時(shí)。<一1,

2

若/_1<0，即此時(shí)(/T)cos261的最小值為片一1，

則"一122々一1，解得或aWO,故此時(shí)一l<a<0,

綜上，a<0,D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法，使不等式

一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條

件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩

個(gè)函數(shù)圖像確定條件.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.拋物線/=以(。wo)上的一點(diǎn)網(wǎng)―1,4)到其準(zhǔn)線的距離為.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上求出。，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程，從而可求尸到準(zhǔn)線的距離.

【詳解】1,4)在y=中上,

a=16,即a=-16,

???拋物線為必=—I6x,其準(zhǔn)線為尤=4,

則P(—1,4)到準(zhǔn)線的距離為4—(—1)=5.

故答案為：5.

14.已知函數(shù)/(X)=三+依2+法+/在產(chǎn)_]處有極值g,則/⑴等于.

【答案】-4

【解析】

【分析】求導(dǎo)，即可由/(—1)=8且/'(—1)=0求解a］，進(jìn)而代入驗(yàn)證是否滿足極值點(diǎn)即可.

【詳解】(x)=3x2+lax,+b,

若函數(shù)/(%)在x=—1處有極值8,則/(T)=8,/'(—l)=。,即=8,

解得：〃=3*=3或〃=-2,b=-7,

當(dāng)。=3乃=3時(shí)，/'(耳=3%2+61+3=3。+1)220,此時(shí)％=—1不是極值點(diǎn)，故舍去；當(dāng)a=—2/=—7

時(shí)，/'(%)=3*-4%-7=(3x-7)(x+l),

77

當(dāng)或％<—1時(shí)，r(%)>0,當(dāng)—l<x<§,/'(x)<0,故x=—1是極值點(diǎn)，

故a=—23=-7符合題意，

故/(%)=兀3-2/-7x+4,

故/⑴=4

故答案為：—4.

15.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)是繼1990年北京亞運(yùn)會(huì)、2010年廣州亞運(yùn)會(huì)之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格

的國際綜合性體育賽事.本屆亞運(yùn)會(huì)徽寶由上下兩方玉璽組成(如圖一)，上方以杭州城市文化代表(錢

塘潮和杭州奧體中心體育場)為主體元素(如圖二)，，若將徽寶上方看成一個(gè)圓臺(tái)與兩個(gè)圓柱的組合體，

其軸截面如圖三所示，其中兩個(gè)圓柱的底面直徑均為10,高分別為2和6；圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為

8和10,高為2.則該組合體的體積為.

■

圖1

.,722兀

【r答A案］二一

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用柱體和錐體的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)圓柱的底面直徑均為10,高分別為2和6,

所以兩個(gè)圓柱的體積分別為X=S/z=7rx25x2=507r,V2=S/z=TTX25X6=150兀,

又圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為8和10,高為2,

1JT122冗

所以圓臺(tái)的體積為匕=§?！ㄆ?和+片)=§義2義(16+20+25)=下一，

所以該組合體的體積為V=50兀+150兀+--=-

UU/工叫Iu111L

16.已知色心2是空間單位向量，=105。，若空間向量a滿足eq=1,a.4=正,且對于任思

ifITir?,rITtr?II

x,yeR,|a-(xet+ye2)|>|a-(xoet+y0e2)|=1(其中如%eR),則眄=.

【答案】^5

【解析】

【分析】首先分析題意，由〈華02〉=105°結(jié)合空間向量數(shù)量積定義求解e/02的值，進(jìn)行下一步化簡得

出則當(dāng)x=x0,y=%時(shí)，,―(xG+ye?)]取得最小值，得到x=i—巫萬^y，多次求解二次函數(shù)最值

可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?,02〉=105°且兩者均為單位向量，所以q?02=同?k2]9059，02

oooOOOO

=cos105=cos(45+60)=cos45xcos60-sin45xsin60-4

又因?yàn)閷τ谌我獾腦，yGR,都有a—(x,+ye2)>a-(^xoe1+yoe2^=1,

則當(dāng)x=%,y=%時(shí)，,一(XG+ye2)|取得最小值，

則當(dāng)[—(xq+yq)+yG)~2aixe1+ye2]

22?-A/6

=a+x+y+----------xy-2x-2y[2y，

2

令〃x)=f+y_2x+y1-lyfly,

由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng).1一丁三/一逑產(chǎn)y-L

4

令g(y)=^^y2-^^y-i，同理8。%丁-,即1m=-4,

故同2—4=1=＞同=也,

故答案為：7?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求空間向量，解題關(guān)鍵是找到方程，然后用主元法視為二次函數(shù)，多次求

最值即可.

四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為。，4c,滿足b(b+a)=c2.

(1)求證：C=2B；

(2)若ABC為銳角三角形，求2sinC+cos5-sinB的最大值.

【答案】(1)證明見解析

⑵U

8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件及余弦定理得到b=a-2bcosC,再利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到

sin8=sinA—2sin8cosc，借助三角恒等變換公式化簡即可得出結(jié)果；

(2)利用一ABC為銳角三角形，得到四＜8＜烏，再令f=0sin(￡-3),將問題轉(zhuǎn)化成求

644

y=一2"；)+］在fe(0,與當(dāng)上的最值，即可求出結(jié)果.

小問1詳解】

因?yàn)??("+〃)=(?,gpc2=b2+ab^由余弦定理02=廿十02_2abeosC，

得到"=a?—2abcosC?即b=Q—2Z?cosC,

所以sinjB=sinA-2sin5cosC,

又sinA=sin(7i-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sin3=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=cosBsinC-sinBcosC=sin(C-B),

又5Ce(0,7i),得到3=C—3或5+C—5=兀(舍)，所以C=25,命題得證.

【小問2詳解】

由(1)知C=23,所以2sinC+cos3-sin3=2sin25+cos5-sin5,

令方=cosB—sinB=夜sin(工-B),

7C

0<C=2B<-

2

JIJIJT

又因?yàn)椤狝BC為銳角三角形，所以0<C<—，得到一<B<一,

264

兀

0<A=n-3B<-

[2

濟(jì)I、1兀R/—(C\兀、▽,兀?,兀兀、?兀兀71-71\/2

加以二一6e(U,—),Xsm-=sm(-----)=sin—coscos—sin—=--------，

412123434344

所以/e(0,號」)，又sin2B=l-(cosB-sinB)2=l-r,

117

所以2sinC+cosB—sinB=2(l-產(chǎn))+，=-2/+r+2=-2(f--)2+—,

48

117

所以當(dāng)/=—時(shí)，2sinC+cos3—sin8取到最大值為一.

48

18.已知S”為數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和，滿足S“+；%-l(”eN*),且％,。2，。3，。4，。5成等比數(shù)列，當(dāng)

”25時(shí)，??>0.

(1)求證：當(dāng)”之5時(shí)，｛%,｝成等差數(shù)列；

(2)求｛%,｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【答案】(1)證明見解析；

"l-(-l)n,l<?<4,zieN*

⑵S”=<1,5*.

—712—n+2,n>5,neN

122

【解析】

【分析】⑴利用4+i=S〃+i—S”得到a,和%的關(guān)系即可證明；

⑵結(jié)合(1)中結(jié)論得4+1+%=0(nK5),求出外和公比，得到｛%｝通項(xiàng)公式，從而根據(jù)等差和等比數(shù)列前

”項(xiàng)和公式即可求解.

【小問1詳