8.6.3平面與平面垂直（6大題型）（原卷版）

8.6.3平面與平面垂直1、理解二面角、二面角的平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法；2、會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的平面角；3、理解兩個(gè)平面互相垂直的概念，并能用定義和判定定理證明相關(guān)的簡(jiǎn)單命題；4、理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能夠證明；5、能用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.一、二面角1、二面角（1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形．這條直線叫做二面角的棱，兩個(gè)半平面叫做二面角的面．（2）圖形語(yǔ)言：（3）符號(hào)語(yǔ)言：二面角或或或.2、二面角的平面角若有①；②，；③，，則二面角的平面角是．二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度。二、平面與平面垂直1、定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．2、圖形語(yǔ)言：3、符號(hào)語(yǔ)言：α⊥β.三、平面與平面垂直的判定定理1、文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直2、圖形語(yǔ)言：3、符號(hào)語(yǔ)言：四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理1、文字語(yǔ)言：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直2、圖形語(yǔ)言：3、符號(hào)語(yǔ)言：4、作用：①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線5、平面與平面垂直的其他性質(zhì)（1）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即（2）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面，即；（3）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi)，即；（4）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面，即；（5）三個(gè)涼涼垂直的平面的交線也兩兩垂直，即五、垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示題型一面面垂直的判定與性質(zhì)定理【例1】（2223高一上·江西·月考）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，b是直線且，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式11】（2223高一下·內(nèi)蒙古通遼·月考）已知直線、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若，，則③若，，且，則④若，，且，則其中正確的命題是（）A．①③ B．①② C．①④ D．③④【變式12】（2223高一下·河北邢臺(tái)·月考）（多選）設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【變式13】（2223高一下·河南商丘·月考）如圖所示，在三棱錐中，若，，，則在三棱錐的四個(gè)面中，互相垂直的面有（

）對(duì).

A．1 B．2 C．3 D．4題型二面面垂直的證明【例2】（2223高一下·山東濟(jì)寧·月考）如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F(xiàn)，G分別是CD，DA，AC的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面BGD．【變式21】（2223高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，是底面的直徑，且，是的中點(diǎn)．求證：平面平面；【變式22】（2223高一下·陜西榆林·月考）如圖所示，四棱錐中，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），，．求證：平面平面.【變式23】（2223高一下·河南洛陽(yáng)·月考）在四棱錐中，底面是正方形，平面．（1）求證：平面⊥平面；（2）求證：平面⊥平面．題型三由面面垂直證明線面垂直【例3】（2324高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.求證：面；【變式31】（2324高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．【變式32】（2324高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；【變式33】（2223高一下·湖南永州·月考）《九章算術(shù)·商功》記載：斜解立方，得兩塹堵：斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.如圖，在鱉臑中，，且平面平面．求證：（1）平面；（2）.題型四求平面與平面的夾角【例4】（2223高一下·江蘇南京·月考）在二面角中，，，，，且，，若，，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式41】（2324高一下·山東菏澤·月考）三棱錐中，平面ABC，，，，，則二面角的大小為.【變式42】（2223高一下·陜西咸陽(yáng)·月考）如圖，邊長(zhǎng)為2的兩個(gè)等邊三角形，若點(diǎn)到平面的距離為，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【變式43】（2223高一下·河南商丘·月考）如圖，四邊形是正方形，平面，且.求：（1）求二面角的大?。?）求二面角的大小.（3）求二面角的大小的正弦值．題型五平面圖折疊后的垂直及問(wèn)題【例5】（2223高一下·河南周口·月考）如圖所示，在矩形中，，為的中點(diǎn).將沿折起，使得平面平面.點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：【變式51】（2223高一下·河北衡水·期末）如圖直角梯形中，為中點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）求證：平面；（2）二面角的大?。咀兪?2】（2223高一下·山東青島·月考）如圖1所示，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，，，.將△ACE，△BDF分別沿CE，DF折起至點(diǎn)A，B重合為點(diǎn)，形成如圖2所示的幾何體，在幾何體中作答下面的問(wèn)題.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【變式53】（2223高一下·山東青島·月考）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接，為的中點(diǎn).（1）若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離；（2）不考慮點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)度.題型六面面垂直中的動(dòng)點(diǎn)探究【例6】（2324高二上·北京·月考）如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)N，使面面？并證明你的結(jié)論.【變式61】（2223高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，.在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式62】（2324高二上·上海浦東新·期中）如圖，在四棱錐，底面正方形，為側(cè)棱的中點(diǎn)，.（1）求四棱錐體積；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)