山東省青島市九校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022?2023學(xué)年度第二學(xué)期高二期中考試

數(shù)學(xué)試卷

2023.4

考生注意：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)

題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第七章

第一節(jié)結(jié)束.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.空間直角坐標(biāo)系中，已知人（-則點A關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標(biāo)為（）

A.（1,1,-3）B.（-1,-1,-3）C.（1,1,3）D.（-1,-1,3）

2.若4名教師報名參加鄉(xiāng)村志愿支教活動，可以從A,B,C這3個學(xué)校中選報1個，則不同的報名方式有

（）

A.16種B.24種C.64種D.81種

3.質(zhì)點M按規(guī)律s?）=（2t-1）?做直線運動（位移單位：m,時間單位：s）,則質(zhì)點M在f=5s時的瞬時速

度為（）

A.16m/sB.36m/sC.64m/sD.81m/s

4.拋物線x2=2y上一點A的縱坐標(biāo)為2,則點A與拋物線焦點F的距離為（）

5

A.2B.-C.3D.4

2

5.圓好+>2—4x—4y—10=0上的點到直線x+y+6=0的最大距離是（）

A.272B.40C.80D.1672

6.從8名女護士和4名男醫(yī)生中，抽取3名參加支援鄉(xiāng)鎮(zhèn)救護工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的

抽取方法數(shù)為（）

A.112B.32C.56D.12

7.已知4〃=ln4,b=J，5c=ln5,則。，b,。的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

8.若函數(shù)/（x）=雙2+X—111V存在增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍為

B.-ioo

A+

I4

C.4,+s

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.已知雙曲線的方程為：—-^=1,則下列說法正確的是（）

97

A.焦點為（土拒,0）B.漸近線方程為J7x±3y=0

C.離心率e為士D.焦點到漸近線的距離為巫

34

10.已知（l-2x）7+------pa^x1,貝!J（）

A.a。=1B.%=—270

37-1

C.%+出+…+%=-2D.%+%+〃4+〃6=...-

11.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝

三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（）

楊輝三角

第

0行

第

1行1

第

2行11

第

3行121

第

4行1331

464

第11

5行

第

6行15101051

第1615201561

7行

第3535

8行17212171

第918285670562881

行

第193684126126843691

X一

丁

第11104512021025221012045101

H一

丁115516533046246233016555111

A.i+c'+c；+c=q

B.第2023行的第1012個和第1013個數(shù)最大

C.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第7個數(shù)

D.第34行中從左到右第14個數(shù)與第15個數(shù)之比為2：3

fIY_1

12.已知函數(shù)/(力=二十則下列結(jié)論錯誤的是()

A.函數(shù)〃可存在兩個不同的零點

B.函數(shù)/(X)只有極大值沒有極小值

C.當(dāng)Y(左<0時，方程/(%)=左有且只有兩個實根

D.若x6匕內(nèi))時，/(x)max=4-貝卜的最小值為2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

丫2Q

13.若—jx，則曲線在x=4處切線方程為.

14.正項等比數(shù)列｛4｝中，的，。4044是方程無2—6x+8=0的兩個根，則log8a2023=.

15.盒中有。個紅球，。個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個，再從盒

中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是.

16.已知函數(shù)++smjc,其導(dǎo)函數(shù)記為f'(x),則

VJx2+l

/(2023)+/(2023)+f(-2023)-尸(—2023)=.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.設(shè)數(shù)列｛為｝是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，已知％=1,

⑴求數(shù)列｛g｝通項公式；

(2)若包=-----,且｛2｝的前w項和為北，求人

anan+l

18設(shè)函數(shù)/(x)=%sinx+cos%+%2+1.

⑴求了(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)xe--兀,71時，求/(力的取值范圍.

19.2022年4月16日3名宇航員太空歷經(jīng)大約半年時間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天

科學(xué)家從左到右排成一排合影留念.求：

(1)2名航天科學(xué)家站在左、右兩端總共有多少種排法；

(2)3名宇航員互不相鄰的概率；

(3)2名航天科學(xué)家之間至少有2名宇航員的概率.

22_

20.設(shè)橢圓C：三+2=1(?！怠贰?)的離心率為3,且短軸長為2G.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若在y軸上的截距為2的直線/與橢圓C分別交于A,B兩點,。為坐標(biāo)原點，且直線。4,的斜率之

和等于12,求直線的方程

21.如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面？底面4BC。，側(cè)棱尸A=PD=J],底面A3C。為直角

梯形，其中3C〃AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,PF=-FD.

2

P

⑴求證：P3//平面ACB

(2)在線段網(wǎng)上是否存在一點H,使得C8與平面AC尸所成角的正弦值為亞？若存在，求出線段PH的長

6

度；若不存在，請說明理由.

22.已知函數(shù)〃x)=2(x-3)e"+21nx+5.

⑴判斷了(x)在+J上的單調(diào)性；

(2)若0vx<2,求證：f<———21n2.

2022?2023學(xué)年度第二學(xué)期高二期中考試

數(shù)學(xué)試卷

2023.4

考生注意：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)

題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第七章

第一節(jié)結(jié)束.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.空間直角坐標(biāo)系中，已知4(-LU),則點A關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標(biāo)為()

A.(1,1,-3)B.(-1,-1,-3)C.(1,1,3)D.(-1,-1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點關(guān)于yOz平面的對稱點的特征可得答案.

【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對稱性可得A(-l,1,3)關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標(biāo)為(1,1,3),

故選：C.

2.若4名教師報名參加鄉(xiāng)村志愿支教活動，可以從A,B,C這3個學(xué)校中選報1個，則不同的報名方式有

()

A.16種B.24種C.64種D.81種

【答案】D

【解析】

【分析】每位教師報名都有3種選擇，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】每位教師報名都有3種選擇，則4名教師報名方式有34=81(種).

故選：D.

3.質(zhì)點M按規(guī)律S?)=(2t-1)?做直線運動(位移單位：m,時間單位：s),則質(zhì)點M在f=5s時的瞬時速

度為（）

A.16m/sB.36m/sC.64m/sD.81m/s

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得到結(jié)論.

【詳解】由s'⑺=4（2f—1）,得s'（5）=36,

質(zhì)點“在r=5s時的瞬時速度為36m/s.

故選：B.

4.拋物線x2=2y上一點A的縱坐標(biāo)為2,則點A與拋物線焦點F的距離為（）

5

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.

【詳解】由拋物線必=2丁的準(zhǔn)線方程為y=—；,焦點/（0,；）,

因為拋物線V=2y上一點A的縱坐標(biāo)為2,

根據(jù)拋物線的定義，可得點A與拋物線焦點F的距離為|=%+彳=2+3=].

故選：B.

5.圓九2+y2—4%一4y—10=0上的點到直線%+丁+6=。的最大距離是（）

A.272B.40C.80D.1672

【答案】C

【解析】

【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心及半徑，圓上點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半

徑.

【詳解】圓_?+9一4x—4y—10=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x—2）2+（y—2）2=18,

圓心坐標(biāo)為（2,2）,半徑為34，圓心到直線x+y+6=0的距離為巨共@=5五

所以圓上的點到直線x+y+6=0的最大距離為572+372=872.

故選:c.

6.從8名女護士和4名男醫(yī)生中，抽取3名參加支援鄉(xiāng)鎮(zhèn)救護工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的

抽取方法數(shù)為()

A.112B.32C.56D.12

【答案】A

【解析】

【分析】利用分層抽樣的定義和方法確定抽到的女護士與男醫(yī)生的人數(shù)，結(jié)合組合數(shù)公式求出結(jié)果.

【詳解】:?從8名女護士，4名男醫(yī)生中選出3名，.?.每個個體被抽到的概率是,，

4

根據(jù)分層抽樣要求，應(yīng)選出8x』=2名女護士，4x^=1名男醫(yī)生，

44

???不同的抽取方法數(shù)為C；?C；=112種.

故選：A.

7.已知4〃=ln4,b=e",5c=ln5,則b?。的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得a=吧，b=—,c=—,令/?(》)=皿，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合

函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

【詳解】依題意可得。=——，b=——，c=——，

4e5

設(shè)=則r(x)=當(dāng)xe(e,H<o)時

l,/'(x)<0,"%)單調(diào)遞減,

又e<4<5,所以〃e)>“4)>〃5),即)>吧>與，即Z?>a>c.

e4

故選：D.

8.若函數(shù)/(4)=加+xTnx存在增區(qū)間，則實數(shù)J取值范圍為

A.mB.

C(一5+0D.

【答案】C

【解析】

【分析】先假設(shè)函數(shù)“X）不存在增區(qū)間，則“X）單調(diào)遞減，利用〃尤）的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不

等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)。的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數(shù)”的取

值范圍.

【詳解】若函數(shù)“X）不存在增區(qū)間，則函數(shù)/（X）單調(diào)遞減，

此時/'（%）=2?x+1<0在區(qū)間（0,+e）恒成立，

X

「汨C”1111（11丫1、1日”1

可得—z----,貝!J----=-----—>—,可得〃V—，

%2%%2xU2J448

1

故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)”的取值范圍為—,+oo.故選C.

8

【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.已知雙曲線的方程為：三—二=1,則下列說法正確的是（）

97

A.焦點為（±J5,0）B.漸近線方程為J7x±3y=0

4D.焦點到漸近線的距離為巫

C.離心率e為一

34

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)方程求出a=3,b=用,c=V9+7=4,再由雙曲線的性質(zhì)以及點到直線的距離公式得出答案.

【詳解】由方程可知a=3,6=V7,c=<9+7=4

則焦點為（±4,0）,漸近線方程為y=±?x=±也％,即伍±3y=0

a3

離心率為e=-=~,焦點（4,0）到漸近線缶+3y=0的距離為d="立i=@

a3V7+9

故選：BC

10.已知（1一2%）7=4+4%+%%2----F//,則（）

A.%—1B.%=—270

3-1

C.%+a2+…+%=-2D.+%+〃4+〃6=

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)二項展開式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法，逐項計算，即可求解.

【詳解】由(1一2%)7=%+4%+々2%2H-----F%%7,

令x=0,可得4=1,所以A正確;

含Y的項為c＞（—2域=—280V，故生=-280,所以B錯誤;

令X=l,可得(1—2)=<2Q+H—.+%=-1

又因為4=1,故。］+。2^-----1"。7=—2,所以C正確;

令1=一1,可得(1+2)7=/-q+。2〃7=3,,

37-1

又由4+4+%+----F%=-1,故為+%+。4+〃6=---，所以D正確.

故選：ACD.

11.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝

三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（）

楊輝三角

第

04Z一

I丁

一

第14Z1

I丁

一

第2z11

l丁

一

第3Z121

J7丁

第

44一1331

丁

—4641

第1

5^z一

(4丁

第15101051

64Z一

I丁

第1615201561

74Z一

I丁

第172135352171

84一

丁

—

第9z-18285670562881

l丁

第1193684126126843691

第1/1104512021025221012045101

n仃

115516533046246233016555111

A.1+C；+C；+C；=C；

B.第2023行的第1012個和第1013個數(shù)最大

C.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第7個數(shù)

D.第34行中從左到右第14個數(shù)與第15個數(shù)之比為2：3

【答案】ABD

【解析】

n+1w+1

【分析】A選項，利用組合數(shù)運算公式計算；B選項，如果〃是奇數(shù)，則第——和第——+1個數(shù)字最大，

22

且這兩個數(shù)字一樣大；C選項，第6,7,8,9行的第7個數(shù)字分別為：1,7,28,84,C錯誤；D選項，

C132

第34行第14個數(shù)字是C；：,第34行第15個數(shù)字是C；：,所以才=鼻，故D正確.

。34)

3

【詳解】A選項，1+C：+C；+C；=1+6+*+^^=84,C=9x8x7=84；故A正確；

2x13x2x13x2x1

〃+1n+1

B選項，由圖可知：第〃行有〃+1個數(shù)字，如果幾是奇數(shù)，則第——和第——+1個數(shù)字最大，且這兩個

22

rj

數(shù)字一樣大；如果〃是偶數(shù)，則第一+1個數(shù)字最大，故第2023行的第1012個和第1013個數(shù)最大，故B

2

正確；

C選項，第6行，第7行，第8行的第7個數(shù)字分別為：1,7,28,其和為36；第9行第7個數(shù)字是84,

故C錯誤；

341341

D選項，依題意：第34行第14個數(shù)字是=,第34行第15個數(shù)字是,所以

313!x21!314!x20!

34!

絳=%產(chǎn)=：=2:3,故D正確.

。34_______'_J

14!x20!

故選：ABD.

f-1

12.已知函數(shù)=J+則下列結(jié)論錯誤的是()

e

A.函數(shù)/(x)存在兩個不同的零點

B.函數(shù)〃力只有極大值沒有極小值

C.當(dāng)Y(左＜0時，方程/(%)=左有且只有兩個實根

D.若尤時，/(x)max=4-貝卜的最小值為2

e

【答案】BD

【解析】

【分析】由/(力=0,得到d+x—1=0,可判定A正確；求得/(耳=_("+"1—2),得出函數(shù)/⑴

e光

的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯誤；根據(jù)函數(shù)的最小值是/(-1)=-e,可判定C正確；由函數(shù)的單調(diào)性和極值,

可判定/=—1時，/(x)max=-^,可判定D錯誤.

【詳解】對于A中，由/(x)=。，可得d+x—1=0,解得》=苣心，所以A正確;

對于B中，由r(x)=_x2__(x+l)(x—2),

―dex

令/時)>0時，可得一l<x<2,當(dāng)/'(x)<0時，x<—1或x>2,

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是JR—1),(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,2),

所以/(-1)是函數(shù)的極小值，/(2)是函數(shù)的極大值，所以B錯誤；

對于C中，當(dāng)xf+8時，—根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是/(—1)=—e,

可得函數(shù)大致圖象，

所以當(dāng)Y(左<0時，方程/(4)=左有且只有兩個實根，所以C正確；

對于D中，由B知函數(shù)/(力的單調(diào)遞減區(qū)間是(—,—1),(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,2),

其中/'(2)=之，當(dāng)/=-!時，即在區(qū)間[―1,大功時，可得111ax=3，所以D錯誤.

故選：BD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若/(%)=]-齊，則曲線外可在x=4處的切線方程為.

【答案】％+2y+16=0

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可.

【詳解】尸(x)=x—則尸(4)=—萬，又44)=—10,

所以曲線/(%)在x=4處的切線方程為y+10=—g(x—4),即％+2y+16=0.

故答案為：x+2y+16=0.

14.正項等比數(shù)列｛4｝中，的，。4044是方程V—6工+8=0的兩個根，則lOg8a2023=.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】利用韋達定理、等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運算求解.

【詳解】。2，“4044是方程%2-6%+8=0的兩個根，由韋達定理可得a2a4044=8，

正項等比數(shù)列｛%｝中，有。2023=｛的%044=次=82,所以1°g8“2023=務(wù)

故答案為：g

15.盒中有。個紅球，〃個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球。個，再從盒

中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是.

,__,bb

［答案］--##-——

a+bb+a

【解析】

【分析】根據(jù)B=AB+ZB，由全概率公式計算可得結(jié)果.

【詳解】記事件A：第一次抽取的是黑球；事件2：第二次抽取的是黑球；則3=+而；

P(A)=-^—,P(B|A)=b+C；P(A\=-^—,P(B|A)=—-—,

a+b'7a+b+c'7a+b'1'a+b+c

.-.P(B)=P(A)-P(B\A］+P(A)-P(B\A\=-----竺J+，-----------

'Jv7v17v7v17a+ba+b+ca+ba+b+c

b^b+c^+abZ?(Q+Z?+C)b

(a+Z7)(Q+Z7+c)(a+Z?)(a+Z?+c)a+b

b

故答案為：-

a+b

16.已知函數(shù)〃%)=(x+l)+sm光,其導(dǎo)函數(shù)記為f'(x),則

/(2023)+/,(2023)+f(-2023)-f(-2023)=.

【答案】2

【解析】

【分析】利用求導(dǎo)法則求出/'(%),即可知道/"(X)=/'(-%),令g(x)=〃x)—1,可證得為奇函數(shù),

利用奇偶性即可求解.

/.i\2,-c(2+cosxHx2+l)-(2x+sinxY2x

［詳解］函數(shù)f(x\=(X1)sinx=1+2x+sinx,則/(x)=---------，胃------------------，

x2+lx2+l(二+1)

顯然/■'(%)為偶函數(shù)，

令g(x)=/(x)—1=WT，

xeR,g(-x)=_2x：sm.:—8⑴,所以g(x)為奇函數(shù)，又/'(九)為偶函數(shù)，

所以(2023)-f(-2023)=0,/(2023)+f(-2023)=g(2023)+l+g(-2023)+1=2,

所以/(2023)+/'(2023)+f(-2023)-f(-2023)=2.

故答案為：2.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.設(shè)數(shù)列｛?！埃枪顬閐(d>0)的等差數(shù)列，已知4=1,%?4=15

(1)求數(shù)列｛g｝的通項公式；

⑵若〃=-----,且｛〃｝的前，項和為7；,求7；.

anan+l

【答案】⑴?！?2n-l

n

("=2n+l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，進而求解;

⑵結(jié)合(1)的結(jié)論得到a彳二］,利用裂項相消法即可求解.

212,7-12M+1J

小問1詳解】

因為數(shù)列｛%｝是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，且％?%=15,

,7

所以%?生=(1+^/)(1+2d)=15,則d=2或d=—

又d>0,d=2,—2〃—1.

【小問2詳解】

由⑴可得，2=二---二;---M=Wc1

(2n-l)(2n+1)2y2n-l2n+lJ

:+」+L+11n

3352n—\2n+l2n+l

18.設(shè)函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+f+1.

⑴求的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)xe-1?，兀時，求/(%)的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+"),單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0).

⑵[2,兀2]

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

兀

(2)由(1)可得函數(shù)在一萬,兀上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，再求出區(qū)間端點的函數(shù)值，即可求出

函數(shù)的值域.

【小問1詳解】

因為/(xjnxsinx+cosx+K+l定義域為R,

所以/f(x)=sinx+xcosx-sinx+2x=x(2+cosx),

因為一1WcosxWl,所以l42+cosx<3,

所以當(dāng)無<0時/(“<0,當(dāng)x>0時/X*),。，

所以/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+。)，單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0).

【小問2詳解】

由⑴可得/(天)在一方上單調(diào)遞減，在(0，可上單調(diào)遞增，

所以/(%)在x=0處取得極小值即最小值，所以/=/?⑼=2,

又〃兀)=/

又兀2_1+?+1}+_(_]=3兀—j-4>°，所以/(%)2=/(兀”兀工

所以/(x)e[2,兀2]

19.2022年4月16日3名宇航員在太空歷經(jīng)大約半年時間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天

科學(xué)家從左到右排成一排合影留念.求：

(1)2名航天科學(xué)家站在左、右兩端總共有多少種排法；

(2)3名宇航員互不相鄰的概率；

(3)2名航天科學(xué)家之間至少有2名宇航員的概率.

【答案】(1)12(2)、

3

(3)—.

10

【解析】

【分析】(1)利用分步乘法計數(shù)原理以及排列數(shù)的計算求得排法數(shù).

(2)利用插空法、排列數(shù)以及古典概型的知識求的所求概率.

(3)根據(jù)2名航天科學(xué)家之間的人數(shù)進行分類討論，利用古典概型的知識求得所求的概率.

【小問1詳解】

第一步，先排2名航天科學(xué)家A；,第二步，再排3名宇航員A；,

所以總共有A；A：=12(種).

【小問2詳解】

先排2名航天科學(xué)家，然后再插入3名宇航員，所以總共有A；A；=12(種)，

191

5人排成一排一共A：=120(種)，所以所求的概率為：——=—.

12010

小問3詳解】

A2A31

①當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有3名宇航員時，片=^^=二；

A；10

②當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有2名宇航員時，P2=。3A2A2=￡,

20.設(shè)橢圓C：.+%=的離心率為且短軸長為2班.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若在y軸上的截距為2的直線/與橢圓C分別交于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，且直線。4,的斜率之

和等于12,求直線AB的方程

22

【答案】（1）二+乙=1

43

（2）y=—2.x+2

【解析】

【分析】（1）由離心率的值可得。=2c,〃=3。2=3,可求出。的值，由此得解；

（2）由題意可知直線A3的斜率存在，設(shè)直線A3的方程為丁=去+2,設(shè)點A（Xi，yJ、3（々,%），將直

線A5的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用斜率公式結(jié)合韋達定理可求得上的值，從而得到直線A3的方程.

【小問1詳解】

c1

由題可得b=A/3，由6=—二大有〃=2c，b2=a2—c2=3c2=3，

a2

2

解得c=l,a=1+3=4

22

故所求橢圓方程為：三+匕=1.

43

【小問2詳解】

由題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)L：y=kx+2,A（%，x）,B（x2,y2）,

y=kx+2

聯(lián)立vJy2=＞（3+4左之）%?+16而+4=0,

--1---=1

14---3

△=（16左）2—16（3+4左2）＞0=左＞：或左＜—!，

16左4

kOA+kOB=3+涯=陰+2）/+32+2）芯=2^+2（x1+x2）=2%+2X/=—6k=12，

玉X?石入2X1X24

:.k=-2,故直線A3的方程為y=-2x+2.

21.如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面？AD，底面ABCD側(cè)棱尸A=PD=J1,底面ABC。為直角

梯形，其中3C7/AD,ABYAD,AD=2AB=2BC=2,PF=-FD.

2

p

BC

⑴求證：P3//平面ACB

(2)在線段網(wǎng)上是否存在一點H,使得CH與平面ACP所成角的正弦值為亞？若存在，求出線段刊/的長

6

度；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在，P”的長為G或半，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得尸3〃平面Ab.

(2)設(shè)P"=/P3,求出C”，根據(jù)CH與平面ACF所成角的正弦值列方程，由此求得t,進而求得PH的

長.

【小問1詳解】

依題意，在四棱錐尸—ABCD中，側(cè)面？40,底面ABCD側(cè)棱尸A=PD=J5，

底面ABC。為直角梯形，其中3C〃AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,PF=-FD,