河南省平頂山市等2地普高聯(lián)考2023屆高三測(cè)評(píng)（四）文科數(shù)學(xué)試題 含解析

絕密★啟用前

普高聯(lián)考2022—2023學(xué)年高三測(cè)評(píng)(四)

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合”={1，2,3,4},8={2,3,6,7},貝汁()

A.2^Ar\BB.3eAr>BC.D.5eZU8

【答案】B

【解析】

【分析】先求解znszuB,進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可得：ZI8={2,3},ZU8={1,2,3,4,6,7},

所以3G4CB,4eA\jB,5A\JB,

故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)2=。+歷(?€11)的共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)為亍，且z—(2+i)^=—3+5i,則a+6=()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和加減法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義即可得解.

【詳解】由題意1=。—?dú)v，

貝|z-(2+i)^=-3+5i,即a+歷一(2+i)(a-bi)=-3+5i,

化簡(jiǎn)得—a—b+(-。+3Z?)i=-3+5i,

所以a+6=3.

故選：D.

sinq,cosq)輯〈1〈1,b=,且J.力=立，貝!］，=()

3.已知向量1=(

秒22

7171715

A.—B.一C.—D.—

6431

【答案】A

【解析】

【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合三角函數(shù)求值問(wèn)題求解即可.

i

【詳解】已知向量2=(sing,cosg)

因?yàn)閍-b=—，

2

訴區(qū)百?,1百

所以——sin(7+—cos。=——，

222

所以sin[e+?]=,,

一t八冗冗

則夕H--二一

63

TT

則6=7,

6

故選：A.

4.設(shè)S“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若。2+。5+。8=15,貝1|89=(

A.15B.30C.45D.60

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出生，再根據(jù)等差數(shù)列前幾項(xiàng)和公式即可得解.

【詳解】由題意得。2+%+。8=3%=15,所以%=5,

所以Sg=￡等。=9%=45.

故選：C.

5.塔是一種在亞洲常見(jiàn)的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)建筑.最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛經(jīng)、

僧人遺體等的高聳型點(diǎn)式建筑，稱“佛塔”.如圖，為測(cè)量某塔的總高度/瓦選取與塔底8在同一水平面內(nèi)

的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與。，現(xiàn)測(cè)得N3CD=30°,ZBDC=45°,CD=30米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂/的仰角

為60°,則塔的總高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：、歷士1.4，V3?1.7）

A

A.13米B.24米C.39米D.45米

【答案】C

【解析】

【分析】在根據(jù)N/C5的正切得與的關(guān)系，在△88中利用正弦定理列式即可求解.

mm

【詳解】設(shè)/3=加，則3C=-—=-r

tan60°V3

CDBC

在△BCD中，ZCBD=105°,由正弦定理得-------

sin105°sin45°

sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos600+cos45°sin60°=

代入數(shù)據(jù)，解得陽(yáng)=90—30G。90—30x1.7=39（米）,

故選：C.

6.函數(shù)y=x-的大致圖像是（）

e|x|

【答案】A

【解析】

【分析】首先由函數(shù)的奇偶性判斷出B,D錯(cuò)誤，再結(jié)合當(dāng)尤=］時(shí)y<0得出答案.

［詳解］設(shè)/(x)=y=x—%右區(qū)，

由/(-x)=r+=—/a),得/(x)為奇函數(shù)，故B,D錯(cuò)誤；

e

-兀-3rsi.n—?！3

22=2_<o,故A正確，c錯(cuò)誤,

故選：A.

x-y+3<0,

7.記不等式組(x+y+140,的解集為Q,現(xiàn)有下面四個(gè)命題:

x+3>0

px:V(x,j)eD,2x-y+8>0；p2:3(x,y)^D,x-2y+4〉0；

p3:V(x,y)ED,x+y+3>0；pA:3(x,y)eD,x+3j-3<0.

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】作出不等式組所表示的區(qū)域，再逐項(xiàng)的作出對(duì)應(yīng)直線，觀察所作直線與可行域的關(guān)系，再利用存

在命題與全稱命題的概念進(jìn)行判斷即可求解.

【詳解】不等式組的解集。表示的可行域如圖中陰影部分所示，依據(jù)圖(1)知命題月為真命題，依據(jù)圖

(2)知命題夕2為真命題，

依據(jù)圖（3）知命題23為假命題，依據(jù)圖（4）知命題24為真命題.所以真命題有3個(gè),

8.函數(shù)y=W（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且"X）在區(qū)間[0,+8）上單調(diào)遞增，若關(guān)于實(shí)數(shù)/的不等式

/（log3r）+/log/〉2/（2）恒成立，貝h的取值范圍是（）

I3J

A[O]]U（9,+8）B,[O,￡|U（3,+8）C.（9,+S）D，

【答案】A

【解析】

【分析】易得函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，不等式可化為/（log3/）〉/（2）,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等

式即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)^=獷（乃是定義在R上的奇函數(shù)，

所以一￥（f）=-獷（尤），所以/（f）=/（x）,

所以函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，

又logy=-log3f,

3

、

則/(10g3/)+/log">2/(2),即為2/(抽3。〉2〃2),

I3)

即/(logs/)〉/(2),

又因"X)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增,

Ilog,t\>21

所以?31,解得/>9或0</<—，

/>09

所以t的取值范圍是［o：］u(9,+s).

故選：A.

9.已知拋物線。：/=2。;(0〉0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線與拋物線交于點(diǎn)/,B,與拋物線的準(zhǔn)線交于

點(diǎn)、M,且點(diǎn)/位于第一象限，尸恰好為的中點(diǎn)，AF=2WeR)，則4=()

34廠廠

A.—B.—C.J2D.6

【答案】A

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)/,5分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N,E,根據(jù)拋物線的定義，又尸恰好為的中點(diǎn)，

\AF\

可得到比例7—7,進(jìn)一步推導(dǎo)得到2的值.

|BM|

【詳解】如圖，

X

XM~T\N~

過(guò)點(diǎn)4B分別作準(zhǔn)線的垂線垂足分別為N,E,根據(jù)拋物線的定義得|AF|=|/N|,|3用=|8&,因?yàn)閗

\AF\\BF\\BF\\BE\\AN\\AF\1

為w的中點(diǎn)，所以?3廣=+1,又====，所

\BM\\BM\\BM\\BM\\AM\\AM\2

\AF\\BF\133

以—+11—+11=彳，所以2=2.

\BM\\BM\222

故選：A

10.任意寫出一個(gè)正整數(shù)加，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果加是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3加+1,如

果加是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成,陰，無(wú)論加是怎樣一個(gè)數(shù)字，最終必進(jìn)入循環(huán)圈1—4—2-1,這就是

2

數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示為數(shù)列｛%｝：%=加（加為正整數(shù)），

3a〃+1,當(dāng)％為奇數(shù)時(shí)

anl1,若%=2,則加的所有可能取值之和為（

+當(dāng)％為偶數(shù)時(shí)

12

A.188B.190C.192D.201

【答案】B

【分析】列舉出%5T14的可能情況，可得出加的所有可能取值，相加即可

得解.

【詳解】由題意，%一4?。3?。4?。5?。6?。7的可能情況有：

①2-1—4f2fH2；②16T?8-4f2fH2；

③20—10-5—16—8—4—2；④3-10-＞5-16—8—4—2；

⑤128-64—32—16—8—4—2；⑥21—64—32—16—8—4—2；

所以，加的可能取值集合為｛2,16,20,3,128,21｝,加的所有可能取值之和為

2+16+20+3+128+21=190.

故選：B.

11.若函數(shù)/。）=豆11（0》+今（。＞0）在0,學(xué)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在-二，二上單調(diào)遞增，則①的取值

6|_3J|_1212_

范圍是（）

A1卜

【答案】B

【解析】

【分析】有函數(shù)在0,y區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)可知2兀Wo年+巳＜3兀，由/（X）在-展/上單調(diào)遞增可

求出①的取值范圍，然后聯(lián)立即可求出答案.

【詳解】解：由題意得：

函數(shù)/（x）=sin（。％+—）（<z>>0）在0,y上恰有兩個(gè)零點(diǎn),

c,2兀兀c

271Wco1—<3兀,

36

解得：一—①，

44

7171

又???/（、）在-上單調(diào)遞增，

L1212J

71兀、兀

------6?+—>——

1262

兀7t7T

?e,1+TT，解得：②，

12620<G?4

g>0

由①②式聯(lián)立可知&的取值范圍是1,4.

_4_

故選：B

12.已知雙曲線￡：《-工=15>0）的上焦點(diǎn)為片，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若4（4,0）,且歸國(guó)+|24|

。一8

的最小值為7,則雙曲線￡的離心率為（）

0卡J697口二十J697?_八2

AA.2或-----B.3或-----C.2D.3

2525

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線定義將忸團(tuán)+|24|轉(zhuǎn)化為|尸鳥|+|尸川+2%數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】設(shè)雙曲線E的下焦點(diǎn)為乙（-c,0）,可知°=）片+8,

則歸耳卜歸聞=2a,即歸國(guó)=|尸閶+2。,

則片|+|PA\=\PF2\+\PAI+2a>\AF,|+2a=Ap+16+2a=5+24+2a,

當(dāng)且僅當(dāng)4P，B三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

由題意可得J°2+24+2a=7，且a>0，

因?yàn)?（a）=”?K+2a在（0,+“）上單調(diào)遞增，且/。）=7,

所以方程+2Q=7，且。〉0，解得。=1,

則°=82+8=3,所以雙曲線￡的離心率為e=￡=3.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，?4=48,a6=12,則氏=.

【答案】24

【解析】

【分析】根據(jù)題意利用等比中項(xiàng)運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，則公=a4a6=576,

且%>0,所以%=24.

故答案為：24.

14.疫情防控期間，學(xué)校從2名男教師和3名女教師中任選2人參加志愿者服務(wù)，則選中的2人都是女教師

的概率為.

3

【答案】一##0.3

10

【解析】

【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.

【詳解】記男老師為1,2,女老師為3,4,5,任選兩人，基本事件有：

12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10個(gè)，

其中2個(gè)都是女老師的事件有：34,35,45,共3個(gè).

3

所以選中的2人都是女教師的概率為一.

故答案為：—

10

15已知點(diǎn)34，。)和“。)，點(diǎn)川滿足端=2,直線/:廣稔+4)(心。)與點(diǎn)M的軌跡相切，則

直線I的傾斜角為.

7T

【答案】一##30°

6

【解析】

【分析】設(shè)M(x,y),根據(jù)題意可得點(diǎn)M的軌跡是以C(4,0)為圓心，半徑為4的圓C,結(jié)合直線方程利

用數(shù)形結(jié)合分析求解.

\MA\J(x+4『+/,

【詳解】設(shè)/(xj),則后^=十：「2,整理得(x—4)+『=16,

V\//

所以點(diǎn)M的軌跡是以。(4,0)為圓心，半徑為4的圓C,

因?yàn)橹本€l;y=k(x+4)(k>0)表示過(guò)定點(diǎn)直線/(—4,0),斜率為k的直線，

設(shè)直線/與圓。的切點(diǎn)為N,則直線/的傾斜角為NN4C,

則=4jZC|=8,可得sinNNL4C=----=—,

AC2

TTTT

且/M4C為銳角，可得NN4C=—,所以直線/的傾斜角為一.

66

JT

故答案為：一.

6

16.在菱形48CQ中，48=5,AC=6,4c與AD的交點(diǎn)為G,點(diǎn)N分別在線段4D,CD上，且

AM=jMD,CN=；ND,將△〃?江)沿MN折疊到△"VZX,使GZ>'=2亞，則三棱錐。'—48。的

外接球的表面積為.

627

【答案】---71

16

【解析】

【分析】設(shè)MN與的交點(diǎn)為H,連接Z)歸，證明。'G,平面N8C,設(shè)AZ8C的外接圓圓心為J,△40'。

的外接圓圓心為。2,過(guò)g，。2分別作平面N3C，平面4。'。的垂線，設(shè)兩垂線交于點(diǎn)。，則。是三棱錐

D'-ABC外接球的球心，先求出兩外接圓的半徑生弓，再求出三棱錐D'-ABC的外接球的半徑R即得解.

【詳解】如圖所示，因?yàn)镃N=-ND,

33

所以跖V///C,設(shè)MN與BD的交點(diǎn)、為H,連接。月，

因?yàn)锳D=CD=AB=5,GA=GC=3,所以DG=4,

則GH=1,DH=3,所以。7f=3,

又G￡>'=2后，則。e+G82=。'尸，則。'G，G/f,

又。'G_L/C,ACcHG=G,/C,〃Gu平面/BC,

所以。'GJ_平面N5C,

設(shè)&4BC的外接圓圓心為J,AAD'C的外接圓圓心為。2,

過(guò)。，。2分別作平面/3C,平面AD'C的垂線,

設(shè)兩垂線交于點(diǎn)0,則。是三棱錐。'-48C外接球的球心,

且四邊形。2G為矩形,

設(shè)的外接圓半徑為小在U5C中，由（4—Q+32=片，解得外=

8

1772V2

同理可得△4D'C的外接圓半徑4=所以GQ

8V

設(shè)三棱錐D'~ABC的外接球半徑為R,

6252627

則R2=0/2+GO；=----1---

6464~64

則三棱錐D'~ABC的外接球的表面積S=4成2=限

16

627

故答案為：---兀.

16

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法:

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長(zhǎng)方體中

去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則

球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；

④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求

出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17—21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.在中，角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,口J§S-acosC)=csin/.

(1)求A；

(2)點(diǎn)。在線段NC上，且若△48。的面積為￡1,b+c=6,求8。的長(zhǎng).

34

【答案】(1)

(2)BD=41

【解析】

【分析】(1)先利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；

(2)先根據(jù)三角形的面積公式及已知求出瓦。，再利用余弦定理即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镚S-acosC)=csin/，

由正弦定理得J^(sin5—sin/cosC)=sinCsin/,

即Gsin(/+C)—GsinZcosC=sinCsinZ,

即百cosZsinC=sinCsinA，

又sinC>0,所以tanA=V3，

又/e(0,7i),所以/=/；

【小問(wèn)2詳解】

cho1S.4也入3^3XBQ

由S/RC=—=——be=--->得6c=9，

“BD2124

又b+c=6,則。=6-b,

則6(6—3)=9,解得6=3,所以c=3,

則AD=1,

所以3￡>2=32+l2-2x3xlx-=7,

2

所以5￡>=J7.

18.如圖，在四棱錐M—48cZ）中，底面488是平行四邊形，48=4,40=2也，MC=272>

N4DC=45°,點(diǎn)M在底面4BCD上的射影為CD的中點(diǎn)。，E為線段上的點(diǎn)（含端點(diǎn)）.

（1）若E為線段的中點(diǎn)，證明：平面MOEJ_平面M4D；

（2）若/￡=且三棱錐M—的體積為工，求實(shí)數(shù)2的值.

3

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）/I=—

4

【解析】

【分析】（1）易得M9_L平面/BCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得M91AD,再利用勾股定理證明DELEO,

再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；

（2）由（1）可得中2。邊上的高為血，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

,/點(diǎn)〃■在底面ABCD上的射影為CD的中點(diǎn)。，，M0±平面ABCD,

又4Du平面48。，

為線段CD的中點(diǎn)，￡為線段4D的中點(diǎn)，，。。=2,DE=4i,

?/ZADC=45°,由余弦定理得SO?=2?+（亞）2一2*2*行乂乎=2，

則EO2+DE-=DO2>則DELEO,

；MOcEO=0,MO,￡Ou平面MOE,4D，平面MOE,

又：4Du平面M4D,，平面MOE_L平面量XD；

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可得（W=2,

△4OD中4D邊上的高為J],

則SAOF=—xAADx=22,

141

則心JVL-A/UO匕E=_3S4“AUO匕E.（W=3_%=3_,

所以X」.

4

19.某公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量y（單位：萬(wàn)件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近5年的年?duì)I

銷費(fèi)用為和年銷售量入?=1,2,3,4,5）,得到的散點(diǎn)圖如圖所示，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到一些統(tǒng)計(jì)量

的值如下表所示.

年銷售量（萬(wàn)件）

120-.

110-?

100-?

90-,

80--

O1020304050607080*

年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）

%555

i=\i=li=lZ=1

16.1026.020.401.60

[5]5

表中%=lnx「v,.=lnj;,五=公￡%,v=匕.已知y=a?/可以作為年銷售量y關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)

5/=i5Z=1

用X的回歸方程.

(1)求y關(guān)于x的回歸方程；

(2)若公司每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為4元，固定成本為每年120萬(wàn)元，用所求的回歸方程估計(jì)該公司每年投

入多少營(yíng)銷費(fèi)用，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？(收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用-固定成本)

參考數(shù)據(jù)：e4-399?8B

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%),(4#2)，…，(落”匕)，其回歸直線v=a+，M的斜率和截距的最小二乘估

￡(%―/)日—")人

計(jì)分別為/=上_____________,a=v-13u.

￡(%-M)2

Z=1

1

【答案】⑴y=81x"

(2)該公司每年投入351萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)用時(shí)，該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題目要求可知，y關(guān)于x的回歸方程為非線性的，設(shè)y=可得lny=lna+blnx,

代入已知條件所給的數(shù)據(jù)，計(jì)算即可.(2)列出年收益與營(yíng)銷費(fèi)用的關(guān)系式，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求得最值.

【小問(wèn)1詳解】

由y=得，Inj=ln(??xfc)=lnt7+Z?lnx,令”=lnx,v=Iny,c=Ina,則丫=0+①.

5__

.初”)04

由表中數(shù)據(jù)可得，b=上、------------=--=0.25,

三…I'

Z=1

。久noiz^i

則2="—=———0.25x——=4.399,所以f=4.399+0.25M.

55

即InJ=4.399+0.25Inx=Ine4-399-%^,因?yàn)樗?=81f，

I

1

故所求的回歸方程為y=81xL

【小問(wèn)2詳解】

、、_1

設(shè)年收益為少萬(wàn)元，則少=4y-x-120=324#-x-120，

c3

對(duì)沙=/a)求導(dǎo)，得r(x)=8i”-「

令81/：_1=0,解得》=243g。243義怖=351,

當(dāng)xe(0,351)時(shí),/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，疊xe(351,+oo)時(shí),/'(x)<0,/⑴單調(diào)遞減,

因此，當(dāng)x=351時(shí)少有最大值，即該公司每年投入351萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)用時(shí)，該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大.

20.已知橢圓C：[+/=i(a〉b〉0)的右焦點(diǎn)為R離心率為:，且點(diǎn)卜,在橢圓上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)右焦點(diǎn)下且斜率不為0的直線/與橢圓。交于4,3兩點(diǎn)，線段N2的中點(diǎn)為0,經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O

和點(diǎn)。的直線正與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，求四邊形的面積的取值范圍.

22

【答案】(1)土+匕=1;

43

(2)[6,45

【解析】

【分析】(1)由題得到關(guān)于凡“c的方程，解方程即得解;

(2)設(shè)直線/的方程為x=@+l,聯(lián)立橢圓C的方程得到韋達(dá)定理，設(shè)線段的中點(diǎn)為。(%,%),求

出它的坐標(biāo)，求出|4§|、點(diǎn)M,N到直線/的距離4,口，再化簡(jiǎn)求出S=4GJ1———即得解.

【小問(wèn)1詳解】

c1

設(shè)橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,0)(c>0),則一=—,即a=2c,

a2

X4Z2=Z72+c2,則〃=302,

因?yàn)辄c(diǎn)(l,|j在橢圓上，

1913

所以二+丁=1,即二+『=1,解得c=l,

a~4Zr4c~4c~

22

則a=2,b=6所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+上=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知/(1,0),因?yàn)橹本€/的斜率不為0,所以可設(shè)直線/的方程為x=W+L

22

代入橢圓C的方程土+匕=1，消去X化簡(jiǎn)得(3左2+4)/+6處—9=0,

43

設(shè)86j)，則%+%=獲%'"2二—?

=@+i=T^+i=——

設(shè)線段的中點(diǎn)為0(%,%)，則為=即

23k+403左2+43F+4

(4-3k\3"

°素百’則直線優(yōu)的方程為k-彳、'

代入橢圓C的方程可得X=±二—,不妨設(shè)河——,~^=,N-,4

,3公+473k2+473F+4JIJ3-+4

|ZB|=Jl+1?N_%|=Ji+12.J(K+為『一令必=J1+F,J、］J-4X3"、

點(diǎn)M,N到直線I的距離分別為4=1_U

J1+k2'2;E'

則四邊形的面積為

S=-x\AB\xdx+-x\AB\xd2=-x\AB\x(dl+d2)=-x\AB\x［即：處」一％品印

2222I也+1(2J1+k2,

因?yàn)辄c(diǎn)M,N在直線/的兩側(cè)，所以

時(shí)一q一左(加一%)

S=-xAB|x3尚二1—」x"X

27T7F7T7F2

1的X壬LL嗎”尹i'“

二—X

2J1+F23k-+471+F,3左2+4

因?yàn)?<------<—所以6Vs<46.

3公+44

因此，四邊形/"3N的面積的取值范圍為[6,4百).

21.已知函數(shù)/(x)=e*sinx-加x+1.

(1)當(dāng)用=-1時(shí)，求“X)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)0〈機(jī)<1時(shí)，對(duì)任意的xe]o，Y),/(x)>l恒成立.

【答案】⑴2x-y+l=0

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)要證/(x)>l,即證Ssinx—加x>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e''sinx-加x,利用導(dǎo)數(shù)求出

函數(shù)g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)俄=一1時(shí)，/(X)=e"sinx+x+1,

/'(x)=ex(sinx+cosx)+l,

則以O(shè))=2J(O)=l,

所以〃x)在點(diǎn)(0,/(O))處的切線方程為y-l=2x,

即2x—y+1=0；

【小問(wèn)2詳解】

要證當(dāng)0<加<1時(shí)，對(duì)任意的/(x)〉l恒成立，

即證e'sinx-mx>0，

令g(x)=eXsinx-?7ix,,

則g'(1)=e"(sinx+cosx)-m,

令/z(x)=e"(sinx+cosx)-加，,貝ij=2e“cosx,

當(dāng)時(shí)，〃(x)>0,則函數(shù)〃(x)在上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x￡時(shí)，力(1)>力(o)=1—加>0，即g'(x)〉0，

所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe0,]時(shí)，g(x)>g(O)=O,

兀371兀3兀

當(dāng)xe時(shí)，7?,(x)＜0,所以函數(shù)力(x)在xe上單調(diào)遞減,

2'T2'T

371

而力⑼>0,h-m<0,

71371

所以存在/G，使得/z(x)=ev°(sinx+cosx^-m=Q,

2?T000

|＞可時(shí)，g'(x)＞0,當(dāng)I3兀

當(dāng)工￡XGIX°?^T時(shí)，g'(x)<0,

3兀

所以函數(shù)g(x)在xe],與上單調(diào)遞增，在xex。,(上單調(diào)遞減,

4

nn

71

而ge，--m>-->0,

22

371-371V23兀3兀

g---m>--e4-----,

424

令°(x)=*e，(3兀*3)]

一￡(0,3),〔了

貝11"(x)=—ex-l.

2

當(dāng)O<ln0<x時(shí)，"(x)<0,當(dāng)In應(yīng)<x<3時(shí)，”(x)〉0,

上單調(diào)遞減，在(in夜,3)上單調(diào)遞增,

所以。(力加=。(taV2)=l-lnV2>0,

min

3兀

所以g>°(ln亞)>0,

兀371

所以當(dāng)xe時(shí)，g(x)>0,

25T

綜上所述，當(dāng)0＜加＜1時(shí)，對(duì)任意的,g(x)=e*sinx一加x〉0,

即當(dāng)0〈加<1時(shí)，對(duì)任意的xe［o,彳J,/(x)>l恒成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)—g(x)>0(或

/(x)-g(x)<。),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù):(％)=/⑴一8⑴；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系X0中，直線/的參數(shù)方程為〈1其中，為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為P=2|sin田+2|cos，|,其中，為參數(shù).

x

(I)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并畫出曲線。的簡(jiǎn)圖(無(wú)需寫出作圖過(guò)程);

(2)直線加：，=&ere0,-與曲線C相交于4,B兩點(diǎn),且|45|=2幾，求&的值.

\L

【答案】(I)x+v-2=0,x*2+y2-2\x\-2\y\=0,作圖見(jiàn)解析；

,、n?5兀

(2)cc=—或=—.