2024年寧省沈陽市于洪區(qū)九年級中考數(shù)學(xué)零模后跟蹤練習(xí)模擬預(yù)測題（含答案解析）

2024年寧省沈陽市于洪區(qū)九年級中考數(shù)學(xué)零模后跟蹤練習(xí)模

擬預(yù)測題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在-2024,-』，0,1這四個(gè)有理數(shù)中，最小的數(shù)是（）

2024

A.-2024B.———C.0D.1

2024

【答案】A

【分析】

本題考查了有理數(shù)大小比較,熟練掌握兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小，即可解答.

【詳解】

解:|-2024|=2024,I---1=---

20242024

1

又?:2024>

2024

/.-2024<———

2024

在-2024,,0,1這四個(gè)有理數(shù)中,

2024

-2024<———<0<1

2024

二?最小的數(shù)是-2024,

故選：A.

2.我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”找到了球體體積的計(jì)算方法.“牟合方蓋”是由兩個(gè)

圓柱分別從縱、橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體，如圖所示

的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它從正面看是（）

正面

D.

【答案】B

【分析】

根據(jù)從物體的正面觀察得得到的視圖，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

該幾何體從正面看是:

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何體的三視圖；掌握俯視圖是從幾何體上面看得到的平面圖

形是解決本題的關(guān)鍵.

3.哈爾濱工業(yè)大學(xué)與其他單位聯(lián)合開發(fā)出直徑為20微米（1微米=0.000001米）仿水

熊蟲醫(yī)用微納機(jī)器人，那么20微米用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.20x10-6米B.2x10-6米C.2xl（f5米D.2x10'米

【答案】C

【分析】

用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)時(shí)，一般形式為其中14忖＜10,〃為整數(shù)，按

要求表示即可.

【詳解】

解：1微米=0.000001米，

20微米=0.000001x20=0.00002米，

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法要求Q00002的小數(shù)點(diǎn)從原位置移動到2后面，動了有5位，從而用科

學(xué)記數(shù)法表示為2x10-5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，確定。與〃的值是解決問題的關(guān)鍵.

4.下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇合掌的是（）

A.為了了解某一品牌家具的甲醛含量，選擇普查；

B.為了了解神舟飛船的設(shè)備零件的質(zhì)量情況，選擇抽樣調(diào)查；

C.為了了解一批袋裝食品是否含有防腐劑，選擇普查；

D.為了了解某公園全年的游客流量，選擇抽樣調(diào)查.

【答案】D

【分析】

試卷第2頁，共25頁

由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)

查結(jié)果比較近似.根據(jù)實(shí)際需要選擇合適的調(diào)查方式即可.

【詳解】解：A.為了了解某一品牌家具的甲醛含量，選擇抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題

忌；

B.為了了解神舟飛船的設(shè)備零件的質(zhì)量情況，選擇普查，故選項(xiàng)不符合題意；

C.為了了解一批袋裝食品是否含有防腐劑，選擇抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)不符合題意；

D.為了了解某公園全年的游客流量，選擇抽樣調(diào)查，故選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了普查和抽樣調(diào)查，正確把握相關(guān)意義是解題關(guān)鍵.

5.下列計(jì)算正確的是（）

A.J（-4）2=2B.（72）2=4C.6.x亞=屈D.屈+0=3

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則逐一計(jì)算可得.

【詳解】A、/戶=而=4,此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、（夜了=2,此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

c、==Jid,此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

D、V6<A/2=7672=X/3,此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用公式計(jì)算.

6.山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（40〃OV）,且每兩個(gè)

支撐架之間的索道均是直的，若NM4B=60。，ZNCB=40°,則（）

A.100°B.90°C.80°D.70°

【答案】A

【分析】過點(diǎn)B作則由平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作血〃AM,

c

AD

N

M

B

-：AM//CN,

：.AM//CN//BD,

：.ZABD=ZMAB=60°,NCBD=NNCB=4O°,

：.ZABC=ZABD+ZCBD=100°,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

7.九（3）班的萌萌是一個(gè)書法愛好者，她對楷書四大家的書法都情有獨(dú)鐘，如圖，若

萌萌從這四本楷書名家的字帖中隨機(jī)取兩本（先隨機(jī)抽取1本，不放回，再隨機(jī)抽取1

本），則抽取的兩本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多寶塔碑》的概率是（）

出

生

者

赤

<港

而'if'

立

亦

小之始之

野客

不

也K

也

如

白111

劉

相

武

能

終常

紳

前

弁

虹

斷

不

羔

件

兒n'l

￥人至放太耕1

具

斛

伶

分

八<5F

也<喜彳猴

顏體（多寶塔碑）歐體《皇甫碑》柳體《玄秘塔碑》趙體《膽巴碑》

【答案】C

【分析】本題考查了不放回型的概率計(jì)算,利用畫樹狀圖法計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意，畫樹狀圖如下:

開始

顏體歐體柳體趙體

歐體柳體趙體顏體柳體趙體歐體顏體趙體歐體顏體柳體

一共有12種等可能性，其中，兩本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多寶塔碑》的等可能

性有2.

21

故兩本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多寶塔碑》的概率是怖=5,

126

故選：C.

試卷第4頁，共25頁

8.如圖，點(diǎn)8是。。的劣弧AC上一點(diǎn)，連接A3,AC,OB,OC,AC交。2于點(diǎn)，

若NA=36°,ZC=27°,則/8=()

C.60°D.63°

【答案】D

【分析】

本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，由圓周角定理求出NBOC=72。，由三角

形的外角性質(zhì)求出NOD4=99。，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：由圓周角定理得，ZBOC=2ZA=12°,

,：ZODA=ZB+ZA=ZBOC+ZC=72°+27°=99°,

/.ZB=99°-36°=63°；

故選D.

9.對于一次函數(shù)y=-3x+2,下列說法中正確的是（）

A.y隨著x的增大而增大

B.該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）

C.點(diǎn)（1,1）在該函數(shù)的圖象上

D.該函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A.y=-3x+2,

■:k=-3<0,

???y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.y=-3x+2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

所以函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,2）,故本選項(xiàng)符合題意；

C.把（1,1）代入y=-3x+2得：左邊=1,右邊=-3x1+2=T,左邊？右邊,

???點(diǎn)（1,1）不在該函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.y=-3x+2,

:?k=-3<0,/?=2>0,

???函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟記函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在RtAABC中，ZACB^90°,AC=3,BC=4,以點(diǎn)A為圓心、AC長為半

徑畫弧，交于點(diǎn)。，再分別以8,。為圓心、大于g。的長為半徑畫弧，兩弧交于

M,N,作直線MN,分別交4B,8C于點(diǎn)E,F,則線段EF的長為（）

【答案】B

【分析】依據(jù)勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)，可得到BE的長，再根據(jù)

△ABCs—BE,即可得到EF的長.

【詳解】解：在RtAABC中，ZACB=9Q°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=V32+42=5,

由題可得：AD=AC=3,

：.BD=5-3=2,

由題意可得：垂直平分3D,

：?BE=1,ZBEF=ZACB=90°,

又?：NB=NB,

：.△ABCsdFBE,

,EFBE

??一，

CABC

EF1

B即n丁="

3

解得：EF=],

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)

試卷第6頁，共25頁

計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.分解因式：-尤3+2尤2-X=.

【答案】-x（x-l）2

【分析】

本題主要考查因式分解，原式先提取公因式-X,再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解即

可.

【詳解】解：一犬+2/一X

——尤（無-―2尤+1）

=—彳（*—1）-，

故答案為：-X（X-1）2

12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-4,-3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（T3）

【分析】

此題主要考查了關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不

變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案.

【詳解】解：點(diǎn)4-4,-3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,3）,

故答案為：（-4,3）.

13.《中秋帖》是晉朝書法家王獻(xiàn)之的作品，如圖，在一幅長為65cm,寬為30cm的《中

秋帖》矩形書法作品的四周鑲上相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，設(shè)金色紙邊

的寬為xcm,如果要使整個(gè)掛圖的面積是2450cm2,那么無滿足的方程是.

力

才

才

￥大

【答案】（65+2x）（30+2x）=2450

【分析】

設(shè)金色紙邊的寬度為xcm,則掛圖的長為（65+2x）cm,寬就為（30+2x）cm,根據(jù)整個(gè)

掛圖的面積是2450cm2列出方程即可，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合是正確列方程的關(guān)鍵.

【詳解】

解：設(shè)金色紙邊的寬為xcm,則掛圖的長為（65+2;v）cm,寬就為（30+2x）cm,

根據(jù)題意得：(65+2x)(30+2x)=2450,

故答案為：(65+2x)(30+2x)=2450.

14.如圖，長方形紙片ABGD,點(diǎn)E在邊A3上，點(diǎn)尸、G在邊8上，連接E尸、EG.將

/BEG對折，點(diǎn)B落在直線EG上的點(diǎn)用處，得折痕EM；將上4￡F對折，點(diǎn)A落在

直線班上的點(diǎn)H處，得折痕EN.ZFEG=W°,貝=

【答案】95度或85度

【分析】

本題考查角的計(jì)算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會用分類討論的思想思考問題.分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P的右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的

左側(cè)，根據(jù)NMEN=NNEF+NMEG+NFEG或NMEN=NNE尸+NMEG_NFEG,求出

4VEF+ZMEG即可解決問題.

【詳解】

解：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè),

EN平分NAEF,EM平分■/BEG,

ZNEF=-ZAEF,NMEG=-NBEG,

22

ZNEF+ZMEG=|ZAEF+；ZBEG=1(NAEF+NBEG)=1(NAEB-ZFEG),

ZAEB=180°,ZFEG=10°,

ZNEF+ZMEG=1(180°-10°)=85°,

試卷第8頁，共25頁

ZMEN=ZNEF+ZFEG+ZMEG=850+10°=95°；

EN平濟(jì)NAEF,EM平分NBEG,

ZNEF=-ZAEF,ZMEG=-ZBEG,

22

ZAEF+ZMEG=-ZAEF+-ZBEG=-(ZAEF+ZBEG)=-(ZAEB+NFEG),

2222

ZAEB=180°,ZFEG=10°,

ZNEF+ZMEG=1(180°+10°)=95°,

2

ZMEN=ZNEF+ZMEG-ZFEG=95°-10°=85°,

綜上，/MEN的度數(shù)為95?；?5。，

故答案為：95。或85。.

15.如圖，在等邊三角形ABC中，AD1BC,垂足為D,點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，EF垂

直平分線段BP,EF與線段AD交于F,連接CF、PF,以下結(jié)論：①PF=CF；②NPFC

=120°,③NPFE+/ACF=90。；?ZPFA=ZDCF.其中一定正確的有.(填序號

即可)

【答案】①②③

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得到NABC=NACB=60。，AD垂直平分BC,AD平

分NBAC,則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得FB=FC,FB=FP,則可對①進(jìn)行判斷；利

用三角形內(nèi)角和計(jì)算出NPFB+/BFC=240。，然后利用周角的定義對②進(jìn)行判斷；由于

ZACF=60°-Zl,ZPFE=90°-Z3,貝iJ/ACF+/PFE=90。，則可對③進(jìn)行判斷；由

于NAFP=/4-30o=N3-30。，ZDCF=Z1,而N1與N3的度數(shù)不能確定，從而可

對④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：如圖，

:△ABC為等邊三角形，ADXBC,

.?.ZABC=ZACB=60°,AD垂直平分BC,AD平分/BAC,

；.FB=FC,N5=30。，

：EF垂直平分線段BP,

；.FB=FP,

?1.FP=FC,所以①正確；

：FP=FB,FB=FC,

/.Z3=Z4,Z1=Z2,

.\Z1+Z2+Z3+Z4=2(Z1+Z3)=2x60°=120°,

AZPFB+ZBFC=180°+180°-120°=240°,

NPFC=360。-240。=120。，所以②正確；

?/ZACF=60°-Z2=60°-Zl,ZPFE=90O-Z4=90°-Z3,

ZACF+ZPFE=60°-Zl+90°-/3=60°-(Z1+Z3)+90°=90°,所以③正

確；

VZ4=Z5+ZAFP,

.?.ZAFP=Z4-30°=Z3-30°,

VZDCF=Z1,

而Nl+N3=60。，

只有當(dāng)N3=45。，Zl=15°,ZPFA=ZDCF,所以④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，周角，外角性質(zhì)，掌握等邊

三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，周角，外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵

三、解答題

試卷第10頁，共25頁

22

<r+l>r

16.(1)計(jì)算：-——2+—

-V

,2x-7<3(x-l)①

（2）解不等式組:=4?_

—x+3<l——x?

133

【答案】⑴缶⑵YK-1

【分析】

本題考查了分式的運(yùn)算、解一元一次不等式組，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和不等式組的

解法是解題關(guān)鍵.

（1）先計(jì)算括號內(nèi)的分式減法，再計(jì)算分式的除法即可得；

（2）先分別求出兩個(gè)不等式的解集，再找出它們的公共部分即為不等式組的解集.

【詳解】解：（1）原式，二也”]」尤+1）（1）

IXX）X

X2—2x+lx

x（x+l）（x-l）

x-1

x+1'

2x-7<3（x-l）@

⑵，42，

-x+3<l——x?

[33

解不等式①得：x>T,

解不等式②得：x<-l,

則不等式組的解集為1.

17.勞動課上學(xué)習(xí)了“烹飪與營養(yǎng)”之后，小麗知道了科學(xué)膳食與身體健康密切相關(guān)，她

查詢了《中國居民膳食指南（2023）》中的相關(guān)信息，結(jié)合媽媽的年齡，準(zhǔn)備為媽媽制

作一份能量為510千卡（1千卡=1000卡路里），總質(zhì)量為360克的營養(yǎng)早餐.現(xiàn)有雞蛋、

牛奶、谷物三類食材，經(jīng)查詢它們的能量含量如下表所示：

雞蛋（每克）牛奶（每克）谷物食品（每克）

能量（千卡）1.50.53

若用以上三類食材制作這份營養(yǎng)早餐，其中牛奶192克，請你幫助小麗計(jì)算這份早餐中

需要雞蛋和谷物各多少克？

【答案】這份早餐中需要雞蛋60克，谷物108克.

【分析】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)這份早餐中需要雞蛋X克，谷物y

克，依據(jù)總能量和總質(zhì)量建立方程組即可求解,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意,找到等量關(guān)系，

正確列出方程組.

【詳解】解：這份早餐中需要雞蛋x克，谷物y克，

x+y+192=360

由題意可得,

1.5x+192x0.5+3y=510

x+y=168

方程組整理得,

1.5x+3y=414

x=60

解得

7=108

答：這份早餐中需要雞蛋60克，谷物108克.

18.2023年9月23日至10月8日第十九屆亞運(yùn)動會將在中國杭州舉辦，某校組織全

校七、八年級學(xué)生舉行了“亞運(yùn)知識”競賽，現(xiàn)分別在七、八兩個(gè)年級中各隨機(jī)抽取10

名學(xué)生，相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)整理如下：

【收集數(shù)據(jù)】

七年級10名同學(xué)測試成績統(tǒng)計(jì)如下：84,78,85,75,72,91,79,72,69,95

八年級10名同學(xué)測試成績統(tǒng)計(jì)如下：85,80,76,84,80,72,92,74,75,82

【整理數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)各分?jǐn)?shù)段如下表所示：

成績60<x<7070<x<8080<x<9090<x<100

七年級152a

八年級0451

【分析數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

七年級80b7266.6

八年級8080C33

【問題解決】根據(jù)以上信息，解答下列問題:

⑴填空：a-,b=，c—.

(2)按照比賽規(guī)定90分及其以上為優(yōu)秀，若該校七年級學(xué)生共1200人，八年級學(xué)生共

1000人，請估計(jì)這兩個(gè)年級競賽成績達(dá)到優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)；

試卷第12頁，共25頁

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個(gè)年級學(xué)生知識競賽成績更好？請說明理

由.

【答案】(1)2,78.5,80

(2)估計(jì)這兩個(gè)年級競賽成績達(dá)到優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)有340人

(3)可以推斷出八年級年級學(xué)生知識競賽成績更好，理由見解析

【分析】

(1)根據(jù)七年級10名同學(xué)測試成績求出?的值,根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分別求出b、

c的值；

(2)用各年級人數(shù)乘以對應(yīng)的比例，然后相加即可；

(3)答案不唯一，合理均可.

【詳解】(1)

解：將七年級抽樣成績重新排列為：69,72,72,75,78,79,84,85,91,95,其中

在90Vxe100范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)有2個(gè)，

故a=2.

,d業(yè)心.78+79rec

中位數(shù)b=---------=78.5,

2

將八年級抽樣成績重新排列為：72,74,75,76,80,80,82,84,85,92,

其眾數(shù)c=80,

故答案為：2,78.5,80；

(2)

由題意得：

21

1200x—+100x—=340(人)，

1010

答：估計(jì)這兩個(gè)年級競賽成績達(dá)到優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)有340人；

(3)

可以推斷出八年級年級學(xué)生知識競賽成績更好，

理由為兩班平均數(shù)相同，而八年級的中位數(shù)以及眾數(shù)均高于七年級，

說明八年級學(xué)生的競賽成績更好(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布表、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差，用樣本估計(jì)總體，解答

本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù)丫=瓜的圖像與反比例

k

函數(shù)丁=一（%＞。）的圖像都經(jīng)過點(diǎn)A（2,m）.

x

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵點(diǎn)2在x軸的上，且。4=8A,反比例函數(shù)圖像上有一點(diǎn)C,且NABC=90。，求點(diǎn)C

坐標(biāo).

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為：丫=生8;（2）點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,73）.

X

【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式求出m,可得點(diǎn)A的完整坐標(biāo)，再將

點(diǎn)A代入反比例函數(shù)的解析式求出k即可；

（2）過點(diǎn)A作AD垂直0B于D,根據(jù)等腰三角形三線合一可得OD=BD,求出B點(diǎn)

坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出AB、BC和AC,根據(jù)/ABC=90。利用勾股定理列出

方程，解方程即可解決問題.

【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（2,m）代入y=G%,得：m=，

.,.A(2,273),

kLk

將點(diǎn)A(2,26)代入y=—(x＞。)得：2c=7,

x2

??.k=4也,

反比例函數(shù)的解析式為：丫=述；

X

(2)過點(diǎn)A作AD垂直O(jiān)B于D,

VOA=BA,

???OD=BD,

VA(2,2g),

???OD=2,

???OB=4,即B（4,0）,

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a,迪）,

48/

則AB2==a2+--8o4+I6,

a

試卷第14頁，共25頁

2

2/4848s

=a-4a-----+—+16

aa

9：ZABC=90°,

..248,2/i4848乙

..AB?2+BC92=AC92,nBnP4+(72+--o8。+16=〃2-4。---+=+16,

aaa

48

整理得：——4〃+4=0,

a

解得：a=4或-3,

經(jīng)檢驗(yàn)，a=4或-3均是分式方程的解，

Vx>0,

a=4,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三

角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知識，靈活

運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行推理計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵.

20.為傳承酒泉文明、弘揚(yáng)民族精神.某?！熬C合與實(shí)踐”小組開展了測量鼓樓（如圖①）

高度的實(shí)踐活動，請你幫他們完成下面的實(shí)踐報(bào)告

測量鼓樓高度的實(shí)踐報(bào)告

活動課

測量鼓樓高度

題

活動目

運(yùn)用三角函數(shù)知識解決實(shí)際問題

的

活動工

測角儀、皮尺等測量工具

具

如圖②

（1）利用測角儀站

在8處測得城門樓最

高點(diǎn)尸的仰角為39。；

測（2）前進(jìn)了14米到

方案示量達(dá)A處（選擇測點(diǎn)4

意圖步B與。在同一水平線

驟上，A,8兩點(diǎn)之間的

圖①

距離可直接測得，測

角儀高度忽略不

計(jì)），在A處測得P

點(diǎn)的仰角為56。.

參考數(shù)sin39°?0.6,cos39°?0.8,tan39°?0.8,sin56°?0.8,cos56°?0.6,

據(jù)tan56°B1.5.

計(jì)算鼓

樓PO

的高度

（結(jié)果

保留整

數(shù)）

【答案】鼓樓的高度約為24米

【分析】

設(shè)OA=x米，貝I」03=（龍+14）米，在RtAAOP中，根據(jù)tan56。21.5得出=1.5tM=L5x

（米），在中，根據(jù)tan39o=0.8,得出OP”0.8O3=0.8（x+14）（米），列出

方程求解即可.

【詳解】

解：設(shè)Q4=x米，則O3=（x+14）米，

OP

在RtAAOP中，tanAOAP-——=tan56°?1.5,

OA

：.OP^1.5OA=1.5x（米）,

試卷第16頁，共25頁

在RtABOP中，tanNOBP=—=tan39°*0.8,

OB

：.OP?0.805=0.8（A：+14）（米），

1.5x=0.8（x+14）,解得：x=16,

：.OP?1.5x=1.5x16=24（米），

答：鼓樓的高度約為24米.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，根據(jù)三角函數(shù)將直角三角形的

邊辨識出來，列出方程求解是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，四邊形?C是。的內(nèi)接四邊形，連接且經(jīng)過點(diǎn)。，

/DCB=45°,過點(diǎn)。的直線與AC的延長線交于點(diǎn)P,AZCDP=ZCAD.

⑴求證：PD是、。的切線.

⑵若AC=12,受但，求CP的長.

2

【答案】（1）證明見解析

【分析】

（1）利用圓周角定理，得到/3DC=90。，ZCAD=ZCBD,連接O。，易得：

NBOD=NDOC=90。,推出NCDP=NCBD=45。=4cD,進(jìn)而得到3c〃。尸，得到

ZODP=ZBOD=90°,即可得證；

（2）根據(jù)勾股定理求出8c的長，再利用勾股定理求出A3的長，進(jìn)而得到

sinZACB=^=~,過點(diǎn)C作CECZ）于點(diǎn)E,得到CE=OD=[2C=E,根據(jù)平

BC1322

AR5

行，得至lJsinP=sin/AC2=——=—,利用PC=CE+sinP,計(jì)算求解即可.

BC13

【詳解】（1）解：???四邊形ABDC是。的內(nèi)接四邊形，5C經(jīng)過點(diǎn)。，

???^BDC=9Q0,

?；ZDCB=45。，

ZCBD=45°,

BD=CD,

。為BC的中點(diǎn),

VZCDP^ZCAD,NCAD=NCBD,

：.ZCDP=ZCBD=45°=Z.BCD,

BC//OP,

：.Z.ODP=ZBOD=90°,即：OD±DP,

又。。為半徑，

/.PD是.。的切線.

(2)解：由(1)知：DC=89=亶2,

2

BC=^DB=13,

,/8C為直徑，

/SAC=90。，

AB=^BC12-AC2=5>

../“n_AB_5

??sinNAC3=----=—,

BC13

過點(diǎn)C作CELPD于點(diǎn)則四邊形。DEC為矩形,

113

CE=OD=-BC=—,

22

BC//OP,

：.ZP=ZACB,

試卷第18頁，共25頁

AQ5

sinP=sinZACB==—,

BC13

在RbCEP中，PC=C￡4-sinP=—x—=—.

2510

【點(diǎn)睛】本題考查切線的證明，圓周角定理，解直角三角形.熟練掌握切線的判定方法，

構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在菱形A8CO中，對角線AC,相交于點(diǎn)。AC=4cm,BD=2cm,E,F

分別是A8,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)AP=xcm,PE=yiCm,

PF=y2cm

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對這兩種函數(shù)隨自變量的變化而變化的情況進(jìn)行了探究,

下面是小明探究過程，請補(bǔ)充完整：

(1)畫函數(shù)％的圖象

①按下表自變量的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了弘與x的幾組對應(yīng)值:

x/cm00.511.522.533.54

/cm

1.120.50.711.121.582.062.553.04

②在所給坐標(biāo)系中描出補(bǔ)全后的表中的各對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出函數(shù)%的圖象;

在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)內(nèi)的圖象；

(3)根據(jù)畫出的函數(shù)％的圖象、函數(shù)%的圖象，解決問題

①函數(shù)%的最小值是一，

②函數(shù)％的圖象與函數(shù)為的圖象的交點(diǎn)表示的含義是;

③若PE=PC,AP的長約為cm

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；（3）①yi的最小值是0.5；②AP的長

為2cm；③x=2.50.

【分析】（1）①由表格得點(diǎn)（x,yi）即可；

②先由①描點(diǎn)，再用光滑曲線順次連接各點(diǎn)，即可得出函數(shù)圖象；利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)

當(dāng)x=0.5時(shí)，得出yi值，填入表格即可；

（2）過點(diǎn)F作FM1AC于M,由菱形的性質(zhì)各三角形中位線性質(zhì)求得FM=l,PM=3-x,

所以y2=7（3-X）2+12=A/X2-3X+10,再利用描點(diǎn)法畫出y2的圖象即可；

（3）①利用數(shù)形結(jié)合，由函數(shù)yi的圖象求解即可；

②過點(diǎn)F作FMLAC于M,

可利用幾何背景意義求解；

③因PC=AC-AP=4-x,由PE=PC,則yi=4-x,利用圖象求解即可.

【詳解】解：（1）①如下表：圖象如圖所示：

x/cm00.511.522.533.54

yi/cm1.120.710.50.711.121.582.062.553.04

②過點(diǎn)F作FMLAC于M,如圖,

:菱形ABCD,

；.ACJ_BD,

；.FM〃BD,

是BC的中點(diǎn)，

；.M是OC的中點(diǎn)，

/.FM=1,OM=1,

；.PM=3-x,

.?.PF2=PM2+MF2,

y2=AJ(3-X)2+12=J尤2—3元+10,

利用描點(diǎn)法作出圖象，如圖所示：

試卷第20頁，共25頁

(3)如上圖；

①由圖象可得：函數(shù)yi的最小值是0.5；

②答案不唯一，如，如：用幾何背景意義可知：函數(shù)yi的圖象與函數(shù)y2的圖象的交點(diǎn)

表示的含義是：當(dāng)PE=PF=1.12cm時(shí)，由圖象可得：AP的長為2cm；

③：PC=AC-AP=4-x,

VPE=PC,

.'.yi=4-x.

利用圖象可得：x=2.50.

故答案為①0.5；②當(dāng)PE=PF=1.12cm時(shí)，AP的長為2cm；③2.50.

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)函數(shù)的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用.熟練掌握

用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵.

23.【模型建立】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，E,尸分別是邊BC,。上的點(diǎn)，且ZE4F=45。，探究

圖中線段EF,BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的探究思路如下：延長CB到點(diǎn)G,使BG=DF,連接AG,先證明，ADF^ABG,

再證明△AEF絲&EG.

①EF,BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系為；

②小亮發(fā)現(xiàn)這里，ABG可以由經(jīng)過一種圖形變換得到，請你寫出這種圖形變換

的過程.像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角

的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型.

【類比探究】

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,/ABC與一￡＞互補(bǔ)，E,尸分別是邊8C,

CD上的點(diǎn)，且NEAF=；NBAD,試問線段E尸，BE,。尸之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

判斷并說明理由.

【模型應(yīng)用】

(3汝口圖3,在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，AD=6,AB=4,ZC4E=45°,求CE

的長.

【答案】⑴①BE+DF=EF,②將△ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

Q)EF=DF+BE,理由見詳解

(3)5.2

【分析】(1)①沿著小明的思