高二（上）期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（創(chuàng)新班）（學(xué)生答案）

內(nèi)江六中高二（上）期入學(xué)考試題（創(chuàng)新班參考答案）1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C【詳解】設(shè)，則，故，由于線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故由拋物線對(duì)稱性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直線的斜率為.故選：C6．【答案】B7．【答案】A【詳解】連接AC，，作平面ABCD，由正四棱臺(tái)性質(zhì)可知點(diǎn)E在AC上，因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，所以，易知四邊形為等腰梯形，所以，所以，因?yàn)樯舷碌酌婷娣e分別為：，所以四棱臺(tái)的體積為.故選：A

8．【答案】C【詳解】如下圖所示，雙曲線的右焦點(diǎn)，漸近線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，，即，因此，雙曲線的離心率為，故選：C．【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出、，可計(jì)算出離心率；②構(gòu)造、的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來(lái)求解．9．【答案】BD【詳解】若，，則或，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，因?yàn)?，所以，又，，所以，又因?yàn)?，為異面直線，，，，則直線與必相交，所以，故B正確；若，，則不一定成立，故C錯(cuò)誤；若，，，，，兩兩垂直，則，，必相交于同一點(diǎn)，假設(shè)與不垂直，則存在直線，使得，，所以直線與可確定平面，且，這說(shuō)明過(guò)內(nèi)的直線可作兩個(gè)平面與垂直，而這是不可能的，所以假設(shè)不成立，即，同理可證，，即，，兩兩垂直，故D正確.故選：BD10．【答案】ABD

11．【答案】BCD【詳解】A：若與共線，存在使，則無(wú)解，故不共線，錯(cuò)誤；B：與同向的單位向量是，正確；C：由，則在方向上的投影向量是，正確；D：若是面ABC的一個(gè)法向量，則，令，則，正確.故選：BCD12．【答案】BCD【詳解】對(duì)A，由題意，圓的半徑為，且點(diǎn)到直線的距離為，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由直線的方程，可得直線過(guò)定點(diǎn)，則圓心到直線距離的最大值為圓心到點(diǎn)的距離，即最大值為，故B正確；對(duì)C，為的值，因?yàn)閳A的半徑為，可得，又，所以，所以的最小值為，故C正確；對(duì)D，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以的值為，故D正確.故選：BCD填空題（滿分20分，每小題5分）13．【答案】或14．【答案】【詳解】直線，得，可知直線過(guò)定點(diǎn)，如圖，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓．當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，解得．曲線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以．故答案為：.15．【答案】【詳解】設(shè)，由得，所以，所以，解得，所以直線或，圓心到直線的距離，（圓心到直線的距離）由圓的弦長(zhǎng)公式：，可得.故答案為：16．【答案】【詳解】因?yàn)?，，，所以，在直三棱柱中，，易得四邊形為正方形，又，因此平面的中心即為直三棱柱的外接球的球心，取中點(diǎn)，連結(jié)，易知，且，所以球的半徑等于，因此球的表面積為.故答案為：.四、解答題（滿分70分）17．（本小題滿分10分）【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）在正方體中，且，且所以且，則.為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面....................................................................................................5分（2）記點(diǎn)到平面的距離為的面積為S，則由題意可知.在中，由余弦定理得，則，所以，則，又，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.......................................................................................................................10分18．（本小題滿分12分）【答案】(1)；(2)和.【詳解】（1）∵，，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴AB的垂直平分線為：，.................................................................................3分由解得圓心，半徑故圓的方程為；.............................................................................................................6分（2）若直線的斜率存在，方程可設(shè)為，即圓心到直線的距離為，解得，所求的一條切線為；.................................................................................................................9分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，圓心到的距離為4，即與圓相切......................................11分所以直線的方程為和．.............................................................................................12分（本小題滿分12分）【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）在中，，，，則，所以，則，所以，......................................................................................2分又平面平面，平面平面，平面，所以平面，...........................................................................................................................................4分又平面，所以平面平面；.............................................................................................6分作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，所以，又，所以為等邊三角形，故，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，.....................8分則，因?yàn)槠矫妫约礊槠矫娴囊粭l法向量，.............................................................................................9分設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，........................................................................................................................10分則，即銳二面角的余弦值.............................................12分20．（本小題滿分12分）【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)直線為，代入整理得，設(shè)，所以，，所以，由即，得，∴，∴所求拋物線的方程為....................................................................................................5分（2）由（1）得..............................................................................................................7分，點(diǎn)到直線的距離為，.........................................9分則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，..............................11分故當(dāng)時(shí)，三角形面積有最小值..................................................................................................12分21．（本小題滿分12分）【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為c，由題設(shè)，，，

雙曲線的方程為，故漸近線方程為．...........................................................................4分（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為和，所以，當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有，此時(shí)，..............................................................6分當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)，，l為，將直線l代入雙曲線方程得，所以，，.......................................................8分

因?yàn)?，所以，即，綜上，為定值，得證．..................................................................................................................................12分22．（本小題滿分12分）【答案】(1)；(2)是，過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）由題意可知，面積的最大時(shí)M位于橢圓上或下頂點(diǎn)，即，...........................................................2分又因?yàn)?，?lián)立解方程，可得，所以，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為..............................................................................4分（2）如圖所示，由題意可設(shè)，

所以，即①，...........................6分將直線方程與橢圓方程聯(lián)立化簡(jiǎn)，.................8分代入①，得或，...............................................