2024年湖南省衡陽八中高考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年湖南省衡陽八中高考數(shù)學(xué)一模試卷一．單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|0＜x≤1}2．（5分）為了得到函數(shù)y=sin(2x?π3)A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 B．橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變 D．縱坐標(biāo)縮短到原來的123．（5分）已知兩個(gè)單位向量e→1與e→2的夾角為π3，若a→=A．?12 B．12 4．（5分）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝7，S6＝63，若關(guān)于n的不等式S2n﹣tan+33≥0對任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（）A．12 B．16 C．24 D．365．（5分）已知直線l的傾斜角α滿足120°＜α≤135°，則l的斜率k的取值范圍是（）A．[?1，?33) C．(?3，?1] 6．（5分）若復(fù)數(shù)1+ai1?i2023（a∈RA．﹣1 B．0 C．1 D．27．（5分）已知△ABC中，AC=1，AB=2，BC=3，在線段AB上取一點(diǎn)M，連接CM，如圖①所示．將△ACM沿直線CM折起，使得點(diǎn)A到達(dá)A′的位置，此時(shí)△BCM內(nèi)部存在一點(diǎn)N，使得A′N⊥平面BCM，NC=73，如圖②所示，則AA．25 B．35 C．48．（5分）若函數(shù)f（x）＝ax+bx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a和b的可能取值為（）A．a(chǎn)＝ln1.1，b＝10 B．a(chǎn)＝ln11，b＝0.1 C．a(chǎn)＝e0.2，b＝0.8 D．a(chǎn)＝e﹣0.2，b＝1.8二．多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：存在常數(shù)M＞0，對任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，下列函數(shù)中，是在其定義域上的有界函數(shù)的有（）A．y=2sin(2x+πB．y＝2x C．y=xD．y＝x﹣[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）（多選）10．（5分）將一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的骰子隨機(jī)擲兩次，記錄每次正面朝上的數(shù)字，甲表示事件“第一次擲出的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是7”，則（）A．事件甲與事件丙是互斥事件 B．事件甲與事件丁是相互獨(dú)立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙與事件丁是對立事件（多選）11．（5分）已知點(diǎn)F是拋物線C：x2＝8y的焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，且B為AD中點(diǎn)，則下面說法正確的是（）A．AF→B．直線l的斜率是±1C．|AB|＝9 D．設(shè)原點(diǎn)為O，則△OAB的面積為26（多選）12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠π2且x≠3π2}A．當(dāng)x∈(0，π2)時(shí)，tanxB．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，則x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．（5分）已知(1+x)8=a0+a1x+a2x2+?+a8x814．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知3S3＝S2+2S4，且a4＝1，則公差d＝．15．（5分）已知圓臺的高為2，上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為4，A，B兩點(diǎn)分別在圓O1、圓O2上，若向量O1A→與向量O2B→的夾角為60°，則直線AB與直線O16．（5分）如圖，在矩形ABCD中，|AB|＝2|AD|，A1，A2分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，M，N分別為線段A2C（不含端點(diǎn)）和AD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足|MA2||CD|=|DN||AD|，直線A1M，A2N四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log2an，求數(shù)列{1bn18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a2＝3b2+c2，且sinC＝2sinB．（1）求角A的大?。唬?）若b+c＝6，點(diǎn)D在邊BC上，且AD平分∠BAC，求AD的長度．19．（12分）如圖，已知五面體ABCDE，其中△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）證明：AD⊥BC（Ⅱ）若AB＝4，BC＝2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，試求該幾何體ABCDE的體積．20．（12分）某市在200萬成年人中隨機(jī)抽取了100名成年市民進(jìn)行平均每天讀書時(shí)長調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制市民平均每天讀書時(shí)長的頻率分布直方圖（如圖），將平均每天讀書時(shí)長不低于1.5小時(shí)的市民稱為“閱讀愛好者”，并將其中每天讀書時(shí)長不低于2.5小時(shí)的市民稱為“讀書迷”．（1）試估算該市“閱讀愛好者”的人數(shù)，并指出其中“讀書迷”約為多少人；（2）省某機(jī)構(gòu)開展“儒城”活動(dòng)評選，規(guī)則如下：若城市中55%的成年人平均每天讀書時(shí)長不低于a小時(shí)，則認(rèn)定此城市為“儒城”．若該市被認(rèn)定為“儒城”，則評選標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足什么條件？（精確到0.1）（3）該市要成立“墨葫蘆”讀書會(huì)，吸納會(huì)員不超過20萬名．根據(jù)調(diào)查，如果收取會(huì)費(fèi)，則非閱讀愛好者不愿意加入讀書會(huì)，而閱讀愛好者愿意加入讀書會(huì)．為了調(diào)控入會(huì)人數(shù)，設(shè)定會(huì)費(fèi)參數(shù)x（x＞1），適當(dāng)提高會(huì)費(fèi)，這樣“閱讀愛好者”中非“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會(huì)減少10lnx%，“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會(huì)減少10lnx0.1lnx+1.1%．問會(huì)費(fèi)參數(shù)x21．（12分）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，虛軸長為42，離心率為2，過C的左焦點(diǎn)（1）求雙曲線C的方程；（2）若AF1=42，求∠F（3）若M（﹣2，0），試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ke2x﹣（x+1）．（1）判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)k＝1時(shí)，若對x∈[0，1]，函數(shù)F(x)=x+1f(x)+x+1?2xcosx的圖象都不在H(x)=

2024年湖南省衡陽八中高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一．單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|0＜x≤1}【解答】解：由y＝lg（2x﹣1）可知：2x﹣1＞0，即x＞0，故B＝{x|x＞0}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}∩{x|x＞0}＝{x|0＜x≤1}．故選：D．2．（5分）為了得到函數(shù)y=sin(2x?π3)A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變 B．橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變 D．縱坐標(biāo)縮短到原來的12【解答】解：為了得到函數(shù)y=sin(2x?π只要把函數(shù)y=sin(x?π3)故選：B．3．（5分）已知兩個(gè)單位向量e→1與e→2的夾角為π3，若a→=A．?12 B．12 【解答】解：兩個(gè)單位向量e→1與e→則|e1→a→=e→1則a→?b→=e1→2+m故選：C．4．（5分）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝7，S6＝63，若關(guān)于n的不等式S2n﹣tan+33≥0對任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（）A．12 B．16 C．24 D．36【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），則S3解得q＝2，a1＝1，∴an∴關(guān)于n的不等式S2n﹣tan+33≥0，即22n﹣t×2n﹣1+32≥0，即t≤2n+1+322n?1解法一：設(shè)f(n)=2則f(n+1)?f(n)=2當(dāng)n＝1時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜0，當(dāng)n＝2時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＝0，當(dāng)n≥3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＞0，又f（2）＝f（3）＝24，∴當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，f（n）min＝24，∴t≤24，tmax＝24．故選：C．解法二：由2x+1當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=32又n∈N*，∴當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，2n+1故t≤24，tmax＝24．故選：C．5．（5分）已知直線l的傾斜角α滿足120°＜α≤135°，則l的斜率k的取值范圍是（）A．[?1，?33) C．(?3，?1] 【解答】解：根據(jù)函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性，可知k的取值范圍是(?3故選：C．6．（5分）若復(fù)數(shù)1+ai1?i2023（a∈RA．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因?yàn)?+ai1?所以a+1=0a?1≠0，解得a故選：A．7．（5分）已知△ABC中，AC=1，AB=2，BC=3，在線段AB上取一點(diǎn)M，連接CM，如圖①所示．將△ACM沿直線CM折起，使得點(diǎn)A到達(dá)A′的位置，此時(shí)△BCM內(nèi)部存在一點(diǎn)N，使得A′N⊥平面BCM，NC=73，如圖②所示，則AA．25 B．35 C．4【解答】解：根據(jù)題意，連接MN．因?yàn)锳′N⊥平面BCM，CN，MN?平面BCM，所以A′N⊥CN，A′N⊥MN．在Rt△A′CN中，A′C=AC=1，CN=7所以A′N=A′所以在Rt△A′MN中，A′M＞A′N=2因?yàn)樵凇鰽BC中，AC2+BC2＝1+3＝4＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，A＝60°，B＝30°．因?yàn)镃N=73，所以點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心，73作CD⊥AB于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)C到直線AB的距離CD=ACsinA=32，且所以圓C與線段AB交于兩點(diǎn)，記為N1和N2，記圓C與線段CB的交點(diǎn)為N3，如圖所示．在△ACN1中，由余弦定理得cosA=AC2同理，在△ACN2中，AN2=23．因?yàn)锳′M=AM＞23因?yàn)辄c(diǎn)N在△BCM內(nèi)部，所以點(diǎn)N在弧N2N3上（不含點(diǎn)N2和N3）．設(shè)AM＝A′M＝t，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)N2時(shí)，MN=MN在Rt△A′MN中，A′M2＝MN2+A′N2，即t2=(當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)N3時(shí)，MN＝MN3．在Rt△A′MN中，A′M2＝MN2+A′N2，即t2=MN在△BMN3中，BM=2?t，BN由余弦定理得MN代入數(shù)據(jù)，解得t=21因?yàn)殡S著t的增大，點(diǎn)M靠近點(diǎn)B，線段MN的長增大，點(diǎn)N靠近點(diǎn)N3，所以A′M＝t的取值范圍為(12，21?32)故選：B．8．（5分）若函數(shù)f（x）＝ax+bx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a和b的可能取值為（）A．a(chǎn)＝ln1.1，b＝10 B．a(chǎn)＝ln11，b＝0.1 C．a(chǎn)＝e0.2，b＝0.8 D．a(chǎn)＝e﹣0.2，b＝1.8【解答】解：f（x）＝ax+bx，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，f′（x）＝axlna+bxlnb，令g（x）＝f′（x），則g′（x）＝ax（lna）2+bx（lnb）2＞0恒成立，故f′（x）＝axlna+bxlnb在（0，+∞）上單調(diào)遞增，要想f（x）＝ax+bx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，只需f′（0）＝lna+lnb≥0，即只需ab≥1，A選項(xiàng)，ab＝10ln1.1，令h（x）＝x﹣1﹣lnx，x＞1，則h′（x）＝1?1故h（x）＝x﹣1﹣lnx在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故h（1.1）＞h（1）＝0，即0.1＞ln1.1＞0，故ab＝10ln1.1＜10×0.1＝1，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于ln11＜10，故ab＝0.1ln11=ln1110＜C選項(xiàng)，ab＝0.8e0.2，令q（x）＝（1﹣x）ex，x∈（0，1），則q′（x）＝﹣ex+（1﹣x）ex＝﹣xex＜0恒成立，故q（x）＝（1﹣x）ex在（0，1）上單調(diào)遞減，故q（0.2）＜q（0）＝1，即0.8e0.2＜1，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，ab＝1.8e﹣0.2，令w（x）＝ex﹣x﹣1，x∈（﹣1，0），則w′（x）＝ex﹣1＜0恒成立，故w（x）＝ex﹣x﹣1在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，故w（﹣0.2）＞w（0）＝0，即e﹣0.2＞1﹣0.2＝0.8，故ab＝1.8e﹣0.2＞1.8×0.8＝1.44＞1，D正確．故選：D．二．多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：存在常數(shù)M＞0，對任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，下列函數(shù)中，是在其定義域上的有界函數(shù)的有（）A．y=2sin(2x+πB．y＝2x C．y=xD．y＝x﹣[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）【解答】解：因?yàn)閨2sin（2x+π3）|≤2，故存在M＝2使得|f（x）|≤2成立，因?yàn)閥＝2x＞0恒成立，且隨著x的增大，y＝2x→+∞，故不存在M，使得對任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立，B不符合題意；因?yàn)閨y|＝|x2+1x|＝|x+1x|≥2，x→+∞時(shí)，|f（x）|→+∞，故不存在M，使得對任意x∈D，都有|f（x因?yàn)閥＝x﹣[x]=??故0≤f（x）＜1，故存在實(shí)數(shù)M＝1，使得|f（x）|≤M成立，D正確．故選：AD．（多選）10．（5分）將一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的骰子隨機(jī)擲兩次，記錄每次正面朝上的數(shù)字，甲表示事件“第一次擲出的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是7”，則（）A．事件甲與事件丙是互斥事件 B．事件甲與事件丁是相互獨(dú)立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙與事件丁是對立事件【解答】解：對于A，事件甲與事件丙不能同時(shí)發(fā)生，∴事件甲與事件丙是互斥事件，故A正確；對于B，事件甲發(fā)生的概率為P1=16，事件丁發(fā)生的概率為P2事件甲和事件丁同時(shí)發(fā)生的概率為p=136=P1∴事件甲與事件丁是相互獨(dú)立事件，故B正確；對于C，事件乙包含的基本事件有（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），事件丙包含的基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），∴事件乙不包含于事件丙，故C錯(cuò)誤；對于D，事件丙與事件丁不能同時(shí)發(fā)生，能同時(shí)不發(fā)生，∴事件丙與事件丁是互斥事件，但不是對立事件，故D錯(cuò)誤．故選：AB．（多選）11．（5分）已知點(diǎn)F是拋物線C：x2＝8y的焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，且B為AD中點(diǎn)，則下面說法正確的是（）A．AF→B．直線l的斜率是±1C．|AB|＝9 D．設(shè)原點(diǎn)為O，則△OAB的面積為26【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（0，2），由B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M，由A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，連接BM，AN，如圖：由題知，直線l的斜率存在且不為零，設(shè)直線l的方程為：y＝kx+2，由y=kx+2x2=8y，得x2﹣8kx﹣16＝0，Δ＝64k2+64＞0，x1+x2＝8k，x1對于A，因?yàn)锽為AD的中點(diǎn)，所以△DBM∽△ADN，所以|AN|＝2|BM|，因?yàn)閨AF|＝|AN|，|BF|＝|BM|，所以AF→=2FB→對于B，因?yàn)锳F→=2FB→，所以（﹣x1，2﹣y1）＝2（x2，所以x1＝﹣2x2，因?yàn)閤1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，所以16k×（﹣8k）＝﹣16，解得k=±24，故對于C，y1+y2＝k（x1+x2）+4＝8k2+4＝5，所以|AB|＝y(tǒng)1+y2+4＝9，故C正確；對于D，|x1﹣x2|=(x1所以△OAB的面積為12×|OF|×|x1﹣x2|=12×2×81+故選：AC．（多選）12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠π2且x≠3π2}A．當(dāng)x∈(0，π2)時(shí)，tanxB．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，則x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0【解答】解：A．設(shè)∠AOB=α∈(0，π2)，作出單位圓，與x軸交于A過點(diǎn)A作AC垂直于x軸，交射線OB于點(diǎn)C，連接AB，由三角函數(shù)定義可知AC＝tanα，AB=α設(shè)扇形OAB的面積為S1，則S△OAC＞S1，即12tanα＞12α當(dāng)x∈(0，π2)時(shí)，有不等式tanx＞xB．畫出y1＝tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠π2且x≠3π2由圖象可知，x1∈(π，3π2)，x2∈(2π，5π2)，故C．y＝tanx的最小正周期為π，由圖象可知x2＞x1+π，故x2﹣x1＞π，C正確；D．不妨設(shè)x2＞x1，則3π2因?yàn)閥=1cosx在所以1cosx1由x1＝tanx1，x2＝tanx2可知，x1所以x1因?yàn)閤1∈(π，3π所以sinx1＜0，sinx2＞0，所以sinx1sinx2＜0，所以x1sinx2+x2sinx1＜0，D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．（5分）已知(1+x)8=a0+a1x+a2x2+?+a8x8【解答】解：由(1+x)令x＝1，可得a0即(a令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+?+a8＝0，即（a0+a2+a4+a6+a8）﹣（a1+a3+a5+a7）＝0，聯(lián)立方程組，求得a0再令x＝0，可得a0＝1，所以2a0+a2+a4+a6+a8＝1+128＝129．故答案為：129．14．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知3S3＝S2+2S4，且a4＝1，則公差d＝﹣1．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)?S3＝S2+2S4，a4＝1，可得3（3a1+3d）＝2a1+d+2（4a1+6d），即且a4＝a1+3d＝1，解得d＝﹣1．故答案為：﹣1．15．（5分）已知圓臺的高為2，上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為4，A，B兩點(diǎn)分別在圓O1、圓O2上，若向量O1A→與向量O2B→的夾角為60°，則直線AB與直線O1O【解答】解：作出示意圖形，如下圖所示，向量O1A→與向量O2B→的夾角為60°，結(jié)合O1A∥O2所以△BO2C為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)A在圓O2所在平面內(nèi)的射影為D，連接AD、BD，則AD與O1O2平行且相等，且D為O2C中點(diǎn)，∠BAD（或其補(bǔ)角）就是異面直線AB與直線O1O2所成角，Rt△BCD中，BD=4在Rt△ADB中，AD＝O1O2＝2，得tan∠BAD=BDAD=即直線AB與直線O1O2所成角為π3故答案為：π316．（5分）如圖，在矩形ABCD中，|AB|＝2|AD|，A1，A2分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，M，N分別為線段A2C（不含端點(diǎn)）和AD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足|MA2||CD|=|DN||AD|，直線A1M，A2N的交點(diǎn)為P【解答】解：以A1A2所在的直線為y軸，線段A1A2的中垂線所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)|AD|＝|BC|＝m（m＞0），則|AB|＝|CD|＝2m，則有A（﹣m，?m2），B（m，?m2），A1（0，?m2），A2（0，m2），C（m，m設(shè)M（x0，m2）（0＜x0＜m），N（﹣m，y0）（?m2≤所以|MA2|＝x0，|DN|=m2?又因?yàn)閨MA所以x0所以x0＝m﹣2y0或y0=m?又因?yàn)閗AM=m所以直線A1M的方程為：y﹣（?m2）=m即y=mx0同理可得直線A2N的方程為：y?m2=?即y=m2?y0由y=m可得x=2即P（2x0m因?yàn)閤P=2所以xP2=（2yP=2m3+mx022(2m=m24即有yP所以yP所以點(diǎn)P所在雙曲線方程為：y2所以a2=m24，b即a2該雙曲線的漸近線方程為y=±2故答案為：y=±2四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log2an，求數(shù)列{1bn【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a121=1a12當(dāng)n≥2時(shí)，a12由①﹣②得an上式對n＝1也成立，綜上，an（2）bn＝log2an＝n，1b設(shè)數(shù)列{1bn?bn+1所以Tn18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a2＝3b2+c2，且sinC＝2sinB．（1）求角A的大??；（2）若b+c＝6，點(diǎn)D在邊BC上，且AD平分∠BAC，求AD的長度．【解答】解：（1）由正弦定理及sinC＝2sinB，得c＝2b，因?yàn)閍2＝3b2+c2，所以a2＝3b2+（2b）2＝7b2，即a=7由余弦定理得，cosA=b因?yàn)锳∈（0，π），所以A=2π（2）由（1）可知A=2π3，c＝2所以c=2bb+c=6，解得c=4設(shè)AD＝x，因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD=π因?yàn)镾△ABD+S△ADC＝S△ABC，所以12解得x=bc故AD的長度為4319．（12分）如圖，已知五面體ABCDE，其中△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）證明：AD⊥BC（Ⅱ）若AB＝4，BC＝2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，試求該幾何體ABCDE的體積．【解答】（Ⅰ）證明：∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，又∵DC⊥平面ABC∴DC⊥BC，又AC∩CD＝C，∴BC⊥平面ACD，又AD?平面ACD，∴AD⊥BC．（Ⅱ）解：設(shè)CD＝a，以CB，CA，CD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則C（0，0，0），B（2，0，0），A(0，23，0)，D（0，0，由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，∴平面BCD的一個(gè)法向量是CA→設(shè)n→=（x，y，z）為平面由條件得，AB→=(2，?23，0)，∴n→?AB不妨令x＝1，則y=33，z∴n→又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，∴cosθ=5∴|cos＜n→，CA∴|n→?CA→∴VABCDE＝VE﹣ADC+VE﹣ABC=1=1=1＝8．∴該幾何體ABCDE的體積是8．20．（12分）某市在200萬成年人中隨機(jī)抽取了100名成年市民進(jìn)行平均每天讀書時(shí)長調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制市民平均每天讀書時(shí)長的頻率分布直方圖（如圖），將平均每天讀書時(shí)長不低于1.5小時(shí)的市民稱為“閱讀愛好者”，并將其中每天讀書時(shí)長不低于2.5小時(shí)的市民稱為“讀書迷”．（1）試估算該市“閱讀愛好者”的人數(shù)，并指出其中“讀書迷”約為多少人；（2）省某機(jī)構(gòu)開展“儒城”活動(dòng)評選，規(guī)則如下：若城市中55%的成年人平均每天讀書時(shí)長不低于a小時(shí)，則認(rèn)定此城市為“儒城”．若該市被認(rèn)定為“儒城”，則評選標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)滿足什么條件？（精確到0.1）（3）該市要成立“墨葫蘆”讀書會(huì)，吸納會(huì)員不超過20萬名．根據(jù)調(diào)查，如果收取會(huì)費(fèi)，則非閱讀愛好者不愿意加入讀書會(huì)，而閱讀愛好者愿意加入讀書會(huì)．為了調(diào)控入會(huì)人數(shù)，設(shè)定會(huì)費(fèi)參數(shù)x（x＞1），適當(dāng)提高會(huì)費(fèi)，這樣“閱讀愛好者”中非“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會(huì)減少10lnx%，“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會(huì)減少10lnx0.1lnx+1.1%．問會(huì)費(fèi)參數(shù)x【解答】解：（1）某市在200萬成年人中隨機(jī)抽取了100名成年市民進(jìn)行平均每天讀書時(shí)長調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制市民平均每天讀書時(shí)長的頻率分布直方圖，如圖，將平均每天讀書時(shí)長不低于1.5小時(shí)的市民稱為“閱讀愛好者”，將其中每天讀書時(shí)長不低于2.5小時(shí)的市民稱為“讀書迷”．樣本中“閱讀愛好者”出現(xiàn)的頻率（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，“閱讀愛好者”的人數(shù)＝200×16%＝32（萬），“讀書迷”＝200×（0.06×0.5）＝6（萬），所以，32萬“閱讀愛好者”中，“讀書迷”約有6萬人．（2）由題意可知至多有45%的成年人每天讀書時(shí)長少于a，即找到45%分位數(shù)，0.5×0.72＝0.36＜45%，0.5×（0.72+0.44）＝0.58＞45%，所以，0.72×0.5+0.44×（a﹣0.5）＝45%，可得a=31即參考標(biāo)準(zhǔn)a不能高于0.7小時(shí)．（3）“閱讀愛好者”中非“讀書迷”約有26(1?lnx“讀書迷”約有6(1?lnx令26(1?lnx化簡得：13（lnx）2+113lnx﹣660≥0，解得：lnx≤?16513或lnx≥4，所以x≥e會(huì)費(fèi)參數(shù)x至少定為e4時(shí)，才能使入會(huì)的人員不超過20萬人．21．（12分）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，虛軸長為42，離心率為2，過C的左焦點(diǎn)（1）求雙曲線C的方程；（2）若AF1=42，求∠F（3）若M（﹣2，0），試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？請說明理由．【解答】解：（1）由題意可得2b=42e=ca=2c2=a所以雙曲線的方程為：x2（2）由雙曲線的定義可得|AF2|＝2a+|AF1|＝42+42=82，|F1F2|＝2在△F1AF2中，由余弦定理可得cos∠F1AF2=|A所以∠F1A