1.6.2解直角三角形的應(yīng)用-方向角

解直角三角形的應(yīng)用—方向角（2015?蘇州）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB=2km、從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長(zhǎng)）為（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意在CD上取一點(diǎn)E，使BD=DE，進(jìn)而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的長(zhǎng)，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一點(diǎn)E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC，∵從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22.5°，∴BE=EC，∵AB=2，∴EC=BE=2，∴BD=ED=，∴DC=2+．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，得出BE=EC=2是解題關(guān)鍵．（2013?武漢模擬）如圖，已知燈塔M方圓一定范圍內(nèi)有鐳射輔助信號(hào)，一艘輪船在海上從南向北方向以一定的速度勻速航行，輪船在A處測(cè)得燈塔M在北偏東30°方向，行駛1小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)剛好進(jìn)入燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)，測(cè)得燈塔M在北偏東45°方向，則輪船通過(guò)燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)的時(shí)間為（）A．（﹣1）小時(shí) B．（+1）小時(shí) C．2小時(shí) D．小時(shí)【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】連接MC，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥AC于D．根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△ADM中可得AD=MD，在Rt△BDM中可得BD=MD，根據(jù)垂徑定理可得BC=2MD，依此求出BC：AB的值即可求解．【解答】解：連接MC，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥AC于D．在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，∴AD=MD，在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，∴BD=MD，∴BC=2MD，∴BC：AB=2MD：（﹣1）MD=2：+1．故輪船通過(guò)燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)的時(shí)間為（+1）小時(shí)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，本題關(guān)鍵是得到AD=MD，BC=2MD．（2013?黃陂區(qū)模擬）海中有一個(gè)小島A，它的周?chē)鷄海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東75°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這是測(cè)得小島A在北偏東60°方向上．若漁船不改變航線繼續(xù)向東航行而沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，則a的最大值為（）A．5 B．6 C．6 D．8【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】漁船不改變航線繼續(xù)向東航行而沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，則C到航線的距離就是a的最大值，作AC⊥BD，根據(jù)方向角的定義即可求得AD的長(zhǎng)度，然后在直角△ACD中，求得AC的長(zhǎng)．【解答】解：作AC⊥BD于點(diǎn)C．∠ABD=90°﹣75°=15°，∵∠ADC=90°﹣60°=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠ABD=30°﹣15°=15°，∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12（海里），在直角△ADC中，AC=AD=×12=6（海里）．故a的最大值是6海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角的定義，依據(jù)直角三角形的性質(zhì)，正確證明△ABD是等腰三角形是關(guān)鍵．（2011?北海）如圖所示，漁船在A處看到燈塔C在北偏東60°方向上，漁船正向東方向航行了12海里到達(dá)B處，在B處看到燈塔C在正北方向上，這時(shí)漁船與燈塔C的距離是（）A．12海里 B．6海里 C．6海里 D．4海里【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】此題易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC運(yùn)用三角函數(shù)求得漁船與燈塔C的距離BC．【解答】解：由已知得：∠BAC=90°﹣60°=30°，在直角三角形ABC中，BC=AB?tan30°=12×=4（海里）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是先得∠BAC=30°，再解直角三角形ABC即可．（2009?青島）一艘輪船從港口O出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度沿北偏東60°的方向航行4小時(shí)后到達(dá)A處，此時(shí)觀測(cè)到其正西方向50海里處有一座小島B．若以港口O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向，正北方向?yàn)閥軸的正方向，1海里為1個(gè)單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），則小島B所在位置的坐標(biāo)是（）A．（30﹣50，30） B．（30，30﹣50） C．（30，30） D．（30，30）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，根據(jù)已知可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而根據(jù)已知求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，則AC=OA=30海里，OC=30海里．因而A所在位置的坐標(biāo)是（30，30）．小島B在A的正西50海里處，因而小島B所在位置的坐標(biāo)是（30﹣50，30）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．（2007?淄博）王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再?gòu)腂地向正南方向走200m到C地，此時(shí)王英同學(xué)離A地（）A．m B．100m C．150m D．m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】根據(jù)三角函數(shù)分別求AD，BD的長(zhǎng)，從而得到CD的長(zhǎng)．再利用勾股定理求AC的長(zhǎng)即可．【解答】解：AD=AB?sin60°=50；BD=AB?cos60°=50，∴CD=150．∴AC==100．故選D．【點(diǎn)評(píng)】解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2007?臨沂）如圖，客輪在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B處測(cè)得燈塔A的方位角為北偏東80°，測(cè)得C處的方位角為南偏東25°，航行1小時(shí)后到達(dá)C處，在C處測(cè)得A的方位角為北偏東20°，則C到A的距離是（）A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AD于點(diǎn)D，根據(jù)三角函數(shù)分別求BD，AD的值，從而不難求AC的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．過(guò)C作方位線，由平行得到∠1=∠2=25°，又∠3=20°，∴∠BCD=45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD=CD=30×=15．∵AD=BD?tan30°=5，∴CA=15+5=5（+3）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2007?青海）如圖，為了測(cè)量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200m的M和N兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹(shù)P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，則河的寬度是（）A．200m B．m C．m D．100m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】根據(jù)P在N的北偏西30°的方向，可求得∠P=∠N，再根據(jù)三角函數(shù)即可求得PM的值．【解答】解：由已知得，∠P=∠N=30°．在直角△PMN中，PM==200．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．（2006?寧波）如圖，為了確定一條小河的寬度BC，可在點(diǎn)C左側(cè)的岸邊選擇一點(diǎn)A，使得AC⊥BC，若測(cè)得AC=a，∠CAB=θ，則BC=（）A．a(chǎn)sinθ B．a(chǎn)cosθ C．a(chǎn)tanθ D．a(chǎn)cotθ【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義解答．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=a，∠CAB=θ，tan∠CAB=，即tanθ=，∴BC=atanθ．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用．（2006?黔東南州）如圖，為了測(cè)量?jī)砂禔、B兩點(diǎn)的距離，在河的一岸與AB垂直的方向上取一點(diǎn)C，測(cè)得AC=b，∠ACB=а，那么AB等于（）A．b?tanа B．b?cotа C．b?sinа D．b?cosа【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】根據(jù)已知角的正切函數(shù)關(guān)系式表示即可．【解答】解：∵AC=a，∠ACB=α，在直角△ABC中tanα=，∴AB=a?tanα．故選A．【點(diǎn)評(píng)】熟記三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．（1998?黃岡）如圖，已知一漁船上的漁民在A處看見(jiàn)燈塔M在北偏東60°方向，這艘漁船以28海里/時(shí)的速度向正東方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，在B處看見(jiàn)燈塔M在北偏東15°方向，此時(shí)燈塔M與漁船的距離是（）A．7海里 B．14海里 C．7海里 D．14海里【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AM于點(diǎn)N，由已知可求得BN的長(zhǎng)；再根據(jù)三角函數(shù)求BM的長(zhǎng)．【解答】解：由已知得，AB=×28=14海里，∠A=30°，∠ABM=105°．過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AM于點(diǎn)N．∵在直角△ABN中，∠BAN=30°∴BN=AB=7海里．在直角△BNM中，∠MBN=45°，則直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∴BM===7海里．故選A．【點(diǎn)評(píng)】解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．如圖，從位于O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°的方向，相距600米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過(guò)若干時(shí)間快艇要到達(dá)哨所東南方向的B處，則A、B間的距離是（）米．A．300+300 B．300+300 C．150+150 D．150+150【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】根據(jù)已知及三角函數(shù)求得OC的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得BC的長(zhǎng)，從而不難求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：如圖：∵在直角△AOC中，∠AOC=30°，OA=600米，∴AC=OA?sin30°=300米，OC=OA?cos30°=300米，∵直角△OBC是等腰直角三角形，∴BC=OC=300米，∴AB=300+300（m）．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法構(gòu)造直角三角形，難度一般．（2015?寧夏）如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為2km．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，則AB=AD=2km．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=2km．即該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為2km．故答案為2km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（2013?泰安）如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見(jiàn)一艘正在作業(yè)漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時(shí)望見(jiàn)漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時(shí)到達(dá)C處，望見(jiàn)漁船D在南偏東60°方向，若海監(jiān)船的速度為50海里/小時(shí)，則A，B之間的距離為67.5海里（取，結(jié)果精確到0.1海里）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出關(guān)于x的方程，解出后即可計(jì)算AB的長(zhǎng)度．【解答】解：∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE=AB，設(shè)DE=x，則AB=2x，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，則CE=DE=x，在Rt△BDE中，∠DAE=45°，則DE=BE=x，由題意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）．故答案為：67.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度，難度一般．（2012?安順）在一自助夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明同學(xué)從營(yíng)地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖），那么，由此可知，B、C兩地相距200m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】首先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形內(nèi)角和定理得∠ACB=30°，從而求出B、C兩地的距離．【解答】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200．故答案為：200．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，關(guān)鍵是實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，此題還運(yùn)用了三角形內(nèi)角和定理．（2012?成都模擬）如圖，B，C是河岸邊兩點(diǎn)，A是對(duì)岸邊上的一點(diǎn)，測(cè)得∠ABC=30°，∠ACB=60°，BC=50米，則A到岸邊BC的距離是米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題；三角形的面積．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】△ABC是直角三角形．由題意可求出AB，AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積=AC×AB=BC×h，可求得距離h．【解答】解：由題意得：∠BAC=180°﹣30°﹣60°=90°．AC=BCsin30°=25，AB=BCsin60°=25．又三角形的面積=AB×AC=BC×h，∴h=，即A到岸邊BC的距離是米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的運(yùn)用，有一定的難度，關(guān)鍵在于運(yùn)用三角形面積的兩種表達(dá)式．（2010?深圳）如圖所示，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔M在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔M在北偏東30°方向上，那么該船繼續(xù)航行15分鐘可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)M作AB的垂線，設(shè)垂足為N．由題易知∠MAB=30°，∠MBN=60°；則∠BMA=∠BAM=30°，得BM=AB．由此可在Rt△MBN中，根據(jù)BM（即AB）的長(zhǎng)求出BN的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出該船需要繼續(xù)航行的時(shí)間．【解答】解：作MN⊥AB于N．易知：∠MAB=30°，∠MBN=60°，則∠BMA=∠BAM=30°．設(shè)該船的速度為x，則BM=AB=0.5x．Rt△BMN中，∠MBN=60°，∴BN=BM=0.25x．故該船需要繼續(xù)航行的時(shí)間為0.25x÷x=0.25小時(shí)=15分鐘．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．需注意的是單位的統(tǒng)一．（2009?懷化）如圖，小明從A地沿北偏東30°方向走100m到B地，再?gòu)腂地向正南方向走200m到C地，此時(shí)小明離A地100m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)AB的長(zhǎng)以及30°角的正弦或余弦求出BD和CD，在△ADC中，用勾股定理解答．【解答】解：如圖，∵∠EAB=30°，∴∠BAD=60°．∵AB=100，∴AD=100?sin30°=50，BD=100cos30°=150．∵BC=200，∴CD=50．∴AC==100（m）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)方向角的掌握情況，比較簡(jiǎn)單．（2008?威海）如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測(cè)得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處東500米的B處，測(cè)得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC=250米．（用根號(hào)表示）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】在圖中兩個(gè)直角三角形中，先根據(jù)已知角的正切函數(shù)，分別求出AC和BC，根據(jù)它們之間的關(guān)系，構(gòu)建方程解答．【解答】解：由已知得，在Rt△PBC中，∠PBC=60°，PC=BCtan60°=BC．在Rt△APC中，∠PAC=30°，AC=PC=×BC=3BC=500+BC．解得，BC=250．∴PC=250（m）．故答案為：250．【點(diǎn)評(píng)】解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2006?達(dá)州）如圖，B、C是洲河岸邊兩點(diǎn)，A是河對(duì)岸岸邊一點(diǎn)，測(cè)得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=200米，則點(diǎn)A到岸邊BC的距離是100米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．由已知得△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BC=2BD．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵∠ABC=45°，∠ACB=45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∵BC=200，∴AD=BD=BC=100（米）．【點(diǎn)評(píng)】求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2006?河南）如圖，C、D分別是一個(gè)湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個(gè)村莊，CD=6km，且D位于C的北偏東30°方向上，則AB=3km．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)C作CE⊥BD于E，根據(jù)題意及三角函數(shù)可求得CE的長(zhǎng)，從而得到AB的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)C作CE⊥BD于E，則CE=AB．直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6，則CE=CD?cos30°=3=AB．∴AB=3（km）．【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．（2006?宿遷）在位于O處某海防哨所的北偏東60°相距6海里的A處，有一艘快艇正向正南方向航行，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間快艇到達(dá)哨所東南方向的B處，則A、B間的距離是8.2海里．（精確到0.1海里，≈1.414，≈1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】在直角△AOD中，根據(jù)AO和∠AOD的正切函數(shù)，先求出OD和AD．再把OD放到直角△OBD中，利用45°角的正切值求出BD，最后相加即可．【解答】解：如圖，∠EOA=60°，∠FOB=45°，OA=6．過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D．∵∠EOA=60°，∴∠AOD=30°．∴AD=3，OD=3．∵∠FOB=45°，∴∠BOD=45°．∴OD=BD=3．∴AB=AD+BD=3+3≈8.2．∴A、B間的距離是8.2海里．【點(diǎn)評(píng)】解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2003?仙桃）如圖，A市東偏北60°方向有一旅游景點(diǎn)M，在A市東偏北30°的公路上向前行800米到C處，測(cè)得M位于C的北偏西15°，則景點(diǎn)M到公路AC的距離MN為200+200米（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AM．根據(jù)已知可求得各角的度數(shù)，從而根據(jù)三角函數(shù)可求得AM和CP的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式即可求得MN的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AM．∵AC=800米，∠MAC=30°，∠ACM=180°﹣（90°﹣30°+15°）=105°，∴∠AMC=45°，∴CP=PM=400米，AP=400米，∴AM=400+400米，∵AM?PC=AC?MN，∴MN=200+200（米）．【點(diǎn)評(píng)】解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2015?濟(jì)寧）閱讀材料：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，==，利用上述結(jié)論可以求解如下題目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解應(yīng)用：如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．（1）判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明；（2）求乙船每小時(shí)航行多少海里？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出A1A2=30×=10，又A2B2=10，∠A1A2B2=60°，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出△A1A2B2是等邊三角形；（2）先由平行線的性質(zhì)及方向角的定義求出∠A1B1B2=75°﹣15°=60°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，那么∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．然后在△B1A1B2中，根據(jù)閱讀材料可知，=，求出B1B2的距離，再由時(shí)間求出乙船航行的速度．【解答】解：（1）△A1A2B2是等邊三角形，理由如下：連結(jié)A1B2．∵甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達(dá)A2，∴A1A2=30×=10，又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，∴△A1A2B2是等邊三角形；（2）如圖，∵B1N∥A1A2，∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．∵△A1A2B2是等邊三角形，∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．在△B1A1B2中，∵A1B2=10，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，∠A2A1B2=60°，由閱讀材料可知，=，解得B1B2==，所以乙船每小時(shí)航行：÷=20海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，方向角的定義，銳角三角函數(shù)的定義，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識(shí)的遷移能力．正確理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．（2015?湘西州）如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)O處，并沿東北方向（北偏東45°），以40千米/小時(shí)的速度勻速移動(dòng)，在距離臺(tái)風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，在點(diǎn)O的正東方向，距離60千米的地方有一城市A．（1）問(wèn)：A市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響，為什么？（2）在點(diǎn)O的北偏東15°方向，距離80千米的地方還有一城市B，問(wèn)：B市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響？若受到影響，請(qǐng)求出受到影響的時(shí)間；若不受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OD于點(diǎn)D，可求得AD的長(zhǎng)為60km，由60＞50可知，不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OC于點(diǎn)G，可求得BG的長(zhǎng)，由離臺(tái)風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，即可知會(huì)受到影響，然后由勾股定理求得受影響的范圍長(zhǎng)，即可求得影響的時(shí)間．【解答】解：（1）作AD⊥OC，易知臺(tái)風(fēng)中心O與A市的最近距離為AD的長(zhǎng)度，∵由題意得：∠DOA=45°，OA=60km，∴AD=DO=60÷=60km，∵60＞50，∴A市不會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響；（2）作BG⊥OC于G，∵由題意得：∠BOC=30°，OB=80km，∴BG=OB=40km，∵40＜50，∴會(huì)受到影響，如圖：BE=BF=50km，由題意知，臺(tái)風(fēng)從E點(diǎn)開(kāi)始影響B(tài)城市到F點(diǎn)影響結(jié)束，∴EG==30km，∴EF=2EG=60km，∵風(fēng)速為40km/h，∴60÷40=1.5小時(shí)，∴影響時(shí)間約為1.5小時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題以及勾股定理的應(yīng)用．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，能從實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．（2015?高密市三模）甲、乙兩條輪船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時(shí)30海里的速度沿著北偏東60°的方向航行，乙輪船以每小時(shí)15海里的速度沿著正東方向行進(jìn)，1小時(shí)后，甲船接到命令要與乙船會(huì)合，于是甲船改變了行進(jìn)的速度，沿著東南方向航行，結(jié)果在小島C處與乙船相遇．假設(shè)乙船的速度和航向保持不變，求：（1）港口A與小島C之間的距離；（2）甲輪船后來(lái)的速度．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)解答即可．（2）根據(jù)甲乙兩輪船從港口A至港口C所用的時(shí)間相同，可以求出甲輪船從B到C所用的時(shí)間，又知BC間的距離，繼而求出甲輪船后來(lái)的速度．【解答】解：（1）作BD⊥AC于點(diǎn)D，如圖所示：由題意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C間的距離為（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），輪船乙從A到C的時(shí)間為=+1，由B到C的時(shí)間為+1﹣1=，∵BC=15海里，∴輪船甲從B到C的速度為=5（海里/小時(shí)）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是過(guò)B作BD⊥AC，構(gòu)造出直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值及直角三角形的性質(zhì)解答．（2015?濱州模擬）如圖所示，A、B兩城市相距200km．現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC就都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來(lái)．根據(jù)AB的長(zhǎng)，得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，解出PC的長(zhǎng)．從而判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC?tan30°，BC=PC?tan45°．∵AC+BC=AB，∴PC?tan30°+PC?tan45°=200，即：PC+PC=200，PC=200，∴PC=×200=×200=100（3﹣）≈100×（3﹣1.732）≈126.8＞100．答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2015?濰坊一模）如圖，兩條公路AB，CD（均視為直線）．東西向公路CD段限速，規(guī)定最高行駛速度不能越過(guò)60千米/時(shí)，并在南北向公路離該公路100米的A處沒(méi)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)．已知點(diǎn)C在A的北偏西60°方向上，點(diǎn)D在A的北偏東45°方向上．（1）經(jīng)監(jiān)測(cè)，一輛汽車(chē)從點(diǎn)C勻速行駛到點(diǎn)D所的時(shí)間是15秒，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車(chē)在這段限速路上是否超速？（參考數(shù)據(jù)：=1.732）（2）若一輛大貨車(chē)在限速路上由D處向西行駛，一輛小汽車(chē)在南北向公路上由A處向北行駛，設(shè)兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出且小汽車(chē)的速度是大貨車(chē)速度的2倍，兩車(chē)在勻速行駛過(guò)程中的最近距離是多少？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）判斷是否超速就是求DC的長(zhǎng)，然后比較；（2）求兩車(chē)在勻速行駛過(guò)程中的最近距離可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為利用配方法求最值的問(wèn)題．【解答】解：（1）由題意知∠BAD=45°，∠CAB═60°，在Rt△AOD中，OD=OA=100米，在Rt△AOC中，OC=OA=100米，∴DC=（100+100）米，實(shí)際速度v=≈18.2米/秒=65.52千米/小時(shí)＞60千米/小時(shí)，∴超速．（2）∵兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出且小汽車(chē)的速度是大貨車(chē)速度的2倍，∴當(dāng)大貨車(chē)由B開(kāi)出x米時(shí)，小汽車(chē)由A開(kāi)出了2x米，兩車(chē)之間的距離S===∴當(dāng)x=60時(shí)，S取得最小值，為20米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，屬于實(shí)際應(yīng)用類(lèi)題目，從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．（2014?工業(yè)園區(qū)一模）釣魚(yú)島自古就是中國(guó)的領(lǐng)土，中國(guó)有關(guān)部門(mén)已對(duì)釣魚(yú)島及其附屬島嶼開(kāi)展常態(tài)化監(jiān)視監(jiān)測(cè)．一日，中國(guó)一艘海監(jiān)船從A點(diǎn)沿正北方向巡航，其航線距釣魚(yú)島（設(shè)M，N為該島的東西兩端點(diǎn)）最近距離為12海里（即MC=12海里）．在A點(diǎn)測(cè)得島嶼的西端點(diǎn)M在點(diǎn)A的東北方向；航行4海里后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得島嶼的東端點(diǎn)N在點(diǎn)B的北偏東60°方向，（其中N，M，C在同一條直線上），求釣魚(yú)島東西兩端點(diǎn)MN之間的距離．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】在直角△ACM，∠CAM=45°，則△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的長(zhǎng)，則BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函數(shù)求得AN，根據(jù)MN=CN﹣CM即可求解．【解答】解：在直角△ACM，∠CAM=45度，則△ACM是等腰直角三角形，則AC=CM=12（海里），∴BC=AC﹣AB=12﹣4=8（海里），直角△BCN中，CN=BC?tan∠CBN=BC=8（海里），∴MN=CN﹣CM=8﹣12（海里）．答：釣魚(yú)島東西兩端點(diǎn)MN之間的距離是（8﹣12）海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)，正確求得BC的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．（2013?遂寧）釣魚(yú)島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國(guó)海監(jiān)和漁政部門(mén)對(duì)釣魚(yú)島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國(guó)釣魚(yú)島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國(guó)漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，則可求得∠ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求解即可求得答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D．由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20×=10（海里），在Rt△BCD中，BC===20（海里）．答：此時(shí)船C與船B的距離是20海里．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方向角問(wèn)題．此題難度適中，注意能借助于方向角構(gòu)造直角三角形，并利用解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵．（2013?南充）如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點(diǎn)A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊N（參考數(shù)據(jù)；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）．（1）求M，N兩村之間的距離；（2）要在公路AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站P，使得M，N兩村到P的距離之和最短，求這個(gè)最短距離．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長(zhǎng)度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長(zhǎng)度．（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，求出MG的長(zhǎng)度即可．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，如圖：在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，∵sin36.5°==0.6，∴CM=3，AC==4km，在Rt△ANE中，∠NAE=90°﹣53.5°=36.5°，AN=10km，∵sin36.5°==0.6，∴NE=6，AE==8km，∴MD=CD﹣CM=AE﹣CM=5km，ND=NE﹣DE=NE﹣AC=2km，在Rt△MND中，MN==km．（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，此時(shí)PM+PN=PM+PG=MG，在Rt△MDG中，MG===5km．答：最短距離為5km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)值求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度，難度較大．（2013?青島校級(jí)自主招生）如圖，一艘漁船位于海洋觀測(cè)站P的北偏東60°方向，漁船在A處與海洋觀測(cè)站P的距離為60海里，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于海洋觀測(cè)站P的南偏東45°方向上的B處．求此時(shí)漁船所在的B處與海洋觀測(cè)站P的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，根據(jù)題意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60，然后在Rt△APC中可表示出PC，在Rt△PCB中可表示出PB，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，根據(jù)題意可得出：∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60，在Rt△APC中，∵cos∠APC=，∴PC=PA?cos∠APC=30，在Rt△PCB中，∵，∴．答：當(dāng)漁船位于P南偏東45°方向時(shí)，漁船與P的距離是30海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，有一定的難度，解答本題的關(guān)鍵是理解方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義．（2013?成都一模）如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口分別是A、B、C經(jīng)測(cè)量，花卉世界D位于點(diǎn)A的北偏東45°方向，點(diǎn)B的北偏東30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．（1）求∠ADB的大?。唬?）求B、D之間的距離；（3）求C、D之間的距離．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及方向角的定義即可求解；（2）根據(jù)等角對(duì)等邊，即可證得BD=AB即可求解；（3）根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得BC=CD，然后根據(jù)三角函數(shù)即可求得CD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠EAB=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°，又∵AE∥BF，∴∠ABF=180°﹣∠EAB=120°，∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=120°+30°=150°，∴∠ADB=180°﹣∠DAC﹣∠ABD=180°﹣15°﹣150°=15°；（2）由（1）可知∠ADB=15°，∵∠DAC=15°，∴∠DAC=∠ADB=15°，∴BD=AB=2km．即B，D之間的距離是2km；（3）過(guò)B作BO⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，在Rt△DBO中，BD=2km，∵∠FBD=30°，∴∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°=（km），BO=2×cos60°=1，在Rt△CBO中，∵∠BCO=∠EAC=60°，∴∠CBO=30°，CO=BO?tan30°=，∴CD=DO﹣CO=（km）．即C，D之間的距離km．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方向角含義以及三角函數(shù)，正確記憶三角函數(shù)的定義，把一般三角形通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．（2013?安徽模擬）如圖，我邊防哨所A測(cè)得一走私船在A的西北方向B處由南向北正以每小時(shí)10海里的速度逃跑，我緝私艇迅速朝A的西偏北60°的方向出水?dāng)r截，2小時(shí)后終于在B地正北方向M處攔截住，試求緝私船的速度．（參考數(shù)據(jù)：）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】首先延長(zhǎng)MB得直角三角形ANM和等腰直角三角形ANB，再由已知得∠M=30°，BM=10×2=20，設(shè)AN=x，則BN=x，AM=2x，由三角函數(shù)得x的方程求出x，繼而求出AM，從而求出緝私船的速度．【解答】解：由已知延長(zhǎng)MB得直角三角形ANM和等腰直角三角形ANB，∴∠M=30°，BM=10×2=20，設(shè)AN=x，則BN=x，AM=2x，∴===，得x=，∴AM=2x=，所以緝私船的速度為：÷2≈27.3海里/時(shí)，答：緝私船的速度約為27.3海里/時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造兩直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解．（2013?汕尾模擬）一條船在海面上自西向東沿直線航行，在A處測(cè)得航標(biāo)C在北偏東60°方向上，前進(jìn)100米到達(dá)B處，又測(cè)得航標(biāo)C在北偏東45°方向上．（1）請(qǐng)根據(jù)以上描述，畫(huà)出圖形．（2）已知以航標(biāo)C為圓心，120米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，若這條船繼續(xù)前進(jìn)，是否有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)？為什么？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)題意畫(huà)圖，作CD⊥直線AB于點(diǎn)D，根據(jù)已知求得CD的長(zhǎng)再與120比較，若大于120則無(wú)危險(xiǎn)，反之有危險(xiǎn)．【解答】解：（1）（2）答：這條船繼續(xù)前進(jìn)，沒(méi)有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)．作CD⊥直線AB于點(diǎn)D，由已知可得∠CAD=30°，∠CBD=45°，AB=100米．設(shè)CD=x米．在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴AD=，在Rt△CBD中，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x，∵AD﹣BD=AB，∴，解得，∴這條船繼續(xù)前進(jìn)沒(méi)有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生基本的作圖能力，及構(gòu)造直角三角形解題的能力．（2013?成都校級(jí)模擬）如圖所示，A、B兩小村莊相距4km，現(xiàn)計(jì)劃在這兩個(gè)小村莊之間修筑一條公路（即線段AB）．經(jīng)測(cè)量，文物保護(hù)中心P在A村的北偏東60°和B村的北偏西45°的方向上，已知文物保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，1.1km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)計(jì)劃修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來(lái)．根據(jù)AB的長(zhǎng)，得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，解出PC的長(zhǎng)．從而判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)PC⊥AB，C是垂足，則∠APC=60°，∠BPC=45°，則AC=PC?tan60°，BC=PC?tan45°，∵AC+BC=AB，∴PC?tan60°+PC?tan45°=4∴∴．答：文物保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．（2013?安徽模擬）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=60°；AC=20；（2）自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚(yú)島國(guó)有化”鬧劇以來(lái)，我國(guó)政府靈活應(yīng)對(duì)，現(xiàn)如今已對(duì)釣魚(yú)島執(zhí)行常態(tài)化巡邏．某次巡邏中，如圖（3），我漁政204船在C處測(cè)得A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚(yú)島A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政204船距釣魚(yú)島A的距離AB．（結(jié)果精確到0.01，）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）利用題目總結(jié)的正弦定理，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可；（2）在△ABC中，分別求得BC的長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用題目中總結(jié)的正弦定理求AC的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）由正玄定理得：∠A=60°，AC=20；故答案為：60°，20；（2）如圖，依題意：BC=40×0.5=20（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°．∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°．∴∠A=45°．在△ABC中，，即，解之得：AB=10≈24.49海里．所以漁政204船距釣魚(yú)島A的距離約為24.49海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角的知識(shí)，更重要的是考查了同學(xué)們的閱讀理解能力，通過(guò)材料總結(jié)出學(xué)生們沒(méi)有接觸的知識(shí)，并根據(jù)此知識(shí)點(diǎn)解決相關(guān)的問(wèn)題，是近幾年中考的高頻考點(diǎn)．（2012?樂(lè)山）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向30千米處有一觀察站O．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30°方向，且與O相距千米的A處；經(jīng)過(guò)40分鐘，又測(cè)得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1））過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．（2）延長(zhǎng)AB交l于D，比較OD與AM、AN的大小即可得出結(jié)論．【解答】解（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．由題意，得OA=千米，OB=20千米，∠AOC=30°．∴（千米）．∵在Rt△AOC中，OC=OA?cos∠AOC==30（千米）．∴BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）．∴在Rt△ABC中，==20（千米）．∴輪船航行的速度為：（千米/時(shí)）．（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸．理由：延長(zhǎng)AB交l于點(diǎn)D．∵AB=OB=20（千米），∠AOC=30°．∴∠OAB=∠AOC=30°，∴∠OBD=∠OAB+∠AOC=60°．∴在Rt△BOD中，OD=OB?tan∠OBD=20×tan60°=（千米）．∵＞30+1，∴該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計(jì)算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（2012?廣安）如圖，2012年4月10日，中國(guó)漁民在中國(guó)南海黃巖島附近捕魚(yú)作業(yè)，中國(guó)海監(jiān)船在A地偵查發(fā)現(xiàn)，在南偏東60°方向的B地，有一艘某國(guó)軍艦正以每小時(shí)13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚(yú)的中國(guó)漁民，此時(shí)，C地位于中國(guó)海監(jiān)船的南偏東45°方向的10海里處，中國(guó)海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度趕往C地救援我國(guó)漁民，能不能及時(shí)趕到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題；探究型．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則△ACD是等腰直角三角形，根據(jù)AC=10海里可求出AD即CD的長(zhǎng)，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD的長(zhǎng)進(jìn)而可得出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)中國(guó)海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度航行，某國(guó)軍艦正以每小時(shí)13海里的速度即可得出兩軍艦到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵∠CAD=45°，AC=10海里，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD===5（海里），在Rt△ABD中，∵∠DAB=60°，∴BD=AD?tan60°=5×=5（海里），∴BC=BD﹣CD=（5﹣5）海里，∵中國(guó)海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度航行，某國(guó)軍艦正以每小時(shí)13海里的速度航行，∴海監(jiān)船到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間t===（小時(shí)）；某國(guó)軍艦到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間i==≈=0.4（小時(shí)），∵＜0.4，∴中國(guó)海監(jiān)船能及時(shí)趕到．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．（2012?本溪）如圖，△ABC是學(xué)生小金家附近的一塊三角形綠化區(qū)的示意圖，為增強(qiáng)體質(zhì)，他每天早晨都沿著綠化區(qū)周邊小路AB、BC、CA跑步（小路的寬度不計(jì)）．觀測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東30°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的南偏東60°的方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏西75°方向上，AC間距離為400米．問(wèn)小金沿三角形綠化區(qū)的周邊小路跑一圈共跑了多少米？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】延長(zhǎng)AB至D點(diǎn)，作CD⊥AD于D，根據(jù)題意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得CD=BD=200米后即可求得三角形ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線于一點(diǎn)D，根據(jù)題意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，故∠DBC=∠DCB=45°，在Rt△ADC中，∵AC=400米，∠BAC=30°，∴CD=BD=200米，∴BC=200米，AD=200米∴AB=AD﹣BD=（200﹣200）米，∴三角形ABC的周長(zhǎng)為400+200+（200﹣200）≈829米小金沿三角形綠化區(qū)的周邊小路跑一圈共跑了約829米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形模型并求解．（2012?恩施州）新聞鏈接，據(jù)[僑報(bào)網(wǎng)訊]外國(guó)炮艇在南海追襲中國(guó)漁船被中國(guó)漁政逼退．2012年5月18日，某國(guó)3艘炮艇追襲5條中國(guó)漁船．剛剛完成黃巖島護(hù)漁任務(wù)的“中國(guó)漁政310”船人船未歇立即追往北緯11度22分、東經(jīng)110度45分附近海域護(hù)漁，保護(hù)100多名中國(guó)漁民免受財(cái)產(chǎn)損失和人身傷害．某國(guó)炮艇發(fā)現(xiàn)中國(guó)目前最先進(jìn)的漁政船正在疾速馳救中國(guó)漁船，立即掉頭離去．（見(jiàn)圖1）解決問(wèn)題如圖2，已知“中國(guó)漁政310”船（A）接到陸地指揮中心（B）命令時(shí)，漁船（C）位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國(guó)漁政310”船西南方向，“中國(guó)漁政310”船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB=海里，“中國(guó)漁政310”船最大航速20海里/時(shí)．根據(jù)以上信息，請(qǐng)你求出“中國(guó)漁政310”船趕往出事地點(diǎn)需要多少時(shí)間．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根據(jù)中國(guó)漁政310”船最大航速20海里/時(shí)求出所需時(shí)間即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，∵AB=，∠B=60°，∴AD=AB?sin60°=×=70，在Rt△ADC中，AD=70，∠C=45°，∴AC=AD=140，∴“中國(guó)漁政310”船趕往出事地點(diǎn)所需時(shí)間為=7小時(shí)．答：“中國(guó)漁政310”船趕往出事地點(diǎn)需要7小時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．（2012?丹東）南中國(guó)海是中國(guó)固有領(lǐng)海，我漁政船經(jīng)常在此海域執(zhí)勤巡察．一天我漁政船停在小島A北偏西37°方向的B處，觀察A島周邊海域．據(jù)測(cè)算，漁政船距A島的距離AB長(zhǎng)為10海里．此時(shí)位于A島正西方向C處的我漁船遭到某國(guó)軍艦的襲擾，船長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)在其北偏東50°的方向上有我方漁政船，便發(fā)出緊急求救信號(hào)．漁政船接警后，立即沿BC航線以每小時(shí)30海里的速度前往救助，問(wèn)漁政船大約需多少分鐘能到達(dá)漁船所在的C處？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】首先B點(diǎn)作BD⊥AC，垂足為D，根據(jù)題意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，然后分別在Rt△ABD與Rt△CBD中，利用余弦函數(shù)求得BD與BC的長(zhǎng)，繼而求得答案．【解答】解：過(guò)B點(diǎn)作BD⊥AC，垂足為D．根據(jù)題意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，在Rt△ABD中，∵cos∠ABD=，∴cos37°=≈0.80，∴BD≈10×0.8=8（海里），在Rt△CBD中，∵cos∠CBD=，∴cos50°=≈0.64，∴BC≈8÷0.64=12.5（海里），∴12.5÷30=（小時(shí)），∴×60=25（分鐘）．答：漁政船約25分鐘到達(dá)漁船所在的C處．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方向角問(wèn)題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是利用方向角構(gòu)造直角三角形，然后解直角三角形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2012?眉山）如圖，在與河對(duì)岸平行的南岸邊有A、B、D三點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，在A點(diǎn)處測(cè)得河對(duì)岸C點(diǎn)在北偏東60°方向；從A點(diǎn)沿河邊前進(jìn)200米到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得C點(diǎn)在北偏東30°方向，求河寬CD．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】首先由題意可得：∠CAB=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，AB=200米，CD⊥AB，則可證得△ABC是等腰三角形，即BC=AB，然后在Rt△CBD中，由CD=BC?sin60°，即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意得：∠CAB=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，AB=200米，CD⊥AB，則∠ACB=∠CBD﹣∠CAB=60°﹣30°=30°，則BC=AB=200米，在Rt△CBD中，CD=BC?sin60°=200×=100（米）．答：河寬CD為100米．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方向角問(wèn)題．此題難度適中，注意能借助于解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2012?岳陽(yáng)二模）如圖，在海岸邊有一港口O，已知小島A在港口O北偏東30°的方向上，小島B在小島A的正南方向，OA=60海里，OB=20海里．（1）求O到直線AB的距離；（2）小島B在港口O的什么方向上？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】本題可通過(guò)輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)求解，OC為直角三角形AOC和BOC的公共直角邊，可先再直角三角形AOC中求出OC的長(zhǎng)，然后在直角三角形BOC中求出∠OBC的度數(shù)．【解答】解：（1）過(guò)O作OC⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于C，那么OC就是所求的距離，Rt△AOC中，∠A=30°，OA=60，OC=AC?sin30°=30海里，即：O到AB的距離是30海里；（2）在Rt△OBC中，∵OB=，OC=30，∴sin∠OBC=．∴∠OBC=60°．∴B在港口O的北偏東60°方向上．【點(diǎn)評(píng)】本題可通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，使問(wèn)題解決．（2011?煙臺(tái)）綜合實(shí)踐課上，小明所在小組要測(cè)量護(hù)城河的寬度．如圖所示是護(hù)城河的一段，兩岸ABCD，河岸AB上有一排大樹(shù)，相鄰兩棵大樹(shù)之間的距離均為10米．小明先用測(cè)角儀在河岸CD的M處測(cè)得∠α=36°，然后沿河岸走50米到達(dá)N點(diǎn)，測(cè)得∠β=72°．請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)幫小明他們算出河寬FR（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG∥EM交CD于G．則MG=EF=10米，根據(jù)∠FGN=∠α=36°即可求出∠GFN的度數(shù)，進(jìn)而可得出FN的長(zhǎng)，利用FR=FN×sinβ即可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG∥EM交CD于G，則MG=EF=10米．∵∠FGN=∠α=36°．∴∠GFN=∠β﹣∠FGN=72°﹣36°=36°．∴∠FGN=∠GFN，∴FN=GN=50﹣10=40（米）．在Rt△FNR中，F(xiàn)R=FN×sinβ=40×sin72°=40×0.95≈38（米）．答：河寬FR約為38米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．（2011?銅仁地區(qū)）如圖，在A島周?chē)?5海里水域有暗礁，一輪船由西向東航行到O處時(shí)，發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60°方向，輪船繼續(xù)前行20海里到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)A島在北偏東45°方向，該船若不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】要得出有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)需求出輪船在航行過(guò)程中離點(diǎn)A的最近距離，然后與暗礁區(qū)的半徑進(jìn)行比較，若大于則無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，若小于則有觸礁的危險(xiǎn)．【解答】解：根據(jù)題意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACB=90°，所以BC=AC，于是在Rt△AOC中，由tan30°=，得，解得AC=≈27.32（海里），因?yàn)?7.32＞25，所以輪船不會(huì)觸礁．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識(shí)．通過(guò)數(shù)學(xué)建模把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題．（2011?婁底）喜歡數(shù)學(xué)的小偉沿筆直的河岸BC進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，如圖，河對(duì)岸有一水文站A，小偉在河岸B處測(cè)得∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到達(dá)C處，在C處測(cè)得∠ACD=30°，求河寬AD．（最后結(jié)果精確到1米．已知：≈1.414，≈1.732，≈2.449，供選用）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】根據(jù)由圖可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，以及∠ACD=30°，利用BD=x，CD=x，即可得出x+x=300，求出即可．【解答】解：如圖，由圖可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，∠ACD=30°．在Rt△ABD中，BD=AD．在Rt△ACD中，CD=AD．設(shè)AD=x，則有BD=x，CD=x．依題意，得BD+CD=300，即x+x=300，∴（1+）x=300，∴x=≈110（米）．答：河寬AD約為110米．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形主要是方向角問(wèn)題，正確記憶三角函數(shù)的定義表示出BD=x，CD=x是解決本題的關(guān)鍵．（2011?六盤(pán)水）某一特殊路段規(guī)定：汽車(chē)行駛速度不超過(guò)36千米/時(shí)．一輛汽車(chē)在該路段上由東向西行駛，如圖所示，在距離路邊10米O處有一“車(chē)速檢測(cè)儀”，測(cè)得該車(chē)從北偏東60°的A點(diǎn)行駛到北偏東30°的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1秒．（1）試求該車(chē)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的平均速度．（2）試說(shuō)明該車(chē)是否超速．（、）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）據(jù)題意得∠AOC=60°，∠BOC=30°，然后在Rt△AOC中可以求出∠OAC=30°，接著求出∠AOB，由此得到∠AOB=∠OAC，再利用等腰三角形的判定得到AB=OB，又在Rt△BOC中OB=OC÷cos∠BOC，由此求出OB，最后可以求出AB．（2）首先統(tǒng)一單位，然后利用時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系即可求出時(shí)間，然后比較大小即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）據(jù)題意，得∠AOC=60°，∠BOC=30°在Rt△AOC中，∠AOC=60°∴∠OAC=30°∵∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=60°﹣30°=30°∴∠AOB=∠OAC∴AB=OB在Rt△BOC中OB=OC÷cos∠BOC=10=（米）∴AB=（米）∴V=÷1=（米/秒）．（2）∵36千米/時(shí)=10米/秒又∵，∴，∴小汽車(chē)超速了．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形﹣方向角的問(wèn)題，解題時(shí)首先正確理解題意，然后解直角三角形求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，最后利用時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系即可解決問(wèn)題．（2011?大慶）如圖所示，一艘輪船以30海里/小時(shí)的速度向正北方向航行，在A處得燈塔C在北偏西30°方向，輪船航行2小時(shí)后到達(dá)B處，在B處時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏西45°方向．當(dāng)輪船到達(dá)燈塔C的正東方向的D處時(shí)，求此時(shí)輪船與燈塔C的距離．（結(jié)果精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】本題中CD是Rt△CDB和Rt△ADC的共有直角邊，那么可用CD來(lái)表示出AD和BD，再根據(jù)AB的長(zhǎng)來(lái)求出CD．【解答】解：設(shè)CD=x，在Rt△BCD中，∠CBD=45°得BD=CD=x，又∵AB=30×2=60，∴AD=60+x，在Rt△ACD中，tan30°=，即=，解得：x=30+30，得CD≈30×（1.73+1）=81.9（海里），答：此時(shí)輪船與燈塔C的距離為81.9海里．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，兩個(gè)直角三角形有公共的直角邊時(shí)，利用好這條公共的直角邊是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．（2011?資陽(yáng)）在一次機(jī)器人測(cè)試中，要求機(jī)器人從A出發(fā)到達(dá)B處．如圖1，已知點(diǎn)A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機(jī)器人在射線AO及其右側(cè)（AO下方）區(qū)域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(cè)（AO上方）區(qū)域的速度為10cm/秒．（1）分別求機(jī)器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間（精確到秒）；（2）若∠OCB=45°，求機(jī)器人沿A→C→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間（精確到秒）；（3）如圖2，作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P．試說(shuō)明：從A出發(fā)到達(dá)B處，機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．【專(zhuān)題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【分析】（1）根據(jù)已知先求出沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，然后由勾股定理求出AB，從而求出沿A→B路線行進(jìn)所用時(shí)間；（2）首先解Rt△OBC，運(yùn)用三角函數(shù)求出BC，繼而得出AC，從而求出沿A→C→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間；（3）在AO上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，作P′E′⊥AD于E′，連接P′B，分別求出沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間和沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間進(jìn)行比較得出結(jié)論．【解答】解：（1）沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：600÷20+300÷10=60（秒），在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300（cm）．∴沿A→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：300÷10≈300×2.236÷10≈67（秒）．（2）在Rt△OBC中，OB=300，∠OCB=45°，∴OC=OB=300cm，BC==300（cm），∴AC=600﹣300=300（cm）．∴沿A→C→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57（秒）．（3）在AO上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，作P′E′⊥AD于E′，連接P′B，在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°==，∴EP=，E′P′=．∴沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=（EP+PB）÷10=BE（秒），沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=（E′P′+P′B）÷10=（E′P′+P′B）（秒）．連接BE′，則E′P′+P′B＞BE′＞BE，∴BE＜（E′P′+P′B）．∴沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，小于沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間．即機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求出路線長(zhǎng)．（2011?珠海模擬）如圖，一艘輪船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，再沿北偏西30°方向航行10km到達(dá)C港．（1）求A、C兩港之間的距離（精確到1km）（2）求點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A位置．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）由題意得DAB+∠EBA=180°，由∠DAB=60°，∠CBE=30°，則∠ABC=90°，由勾股定理，從而得出AC的長(zhǎng)；（2）由∠FCA=∠DAC=60°﹣45°=15°，則C點(diǎn)在A點(diǎn)北偏東15°的方向上，距離A點(diǎn)km處的位置．【解答】解：（1）∵DA∥EB，∴∠DAB+∠EBA=180°，∵∠DAB=60°，∠CBE=30°，∴∠ABC=90°，∵AB=CB=10，∴AC=≈14（km）；（2）∵∠FCA=∠DAC=60°﹣45°=15°，∴C點(diǎn)在A點(diǎn)北偏東15°的方向上，距離A點(diǎn)km處的位置．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．（2010?寧夏）小明想知道湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離，他在與小亭A、B位于同一水平面且東西走向的湖邊小道l上某一觀測(cè)點(diǎn)M處，測(cè)得亭A在點(diǎn)M的北偏東30°，亭B在點(diǎn)M的北偏東60°，當(dāng)小明由點(diǎn)M沿小道l向東走60米時(shí)，到達(dá)點(diǎn)N處，此時(shí)測(cè)得亭A恰好位于點(diǎn)N的正北方向，繼續(xù)向東走30米時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q處，此時(shí)亭B恰好位于點(diǎn)Q的正北方向，根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】連接AN、BQ，過(guò)B作BE⊥AN于點(diǎn)E．在Rt△AMN和在Rt△BMQ中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求得AN，BQ，求得NQ，AE的長(zhǎng)，在直角△ABE中，依據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：連接AN、BQ．∵點(diǎn)A在點(diǎn)N的正北方向，點(diǎn)B在點(diǎn)Q的正北方向，∴AN⊥l，BQ⊥l．（1分）在Rt△AMN中：tan∠AMN=，∴AN=米．（3分）在Rt△BMQ中：tan∠BMQ=，∴BQ=米．（5分）過(guò)B作BE⊥AN于點(diǎn)E．則：BE=NQ=30米，∴AE=AN﹣BQ=30．（8分）在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，，∴AB=60米．答：湖中兩個(gè)小亭A、B之間的距離為60米．（10分）【點(diǎn)評(píng)】把圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．（2010?南平）南平是海峽西岸經(jīng)濟(jì)區(qū)的綠色腹地．如圖所示，我市的A、B兩地相距20km，B在A的北偏東45°方向上，一森林保護(hù)中心P在A的北偏東30°和B的正西方向上．現(xiàn)計(jì)劃修建的一條高速鐵路將經(jīng)過(guò)AB（線段），已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以點(diǎn)P為圓心，半徑為4km的圓形區(qū)域內(nèi)．請(qǐng)問(wèn)這條高速鐵路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)，為什么？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】過(guò)P作PM⊥AB于M，延長(zhǎng)BP作BC⊥AC于C．在直角△APC中，運(yùn)用三角函數(shù)用求出AC，BC的長(zhǎng)．在直角△PCA中，運(yùn)用三角函數(shù)求出PC的長(zhǎng)，從而得到PB的長(zhǎng)．在直角△PMB中，運(yùn)用三角函數(shù)求出PM，比較PM與4km的大小關(guān)系即可．【解答】解：延長(zhǎng)BP作BC⊥AC于C，過(guò)P作PM⊥AB于M．因?yàn)锽在A的北偏東45°方向上，所以A在B的南偏西45°方向．在Rt△ABC中，∵∠CBA=∠CAB=45°，∴AC=BC=10．在直角△PCA中，∠PAC=30°，則PC=，∴PB=10﹣，在直角△PMB中，PM=（10﹣）×=10﹣≈4.226．∵4.226＞4，∴這條高速鐵路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角函數(shù)求出PM的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．（2010?上城區(qū)一模）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題．在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作AD⊥BC于D（如圖1），則sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有：，，所以即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖2，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=60°；AC=20；（2）如圖3，一貨輪在C處測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上（如圖3），求此時(shí)貨輪距燈塔A的距離AB．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】（1）利用題目總結(jié)的正弦定理，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可；（2）在△ABC中，分別求得BC的長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用題目中總結(jié)的正弦定理求AC的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）∠A=60°，AC=；（2）如圖，依題意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°．∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，=，即=，解之得：AB=15．答：貨輪距燈塔的距離AB=15海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角的知識(shí)，更重要的是考查了同學(xué)們的閱讀理解能力，通過(guò)材料總結(jié)出學(xué)生們沒(méi)有接觸的知識(shí)，并根據(jù)此知識(shí)點(diǎn)解決相關(guān)的問(wèn)題，是近幾年中考的高頻考點(diǎn)．（2008?菏澤）如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城