非現(xiàn)行模型的線性化

關(guān)于非現(xiàn)行模型的線性化有時(shí)候變量之間的關(guān)系是非線性的。雖然其形式是非線性的，但可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。稱此類模型為可線性化的非線性模型。以下非線性回歸模型是無法用最小二乘法估計(jì)參數(shù)的?？刹捎梅蔷€性方法進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)過程非常復(fù)雜和困難，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大大方便了非線性回歸模型的估計(jì)。專用軟件使這種計(jì)算變得非常容易。下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非線性模型。

第2頁,共30頁，星期六，2024年，5月冪函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型雙曲線函數(shù)模型多項(xiàng)式方程模型生長曲線模型第3頁,共30頁，星期六，2024年，5月(1)

冪函數(shù)模型(全對(duì)數(shù)模型)(b>1)

(0<b<1)

(b=-1)

(b<-1)

(0>b>-1)

b取不同值的圖形分別見上圖。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得

Lnyt=Lna+bLnxt+ut

令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,則上式表示為

yt*=a*+bxt*+ut

變量yt*和xt*之間已成線性關(guān)系。冪函數(shù)模型也稱作全對(duì)數(shù)模型。第4頁,共30頁，星期六，2024年，5月Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)（二元冪函數(shù)）

第5頁,共30頁，星期六，2024年，5月(1)冪函數(shù)模型(全對(duì)數(shù)模型)例4.1：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)（臺(tái)灣）第6頁,共30頁，星期六，2024年，5月(2)指數(shù)函數(shù)模型

上式等號(hào)兩側(cè)同取自然對(duì)數(shù)，得

Lnyt=Lna+bxt+ut

令Lnyt=yt*,Lna=a*,則

yt*=a*+bxt+ut

變量yt*和xt已變換成為線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。第7頁,共30頁，星期六，2024年，5月某硫酸廠生產(chǎn)的硫酸的透明度一直達(dá)不到優(yōu)質(zhì)指標(biāo)。經(jīng)分析透明度低與硫酸中金屬雜質(zhì)的含量太高有關(guān)。影響透明度的主要金屬雜質(zhì)是鐵、鈣、鉛、鎂等。通過正交試驗(yàn)的方法發(fā)現(xiàn)鐵是影響硫酸透明度的最主要原因。測量了47個(gè)樣本，得硫酸透明度（y）與鐵雜質(zhì)含量（x）的散點(diǎn)圖如下：案例1：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系（指數(shù)函數(shù)案例）

（1）y=121.59-0.91x（2）1/y=0.069-2.37(1/x)(10.1)(-5.7)(18.6)(-11.9)R2=0.42,s.e.=36.6,F=32R2=0.76,s.e.=0.009,F=142

第8頁,共30頁，星期六，2024年，5月案例1：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系（指數(shù)函數(shù)案例）

（3）y=-54.40+6524.83(1/x)（4）Lny=1.99+104.5(1/x)(-7.2)(16.3)(22.0)(21.6)

R2=0.86,s.e.=18.2,F=266R2=0.91,s.e.=0.22,F=468還原，Lny=Ln(7.33)+104.5(1/x)第9頁,共30頁，星期六，2024年，5月（5）非線性估計(jì)結(jié)果是

R2=0.96EViews命令：Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X))

樣本內(nèi)預(yù)測評(píng)價(jià)：案例1：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系（指數(shù)函數(shù)案例）樣本點(diǎn)與指數(shù)擬合曲線

第10頁,共30頁，星期六，2024年，5月

(3)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型

yt=a+bLnxt+ut,(b>0)yt=a+bLnxt+ut,(b<0)令xt*=Lnxt,則

yt=a+bxt*+ut

變量yt

和xt*已變換成為線性關(guān)系。(b>0)

(b<0)

第11頁,共30頁，星期六，2024年，5月

28個(gè)省市自治區(qū)1985

2005年城鎮(zhèn)居民人均食品支出（food）與人均收入（income）的關(guān)系案例2：28個(gè)省市自治區(qū)1985

2005年城鎮(zhèn)居民人均食品支出（food）與人均收入（income）的關(guān)系第12頁,共30頁，星期六，2024年，5月(4)

雙曲線函數(shù)模型1/yt=a+b/xt

+ut

或yt=1/(a+b/xt

+ut)令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut

已變換為線性回歸模型。雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式，yt=a+b/xt+ut

令xt*=1/xt，得

yt=a+bxt*+ut

上式已變換成線性回歸模型。yt=a+b/xt+ut

1/yt=a+b/xt

+ut

第13頁,共30頁，星期六，2024年，5月案例3：煉鋼廠鋼包容積Y與鋼包使用次數(shù)X的關(guān)系

建立線性模型并估計(jì)建立對(duì)數(shù)模型并估計(jì)y=7.85+0.27xy=6.16+1.83Lnx(19.6)(5.7)(16.0)(10.1)

R2=0.71,N=15R2=0.89,N=15第14頁,共30頁，星期六，2024年，5月

雙倒數(shù)線性化雙倒數(shù)模型建立倒數(shù)模型并用1

14組數(shù)據(jù)估計(jì)，1/y=0.081+0.1339(1/x)(42.1)(14.1)R2=0.94,

N=15倒數(shù)模型的估計(jì)結(jié)果最好。案例3：煉鋼廠鋼包容積Y與鋼包使用次數(shù)X的關(guān)系第15頁,共30頁，星期六，2024年，5月(5)多項(xiàng)式函數(shù)模型(1)一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是

yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式變?yōu)?/p>

yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut

這是一個(gè)三元線性回歸模型。如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量曲線與左圖相似。(b1>0,b2<0,b3>0)

(b1<0,b2>0,b3<0)第16頁,共30頁，星期六，2024年，5月總成本函數(shù)的估計(jì)第17頁,共30頁，星期六，2024年，5月(5)多項(xiàng)式函數(shù)模型(1)例4.2：總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量的關(guān)系yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

第18頁,共30頁，星期六，2024年，5月(5)多項(xiàng)式函數(shù)模型(1)例4.2：總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量的關(guān)系=2434.7+85.7

xt-0.028xt2+0.00004xt3

(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6)R2=0.9998,N=15第19頁,共30頁，星期六，2024年，5月案例4：廈門市貸款總額與GDP的關(guān)系分析（1990~2003）第20頁,共30頁，星期六，2024年，5月

從散點(diǎn)圖看，用多項(xiàng)式方程擬合比較合理。Loant=

0+

1GDPt+

2GDPt2+

3xt3+ut

t=-24.5932+1.6354

GDPt-0.0026GDPt2+0.0000027

GDPt3

(-2.0)(11.3)(-6.3)(7.9)

R2=0.9986,DW=2.6案例4：廈門市貸款總額與GDP的關(guān)系分析（1990~2003）第21頁,共30頁，星期六，2024年，5月(5)多項(xiàng)式方程模型(2)(b1<

0,b2>0)

(b1>0,b2<0)另一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut

令xt1=xt，x

t2=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut

如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與左圖相似。第22頁,共30頁，星期六，2024年，5月(5)多項(xiàng)式方程模型(2)例4.2：平均成本與產(chǎn)品產(chǎn)量的關(guān)系=105.1-0.06xt+0.00006xt2

(42.5)(-8.7)(12.8)R2=0.97,N=15第23頁,共30頁，星期六，2024年，5月(6)

生長曲線

(logistic)模型

美國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearl和Reed廣泛研究了有機(jī)體的生長，得到了上述數(shù)學(xué)模型。生長模型（或邏輯斯諦曲線，Pearl-Reed曲線）常用于描述有機(jī)體生長發(fā)育過程。其中k和0分別為yt的上限和下限。a,b

為待估參數(shù)。曲線有拐點(diǎn)，曲線的上下兩部分對(duì)稱于拐點(diǎn)。第24頁,共30頁，星期六，2024年，5月(6)

生長曲線

(logistic)模型第25頁,