函數(shù)的奇偶性-

學習目標1、奇偶性的定義2、奇偶性的作用情景引入問題1：利用初中所學過的知識，說說這是怎樣的圖形？情景引入問題2：請從對稱的角度對下列函數(shù)進行分類.③OxyOxy①②

xy④

Oxy

Ox⑤yo復習引入問題3.

觀察下面兩個函數(shù)圖象.自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值是什么關系?即f(x)與f(-x)有什么關系?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|(1)兩圖象都關于y

軸對稱.(2)第一個函數(shù)f(x)=x2,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-3)=9,……第二個函數(shù)f(x)=|x|,f(1)=f(-1)=1,f(2)=f(-2)=2,f(3)=f(-3)=3,……f(-x)=

f(x).情景引入定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

偶函數(shù)的圖象關于y

軸對稱.合作探究問題4.

觀察下面兩個函數(shù)圖象.自變量取一對相反數(shù)時,函數(shù)值是什么關系?即f(x)與f(-x)有什么關系?(1)兩圖象都關于原點對稱.(2)第一個函數(shù)f(x)=x,f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=2,…………xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3f(-2)=-2,第二個函數(shù)f(1)=1,f(-1)=-1,f(-x)=-f(x).合作探究

定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.數(shù)學建構

例1:

如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象的一部分,根據(jù)下列條件,畫出函數(shù)的另一部分.

(1)

函數(shù)是奇函數(shù);(2)

函數(shù)是偶函數(shù).xyO解:(1)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.xyO(2)偶函數(shù)的圖象關于y

軸對稱.xyO數(shù)學應用例2.

判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)

f(x)=x4;(2)

f(x)=x5;(3)

(4)解:(1)∵f(x)=x4,其定義域為R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),∴f(x)=x4是偶函數(shù).(2)∵f(x)=x5,其定義域為R,f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),∴f(x)=x5是奇函數(shù).則對任意x

都有則R

內任意x

都有(3)=-f(x),定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),是奇函數(shù).(4)=f(x),定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函數(shù).合作探究變.

判斷下列函數(shù)的奇偶性:

解:(1)其定義域為[1,+∞)

,f(x)是非奇非偶函數(shù).(2)定義域為{-1，1}既奇也偶函數(shù).，

f(x)=0

結論:四種結果

奇函數(shù)

偶函數(shù)

既奇也偶

非奇非偶課堂達標例3.

若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實數(shù)a=

.解:∵f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4)解得a=4.4課堂達標總結:

(1)反比例函數(shù)一定是奇函數(shù).(2)正比例函數(shù)一定是奇函數(shù).(3)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c為偶函數(shù),則實數(shù)b=

.(4)一次函數(shù)f(x)=ax+b為奇函數(shù)，則實數(shù)b=

.00練.

若函數(shù)為奇函數(shù),求a

的值.解:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),得(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),解得數(shù)學應用例4.

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=

x(1+x).畫出函數(shù)f(x)的圖象,并求出函數(shù)的解析式.解:則

x<0的部份如圖.f(x)=

x(1+x)=x2+x是二次函數(shù),x≥0的部份如圖.奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,xyO解:∵f(x)是奇函數(shù),當x>0時,f(x)=

x(1+x),當x<0時,

-x>0,則f(-x)=

-x(1-x),∴f(-x)=-f(x),則-f(x)=

-x(1-x),得f(x)=

x(1-x).即課堂小結練.

設f(x)是定義在R

上的奇函數(shù),當x≤0時,f(x)=2x2-x,則f(1)等于()(A)-3(B)-1(C)1(D)3解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3.A課堂達標練.已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=

.解:g(-1)=∵y=f(x)+x2是奇函數(shù),∴f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12]=-2,則f(-1)=-3,∴g(-1)=-3+2=-1.-1由

g(x)=f(x)+2得f(-1)+2,課堂達標例5.

已知f(x)是定義在R

上的奇函數(shù),且在[1,+∞)上是增函數(shù),則下列結論中:①f(x)在(-∞,1]上是增函數(shù);②f(x)在(-∞,-1]上是增函數(shù);③f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù);④f(0)=0.其中一定成立的有

.分析:f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),如圖:xyO1又是在R

上的奇函數(shù),圖象關于原點對稱,如圖:①不一定,如圖:②肯定對.③不對.④是對的.②④課堂達標

練.

已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),在[0,+∞)上是減函數(shù),且f(0)=0,則函數(shù)f(x)有最

值是

.解:圖象法,函數(shù)在[0,+∞)上是減函數(shù),其f(0)=0,如圖:xyO1又在R

上是偶函數(shù),圖象關于y

軸對稱,如圖:由圖可知函數(shù)有最大值0.大0課堂小結例6.

已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,則滿足的x

的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)xyO函數(shù)f(x)的圖象如圖:解:函數(shù)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)解得A課堂小結變.

已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,則滿足的x

的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)xyO函數(shù)f(x)的圖象如圖:解:函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù)得2x-1≥0,解得函數(shù)在(-∞,0]上是減函數(shù)得2x-1≤0,∴x

的范圍為A

解得課堂達標