河北省邯鄲市十校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期一調(diào)試題數(shù)學(xué)

2023~2024學(xué)年第二學(xué)期一調(diào)考試高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第三冊(cè)第六章．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.甲，乙，丙3位同學(xué)到4個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)，每人限去一個(gè)社區(qū)，不同方法種數(shù)是（）A.24 B.36 C.64 D.812.已知函數(shù)，則從1到平均變化率為（）A.2 B. C. D.3.某學(xué)校廣播站有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個(gè)，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A.108種 B.90種 C.72種 D.36種4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A. B. C. D.5.的展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.36.若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.300 B.360 C.390 D.4208.已知?jiǎng)t，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.A，，，，五個(gè)人并排站在一起，下列說法正確的是（）A.若A，不相鄰，有72種排法 B.若A，不相鄰，有48種排法C.若A，相鄰，有48種排法 D.若A，相鄰，有24種排法10.過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程可能為（）A. B.C. D.11.已知，則（）A.B.C.D12.已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.無最小值 B.無最小值C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)舉辦，吉祥物“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國(guó)．現(xiàn)有甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員要與“琮蹤”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這3個(gè)吉祥物相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）14.在的展開式中，的系數(shù)為______________.15.函數(shù)的極大值是______．16.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.（1）求值：;（2）解方程：．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；19.為慶祝3.8婦女節(jié)，某中學(xué)準(zhǔn)備舉行教職工排球比賽，賽制要求每個(gè)年級(jí)派出十名老師分為兩支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍五人，并要求每支隊(duì)伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級(jí)共有4名男老師，6名女老師報(bào)名參加比賽．（1）高二年級(jí)一共有多少不同的分組方案？（2）若甲，乙兩位男老師和丙，丁，戊三位女老師組成的隊(duì)伍順利奪得冠軍，在領(lǐng)獎(jiǎng)合影時(shí)從左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？20.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；（2）若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．21.在的展開式中，（1）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).（3）求系數(shù)最大的項(xiàng).22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．2023~2024學(xué)年第二學(xué)期一調(diào)考試高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第三冊(cè)第六章．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.甲，乙，丙3位同學(xué)到4個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)，每人限去一個(gè)社區(qū)，不同方法的種數(shù)是（）A.24 B.36 C.64 D.81【答案】C【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)判斷．【詳解】不同方法的種數(shù)是：．故選：C．2.已知函數(shù)，則從1到的平均變化率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解即可.【詳解】函數(shù)從1到的平均變化率為.故選：B3.某學(xué)校廣播站有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個(gè)，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A.108種 B.90種 C.72種 D.36種【答案】A【解析】【分析】先確定第一天和第二天播放的節(jié)目，然后再確定節(jié)目的播放順序，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】第一步，從無限制條件的3個(gè)節(jié)目中選取1個(gè)，同學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目在第一天播出，共有種；第二步，某談話節(jié)目和其他剩余的2個(gè)節(jié)目在第二天播出，有種播出方案，綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.故選：A4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，列出方程組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，所以，解?故選：C.5.的展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為整數(shù)，求出有理項(xiàng)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)x的指數(shù)是整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，∴當(dāng)或時(shí)，為有理項(xiàng)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，考查了有理項(xiàng)的概念，屬于基礎(chǔ)題．6.若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由恒成立，分離常數(shù)，利用基本不等式求得的取值范圍.【詳解】依題意，即對(duì)任意恒成立，即恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以.故選：D7.有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.300 B.360 C.390 D.420【答案】C【解析】【分析】由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理及平均分組問題求解.【詳解】(1)當(dāng)5人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為;(2)當(dāng)5人中有四人被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；(3)當(dāng)5人全部被錄取，則不同的錄取情況數(shù)為；綜上不同的錄取情況數(shù)共有.故選：C8.已知?jiǎng)t，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過換元法、賦值法比較的大小關(guān)系;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過換元法、賦值法比較的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．由于，則，則，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．當(dāng)時(shí)，，所以，所以．構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．當(dāng)時(shí)，，則，所以．綜上得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)首先把要比較的值變形為含有一個(gè)共同的數(shù)值，將這個(gè)數(shù)值換成變量就成了函數(shù)的形式，如在本題中，化為，中都有，即比較函數(shù)與大小即可得到的大小關(guān)系，進(jìn)一步變形為比較與大小關(guān)系，從而構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.A，，，，五個(gè)人并排站在一起，下列說法正確的是（）A.若A，不相鄰，有72種排法 B.若A，不相鄰，有48種排法C.若A，相鄰，有48種排法 D.若A，相鄰，有24種排法【答案】AC【解析】【分析】求得A，不相鄰時(shí)的排法總數(shù)判斷選項(xiàng)AB；求得A，相鄰時(shí)的排法總數(shù)判斷選項(xiàng)CD.【詳解】A，，，，五個(gè)人并排站在一起，若A，不相鄰，則先讓，，自由排列，再讓A，去插空即可，則方法總數(shù)為（種）.則選項(xiàng)A判斷正確；選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；A，，，，五個(gè)人并排站在一起，若A，相鄰，則將A，“捆綁”在一起，視為一個(gè)整體，與，，自由排列即可，則方法總數(shù)為（種）.則選項(xiàng)C判斷正確；選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.故選：AC10.過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，整理得，解得或，即切線方程為或．故選：BC．11.已知，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)求法判斷A；分別令和，兩式相加求解可判、C；令，得，可求，可判斷D【詳解】，故A錯(cuò)誤；在中，令，可得①，故B正確；在中，令，可得②，由，可得，故C正確；令，得，可得，故D正確．故選：BCD．12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.無最小值 B.無最小值C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，求得，得到在定義域上為增函數(shù)，可得判定A正確；根據(jù)存在，使得，得出函數(shù)的單調(diào)性，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)上為單調(diào)遞增函數(shù)，得到函數(shù)上為凹函數(shù)，可判定C正確，D錯(cuò)誤．【詳解】由函數(shù)，可得，則，所以在定義域上為增函數(shù)，所以函數(shù)無最小值，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)?，故一定存在，使得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，所以B錯(cuò)誤；又由在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得在上為凹函數(shù)，可得，即，所以C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的舉辦，吉祥物“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國(guó)．現(xiàn)有甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員要與“琮蹤”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這3個(gè)吉祥物相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先將甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個(gè)吉祥物插入3位運(yùn)動(dòng)員形成的一個(gè)空位中，結(jié)合排列數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】先將甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個(gè)吉祥物插入3位運(yùn)動(dòng)員形成的一個(gè)空位中，所以不同的排隊(duì)方法種數(shù)為（種）．故答案為：.14.在展開式中，的系數(shù)為______________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理分別得到與的展開通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)公式為，的展開通項(xiàng)公式為，所以取，得的系數(shù)為.故答案為：.15.函數(shù)的極大值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值即可.【詳解】由，則，令，解得或，則當(dāng)，時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，.故答案為：16.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求出的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)直線為曲線的一條切線，求出的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.（1）求值：;（2）解方程：．【答案】（1）165；（2）【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算可得原式等于；（2）由排列數(shù)計(jì)算公式可得，可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，原式；?）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，同時(shí)，解得.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】(1)代入，求出即可求得切線方程；(2)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)分類討論，進(jìn)而求得單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，曲線在處的切線方程為.【小問2詳解】，①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，則(舍)或，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，令，則或(舍)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增19.為慶祝3.8婦女節(jié)，某中學(xué)準(zhǔn)備舉行教職工排球比賽，賽制要求每個(gè)年級(jí)派出十名老師分為兩支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍五人，并要求每支隊(duì)伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級(jí)共有4名男老師，6名女老師報(bào)名參加比賽．（1）高二年級(jí)一共有多少不同的分組方案？（2）若甲，乙兩位男老師和丙，丁，戊三位女老師組成的隊(duì)伍順利奪得冠軍，在領(lǐng)獎(jiǎng)合影時(shí)從左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？【答案】（1）120種；（2）36種.【解析】【分析】（1）利用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合平均分組問題列式計(jì)算.（2）按相鄰問題及有位置限制問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.【小問1詳解】?jī)山M都是3女2男的情況有（種）：一組是1男4女，另一組是3男2女情況有（種），所以總情況數(shù)為（種），故一共有120種不同的分組方案.【小問2詳解】視丁和戊為一個(gè)整體，與甲、乙任取1個(gè)站最右端，有種，再排余下兩個(gè)及丙，有種，而丁和戊排列有種，所以不同排列方式的種數(shù)是.20.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；（2）若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，對(duì)任意的恒成立，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解；（2）令，分析可知，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：由已知可得，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意的恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，解得，故實(shí)數(shù)的最小值為.【小問2詳解】解：，令，可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，令，則函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，令，解得或，令，解得，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為，極小值為，的圖象如下所示：

由圖可