《復變函數(shù)與積分變換》(華中科技大學第二版)高等教育出版社課件-第三章

一、復積分則稱為復變函數(shù)1、設復平面上的連續(xù)曲線段C

的方程為，令為起點，為終點，即在C上的曲線積分；若C是封閉曲線那么稱圍線積分。(方向默認是逆時針)若在C上連續(xù)，2、性質(zhì)3、曲線積分的計算設C

的方程為則解例：求，其中C從i到2+i的直線段。C

的方程為：解例：求，其中C為：(1)從0到1+i的直線段；(2)從0到1的直線段再從1到1+i的直線段(2)將C

分成兩段和練習1、求，其中C為：(1)從-1到1

的直線段；(2)從-1到1的上半圓周。2、求，其中C為：3、證明其中C為圓心為a的圓。答案1、2、二、柯西積分定理(圍線積分定理)解析且連續(xù)到C，那么1、定理當C是閉曲線時，若在C內(nèi)也就是說若在C內(nèi)有奇點，則一般情況下。如但由有得故與路徑無關(guān)2、推論若在區(qū)域D內(nèi)解析(可微)，則對于D內(nèi)的任一條從到連續(xù)曲線段C，有與路徑無關(guān)；即其結(jié)果只依賴于起點和終點。于是若，則此時的曲線積分變成定積分。解例：求，其中C從i到2+i的直線段。C

的方程為：另解在不含原點的區(qū)域解析，故三、柯西積分公式的區(qū)域解析，且連續(xù)到邊界C，那么定理1當C是閉曲線時，若在C內(nèi)此公式的用法：顯然在C內(nèi)有奇點a，此時可利用上面公式求得圍線積分的值。例：求解被積函數(shù)有三個奇點：其中在內(nèi)。

例：求解被積函數(shù)有四個奇點：其中在內(nèi)。

練習1、求2、求3、設求答案1、3、2、定理2對于柯西積分公式還可以兩邊同時對t求n階導數(shù):這時在C內(nèi)有奇點a，此時可利用上面公式求得圍線積分的值。此公式的用法：例：求解例：求解練習1、求2、求其中C為圓：答案1、2、于是有定理3若在C內(nèi)有n個奇點，則可以每個奇點為圓心做n個互不相交的圓例：求解被積函數(shù)有兩個奇點：全部都在內(nèi)。

原式例：求解被積函數(shù)有兩個奇點：全部都在內(nèi)。

原式練習1、求2、求其中C為圓：3、求答案1、2、3、四、調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)是解析函數(shù)。1、若二元實函數(shù)滿足則稱為調(diào)和函數(shù)。2、定理若是調(diào)和函數(shù)，則必存在另一調(diào)和函數(shù)，使得此時稱為的共軛調(diào)和函數(shù)。是解析函數(shù)，求法：3、若已知調(diào)和函數(shù)，如何求其共軛調(diào)和函數(shù)？所以必滿足C-R條件，即：因為通過上面兩個微分方程便可求出。解例證明是調(diào)和函數(shù)，并求共軛調(diào)和函數(shù)和。因為，故調(diào)和。由C-R條件有得并求共軛調(diào)和函數(shù)和。練習證是調(diào)和函數(shù)，解由C-R條件有得調(diào)和，并求共軛調(diào)和函數(shù)；練習1、證明