（人教A版）2024年高中數學高一暑假講義+練習09《函數的概念及其表示》(原卷版)

.1函數的概念及其表示3.1.1函數的概念學習目標核心素養(yǎng)1.進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型．能用集合與對應的語言刻畫出函數，體會對應關系在刻畫數學概念中的作用．(重點、難點)2．了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．(重點)3．能夠正確使用區(qū)間表示數集．(易混點)1.通過學習函數的概念，培養(yǎng)數學抽象素養(yǎng)．2．借助函數定義域的求解，培養(yǎng)數學運算素養(yǎng)．3．借助f(x)與f(a)的關系，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1．函數的概念定義一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數三要素對應關系y＝f(x)，x∈A定義域自變量x的取值范圍值域與x的值相對應的y的函數值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人認為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對嗎？(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯系？提示：(1)這種看法不對．符號y＝f(x)是“y是x的函數”的數學表示，應理解為x是自變量，它是關系所施加的對象；f是對應關系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數，當x允許取某一具體值時，相應的y值為與該自變量值對應的函數值．y＝f(x)僅僅是函數符號，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(x)，G(x)等來表示函數．(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯系：f(a)表示當x＝a時，函數f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值，如一次函數f(x)＝3x＋4，當x＝8時，f(8)＝3×8＋4＝28是一個常數．2．區(qū)間及有關概念(1)一般區(qū)間的表示設a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b](2)特殊區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)區(qū)間是數集的另一種表示方法，那么任何數集都能用區(qū)間表示嗎？(2)“∞”是數嗎？如何正確使用“∞”？提示：(1)不是任何數集都能用區(qū)間表示，如集合{0}就不能用區(qū)間表示．(2)“∞”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數．以“－∞”或“＋∞”作為區(qū)間一端時，這一端必須是小括號．1．函數y＝eq\f(1,\r(x＋1))的定義域是()A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－1，＋∞) D．(－1,0)2．若f(x)＝eq\f(1,1－x2)，則f(3)＝________.3．用區(qū)間表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________；(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________．函數的概念【例1】(1)下列各組函數是同一函數的是()①f(x)＝eq\r(－2x3)與g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝x與g(x)＝eq\r(x2)；③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1.A．①② B．①③C．③④ D．①④(2)判斷下列對應是不是從集合A到集合B的函數．①A＝N，B＝N*，對應法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應法則f：對A中元素求面積與B中元素對應．1．判斷對應關系是否為函數的2個條件(1)A，B必須是非空實數集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應．對應關系是“一對一”或“多對一”的是函數關系，“一對多”的不是函數關系．2．判斷函數相等的方法(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；(2)若定義域相同，再化簡函數的解析式，看對應關系是否相同．1．下列四個圖象中，不是函數圖象的是()ABCD2．下列各組函數中是相等函數的是()A．y＝x＋1與y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1與s＝t2＋1C．y＝2x與y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2與y＝x2求函數值【例2】設f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq\f(1,x＋2)，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．函數求值的方法1已知fx的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得fa的值.2求fga的值應遵循由里往外的原則.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．求函數的定義域[探究問題]1．已知函數的解析式，求其定義域時，能否可以對其先化簡再求定義域？提示：不可以．如f(x)＝eq\f(x＋1,x2－1).倘若先化簡，則f(x)＝eq\f(1,x－1)，從而定義域與原函數不等價．2．若函數y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍？函數y＝f(x)的定義域是什么？提示：[1,2]是自變量x的取值范圍．函數y＝f(x)的定義域是x＋1的范圍[2,3]．【例3】求下列函數的定義域：(1)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)；(2)f(x)＝(x－1)0＋eq\r(\f(2,x＋1))；(3)f(x)＝eq\r(3－x)·eq\r(x－1)；(4)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x).(變結論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數y＝f(x＋1)的定義域．求函數定義域的常用方法1若fx是分式，則應考慮使分母不為零.2若fx是偶次根式，則被開方數大于或等于零.3若fx是指數冪，則函數的定義域是使冪運算有意義的實數集合.4若fx是由幾個式子構成的，則函數的定義域是幾個部分定義域的交集.5若fx是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問題有意義.1．對于用關系式表示的函數．如果沒有給出定義域，那么就認為函數的定義域是指使函數表達式有意義的自變量取值的集合．這也是求某函數定義域的依據．2．函數的定義主要包括定義域和定義域到值域的對應法則，因此，判定兩個函數是否相同時，就看定義域和對應法則是否完全一致，完全一致的兩個函數才算相同．3．函數符號y＝f(x)是學習的難點，它是抽象符號之一．首先明確符號“y＝f(x)”為y是x的函數，它僅僅是函數符號，不是表示“y等于f與x的乘積”.1．思考辨析(1)區(qū)間表示數集，數集一定能用區(qū)間表示．()(2)數集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2，＋∞]．()(3)函數的定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了．()(4)函數值域中每一個數在定義域中一定只有一個數與之對應．()(5)函數的定義域和值域一定是無限集合．()2．下列函數中，與函數y＝x相等的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．y＝eq\r(x2)C．y＝|x| D．y＝eq\r(3,x3)3．將函數y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定義域用區(qū)間表示為________．4．已知函數f(x)＝x＋eq\f(1,x)，(1)求f(x)的定義域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)當a≠－1時，求f(a＋1)的值．3.1.2函數的表示法第1課時函數的表示法學習目標核心素養(yǎng)1.掌握函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．(重點)2．會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．(難點)1.通過函數表示的圖象法培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過函數解析式的求法培養(yǎng)運算素養(yǎng).函數的表示法思考：任何一個函數都可以用解析法、列表法、圖表法三種形式表示嗎？提示：不一定．并不是所有的函數都可以用解析式表示，不僅如此，圖象法也不適用于所有函數，如D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈Q，,1，x∈?RQ.))列表法雖在理論上適用于所有函數，但對于自變量有無數個取值的情況，列表法只能表示函數的一個概況或片段．1．已知函數f(x)由下表給出，則f(3)等于()x1≤x<222<x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在2．二次函數的圖象的頂點為(0，－1)，對稱軸為y軸，則二次函數的解析式可以為()A．y＝－eq\f(1,4)x2＋1 B．y＝eq\f(1,4)x2－1C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋163．已知函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則其定義域是______．函數的三種表示方法【例1】某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數x與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．列表法、圖象法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數值的對應關系，同一個函數可以用不同的方法表示．在用三種方法表示函數時要注意：①解析法必須注明函數的定義域；②列表法中選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征；③圖象法中要注意是否連線．1．(1)某學生離家去學校，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則較符合該學生走法的是()ABCD(2)由下表給出函數y＝f(x)，則f(f(1))等于()x12345y45321A.1B．2C．4D．5圖象的畫法及應用【例2】作出下列函數的圖象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．描點法作函數圖象的三個關注點1畫函數圖象時首先關注函數的定義域，即在定義域內作圖.2圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象.3要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等.要分清這些關鍵點是實心點還是空心圈.提醒：函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等.2．畫出下列函數的圖象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．函數解析式的求法[探究問題]已知f(x)的解析式，我們可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我們可以用換元法或配湊法求f(x)．【例3】(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，則f(x)＝________；(2)已知函數f(x)是一次函數，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)＝________；(3)已知函數f(x)對于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，則f(x)＝________.1．(變條件)把本例(2)的題干改為“已知函數f(x)是二次函數，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．2．(變條件)把本例(3)的題干改為“2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．求函數解析式的四種常用方法1待定系數法：若已知fx的解析式的類型，設出它的一般形式，根據特殊值確定相關的系數即可.2換元法：設t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可.3配湊法：對fgx的解析式進行配湊變形，使它能用gx表示出來，再用x代替兩邊所有的“gx”即可.4方程組法或消元法：當同一個對應關系中的兩個之間有互為相反數或互為倒數關系時，可構造方程組求解.提醒：應用換元法求函數解析式時，務必保證函數在換元前后的等價性.1．函數有三種常用的表示方法，可以適時的選擇，以最佳的方式表示函數．2．作函數圖象必須要讓作出的圖象反映出圖象的伸展方向，與x軸、y軸有無交點，圖象有無對稱性，并標明特殊點．3．求函數解析式的主要方法有：代入法、待定系數法、換元法、解方程組法(消元法)，注意有的函數要注明定義域.1．思考辨析(1)任何一個函數都可以用解析法表示．()(2)函數的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．()2．已知函數f(x＋1)＝3x＋2，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x＋2D．f(x)＝3x＋43．已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出．x456f(x)131x123g(x)454則g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.4．已知函數f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)畫出f(x)圖象的簡圖；(2)根據圖象寫出f(x)的值域．第2課時分段函數學習目標核心素養(yǎng)1.了解分段函數的概念，會求分段函數的函數值，能畫出分段函數的圖象．(重點，難點)2．能在實際問題中列出分段函數，并能解決有關問題．(重點、難點)3．通過本節(jié)內容的學習，使學生了解分段函數的含義，提高學生數學建模、數學運算的能力．(重點)1.通過分段函數求值問題培養(yǎng)數學運算素養(yǎng)．2．利用分段函數解決實際問題，培養(yǎng)數學建模素養(yǎng)．分段函數如果函數y＝f(x)，x∈A，根據自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應關系，則稱這樣的函數為分段函數．思考：分段函數是一個函數還是幾個函數？提示：分段函數是一個函數，而不是幾個函數．1．下列給出的式子是分段函數的是()①f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))②f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))A．①② B．①④C．②④ D．③④2．函數y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))的值域是________．3．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))則f(f(4))＝________.分段函數的求值問題【例1】已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值；(2)若f(a)＝3，求實數a的值．1．分段函數求函數值的方法：(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當出現f(f(x0))的形式時，應從內到外依次求值．2．已知函數值求字母取值的步驟：(1)先對字母的取值范圍分類討論．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通過解方程求出字母的值．(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內．提醒：求某條件下自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗．1．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))則f(7)＝________.分段函數的解析式【例2】如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm，當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關于x的函數解析式，并畫出大致圖象．1．當目標在不同區(qū)間有不同的計算表達方式時，往往需要用分段函數模型來表示兩變量間的對應關系，而分段函數圖象也需要分段畫．2．通過本例讓學生初步嘗試用分段函數解決實際問題的意識，培養(yǎng)學生的建模素養(yǎng)．2．某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(含5公里)，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按照5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象．分段函數的圖象及應用[探究問題]1．函數f(x)＝|x－2|能用分段函數的形式表示嗎？能否作出其圖象？提示：能．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2.))函數f(x)的圖象如圖所示．2．結合探究點1，你能說一下畫含有絕對值的函數圖象的方法嗎？提示：含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函數圖象．【例3】已知函數f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數的形式表示f(x)；(2)畫出f(x)的圖象；(3)寫出函數f(x)的值域．把本例條件改為“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3個問題．分段函數圖象的畫法作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.1．分段函數是一個函數，而不是幾個函數．2．分段函數求值要先找準自變量所在的區(qū)間；分段函數的定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集．3．分段函數的圖象分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標系中，根據分段函數每段的定義區(qū)間和表達式依次畫出圖象，要注意確定每段圖象的端點是空心點還是實心點，各段函數圖象組合到一起就可得到整個分段函數的圖象．1．思考辨析(1)分段函數由幾個函數構成．()(2)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函數．()2．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))則f(f(3))＝()A.eq\f(1,5)B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(13,9)3．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則其解析式為________．4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)畫出f(x)的圖象；(2)求f(x)的定義域和值域．A級：“四基”鞏固訓練一、選擇題1．已知函數f(x)由下表給出，則滿足f[f(x)]>f(3)的x的值為()A．1或3B．1或2C．2D．32．星期天，小明從家出發(fā)，出去散步，圖中描述了他散步過程中離家的距離s(m)與散步所用的時間t(min)之間的函數關系，根據圖象，下面的描述符合小明散步情況的是()A．從家出發(fā)，到一個公共閱報欄，看了一會兒報，就回家了B．從家出發(fā)，到一個公共閱報欄，看了一會兒報后，繼續(xù)向前走了一段，然后回家了C．從家出發(fā)，散了一會兒步(沒有停留)，然后回家了D．從家出發(fā)，散了一會兒步，就找同學去了，18min后才回家3．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))則feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝()A.eq\f(15,16)B．4C．3D．－34．已知函數f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，則f(2)等于()A．－eq\f(16,3)B．－eq\f(20,3)C.eq\f(20,3)D.eq\f(16,3)5．定義兩種運算：