第8章 冪的運(yùn)算（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊章節(jié)知識講練1.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；2.了解圖形平移的概念及性質(zhì)；3.會用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進(jìn)行計算．掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義．掌握科學(xué)記數(shù)法．知識點(diǎn)01：同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.【易錯點(diǎn)剖析】（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.知識點(diǎn)02：冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.【易錯點(diǎn)剖析】（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.知識點(diǎn)03：積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.【易錯點(diǎn)剖析】（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：知識點(diǎn)04：同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）【易錯點(diǎn)剖析】（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是單項式或多項式.知識點(diǎn)05：零指數(shù)冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（≠0）【易錯點(diǎn)剖析】底數(shù)不能為0，無意義.任何一個常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項也叫0次單項式.知識點(diǎn)06：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的（為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)，即（≠0，是正整數(shù)）.引進(jìn)了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴(kuò)大到了全體整數(shù)，以前所學(xué)的冪的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立.（、為整數(shù)，）；（為整數(shù)，，）（、為整數(shù)，）.【易錯點(diǎn)剖析】是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.知識點(diǎn)07：科學(xué)記數(shù)法的一般形式（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式，其中是正整數(shù)，（2）利用10的負(fù)整數(shù)次冪表示一些絕對值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.檢測時間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.53一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023秋?碑林區(qū)校級期末）下列計算，正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a(chǎn)6÷（﹣a）3＝﹣a2解：A、a2?a3＝a5，原計算錯誤，不符合題意；B、a2與a3不屬于同類項，不能合并，不符合題意；C、（﹣a2）3＝﹣a6，正確，符合題意；D、a6÷（﹣a）3＝﹣a3，原計算錯誤，不符合題意．故選：C．2．（2分）（2023秋?高州市期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3+a3＝a6 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（a2）3＝a6解：∵a3+a3＝2a3，∴選項A不符合題意；∵a6÷a2＝a4，∴選項B不符合題意；∵a2?a3＝a5，∴選項C不符合題意；∵（a2）3＝a6，∴選項D符合題意，故選：D．3．（2分）（2023?肥西縣二模）世界上最小的開花結(jié)果植物是澳大利亞的出水浮萍，這種植物的果實(shí)像一個微小的無花果，質(zhì)量只有0.000000076克，將數(shù)0.000000076用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7.6×10﹣8 B．7.6×10﹣9 C．7.6×108 D．7.6×109解：0.000000076用科學(xué)記數(shù)法表示為7.6×10﹣8．故選：A．4．（2分）（2023秋?東莞市期末）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)9÷a3＝a6 B．a(chǎn)3?a3＝a9 C．（a3）3＝a6 D．（ab3）2＝ab6解：A．同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，a9÷a3＝a6，故A正確；B．同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，a3?a3＝a6，故B錯誤；C．積的乘方等于乘方的積，（a3）3＝a9，故C錯誤；D．積的乘方等于乘方的積，（ab3）2＝a2b6，故D錯誤；故選：A．5．（2分）（2023春?扶風(fēng)縣期末）計算a2?a的正確結(jié)果是（）A．2a B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)3 D．2a2解：a2?a＝a3．故選：C．6．（2分）（2023春?禪城區(qū)校級期中）若一個正方體的棱長為2×10﹣2米，則這個正方體的體積為（）A．6×10﹣6立方米 B．8×10﹣6立方米 C．2×10﹣6立方米 D．8×106立方米解：正方體的體積＝（2×10﹣2）3，＝8×（10﹣2）3，＝8×10﹣6，故選：B．7．（2分）（2023秋?雷州市期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a3）2÷a2＝a4 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（2a）3＝6a3 D．a(chǎn)3+a3＝a6解：A、（a3）2÷a2＝a6÷a2＝a4，故原選項計算正確，符合題意；B、a2?a3＝a5，故原選項計算錯誤，不符合題意；C、（2a）3＝8a3，故原選項計算錯誤，不符合題意；D、a3+a3＝2a3，故原選項計算錯誤，不符合題意；故選：A．8．（2分）（2023春?六盤水期中）已知2a＝3，，則（a+3b+1）3的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2解：∵，∴8b＝（23）b＝23b＝，∵2a＝3，∴2a+3b＝2a?23b＝×3＝＝2﹣1，∴a+3b＝﹣1，∴原式＝（﹣1+1）3＝0．故選：A．9．（2分）（2023春?恩陽區(qū)期中）清代詩人袁枚創(chuàng)作了一首詩《苔》：“白日不到處，青春恰自來．苔花如米小，也學(xué)牡丹開．”歌頌了苔在惡劣環(huán)境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直徑線約為0.0000084米，用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.84×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣8解：0.0000084米＝8.4×10﹣6米．故選：B．10．（2分）（2022秋?霍林郭勒市校級期末）下列計算正確的是（）A．m3?m3＝2m3 B．（m5）2＝m7 C．m2÷m＝m D．（m2n）3＝m6n解：m3?m3＝m6，因此A選項不符合題意，（m5）2＝m10，因此B選項不符合題意，m2÷m＝m，因此C選項符合題意，（m2n）3＝m6n3，因此D選項不符合題意，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023秋?衡南縣期末）若9a?27b÷81c＝9，則2a+3b﹣4c的值為2．解：9a?27b÷81c＝9，32a?33b÷34c＝32，32a+3b﹣4c＝32，∴2a+3b﹣4c＝2，故答案為：2．12．（2分）（2023秋?久治縣期末）已知3a＝5，而（3b﹣4）0無意義，則3a+b＝20．解：∵（3b﹣4）0無意義，∴3b﹣4＝0，即：3b＝4，∴3a+b＝3a?3b＝5×4＝20，故答案為：20．13．（2分）（2023秋?雁峰區(qū)校級期末）若3x+4y﹣3＝0，則27x?81y＝27．解：∵3x+4y﹣3＝0，∴3x+4y＝3，∴27x?81y＝33x?34y＝33x+4y＝33＝27，故答案為：27．14．（2分）（2023秋?梨樹縣期末）遺傳物質(zhì)脫氧核糖核酸（DNA）的分子直徑為0.00000023cm，用科學(xué)記數(shù)法表示0.00000023cm為2.3×10﹣7cm．解：0.00000023cm＝2.3×10﹣7cm．故答案為：2.3×10﹣7．15．（2分）（2023秋?江漢區(qū)期末）計算：（﹣0.125）99×8100＝﹣8；＝．解：（﹣0.125）99×8100＝（﹣0.125）99×899×8＝（﹣0.125×8）99×8＝（﹣1）99×8＝﹣1×8＝﹣8；＝＝＝＝．故答案為：﹣8；．16．（2分）（2023秋?鹽池縣期末）計算：|﹣5|＝2．解：原式＝8﹣1﹣5＝2；故答案為：2．17．（2分）（2022秋?臨高縣期末）已知am＝2，bm＝5，則（a2b）m＝20．解：（a2b）m＝（am）2?bm＝4×5＝20．故答案為：20．18．（2分）（2022秋?青羊區(qū)校級期末）若9m＝4，27n＝2，則32m﹣3n＝2．解：32m﹣3n＝32m÷33n＝9m÷27n＝4÷2＝2，故答案為：2．19．（2分）（2023春?漢壽縣期中）已知2m＝3，2n＝6，則22m+n＝54．解：∵2m＝3，2n＝6，∴22m+n＝22m?2n＝（2m）2?2n＝32×6＝54．故答案為：54．20．（2分）（2023秋?蒸湘區(qū)校級月考）計算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝﹣0.125．解：﹣82005×（﹣0.125）2006，＝﹣82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125），＝（8×0.125）2005（﹣0.125），＝﹣0.125．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023秋?碑林區(qū)校級期末）計算題：（1）；（2）（﹣2x2）3+x2?x4﹣（﹣3x3）2；（3）解方程：．解：（1）＝﹣1÷25×（﹣）﹣0.2＝﹣1××（﹣）﹣0.2＝﹣＝﹣＝﹣；（2）（﹣2x2）3+x2?x4﹣（﹣3x3）2＝﹣8x6+x6﹣9x6＝（﹣8+1﹣9）x6＝﹣16x6；（3），去分母，得12+2（x﹣1）＝4x﹣（x+1），去括號，得12+2x﹣2＝4x﹣x﹣1，移項，得2x﹣4x+x＝﹣1﹣12+2，合并同類項，得﹣x＝﹣11，系數(shù)化成1，得x＝11．22．（6分）（2023春?南城縣期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，81）＝4，（4，1）＝0，＝﹣2；（2）小明在研究這種運(yùn)算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：（3n，4n）＝（3，4），小明給出了如下的理由：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．請你嘗試運(yùn)用這種方法判斷（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，請說明理由．解：（1）∵34＝81，∴（3，81）＝4；∵40＝1，∴（4，1）＝0；∵，∴．故答案為：4；0；﹣2．（2）成立，理由如下：設(shè)（3，7）＝x，（3，8）＝y(tǒng)，則3x＝7，3y＝8，∴3x+y＝3x?3y＝7×8＝56，∴（3，56）＝x+y，∴（3，7）+（3，8）＝（3，56）．23．（8分）（2023春?句容市月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整數(shù)），則m＝n，你能利用上面的結(jié)論解決下面的問題嗎？試試看，相信你一定行?。?）如果2×8x×16x＝222，求x的值；（2）如果，求x的值；（3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535＝p5q7．解：（1）∵2×8x×16x＝2×（23）x×（24）x＝21+3x+4x＝222，∴1+3x+4x＝22，解得：x＝3，（2）∵，∴，∵，∴x＝﹣2，（3）∵p＝57，q＝75，∴3535＝（357）5＝（57×77）5＝（57）5×（75）7，＝p5q7．故答案為：p5q7．24．（8分）（2023春?榕城區(qū)期末）定義一種冪的新運(yùn)算：xa⊕xb＝xab+xa+b，請利用這種運(yùn)算規(guī)則解決下列問題．（1）求22⊕23的值；（2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值；（3）若運(yùn)算9⊕32t的結(jié)果為810，則t的值是多少？解：（1）22⊕23＝22×3+22+3＝26+25＝64+32＝96；（2）當(dāng)2p＝3，2q＝5，3q＝6時，2p⊕2q＝2pq+2p+q＝（2p）q+2p×2q＝3q+3×5＝6+15＝21；（3）∵9⊕9t＝810，∴9t+91+t＝810，9t+9×9t＝810，10×9t＝810，9t＝81，9t＝92，∴t＝2．25．（8分）（2023春?競秀區(qū)期末）規(guī)定：如果兩數(shù)a，b滿足am＝b，則記為：（a，b）＝m．例如：因?yàn)?3＝8，所以記為：（2，8）＝3．我們還可以利用該規(guī)定來說明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立，理由如下：設(shè)（3，3）＝m，（3，5）＝n，則3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，則（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（6，36）＝2；（2）計算（7，3）+（7，10）＝（7，30）；（3）如果（3，m+17）＝4，（9，m）＝n，那么（3，64）＝2n；（4）若（3n，2n）＝s，（3，2）＝t，請說明s與t的關(guān)系．（n為正整數(shù)）解：（1）令（6，36）＝m，∴6m＝36，∴m＝2，故答案為：2；（2）令（7，3）＝m，（7，10）＝n，∴7m＝3，7n＝10，∴7m×7n＝7n+m＝30，∴（7，3）+（7，10）＝m+n，∴m+n＝（7，30），∴（7，3）+（7，10）＝（7，30），故答案為：（7，30）；（3）∵（3，m+17）＝4，∴34＝m+17，解得m＝64，∵（9，m）＝n，∴9n＝m，∴9n＝32n＝64，故答案為：64；（4）∵（3n，2n）＝s，∴3ns＝2n，∵（3，2）＝t，∴3t＝2，∴3tn＝2n，∴3ns＝3tn，∴s＝t．26．（8分）（2023春?興化市月考）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：①（4，16）＝2，（﹣3，81）＝4；②若（x，）＝﹣4，則x＝±2．（2）小明在研究這種運(yùn)算時發(fā)現(xiàn)一個特征：（3n，4n）＝（3，4），小明給出了如下的證明：設(shè)