3.5.2確定圓的條件

確定圓的條件（2012?六盤水）下列命題為真命題的是（）A．平面內(nèi)任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．五邊形的內(nèi)角和為540°C．如果a＞b，則ac2＞bc2D．如果兩條直線被第三條直線所截，那么所截得的同位角相等【考點(diǎn)】確定圓的條件；不等式的性質(zhì)；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；多邊形內(nèi)角與外角；命題與定理．【分析】利用確定圓的條件、不等式的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角與外角等知識(shí)進(jìn)行判斷找到正確的即可．【解答】解：A、平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本答案錯(cuò)誤；B、五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°=540°，故本選項(xiàng)正確；C、當(dāng)c=0時(shí)，原式不成立，故本答案錯(cuò)誤；D、兩直線平行，同位角相等，故本答案錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件、不等式的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角與外角等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，知識(shí)點(diǎn)比較多．（2010?河北）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M【考點(diǎn)】確定圓的條件．【專題】網(wǎng)格型．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)Q即為圓心．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是垂徑定理的推論的運(yùn)用．（2010?烏魯木齊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）【考點(diǎn)】確定圓的條件；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點(diǎn)O1即為圓心，且坐標(biāo)是（3，1）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的推論，能夠準(zhǔn)確確定一個(gè)圓的圓心．（2010?樂山）如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【考點(diǎn)】確定圓的條件；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】連接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：如圖所示，∵AW=1，WH=3，∴AH==；∵BQ=3，QH=1，∴BH==；∴AH=BH，同理，AD=BD，所以GH為線段AB的垂直平分線，易得EF為線段AC的垂直平分線，H為圓的兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)，則BH=AH=HC，H為圓心．于是則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（﹣1，1）．故選C．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等，找到圓的半徑，半徑的交點(diǎn)即為圓心．（2010?臺(tái)灣）如圖所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半徑為10的圓分別與AB、BC相切，則下列何種方法可找到此圓的圓心（）A．∠B的角平分線與AC的交點(diǎn)B．AB的中垂線與BC中垂線的交點(diǎn)C．∠B的角平分線與AB中垂線的交點(diǎn)D．∠B的角平分線與BC中垂線的交點(diǎn)【考點(diǎn)】確定圓的條件；圓的認(rèn)識(shí)．【專題】壓軸題．【分析】因?yàn)閳A分別與AB、BC相切，所以圓心到AB、CB的距離一定相等，都等于半徑．而到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，圓的半徑為10，所以圓心到AB的距離為10．因?yàn)锽C=20，所以BC的中垂線上的點(diǎn)到AB的距離為10，所以∠B的角平分線與BC的中垂線的交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：∵圓分別與AB、BC相切，∴圓心到AB、CB的距離都等于半徑，∵到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，∴圓心定在∠B的角平分線上，∵因?yàn)閳A的半徑為10，∴圓心到AB的距離為10，∵BC=20，又∵∠B=90°，∴BC的中垂線上的點(diǎn)到AB的距離為10，∴∠B的角平分線與BC的中垂線的交點(diǎn)即為圓心．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的確定，運(yùn)用角平分線的判定和平行線的性質(zhì)來解題，題目難度中等．（2008?雅安）下列敘述正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．對(duì)角線相等的四邊形為矩形C．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等【考點(diǎn)】確定圓的條件；平行四邊形的判定；矩形的判定；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)確定圓的條件，矩形的判定定理，圓心角定理以及三角形的中位線定理即可作出判斷．【解答】解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、E、F、G、H是四邊形ABCD的中點(diǎn)，連接AC，∵E、H是AD、CD的中點(diǎn)，∴EH∥AC，EH=AC，同理FG∥AC，F(xiàn)G=AC，∴EH∥FG，EF=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．故順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，是正確的．故選項(xiàng)正確；D、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，矩形的判定定理，圓心角定理以及三角形的中位線定理，正確掌握定理是關(guān)鍵．（2007?上海）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（）A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊【考點(diǎn)】確定圓的條件．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大?。窘獯稹拷猓旱冖趬K出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，就交于了圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．（2003?岳陽）下列命題是真命題的是（）A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形B．兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓D．若a＞b，c＞0，則ac＞bc【考點(diǎn)】確定圓的條件；不等式的性質(zhì)；全等三角形的判定；平行四邊形的判定．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理，三角形全等的判定方法，確定圓的條件以及不等式的性質(zhì)即可解決．【解答】解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形有可能是等腰梯形，故原命題錯(cuò)誤；B、符合SSA的兩個(gè)三角形不一定全等，故命題錯(cuò)誤；C、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤；D、若a＞b，c＞0，則ac＞bc，故正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了各個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，應(yīng)在做題過程中熟練掌握．（2002?荊州）下列說法不正確的是（）A．只有當(dāng)x=1時(shí)，分式的值才為零B．與2是同類二次根式C．等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高重合D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓【考點(diǎn)】確定圓的條件；分式的值為零的條件；同類二次根式；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)分式值是0的條件，二次根式的化簡，三線合一定理，確定圓的條件即可解答．【解答】解：A、x2﹣1=0且x+1≠00，解得：x=1，故正確；B、=3，2=，故正確；C、根據(jù)三線合一定理可得．故正確；D、因?yàn)椴辉谕恢本€的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故D錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合性較強(qiáng)，考查了分式、同類二次根式、等腰三角形“三線合一”、確定圓的條件等知識(shí)點(diǎn)．（2002?黃石）下列命題中，錯(cuò)誤的命題是（）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．等弧所對(duì)的圓周角相等C．經(jīng)過三點(diǎn)一定可作圓D．若一個(gè)梯形內(nèi)接于圓，則它是等腰梯形【考點(diǎn)】確定圓的條件；平行四邊形的判定；等腰梯形的判定；圓周角定理．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)判定和圓的有關(guān)知識(shí)分析．【解答】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，此選項(xiàng)正確；B、等弧所對(duì)的圓周角相等，此選項(xiàng)正確；C、經(jīng)過不在同一直線的三點(diǎn)一定可作圓，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、若一個(gè)梯形內(nèi)接于圓，則它是等腰梯形，此選項(xiàng)正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平行四邊形的圓的有關(guān)知識(shí)．學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)性的知識(shí)要牢固掌握．（2006?黃石）正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和它的中心共5個(gè)點(diǎn)能確定5個(gè)不同的圓．【考點(diǎn)】確定圓的條件．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓分析得出．【解答】解：正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和它的中心的點(diǎn)的距離相等，中心與一邊的兩個(gè)端點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，正方形有四條邊，因而有四個(gè)圓；而正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以中心為圓心的圓上，因而能確定5個(gè)不同的圓．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了確定圓的條件，不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．（2005?蘇州）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A，B，C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（2，0）．【考點(diǎn)】確定圓的條件；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】網(wǎng)格型．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，0）．故答案為：（2，0）【點(diǎn)評(píng)】能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置．（2005?江西）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在圖中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，6）．【考點(diǎn)】確定圓的條件；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】點(diǎn)P的坐標(biāo)是弦AB，CD的垂直平分線的交點(diǎn)．【解答】解：弦AB的垂直平分線是y=6，弦CD的垂直平分線是x=6，因而交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，6）．【點(diǎn)評(píng)】理解圓心是圓的垂直平分線的交點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵．（1999?武漢）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，說法是：正確的．【考點(diǎn)】確定圓的條件．【分析】根據(jù)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓判斷．【解答】解：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．正確．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是確定圓的條件．（2010?濟(jì)寧）如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，CD．（1）求證：BD=CD；（2）請(qǐng)判斷B，E，C三點(diǎn)是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上？并說明理由．【考點(diǎn)】確定圓的條件；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】證明題；探究型．【分析】（1）利用等弧對(duì)等弦即可證明．（2）利用等弧所對(duì)的圓周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代換得出∠DBE=∠DEB，從而證明DB=DE=DC，所以B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．【解答】（1）證明：∵AD為直徑，AD⊥BC，∴由垂徑定理得：∴根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得：BD=CD．（2）解：B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．（7分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等弧對(duì)等弦，及確定一個(gè)圓的條件．（2010?本溪）如圖①，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作正方形OABC，點(diǎn)D是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內(nèi)作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點(diǎn)N．如果定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形．（1）試找出圖1中的一個(gè)損矩形；（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；（3）隨著點(diǎn)D位置的變化，點(diǎn)N的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；（4）在圖②中，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)】確定圓的條件；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；新定義．【分析】（1）根據(jù)題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對(duì)角是直角的四邊形即可；（2）證明四邊形BADM四個(gè)頂點(diǎn)到BD的中點(diǎn)距離相等即可；（3）利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進(jìn)而得到OA=ON，那么就求得了點(diǎn)N的坐標(biāo)；（4）根據(jù)正方形的性質(zhì)及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．【解答】解：（1）從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形ADMB就是一個(gè)損矩形．∵點(diǎn)M是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四邊形ADMB就是一個(gè)損矩形．（2）取BD中點(diǎn)H，連接MH，AH．∵四邊形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴損矩形ABMD一定有外接圓．（3）∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四邊形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣1）．（4）延長AB交MG于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)MG=x，則四邊形APMQ為正方形，∴PM=AQ=x﹣1，∴OG=MQ=x﹣1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=x﹣2，∴MN2=2x2，ND2=（2x﹣2）2+12，MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2，∵四邊形DMGN為損矩形，∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2，∴2x2﹣7x+5=0，∴x=2.5或x=1（舍去），∴OD=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是理解損矩形的只有一組對(duì)角是直角的性質(zhì)，綜合考查了四點(diǎn)共圓的判定及勾股定理的應(yīng)用．（2009?荊門）如圖，在?ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求證：A、E、C、F四點(diǎn)共圓；（2）設(shè)線段BD與（1）中的圓交于M、N．求證：BM=ND．【考點(diǎn)】確定圓的條件；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）只要證明A、E、C、F四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四點(diǎn)共圓．（2）連接AC交BD于O，則O是該圓的圓心，OM=ON，所以易證BM=ND．【解答】證明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°．∴∠AEC+∠AFC=180°．∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓；（2）由（1）可知，∠AEC=90°，則AC是直徑，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O；∵ABCD是平行四邊形，∴O為圓心，OB=OD，∴OM=ON，∴OB﹣OM=OD﹣ON，∴BM=DN．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定條件及平行四邊形的性質(zhì)．（2008?巴中）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，BD⊥AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．求證：點(diǎn)E是過A，B，D三點(diǎn)的圓的圓心．【考點(diǎn)】確定圓的條件；等腰三角形的判定．【專題】證明題．【分析】要求證：點(diǎn)E是過A，B，D三點(diǎn)的圓的圓心，只要證明AE=BE=DE即可，可以根據(jù)等角對(duì)等邊可以證得．【解答】證明：∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴∠1=∠2．（1分）又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．（2分）∴AE=DE．（3分）又∵BD⊥AD于點(diǎn)D，∴∠ADB=90°．（4分）∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．（5分）∴∠EBD=∠EDB．（6分）∴BE=DE．（7分）∴AE=BE=DE．（8分）∵過A，B，D三點(diǎn)確定一圓，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圓的直徑．（9分）∴點(diǎn)E是A，B，D所在的圓的圓心．（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定方法，等角對(duì)等邊．（2002?揚(yáng)州）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作圓的半徑．【考點(diǎn)】確定圓的條件．【專題】作圖題．【分析】（1）、由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作AC，BC的中垂線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是弧ACB所在圓的圓心；（2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半徑OA的長．【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分線與弦AB的垂直平分線交于O點(diǎn)，以O(shè)為圓心OA長為半徑作圓O就是此殘片所在的圓，如圖．（2）連接OA，設(shè)OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，則根據(jù)勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8）2，解得：x=13．答：圓的半徑為13cm．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了垂徑定理，中垂線的性質(zhì)，勾股定理求解．（1999?遼寧）過A，B，C三點(diǎn)，能否確定一個(gè)圓？如果能，請(qǐng)作出圓，并寫出作法；如果不能，請(qǐng)用反證法加以證明．【考點(diǎn)】確定圓的條件；反證法．【專題】作圖題．【分析】（1）根據(jù)確定圓的條件及三角形外接圓的作法作圖即可．（2）利用反證法進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1）如果A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，就能確定一個(gè)圓，作法：①連接AB，作線段AB的垂直平分線DE；②連接BC，作線段BC的垂直平分線FG，交DE于點(diǎn)O；③以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓．⊙O就是過A、B、C三點(diǎn)的圓．（2）如果A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，就不能確定一個(gè)圓，假設(shè)過A、B、C三點(diǎn)可以作圓，設(shè)這個(gè)圓心為O，由點(diǎn)的軌跡可知，點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線l′上，并且在線段BC的垂直平分線l″上，即點(diǎn)O為′與l″的交點(diǎn)，這與“過一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾，所以，過同一條直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓．【點(diǎn)評(píng)】此題比較復(fù)雜，考查的是確定圓的條件及反證法，涉及面較廣，但難度適中．（2011?浙江校級(jí)自主招生）如圖，設(shè)AD，BE，CF為三角形ABC的三條高，若AB=6，BC=5，EF=3，則線段BE的長為（）A． B．4 C． D．【考點(diǎn)】確定圓的條件；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】此題考查了直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)．【解答】解：∵AD，BE，CF為△ABC的三條高，易知B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓∴△AEF∽△ABC∴，即cos∠BAC=∴sin∠BAC=∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6=．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角的三角函數(shù)求解的綜合題，要注意圓的性質(zhì)應(yīng)用；要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2010?烏魯木齊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）【考點(diǎn)】確定圓的條件；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點(diǎn)O1即為圓心，且坐標(biāo)是（3，1）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的推論，能夠準(zhǔn)確確定一個(gè)圓的圓心．（2010?樂山）如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【考點(diǎn)】確定圓的條件；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型．【分析】連接AB、AC，作出AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：如圖所示，∵AW=1，WH=3，∴AH==；∵BQ=3，QH=1，∴BH==；∴AH=BH，同理，AD=BD，所以GH為線段AB的垂直平分線，易得EF為線段AC的垂直平分線，H為圓的兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)，則BH=AH=HC，H為圓心．于是則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（﹣1，1）．故選C．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等，找到圓的半徑，半徑的交點(diǎn)即為圓心．（2010?臺(tái)灣）如圖所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半徑為10的圓分別與AB、BC相切，則下列何種方法可找到此圓的圓心（）A．∠B的角平分線與AC的交點(diǎn)B．AB的中垂線與BC中垂線的交點(diǎn)C．∠B的角平分線與AB中垂線的交點(diǎn)D．∠B的角平分線與BC中垂線的交點(diǎn)【考點(diǎn)】確定圓的條件；圓的認(rèn)識(shí)．【專題】壓軸題．【分析】因?yàn)閳A分別與AB、BC相切，所以圓心到AB、CB的距離一定相等，都等于半徑．而到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，圓的半徑為10，所以圓心到AB的距離為10．因?yàn)锽C=20，所以BC的中垂線上的點(diǎn)到AB的距離為10，所以∠B的角平分線與BC的中垂線的交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：∵圓分別與AB、BC相切，∴圓心到AB、CB的距離都等于半徑，∵到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，∴圓心定在∠B的角平分線上，∵因?yàn)閳A的半徑為10，∴圓心到AB的距離為10，∵BC=20，又∵∠B=90°，∴BC的中垂線上的點(diǎn)到AB的距離為10，∴∠B的角平分線與BC的中垂線的交點(diǎn)即為圓心．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的確定，運(yùn)用角平分線的判定和平行線的性質(zhì)來解題，題目難度中等．（2008?雅安）下列敘述正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．對(duì)角線相等的四邊形為矩形C．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等【考點(diǎn)】確定圓的條件；平行四邊形的判定；矩形的判定；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)確定圓的條件，矩形的判定定理，圓心角定理以及三角形的中位線定理即可作出判斷．【解答】解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、E、F、G、H是四邊形ABCD的中點(diǎn)，連接AC，∵E、H是AD、CD的中點(diǎn)，∴EH∥AC，EH=AC，同理FG∥AC，F(xiàn)G=AC，∴EH∥FG，EF=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．故順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，是正確的．故選項(xiàng)正確；D、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了確定圓的條件，矩形的判定定理，圓心角定理以及三角形的中位線定理，正確掌握定理是關(guān)鍵．（2012?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．連接AD、BC，點(diǎn)M、N、P分別為OA、OD、BC的中點(diǎn)．①若A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，且∠ABO=2α，則=2sinα（用含有α的式子表示）；②固定△AOB，將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，PM最大值為．【考點(diǎn)】確定圓的條件；等腰三角形的性質(zhì)；梯形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）連接BM、CN，則BM⊥OA，CN⊥OD，由四點(diǎn)共圓的判定知點(diǎn)B、C、M、N在以BC為直徑的圓，且有MP=PN=BC÷2，而MN是△AOD的中位線，有MN等于AD的一半，故AD：BC=MN：PM，而可求得△PMN∽△BAO，有MN：PN=AO：AB=2sinα，從而求得AD：BC的值；（2）當(dāng)DC∥AB時(shí)，即四邊形ABCO是梯形時(shí)，PM有最大值，由梯形的中位線的公式可求解．【解答】解：連接BM、CN，由題意知BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°﹣α，∵A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴B、O、D三點(diǎn)也在同一直線上，∴∠BMC=∠CNB=90°，∵P為BC中點(diǎn)，∴在Rt△BMC中，PM=BC，在Rt△BNC中，PN=BC，∴PM=PN，∴B、C、N、M四點(diǎn)都在以點(diǎn)P為圓心，BC為半徑的圓上，∴∠MPN=2∠MBN，又∵∠MBN=∠ABO=α，∴∠MPN=∠ABO，∴△PMN∽△BAO，∴，由題意知MN=AD，PM=BC，∴，∴，在Rt△BMA中，=sinα，∵AO=2AM，∴=2sinα，∴=2sinα；（2）當(dāng)OC∥AB時(shí)，即四邊形ABCO是梯形時(shí)，PM有最大值．PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)：三線合一、四點(diǎn)共圓的判定、正弦的概念、梯形的中位線的性質(zhì)求解（2006?黃石）正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和它的中心共5個(gè)點(diǎn)能確定5個(gè)不同的圓．【考點(diǎn)】確定圓的條件．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓分析得出．【解答】解：正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和它的中心的點(diǎn)的距離相等，中心與一邊的兩個(gè)端點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，正方形有四條邊，因而有四個(gè)圓；而正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以中心為圓心的圓上，因而能確定5個(gè)不同的圓．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了確定圓的條件，不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．（2012?泰興市一模）定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．（1）如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段AC．（2）在線段AC上確定一點(diǎn)P，使損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上（即損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上），請(qǐng)作出這個(gè)圓，并說明你的理由．友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．（3）如圖2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連接BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說明理由．若此時(shí)AB=3，BD=，求BC的長．【考點(diǎn)】確定圓的條件；菱形的性質(zhì)；正方形的判定．【專題】壓軸題；新定義．【分析】（1）根據(jù)題中給出的定義，由于∠DAB和∠DCB不是直角，因此AC就是損矩形的直徑．（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線的特點(diǎn)可知：此點(diǎn)應(yīng)是AC的中點(diǎn)，那么可作AC的垂直平分線與AC的交點(diǎn)就是四邊形外接圓的圓心．（3）本題可用面積法來求解，具體思路是用四邊形ABCD面積的不同表示方法來求解，四邊形ABCD的面積=三角形ABD的面積+三角形BCD的面積=三角形ABC的面積+三角形ADC的面積；三角形ABD的面積已知了AB的長，那么可過D作AB邊的高，那么這個(gè)高就應(yīng)該是BD?sin45°，以此可得出三角形ABD的面積；三角形BDC的面積也可用同樣的方法求解，只不過AB的長，換成了BC；再看三角形ABC的面積，已知了AB的長，可用含BC的式子表示出ABC的面積；而三角形ACD的面積，可用正方形面積的四分之一來表示；而正方形的邊長可在直角三角形ABC中，用勾股定理求出．因此可得出關(guān)于BC的方程，求解即可得出BC的值．【解答】解：（1）只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．因此AC是該損矩形的直徑；（2）作圖如圖：∵點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，∴PA=PC=AC．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP=DP=AC，∴PA=PB=PC=PD，∴點(diǎn)A、B、C、D在以P為圓心，AC為半徑的同一個(gè)圓上；（3）∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，∴四邊形ABCD為損矩形，∴由（2）可知，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴，∴AD=CD，∴四邊形ACEF為正方形．∵BD平分∠ABC，BD=，∴點(diǎn)D到AB、BC的距離h為