專題02 排列組合與二項(xiàng)式定理及數(shù)字特征與概率統(tǒng)計(jì)-【考前3刷】（1刷真題2刷?？?刷預(yù)測(cè)）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考前3刷定天下（解析版）

第第頁(yè)專題02排列組合與二項(xiàng)式定理及數(shù)字特征與概率統(tǒng)計(jì)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.2．（2022·全國(guó)·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.3．（2022·全國(guó)·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B4．（2021·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】，故選：B【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷是否成立5．（2021·全國(guó)·高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、多選題6．（2023·全國(guó)·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差【答案】BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆](méi)有確定的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值，則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：BD.7．（2023·全國(guó)·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.8．（2021·全國(guó)·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD9．（2021·全國(guó)·高考真題）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是（

）A．樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)【答案】AC【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；故選：AC.三、填空題10．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64【分析】分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.11．（2022·全國(guó)·高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為-28故答案為：-2812．（2022·全國(guó)·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．【答案】/．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，因此．故答案為：．四、解答題13．（2023·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．14．（2023·全國(guó)·高考真題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】(1)，；(2)，最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出，再根據(jù)第二個(gè)圖求出的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,故，所以在區(qū)間的最小值為．15．（2022·全國(guó)·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（i）證明見(jiàn)解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)椋运裕?ii)由已知，，又，，所以16．（2022·全國(guó)·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．17．（2021·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）類．【分析】（1）通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)椋孕∶鲬?yīng)選擇先回答類問(wèn)題．18．（2021·全國(guó)·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）利用公式計(jì)算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.【詳解】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)椋?，若，則，故.，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.一、單選題1．（2024·浙江嘉興·二模）6位學(xué)生在游樂(lè)場(chǎng)游玩三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人都只游玩一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人游玩，若項(xiàng)目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．360種【答案】C【分析】分A有2人和4人，結(jié)合排列組合求解即可.【詳解】若A有2人游玩，則有種；若A有4人游玩，則有種；所以共有240種，故選：C.2．（2024·浙江·二模）為了解某中學(xué)學(xué)生假期中每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取高一學(xué)生40人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，抽取高二學(xué)生60人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為0.8，抽取高三學(xué)生100人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為10小時(shí)，方差為1，則估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為（

）A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.55【答案】B【分析】利用分層隨機(jī)抽樣的均值與方差公式即可解決.【詳解】由題意可得，該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的均值為，該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為.故選：B3．（2024·山西·二模）一個(gè)盒子里裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)是黑球，2個(gè)是白球，現(xiàn)依次一個(gè)一個(gè)地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，借助排列、組合應(yīng)用問(wèn)題，利用古典概率、條件概率公式逐項(xiàng)計(jì)算即得.【詳解】依次一個(gè)一個(gè)地往外取球（不放回）的試驗(yàn)，基本事件總數(shù)是，它們等可能，對(duì)于A，表示第3次取出黑球，，A正確；對(duì)于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正確；對(duì)于C，，，所以，C正確；對(duì)于D，，所以，D錯(cuò)誤.故選：D4．（2024·浙江·二模）展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，即可得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.5．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解.【詳解】依題意，設(shè)用該試劑檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性為事件B，被檢測(cè)者患病為事件A，未患病為事件，則，，，，故，則所求概率為.故選：C.二、多選題6．（2024·全國(guó)·二模）人均可支配收入和人均消費(fèi)支出是兩個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)和民生指標(biāo)，常被用于衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和群眾生活水平.下圖為2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此進(jìn)行分析，則（

）A．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增B．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出逐年遞增C．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費(fèi)支出的極差大D．2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為21180元【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的折線圖，結(jié)合統(tǒng)計(jì)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】對(duì)于A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；對(duì)于B，由題中折線圖知，20182023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出先增后減再增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，20182023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為元，人均消費(fèi)支出的極差為元，C正確；對(duì)于D，20182023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為元，D正確.故選：ACD7．（2024·廣東·二模）若是樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則（

）A．的極差等于的極差B．的平均數(shù)等于的平均數(shù)C．的中位數(shù)等于的中位數(shù)D．的標(biāo)準(zhǔn)差大于的標(biāo)準(zhǔn)差【答案】AB【分析】根據(jù)題意，依次分析兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是否相等，綜合可得答案．【詳解】對(duì)于A，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故的極差等于的極差，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故B正確；對(duì)于C，如果是按從小到大排列，則的中位數(shù)為，不一定等于的中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的方差，而的方差，但當(dāng)時(shí)兩組數(shù)據(jù)的方差相等，其標(biāo)準(zhǔn)差也相等，故D錯(cuò)誤．故選：AB．8．（2024·遼寧·一模）下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法判斷正確的是（

）

A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B．樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)C．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差D．樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值可判斷極差，從而判斷A；根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結(jié)合圖象可判斷BCD.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：甲的數(shù)據(jù)介于[1.5,7.5]之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于[2.5,8.5]，極差小于或等于6；從而甲和乙的極差可能相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于[2.5,5.5)之間，乙的眾數(shù)介于(5.5,6.5]，故乙的眾數(shù)大于甲的眾數(shù)，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：甲的數(shù)據(jù)平均分布，乙的數(shù)據(jù)分布在中間集中，故甲的方差大于乙的方差，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)于甲，各組頻率依次為：，因?yàn)榍皟山M頻率之和，前三組頻率之和，故中位數(shù)位于[3.5,4.5)之間；同理，對(duì)于乙，各組頻率依次為：，前三組頻率之和，前四組頻率之和，故中位數(shù)位于[5.5,6.5)之間，所以乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù).故D正確.故選：BCD.9．（2024·廣東廣州·一模）甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，，，，所以，故A正確、B正確、C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD10．（2024·山西朔州·一模）在信道內(nèi)傳輸信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送某一信號(hào)時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為，收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為．若輸入四個(gè)相同的信號(hào)的概率分別為，且．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“依次輸出”，則（

）A．若輸入信號(hào)，則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)的概率為B．C．D．【答案】BCD【分析】由獨(dú)立事件的乘法公式可得A錯(cuò)誤；由條件概率公式可得BC正確；全概率的應(yīng)用，先求出，再根據(jù)和化簡(jiǎn)得到D正確.【詳解】A：因?yàn)榘l(fā)送某一信號(hào)時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為，收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為，即收到的信號(hào)字母變的概率為，且信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，所以輸入信號(hào)，則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)的概率為，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，故B正確；C：，故C正確；D：因?yàn)椋?，所以，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用獨(dú)立事件的條件概率公式和全概率公式.三、填空題11．（2024·浙江·二模）某中學(xué)的A?B兩個(gè)班級(jí)有相同的語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?英語(yǔ)教師，現(xiàn)對(duì)此2個(gè)班級(jí)某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2節(jié)語(yǔ)文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語(yǔ)課，要求每個(gè)班級(jí)的2節(jié)語(yǔ)文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有種不同的排課方式.（用數(shù)字作答）【答案】8【分析】由表示數(shù)學(xué)課，表示語(yǔ)文課，表示英語(yǔ)課，按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課順序，列出所有可能情況可得答案.【詳解】由表示數(shù)學(xué)課，表示語(yǔ)文課，表示英語(yǔ)課，按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課排列，可得若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，或班排課為，若班排課為，則班排課為，或班排課為，若班排課為，則班排課為，若班排課為，則班排課為，則共有8種不同的排課方式.故答案為：8.12．（2024·廣東佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)下車，且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車，從同一公交站點(diǎn)下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是．【答案】120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車和3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，另人在另外一公交站點(diǎn)下車，兩種情況討論即可，【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車，共有種，3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，另1人在另外一公交站點(diǎn)下車，共有種，故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是種.故答案為：120.13．（2024·廣東·一模）隨機(jī)變量，若且，則隨機(jī)變量的第80百分位數(shù)是.【答案】88【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，再求出時(shí)的即可.【詳解】隨機(jī)變量，又，則，因此，則，所以隨機(jī)變量的第80百分位數(shù)是88.故答案為：8814．（2024·安徽蕪湖·二模）從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取11個(gè)，其尺寸值為43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（單位：mm），現(xiàn)從這11個(gè)零件中任取3個(gè)，則3個(gè)零件的尺寸剛好為這11個(gè)零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率為．【答案】【分析】分別求出11個(gè)零件的平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50，眾數(shù)45，然后分別求出取出3個(gè)零件有165種，3個(gè)零件符合平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)有6種情況，再利用古典概率從而可求解.【詳解】由題意知11個(gè)零件的平均數(shù)為，第六十百分位數(shù)的位置為，即取第7位數(shù)50，故第六十百分位數(shù)為50，由題可知眾數(shù)為45，所以當(dāng)從11中取出3個(gè)零件共有種情況，則3個(gè)數(shù)分別為平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50，眾數(shù)45共有種情況，所以其概率為，故答案為：.15．（2024·山東棗莊·一模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由，再寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求出展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，其中展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式含的項(xiàng)為，即的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：四、解答題16．（2024·河北滄州·一模）某商場(chǎng)舉辦摸球贏購(gòu)物券活動(dòng)．現(xiàn)有完全相同的甲?乙兩個(gè)小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個(gè)小球，其中甲盒中有8個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙盒中有3個(gè)黑球和7個(gè)白球．參加活動(dòng)者首次摸球，可從這兩個(gè)盒子中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，再?gòu)倪x中的盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購(gòu)物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來(lái)盒子中，再進(jìn)行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來(lái)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球；方案二，從另外一個(gè)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購(gòu)物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購(gòu)物券．用X表示一位參加活動(dòng)者所得購(gòu)物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據(jù)以上分析，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.【答案】(1)(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式計(jì)算；（2）①利用全概率公式和條件概率公式計(jì)算，根據(jù)數(shù)據(jù)下結(jié)論；②兩種方案分別求出期望，根據(jù)數(shù)據(jù)下結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，，所以，所以選中的盒子為甲盒的概率為.（2）①，所以方案一中取到黑球的概率為：，方案二中取到黑球的概率為：，因?yàn)?，所以方案二中取到黑球的概率更?②隨機(jī)變量的值為，依據(jù)以上分析，若采用方案一：，，，，若采用方案二：，，，，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.17．（2024·湖南常德·三模）某市組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：，附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：）.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用超幾何分布與數(shù)學(xué)期望公式即可得解；（2）利用平均數(shù)的定義結(jié)合參考數(shù)據(jù)求得新的樣本點(diǎn)，結(jié)合的計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化整理求得其值，從而得解.【詳解】（1）每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則的所有可能取值為，，，，，故的分布列為0123.（2）設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點(diǎn)為，，，故，，所以.18．（2024·江蘇·一模）我國(guó)無(wú)人機(jī)發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為“中國(guó)制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險(xiǎn)救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域.某森林消防支隊(duì)在一次消防演練中利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行投彈滅火試驗(yàn)，消防員甲操控?zé)o人機(jī)對(duì)同一目標(biāo)起火點(diǎn)進(jìn)行了三次投彈試驗(yàn)，已知無(wú)人機(jī)每次投彈時(shí)擊中目標(biāo)的概率都為，每次投彈是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立.無(wú)人機(jī)擊中目標(biāo)一次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)兩次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)三次起火點(diǎn)必定被撲滅.(1)求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中且被撲滅的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）由二項(xiàng)分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項(xiàng)分布期望公式可得；（2）根據(jù)條件概率以及全概率公式求解可得【詳解】（1）起火點(diǎn)被無(wú)人機(jī)擊中次數(shù)的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.19．（2024·山東濰坊·一模）若，是樣本空間上的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱是上的二維離散型隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量．設(shè)的一切可能取值為，，記表示在中出現(xiàn)的概率，其中．(1)將三個(gè)相同的小球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記1號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，2號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，則是一個(gè)二維隨機(jī)變量．①寫出該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值；②若是①中的值，求（結(jié)果用，表示）；(2)稱為二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．【答案】(1)①；②；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）①根據(jù)題意直接寫出所有可能取值；②利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、條件概率公式及獨(dú)立事件的概率公式列式化簡(jiǎn)即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【詳解】（1）①該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為：.②依題意，，，顯然，則，所以.（2）由定義及全概率公式知，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用全概率公式求隨機(jī)事件B的概率問(wèn)題，把事件B分拆成兩個(gè)互斥事件與的和，再利用條件概率公式計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.20．（2024·浙江·二模）甲、乙兩人進(jìn)行知識(shí)問(wèn)答比賽，共有道搶答題，甲、乙搶題的成功率相同.假設(shè)每題甲乙答題正確的概率分別為和，各題答題相互獨(dú)立.規(guī)則為：初始雙方均為0分，答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得﹣1分，未搶到題得0分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.(1)若，，求甲獲勝的概率；(2)若，設(shè)甲第題的得分為隨機(jī)變量，一次比賽中得到的一組觀測(cè)值，如下表.現(xiàn)利用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)估計(jì)的值：①設(shè)隨機(jī)變量，若以觀測(cè)值的均值作為的數(shù)學(xué)期望，請(qǐng)以此求出的估計(jì)值；②設(shè)隨機(jī)變量取到觀測(cè)值的概率為，即；在一次抽樣中獲得這一組特殊觀測(cè)值的概率應(yīng)該最大，隨著的變化，用使得達(dá)到最大時(shí)的取值作為參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值.求.題目12345678910得分100﹣111﹣1000題目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一組觀測(cè)值.附：若隨機(jī)變量，的期望，都存在，則.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)甲搶到題目數(shù)，分類討論利用條件概率和全概率公式求解.（2）①由公式計(jì)算的數(shù)學(xué)期望與觀測(cè)值的均值相等，可求出的估計(jì)值；②由概率的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求取最大值時(shí)時(shí)的取值.【詳解】（1）記甲獲勝為事件，甲搶到3道題為事件，甲搶到2道題為事件，甲搶到1道題為事件，甲搶到0道題為事件，則，，，，而，，，，所以.（2）①，，，所以；因?yàn)?，由表中?shù)據(jù)可知，所以，.②因?yàn)槿≈迪嗷オ?dú)立，所以，所以；令得，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；即當(dāng)時(shí)取到最大值，從而.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正確提取題干中的新概念、新公式、新性質(zhì)、新模式等信息，確定新定義的名稱或符號(hào)、概念、法則等，并進(jìn)行信息再加工，尋求相近知識(shí)點(diǎn)，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，探求解決方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)轉(zhuǎn)換，有效輸出，合理歸納，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧與方法來(lái)分析與解決!一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243．則展開(kāi)式中含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】令求得所有項(xiàng)系數(shù)和，從而解得，再由二項(xiàng)展開(kāi)式定理求得含的項(xiàng)是第幾項(xiàng)，從而可得其二項(xiàng)式系數(shù)．【詳解】展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，所以令得，解得，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由，得，所以含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．故選：C．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有隨機(jī)事件件A，B，其中，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．事件A，B不相互獨(dú)立 B．C．可能等于 D．【答案】C【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式、條件概率公式、和事件的概率公式計(jì)算即可.【詳解】易知，所以事件A，B不相互獨(dú)立，即A正確；由條件概率公式可知，，故B正確，C錯(cuò)誤；由和事件的概率公式可知，故D正確；故選：C3．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）2024年1月27日國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2023年各月累計(jì)利潤(rùn)率與每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本數(shù)據(jù)如圖所示，則（

）A．從每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本中，剔除最大與最小2個(gè)數(shù)據(jù)后的中位數(shù)與剔除前的數(shù)據(jù)的中位數(shù)不相同B．2023年各月累計(jì)利潤(rùn)率的60%分位數(shù)為5.455%C．每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本與各月累計(jì)利潤(rùn)率是同步增大或減少的D．每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本月份的比月份的大【答案】D【分析】利用中位數(shù)、百分位數(shù)的定義及圖象一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)A，將每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本數(shù)據(jù)從小到大排列，第6個(gè)數(shù)據(jù)為中位數(shù)，剔除最大與最小2個(gè)數(shù)據(jù)后的中位數(shù)不改變，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，2023年各月累計(jì)利潤(rùn)率共有11個(gè)數(shù)據(jù)，所以，所以分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，2023年1-6月份的累計(jì)利潤(rùn)率為，1-7月份的累計(jì)利潤(rùn)率為，1-8月份的累計(jì)利潤(rùn)率為，但1-6月份的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本為85.23元，1-7月份的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本為85.22元，1-8月份的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本為85.17元，所以不是同步，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由圖數(shù)據(jù)可知，顯然D正確．故選：D4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在《周易》中，長(zhǎng)橫“”表示陽(yáng)爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說(shuō)“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽(yáng)爻和陰爻六次，得到六爻，然后對(duì)應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】B【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含基本事件數(shù)為，由此能求出這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件數(shù)為，所以這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率是.故選：B.5．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為，隨機(jī)事件B發(fā)生的概率為，則事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)及概率的取值范圍求解即得.【詳解】依題意，，由，得，又，則當(dāng)時(shí)，，所以事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率的取值范圍是.故選：C6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）神舟十五號(hào)飛行任務(wù)是中國(guó)載人航天工程2022年的第六次飛行任務(wù)，也是中國(guó)空間站建造階段最后一次飛行任務(wù)，航天員乘組將在軌工作生活6個(gè)月.某校為了培養(yǎng)學(xué)生們的航天精神，特意舉辦了關(guān)于航天知識(shí)的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽一共包含兩輪.高三（9）班派出了和兩位同學(xué)代表班級(jí)參加比賽，每輪競(jìng)賽和兩位同學(xué)各答1題.已知同學(xué)每輪答對(duì)的概率是，同學(xué)每輪答對(duì)的概率是，每輪競(jìng)賽中和兩位同學(xué)答對(duì)與否互不影響，每輪結(jié)果亦互不影響，則和兩位同學(xué)至少答對(duì)3道題的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出答對(duì)4道題，答對(duì)3道題的概率，再求和事件的概率即可.【詳解】若和兩位同學(xué)答對(duì)4道題，則其概率為；若和兩位同學(xué)答對(duì)3道題，則其概率為；故和兩位同學(xué)至少答對(duì)3道題的概率為.故選：D.7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）小明爬樓梯每一步走1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階是隨機(jī)的，且走1級(jí)臺(tái)階的概率為，走2級(jí)臺(tái)階的概率為．小明從樓梯底部開(kāi)始往上爬，在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，他走了3步的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級(jí)臺(tái)階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級(jí)臺(tái)階”，求出，，進(jìn)而計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級(jí)臺(tái)階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級(jí)臺(tái)階”，事件A包含3中情況，①走了4次1級(jí)臺(tái)階，其概率②走了2次1級(jí)臺(tái)階，1次2級(jí)臺(tái)階，其概率，即,③走了2次2級(jí)臺(tái)階，其概率，故小明爬到第4級(jí)臺(tái)階概率在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，他走了3步的概率,故選：D二、多選題8．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）玻璃缸中裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從中先后無(wú)放回地取2個(gè)球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】結(jié)合古典概型，條件概型的計(jì)算公式，分別求出有關(guān)事件的概率，再進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A，由題意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，則，所以B正確；對(duì)C，由，得，所以C正確；對(duì)D，由，得，所以D正確．故選：BCD．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月26日，神舟十七號(hào)載人飛船成功發(fā)射，我國(guó)在航天事業(yè)中取得舉世矚目的成就．為了普及航天知識(shí)，某校舉行了航天知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽中設(shè)置了多選題目（每題4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)或3個(gè)正確選項(xiàng)），每題全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．已知某一道多選題甲完全不會(huì)，他隨機(jī)選擇2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，該題有2個(gè)正確選項(xiàng)的概率為．記表示甲的得分，則（

）A．甲得2分的概率為 B．若甲選擇2個(gè)選項(xiàng)，則C．若甲選擇3個(gè)選項(xiàng)，則 D．甲得5分的概率為【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，可得該題有3個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算方法逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由該題有2個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，得該題有3個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，對(duì)于A，若甲得2分，則該題有3個(gè)正確選項(xiàng)，甲選擇了2個(gè)正確選項(xiàng)，概率為，因此甲得2分的概率，A正確；對(duì)于B，若甲選擇2個(gè)選項(xiàng)，則的可能取值為，則，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若甲選擇3個(gè)選項(xiàng)，則的可能取值為0，5，則，，因此，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)BC知，甲得5分的概率為，D正確．故選：ACD三、填空題10．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）重慶位于中國(guó)西南部、長(zhǎng)江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長(zhǎng)江中下游平原的過(guò)渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現(xiàn)用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，利用窮舉法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，所以不同的涂色共有種.故答案為：.四、解答題11．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）某校為了豐富課余活動(dòng)，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，在高中三個(gè)年級(jí)舉辦中國(guó)象棋盲棋比賽，經(jīng)過(guò)各年級(jí)初賽，高一、高二、高三分別有3人，4人，5人進(jìn)入決賽，決賽采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員與其他隊(duì)員都要進(jìn)行1場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制，初賽、決賽的賽制相同，記分方式相同），最后根據(jù)積分選出冠軍，積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以3∶2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員積1分．(1)從進(jìn)入決賽的12人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行表演賽，這2人恰好來(lái)自不同年級(jí)的概率是多少？(2)初賽時(shí)，高三甲、乙兩同學(xué)對(duì)局，設(shè)每局比賽甲取勝的概率均為，記甲以取勝的概率為，當(dāng)最大時(shí)，甲處于最佳競(jìng)技狀態(tài)．在決賽階段甲、乙對(duì)局，而且甲的競(jìng)技狀態(tài)最好，求甲所得積分的分布列及期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用古典概型計(jì)算即可；（2）先計(jì)算甲以取勝的概率，利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性得時(shí)甲處于最佳狀態(tài)，再利用離散型隨機(jī)變量的分布列，期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知這2人恰好來(lái)自不同年級(jí)的概率是；（2）由題意可知，所以，顯然時(shí)，，即單調(diào)遞減；時(shí)，，即單調(diào)遞增；則時(shí)，取得最大值，由題意可知的可能取值為，則，，，，則其分布列為：X0123P所以.12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）近期一個(gè)被網(wǎng)友戲稱為“科目三”的魔性舞蹈橫空出世，歡快的場(chǎng)景、強(qiáng)烈的節(jié)奏加上夸張、土味的肢體動(dòng)作，成為年輕人爭(zhēng)相模仿學(xué)習(xí)的舞蹈新寵.然而任何事物都有其兩面性，絲滑魔性的舞蹈動(dòng)作在吸引人模仿的同時(shí)，腳踝的循環(huán)內(nèi)翻、外翻這個(gè)動(dòng)作，如果平衡節(jié)奏把握不當(dāng)，就容易引起腳踝處的損傷：為了解小學(xué)生是否知道“科目三”舞蹈會(huì)帶來(lái)?yè)p傷，志愿者隨機(jī)走訪了90名小學(xué)生，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：知道不知道總計(jì)低年齡段142640高年齡段351550總計(jì)494190(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“知道‘科目三’舞蹈會(huì)帶來(lái)?yè)p傷”與“學(xué)生的年齡段”是否有關(guān)；(2)為了解小學(xué)生們對(duì)待新鮮事物的態(tài)度，按低年齡段、高年齡段進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方式從上述走訪的知道“科目三”舞蹈會(huì)帶來(lái)?yè)p傷的學(xué)生中邀請(qǐng)了7名學(xué)生，從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名填寫調(diào)查表，記X為這3名學(xué)生中為高年齡段的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附表及公式：0.10.050.010.050.0012.7063.8416.6357.87910.828，其中.【答案】(1)有關(guān)；(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算的值，與比較可得結(jié)果.（2）先求出隨機(jī)變量的取值及對(duì)應(yīng)的概率，再利用分布列的定義寫出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式求解期望即可.【詳解】（1）提出零假設(shè)：“知道‘科目三’舞蹈會(huì)帶來(lái)?yè)p傷”與“學(xué)生的年齡段”無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“知道‘科目三’舞蹈會(huì)帶來(lái)?yè)p傷”與“學(xué)生的年齡段”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.（2）由題意數(shù)據(jù)知：知道‘科目三’舞蹈會(huì)帶來(lái)?yè)p傷同學(xué)中，低年齡段的人數(shù)和高年齡段的人數(shù)比為，故邀請(qǐng)的7名學(xué)生中，低年齡段的有2人，高年齡段的有5人，所以X的所有可能取值為1，2，3，可得，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X123P.13．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）某中外合作辦學(xué)學(xué)院為了統(tǒng)計(jì)學(xué)院往屆畢業(yè)生薪酬情況，面向?qū)W院部分畢業(yè)生發(fā)放問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)了其薪資情況，共有200名畢業(yè)生進(jìn)行了問(wèn)卷填寫．畢業(yè)生年薪（單位：萬(wàn)元），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示，年薪在的畢業(yè)生人數(shù)比年薪在的畢業(yè)生人數(shù)多22人．(1)求直方圖中x，y的值；(2)①用樣本估計(jì)總體，比較學(xué)院畢業(yè)生與同類型合作辦學(xué)