《高等數(shù)學下冊 第3版》-劉金林 第9章（多元微分）習題解答

PAGE46-習題解答習題9.11．畫出下列平面點集D的圖形，指出它們的邊界，說明它們是開區(qū)域還是閉區(qū)域，有界還是無界．（1）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D為閉區(qū)域且為無界區(qū)域．（2）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D為閉區(qū)域且為有界區(qū)域．（3）D：；解D的圖形略．D的邊界為．D既不是閉區(qū)域也不是開區(qū)域，但D為有界區(qū)域．（4）D：．解D的圖形略．D的邊界為．D為開區(qū)域，且為有界區(qū)域．2．用不等式組表示下列曲線圍成的閉區(qū)域D：（1）D由圍成；解D：．（2）D由圍成．解D：．3．求下列各函數(shù)的定義域：（1）；解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為（2）；解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為（3）（）；解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為（4）．解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為4．設，求、及．解由得，．．5．設，求．解設，則，，所以，從而．6．求下列函數(shù)極限：（1）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（2）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（3）；解令xy=t,則原式＝＝＝（4）；解令x2+y2=t,則原式＝＝（5）；解原式＝＝＝＝．（6）．解原式==(令x2+y2=t)=．7．證明下列極限不存在：（1）；證明因為當沿直線趨于時，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在．（2）．證明因為當沿直線趨于時，，當沿直線趨于時，，由于，所以極限不存在．8．指出下列函數(shù)在何處間斷：（1）；解函數(shù)在處間斷．（2）．解函數(shù)在上每一個點處間斷．習題9.21．求下列函數(shù)的偏導數(shù)：（1）；解，；（2）；解，；（3）；解，.（4）；解（5）；解，；（6）；解，；（7）；解，，；（8）．解，，．2．計算下列各題：（1）設，求和；解＝，＝，將點（1，2）代入上面結果，得，．（2）設，求；解取對數(shù)得,上式兩邊對y求導得，所以，將點（1，1）代入上面結果，得．（3）設，求；解∵，∴＝．（4）設，求及．解，，∴．．3．設，證明：．證明：，，．4．設，其中可導，證明：．證明即．5．曲線在點（，1，）處的切線對軸的傾角是多少？解設該切線與軸的傾角為，∴由偏導數(shù)的幾何意義得，從而．6．證明：函數(shù)在點（0，0）處連續(xù)，但及不存在．證明∵∴在點（0，0）處連續(xù)．又=不存在，=不存在．7．求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)，，．（1）；解，∴，，；（2）；解，，，，．（3）；解，，∴，，；（4）．解，，∴，，．8．設，求，，．解，，，從而，，．9．設，試證：．證明：，，，由對稱性得，，∴．原式得證．習題9.31．求下列函數(shù)的全微分：（1）；解，∴（2）；解，∴（3）（）；解，∴．（4）；解，∴；（5）；解，，∴；（6）．解，，，∴．2．計算下列函數(shù)在給定點處的全微分（1），；解，，∴（2），．解，，=+.3．求函數(shù)當?shù)娜隽亢腿⒎郑?，，全增量?．設可導，求下列函數(shù)的全微分：（1）；解令，則，，∴．（2）．解令，則，∴．5．計算下列近似值：（1）；解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．6．設有邊長為m與m的矩形，當邊增加5cm而邊減少10cm，求此矩形對角線增量的近似值．解設矩形對角線長為z，則有．把，，代入，得．即此矩形對角線增量的近似值約為-5cm．7．有一用水泥砌成的無蓋長方體水池，它的外形長5m、寬4m、高3m，又它的四壁及底的厚度均為20cm，求所用水泥的近似值．解設長方體水池長、寬、高分別為x,y,z米，水池的體積．把，，代入，得．即所用水泥的近似值為14.8m3．8．利用函數(shù)證明：商的相對誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對誤差之和．證明將，，的相對誤差為．即商的相對誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對誤差之和．習題9.41．設，而，求全導數(shù)．解．2．設，而，求全導數(shù)．解．3．設，而，求全導數(shù)．解．4．設，而，求和．解；．5．設，而，求和．解；．6．設，求和．解令則，；．7．設，其中及可導，求．解令，則，，，∴．8．求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)：（1）；解，．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．設，其中為可導函數(shù)，證明：．證明令，則，，所以．10．設，其中具有二階導數(shù)，求，，．解令，則，所以，，．11．求下列函數(shù)的，，（其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)）：（1）；解由得，所以，，（2）．解由得，，所以，，．12．設函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，在極坐標變換，下，證明二維拉普拉斯式：．證明由得,所以，將上述的表達式代入，得=．證畢．13．設，具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求．解由得，所以習題9.51．設由方程確定，求．解令，即，，所以，2．設由方程確定，求及．解令，則，所以，將x=0代入原方程得y=1.從而，∴．3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)和：（1）；解令，則，，，所以，.（2）．解令，即,，，，所以，.4．設所確定的函數(shù)為，求．解令，則，，，所以，，所以．5．設函數(shù)由方程確定，求全微分．解令，則，，，所以，，因此．6．設是由方程所確定的函數(shù)，其中具有連續(xù)導數(shù)，證明：．解記，令，則，，，所以．7．設具有連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足．證明令，則，，，所以．8．設函數(shù)由方程確定，求、．解令，則，，，所以，,注意到z是x、y的函數(shù)，將再對x求偏導，得.注意到z是x、y的函數(shù)，將再對y求偏導，得9．設函數(shù)由方程確定，求．解解令，則，，，所以，,將x=0,y=0代入得z=2，點（0，0，2）處，注意到z是x、y的函數(shù)，將再對y求偏導，得,將x=0,y=0，z=2及代入得．10．設下列方程組確定了函數(shù)，，求和：（1）；解方程組的兩端對求偏導，得當時，解得，；（2）．解在方程組中，等式兩邊取微分得，當時，解得，，所以，．11．設二元隱函數(shù)，由方程組確定，求，，和．解方程組兩端分別對求偏導，得，當時，解得，，；方程組的兩端分別對求偏導，得，當時，解得，．12．設，而，由方程組確定，求及．解方程組中各等式兩端分別求全微分，得，當時，從上式中解出和，得，從而，，，．∴＝，＝．習題9.61．求下列空間曲線在指定點處的切線方程和法平面方程（1）曲線，點；解因為點對應參數(shù)，而，，，故點處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（2）曲線，對應于的點；解參數(shù)對應曲線上的切點為，而，，，故點處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（3）曲線，點；解因為曲面在點處的法向量為，曲面在點處的法向量為，所以，曲線在點處的切向量為．故所求切線方程為；法平面方程為，即；（4）曲線，點．解因為曲面在點處的法向量為，曲面在點處的法向量為，所以，曲線在點處的切向量為．故所求切線方程為；法平面方程為，即．2．求曲線上的點，使該點的切線平行于平面．解設所求的切點為P，該點對應的參數(shù)為，則，，，故點P處切線的方向向量為，平面的法向量為，由切線平行于平面得T；即，故所求的切點為．3．求下列曲面在指定點處的切平面方程和法線方程：（1），點；解（1）令，則，故曲面在點處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．（2），點．解令，得，故曲面在點處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．4．求曲面在點處的指向朝上的法向量的方向余弦．解令，得，故曲面在點處的指向朝上的法向量為方向余弦：，，．5．在曲面上求一點，使該點的切平面平行于平面．解令，設切點為，則切點處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，，，因此所求點為．6．求曲面上同時垂直于平面與的切平面方程．解令，設切點為，則切點處切平面的法向量為，又同時垂直于兩已知平面的法向量為n1=(1,1,0)×（1，0，0）=（1，-1，0）由題意得，解上述方程組得，因此所求切平面為，即，亦即．7．證明：曲面在任一點處的切平面都平行于直線，其中F具有連續(xù)的偏導數(shù)．解令，任一點為P0，則，點P0處切平面的法向量為，∵∴該曲面任一點處的切平面都平行于已知直線．8．證明：曲面上任一點處切平面與三個坐標面圍成的立體的體積為一定值．證由題意知，令，則點處切平面的法向量為，所求切平面為，即，此平面在三條坐標軸上的截距分別為體積習題9.71．求函數(shù)在點處的梯度．解；．．2．求函數(shù)在點處的梯度，并問該函數(shù)在哪一點處函數(shù)的梯度為．解點處．令＝0得，所求點為．3．設的各個偏導數(shù)存在且連續(xù)，為常數(shù)，證明：（1）；證明∵∴，證畢．（2）．證明∵∴，證畢．4．求函數(shù)在點處沿與軸正向成角的方向的方向導數(shù)．解的方向余弦為，．且，，所以．5．求函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向導數(shù)．解的方向余弦為，．且，，所以．6．求函數(shù)在點處沿曲線在這點的內(nèi)法線方向的方向導數(shù)．解兩邊對x求導得，點（3，4）處內(nèi)法線方向的方向余弦為，．且，，所以．7．設函數(shù)，（1）求函數(shù)在點處沿函數(shù)在該點的梯度方向的方向導數(shù)；（2）問函數(shù)在點處沿什么方向的方向導數(shù)為最小？方向導數(shù)的最小值為多少？解（1）點(1,0)處＝,所求方向導數(shù)＝|gradz｜=.(2)沿方向的方向導數(shù)為最小,方向導數(shù)的最小值為．8．求在點A（1，1，2）處，沿從點A到點B（2，，1）的方向的方向導數(shù)．解，其方向余弦為，，．又點A（1，1，2）處，，，所以．9．求函數(shù)在點A（1，1，2）處，沿曲線在點A處的切線正方向（對應于增大的方向）的方向導數(shù)．解點A（對應t=1）處，其方向余弦為，，．又點A（1，1，2）處，，，所以．10．設為球面上點A處指向朝上的法向量，求在點A處沿的方向導數(shù)．解,令，則球面在點A處的法向量可取為，其方向余弦為，，．由于的指向向上，是銳角，，故應取，，．又點A處因為，所以．11．設，（1）求函數(shù)在點處沿梯度方向的方向導數(shù)；（2）問函數(shù)在點處沿什么方向的方向導數(shù)為最大？方向導數(shù)的最大值為多少？解（1）點處，所求方向導數(shù)為（2）沿方向的方向導數(shù)為最大，方向導數(shù)的最大值為．習題9.81．設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且，試判斷是否為函數(shù)的極值，為什么？解不是．由極限保號性，在（0，0）附近有>0,從而，由此不能推出或．2．求函數(shù)的駐點．解解方程組得駐點為（1，1），（0，0）．3．設函數(shù)由方程所確定，求的駐點．解令，則，．解方程組得駐點為（1，1）．4．求下列函數(shù)的極值：（1）；解解方程組得駐點為．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，所以函數(shù)在該點有極小值．（2）；解解方程組得駐點為．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，所以函數(shù)在該點有極大值；．在點處，，，，因為，不是極值．（3）；解解方程組得駐點為，（）．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，函數(shù)極大值．在點處，，，，，不是極值．（4）（）；解解方程組得駐點為．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，極小值．（5）（）．解解方程組得駐點為．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，所以函數(shù)在該點極大值．5．求函數(shù)在閉區(qū)域D：，，上的最大值與最小值．解先解方程組得函數(shù)在D內(nèi)的駐點為，函數(shù)值．在閉區(qū)域D的邊界及）上，函數(shù)．在閉區(qū)域D的邊界（）上，函數(shù)令，得，．．最大值為M=，最小值．6．有一寬為24厘米的長方形鐵板，把它兩邊折起來做成斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣的折法才能使斷面的面積最大？解設折起來的邊長為xcm,傾角為，則斷面的面積為，即（）令解得，根據(jù)題意可知，兩邊折起8厘米，邊的傾斜角為時面積最大．7．在平面上求一點，使它到及三直線的距離平方之和為最?。庠O所求點為,距離平方之和為，則，即，令得，由實際意義知，所求點為．8．用拉格朗日乘數(shù)法求下列條件極值的可能極值點：（1）目標函數(shù)，約束條件；解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴可能極值點為．（2）目標函數(shù)，約束條件，．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴可能極值點為．9．求內(nèi)接于半徑為的球且體積最大的圓柱體的高．解設圓柱體的高為h,半徑為r,則，圓柱體的體積．令，令，解之得：∴根據(jù)題意可知，所求圓柱體的高為．10．某廠要造一個無蓋的長方體水箱，已知它的底部造價為每平方米18元，側面造價均為每平方米6元，設計的總造價為216元，問如何選擇它的尺寸，才能使水箱容積最大？解設長方體的長、寬、高分別為米，體積為米3，則．問題歸結為求在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一駐點取得，即當長、寬、高分別取2m、2m、3m時，長方體的體積最大．11．在曲線，上求一點，使該點到面的距離最短．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴所求點為*12．在某次實驗中測得五組數(shù)據(jù)如下表所示01240.511.523試用最小二乘法建立與之間的經(jīng)驗公式．解經(jīng)驗公式為，本題，，，，，，，所以和之間的經(jīng)驗公式為*13．根據(jù)實驗測得變量和的組數(shù)據(jù)為（），假定與之間的經(jīng)驗公式為，試用最小二乘法求所滿足的方程組．解對于，令，則得線性型經(jīng)驗公式為；記．由二元函數(shù)極值的必要條件得，整理得方程組．*習題9.91．求在點處的一階和二階泰勒公式．解因為，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函數(shù)的一階泰勒公式為，其中函數(shù)的二階泰勒公式為其中2．求在點的二階泰勒公式．解因為，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函數(shù)的二階泰勒公式為其中．3．利用二階泰勒公式，近似計算的值．解設，則，，，，，，，，令，，，，則有．即．總習題91.選擇題（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴選D.（2）設函數(shù)，則①在（0，0）處連續(xù)．②在（0，0）處的偏導數(shù)存在．③在（0，0）處可微．上述三條結論中正確的是（）．A．①和②B．②和③C．①和③D．①、②和③解因為，所以，從而，在（0，0）處連續(xù)．又=，=，不存在，∴在（0，0）處不可微．∴選A.（3）設在點具有偏導數(shù)，且和在點都取得極值，則一定是的（）．A．極大值點B．極小值點C．駐點D．連續(xù)點解由極限必要條件得，∴選C．（4）函數(shù)有，且，則（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴選B.（5）下列結論中正確的是（）．A．若和存在，則B．若和存在，則C．若和存在，則在處不一定連續(xù)D．若沿軸正向的方向導數(shù)存在，則存在解A錯，因為偏導數(shù)存在不能推到函數(shù)可微！，B錯，因為由和存在，不能得到．D錯，因為由沿軸正向的方向導數(shù)存在，不能得到存在．∴選C．2.填空題（1）設函數(shù)，且當時，則．解由時得，所以，∴．（2）曲線上點處的切線方程為．解曲線即為，而，，，故點處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；（3）設是函數(shù)的全微分，則．解由題意由得．（4）設曲面在點處的法線垂直于平面，則．解令，則點處的法向量為，由題意得，解得，，，因此所求點為．（5）設函數(shù)，，都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，則．解由利用隱函數(shù)求導法得，，．∴（）（）（＝－1.3.設,求．解,∴=．4.設，且可微，求．證令，則有，，因此．5.已知，其中由方程確定，求．解令，則，∴6.設由方程確定，求，．解令，則，，，所以．7.設方程組確定了函數(shù)，，求和．解方程組的兩端對求偏導，得當時，解得，．8.設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求．解，∴9.設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，，，且，