《高等數(shù)學下冊 第2版》 課件 D11-2一階微分方程

一階微分方程第二節(jié)一、可分離變量的微分方程二、齊次方程三、一階線性微分方程第十一章機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊積分可分離變量方程的形式及解法：

如果可以寫成則目的：dx

與dy

拆開，且保證dx

前面是一個dy前面是一個僅與y僅與x有關(guān)的函數(shù)，有關(guān)的函數(shù)實現(xiàn)兩個變量的分離機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束一、可分離變量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例4:解：

分離變量即(C<0

)(C

為任意常數(shù))機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

積分得故有得

(拋物線)機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束三、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為線性非齊次方程

.方程的特點：稱為線性齊次方程

;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于未知函數(shù)的部分、都是一次方、冪的形式如：是不是1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當C任取常數(shù)時，函數(shù)只能是齊次方程的解，要想得到非齊次方程的解，設(shè)想將常數(shù)C換成x的函數(shù)C(x)而成為非齊次方程的解目的是確定函數(shù)C(x)的具體形式對應(yīng)齊次方程通解2.解非齊次方程常數(shù)變易法則故原方程的通解即設(shè)兩端積分得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束是非齊次方程的解，這種將齊次方程通解中的常數(shù)C換成x的函數(shù)而求得非齊次方程通解的方法稱為由非齊次方程通解的公式：齊次方程通解非齊次方程特解即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束記作：例1.解方程

解:故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求方程

解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的特解由得，特解：例3.求方程的通解.解:所求通解為這是以x為未知函數(shù)，y為自變量的一階線性非齊次方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即例4.

判別下列方程類型:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可分離變量方程的求解方法:分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束2.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式思考與練習求下列方程的通解:提示:(1)分離變量(2)方程變形為機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1681(3),(4),(5)；4；

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