2022年湖南省婁底市中考數學模擬試卷（二）解析版

湖南省婁底市中考數學模擬試卷（二）

一、選擇題（本大題共12個小題，/每小題3分，滿分36分.每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題設要求的，請把你認為符合題目要求的選項填在下表中相應的題號下）

1.（3分）-5的絕對值是（）

工工

A.5B.-5C.5D.-5

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.,xi,xi—xB.(.仍3)2=出

C.X8-rX4=5*X2D.(2x)3=8x3

3.（3分）下列生態(tài)環(huán)保標志中，是中心對稱圖形的是（）

4.（3分）已知4組四人的成績分別為90、60、90、60,8組四人的成績分別為70、80、80

、70,用下列哪個統計知識分析區(qū)別兩組成績更恰當（）

A.平均數B.中位數C.眾數D.方差

5.（3分）據《經濟日報》2018年5月21日報道：目前，世界集成電路生產技術水平最高已

達到7“"z（1H/M=10-9?Z）,主流生產線的技術水平為14?28〃加,中國大陸集成電路生

產技術水平最高為28〃加.將28"〃?用科學記數法可表示為（）

99D.2.8X108加

A.28X10-WB.2.8X10-8"?C.28X10OT

6.（3分）在下列幾何體中，主視圖是圓的是（）

7.（3分）如圖，點4,B,C,。都在上，AC,3D相交于點E,則（）

A./ACDB.ZADBC.ZAEDD.ZACB

8.（3分）將矩形48CD沿4E折疊，得到如圖所示的圖形，已知=55°,則NA4

9.（3分）若關于x的一元二次方程/+6x+c=0的兩個實數根分別為肛=-2,冷=4,則6+C

的值是（）

A.-10B.10C.-6D.-1

l-2m

10.（3分）已知反比例函數夕=x

的圖象上有兩點/（XI，為），B（X2,>2），當Xl<0<X2時，有為<以，則機的取值范圍

是（）

A.m<0B.m>0C.m<2D.m>2

11.（3分）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家.他60歲時完成的《直指算法統宗》是東

方古代數學名著，詳述了傳統的珠算規(guī)則，確立了算盤用法.書中有如下問題：

一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，

小僧三人分一個，大小和尚得幾丁.

意思是：有1。0個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完

,大、小和尚各有多少人，下列求解結果正確的是（）

標大位

A.大和尚25人，小和尚75人

B.大和尚75人，小和尚25人

C.大和尚50人，小和尚50人

D.大、小和尚各100人

12.（3分）拋物線y=a/+6x+cQW0）的對稱軸為直線x=-l,與x軸的一個交點/在點

（-3,0）和（-2,0）之間，其部分圖象如圖，則下列結論：①4℃-后＜0；②2°-

6=0；③a+6+c＜0；④點A/（修，為）、N（犯，＞2）在拋物線上，若修〈工2，則為?以

,其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

1

13.（3分）函數"五石中自變量x的取值范圍是.

14.（3分）已知點M（3,-2）,將它先向左平移2個單位，再向上平移4個單位后得到點

N,則點N的坐標是.

15.（3分）如圖，己知4B〃CD,BE平分/4BC,/CDE=150°,則NC=°.

16.（3分）如圖，正六邊形4BCD斯內接于半徑為3的圓。，則劣弧48的長度為.

17.（3分）在-9,-6,-3,-1,2,3,6,8,11這九個數中，任取一個作為a值，能

夠使關于X的一元二次方程/+辦+9=0有兩個不相等的實數根的概率是.

S1+S2+…+Sn

18.（3分）記&=。1，+〃2+…即，令Tn=n

，則稱T”為田，。2，…，劭這列數的“凱森和”，已知。1，〃2，…。500的“凱森和”為20

04,那么1,a\,如…。500的“凱森和"為?

三、解答題（本大題共2個小題，每小題6分，滿分12分）

19.（6分）計算右TI+2019。-（4尸-3tan30°

20.（6分）先化簡，再求值：（a-2b）（a+26）-（.a-2b）2+8Z>2,其中。=-6,b=3

四、解答題（本大題共2個小題，每小題8分，滿分16分）

21.（8分）為了加強學生課外閱讀，開闊視野，某校開展了“書香校園，從我做起”的主

題活動，學校隨機抽取了部分學生，對他們一周的課外閱讀時間進行調查，繪制出頻數

分布表和頻數分布直方圖的一部分如下：

課外閱讀時間（單位：小時）頻數（人數）頻率

0VW220.04

2c忘430.06

44W6150.30

6c/W8a0.50

A85b

請根據圖表信息回答下列問題：

（1）頻數分布表中的a=，b=；

（2）將頻數分布直方圖補充完整；

（3）學校將每周課外閱讀時間在8小時以上的學生評為“閱讀之星”，請你估計該校20

00名學生中評為“閱讀之星”的有多少人？

轆（疑）

A

25-

?-------1-----1-------1-------->

468小時以上府間叼對

22.（8分）如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學的數學知識測量某個娛樂場地

所在山坡NE的長度.她先在山腳下點￡處測得山頂/的仰角是30°,然后，她沿著坡度

是i=l：1（即tan/CED=l）的斜坡步行15分鐘抵達C處，此時，測得/點的俯角是15

°,已知小麗的步行速度是18米/分，圖中點/、B、E、D、C在同一平面內，且點D、E

、8在同一水平直線上.求出娛樂場地所在山坡工￡的長度.（參考數據：^1.41,結果

五、解答題（本大題共2個小題，每小題9分，滿分18分）

23.（9分）從甲市到乙市乘坐高鐵列車的路程為180千米，乘坐普通列車的路程為240千米

,高鐵列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍，高鐵列車的乘車時間比普通列車

的乘車時間縮短了2小時.

（1）求高鐵列車的平均速度是每小時多少千米；

（2）某日王老師要去距離甲市大約405加的某地參加14：00召開的會議，如果他買到當

日10：40從甲市至該地的高鐵票，而且從該地高鐵站到會議地點最多需要1.5〃，試問在

高鐵列車準點到達的情況下他能在開會之前到達嗎？

24.（9分）如圖，在△N8C中，ZBAC=9Q°,線段NC的垂直平分線交4c于。點，交BC

于￡點，過點/作的平行線交直線于尸點，連接NE,CF.

（1）求證：四邊形NEC尸是菱形；

（2）若48=10,/ACB=30°,求菱形/ECF的面積.

六、綜合探究題（本大題共2個小題，每小題10分，滿分20分）

25.（10分）如圖，己知是。。的直徑，點C在。。上，過點C的直線與的延長線交于

點、P,AC=PC,ZCOB=2ZPCB.

（1）求證：PC是。。的切線；

1

(2)求證：BC=2AB；

(3)點M是源的中點，CM^AB于點、N,若48=4,求WMC的值.

26.(10分)如圖，頂點坐標為(2,-1)的拋物(aWO)與璉由交于點C(

0,3),與x軸交于/、8兩點.

(1)求拋物線的表達式；

(2)設拋物線的對稱軸與直線5c交于點。，連接NC、AD,求的面積；

(3)點E為直線3C上一動點，過點E作y軸的平行線即，與拋物線交于點尸.問是否存

在點￡,使得以D、E、尸為頂點的三角形與△BC。相似？若存在，求點￡的坐標；若不存

湖南省婁底市中考數學模擬試卷（二）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題，/每小題3分，滿分36分.每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題設要求的，請把你認為符合題目要求的選項填在下表中相應的題號下）

1.（3分）-5的絕對值是（）

A.5B.-5C.5D.-5

【分析】根據絕對值的性質求解.

【解答】解：根據負數的絕對值等于它的相反數，得|-5|=5.

故選：A.

【點評】此題主要考查的是絕對值的性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕

對值是它的相反數；0的絕對值是0.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A..x3,x3=xB.（.ab3）2=ab6

C.D.⑵）3="3

【分析】根據同底數幕的乘法、積的乘方和幕的乘方、同底數暴的除法進行計算即可.

【解答】解：4、x3-x3=x6,故4錯誤；

B、（"3）2=a2b6,故3錯誤；

C、故c錯誤；

D、（2x）3=8x3,故D正確；

故選：D.

【點評】本題考查了同底數累的乘法，積的乘方和累的乘方，同底數累的除法，掌握運

算法則是解題的關鍵.

【分o析】根據中心對稱圖形的定義對各選項分析@判斷即可得解.

【解答】解：/、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

2、是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

。、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180

度后兩部分重合.

4.（3分）己知/組四人的成績分別為90、60、90、60,2組四人的成績分別為70、80、80

、70,用下列哪個統計知識分析區(qū)別兩組成績更恰當（）

A.平均數B.中位數C.眾數D.方差

【分析】根據平均數、中位數、眾數以及方差的意義進行選擇即可.

【解答】解：：x甲=75,*乙=75；

甲的中位數為75,乙的中位數為75；

甲的眾數為90,60,乙的眾數為80,70；

通過平均數、中位數、眾數不能區(qū)別兩組成績，

???應通過方差區(qū)別兩組成績更恰當，

故選：D.

【點評】本題考查了統計量的選擇，掌握平均數、中位數、眾數以及方差的意義是解題

的關鍵.

5.（3分）據《經濟日報》2018年5月21日報道：目前，世界集成電路生產技術水平最高已

達到7"加,主流生產線的技術水平為14?28"加，中國大陸集成電路生

產技術水平最高為28"〃?.將28"機用科學記數法可表示為（）

998

A.28X10-mB.2.8X1CT%C.28X10mD.2.8X10m

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為aXl（T〃，與較大

數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數幕，指數由原數左邊起第一個不為零的數

字前面的0的個數所決定.

【解答】解：28WM=28X10-%=2.8X1（T%.

故選：B.

【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為aXlOf,其中1W同<10,

〃為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

6.（3分）在下列幾何體中，主視圖是圓的是（）

【分析】找到從正面看所得到的圖形比較即可.

【解答】解：/、主視圖是三角形，錯誤；

B、主視圖是矩形，錯誤;

C、主視圖是等腰梯形，錯誤；

。、主視圖是圓，正確.

故選：D.

【點評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

7.（3分）如圖，點A,B,C,。都在上，AC,2D相交于點E,則（）

A.ZACDB.ZADBC.ZAEDD.ZACB

【分析】根據圓周角定理即可判斷/、B、D,根據三角形外角性質即可判斷C.

【解答】解：/、：/團?。對的弧是弧ND,N/CD對的弧也是4D,

：./ABD=NACD,故4選項正確；

3、：/刈。對的弧是弧40,N4D8對的弧也是48,而已知沒有說AD=AB,

和CD不相等，故2選項錯誤;

C、ZAED>ZABD,故C選項錯誤；

。、「N/AD對的弧是弧40,N/C8對的弧也是而已知沒有說AD=AB,

.?.N/AD和//C3不相等，故。選項錯誤；

【點評】本題考查了圓周角定理和三角形外角性質的應用，注意：在同圓或等圓中，同

弧或等弧所對的圓周角相等.

8.（3分）將矩形4SCD沿4E折疊，得到如圖所示的圖形，已知=55°,則/氏4

【分析】由題意推出NDED'=125°,得ND4D'=55°,所以4840'=35°.

【解答】解：：如圖所示△瓦必02\應）'A,

:./D=/D'=/。/￡=90°,

:NCED=55°,

/.ZDED'=125°,

AZDAD'=55°,

AABAD'=35°.

故選：B.

【點評】本題主要考查翻折變換的性質、正方形的性質、四邊形內角和定理，解題的關

鍵在于求出的度數.

9.（3分）若關于x的一元二次方程/+6x+c=0的兩個實數根分別為xi=-2,X2=4,貝防+C

的值是（）

A.-10B.10C.-6D.-1

【分析】根據根與系數的關系得到-2+4=-b,-2X4=c,然后可分別計算出6、c的

值，進一步求得答案即可.

【解答】解：???關于X的一元二次方程r+6x+c=0的兩個實數根分別為肛=-2,X2=4,

.?.根據根與系數的關系，可得-2+4=-6,-2X4=c,

解得6=-2,c=-8

'.b+c=-10.

故選：A.

【點評】此題考查根與系數的關系，解答此題的關鍵是熟知一元二次方程根與系數的關

bc

系：x\+x2--a,X好2=a.

l-2m

10.（3分）已知反比例函數y=x

的圖象上有兩點/（XI，力），B（X2,為），當Xl<0<X2時，有為<夕2，則優(yōu)的取值范圍

是（）

A.m<0B.m>0C.m<2D.m>2

【分析】先根據當X1<O<X2時，有為<了2，判斷出1-2加的符號，求出正的取值范圍即可

l-2m

【解答】解：,??反比例函數尸x

的圖象上有兩點4（XI，yi）,B（X2,>2），當Xl<0<X2時，有為C必，

...反比例函數的圖象在一三象限，

：.l-2m>Q,解得加<2.

故選：C.

【點評】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，先根據題意判斷出反比例函數

l-2m

尸x的圖象在一、三象限是解答此題的關鍵.

11.（3分）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家.他60歲時完成的《直指算法統宗》是東

方古代數學名著，詳述了傳統的珠算規(guī)則，確立了算盤用法.書中有如下問題：

一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，

小僧三人分一個，大小和尚得幾丁.

意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完

,大、小和尚各有多少人，下列求解結果正確的是（）

標大位

A.大和尚25人，小和尚75人

B.大和尚75人，小和尚25人

C.大和尚50人，小和尚50人

D.大、小和尚各100人

【分析】根據100個和尚分100個饅頭，正好分完.大和尚一人分3個，小和尚3人分一個

得到等量關系為：大和尚的人數+小和尚的人數=100,大和尚分得的饅頭數+小和尚分

得的饅頭數=100,依此列出方程即可.

【解答】解：設大和尚有x人，則小和尚有（100-x）人，

100-x

根據題意得：3x+3=100,

解得x=25

貝U100-x=100-25=75（人）

所以，大和尚25人，小和尚75人.

故選：A.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，關鍵以和尚數和饅頭數作為等量關系列出方

程.

12.（3分）拋物線y=a/+6x+cQW0）的對稱軸為直線x=-l,與x軸的一個交點/在點

（-3,0）和（-2,0）之間，其部分圖象如圖，則下列結論：①4℃-后＜0；②2°-

6=0；③a+6+c＜0；④點A/（修，為）、N（犯，＞2）在拋物線上，若修〈工2，則為?以

,其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據函數與x中軸的交點的個數，以及對稱軸的解析式，函數值的符號的確定

即可作出判斷.

【解答】解：函數與x軸有兩個交點，則抉-4ac>0,即4℃-廬<0,故①正確；

b

函數的對稱軸是X=-1,即-2a=-l,貝肪=2°,2a-6=0,故②正確；

當x=l時，函數對應的點在x軸下方，貝必+6+。<0,則③正確；

則為和為的大小無法判斷，則④錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數的性質，主要考查了利用圖象求出。，6,c的范圍，以及

特殊值的代入能得到特殊的式子.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

1

13.（3分）函數-{x-4中自變量x的取值范圍是x>4.

【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0,分母不等于0,列不

等式求解.

【解答】解：根據題意得：x-4>0,解得x>4.

【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為①二次根式有意義，被開方數

是非負數.

14.（3分）已知點/（3,-2）,將它先向左平移2個單位，再向上平移4個單位后得到點

N,則點N的坐標是（1,2）.

【分析】將點M的橫坐標減去2,縱坐標加上4即可得到點N的坐標.

【解答】解：???點M（3,-2）,將它先向左平移2個單位，再向上平移4個單位后得到

點、N,

.,.點N的坐標是（3-2,-2+4）,即（1,2）,

故答案為（1,2）.

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-平移：解題關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不

變，而上下平移時點的橫坐標不變，平移變換是中考的?？键c，平移中點的變化規(guī)律是

：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.

15.（3分）如圖，已知BE平分/ABC,ZCDE=150°,則NC=120°.

【分析】本題主要利用鄰補角互補，平行線性質及角平分線的性質進行做題.

【解答】解：：/00￡=150°,

；.NCDB=18Q-/CDE=30°,

%：ABHCD,

；.NABD=NCDB=3Q°；

；BE平分/ABC,

：.ZABC=60°,

AZC=180°-60°=120°.

故答案為：120.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補.

16.（3分）如圖，正六邊形內接于半徑為3的圓。，則劣弧的長度為n.

【分析】求出圓心角的度數，再利用弧長公式解答即可.

【解答】解：如圖，連接。/、OB,

1

AZAOB=360°X6=60°,

—60兀畤

源的長為180=K.

故答案為：n.

【點評】本題主要考查正多邊形的性質和弧長公式，熟練掌握正多邊形的性質是解題的

關鍵.

17.（3分）在-9,-6,-3,-1,2,3,6,8,11這九個數中，任取一個作為.值，能

夠使關于龍的一元二次方程/+如+9=0有兩個不相等的實數根的概率是

【分析】列舉出所有情況，讓能夠使關于x的一元二次方程/+如+9=0有兩個不相等的

實數根的情況數除以總情況數即為所求的概率.

【解答】解：在-9,-6,-3,-1,2,3,6,8,11這九個數中，任取一個作為a值

每個數被抽到的機會相同，因而是列舉法求概率的問題，方程/+辦+9=0有兩個不相等

的實數根的條件是/-36>0,就是要看一下在-9,-6,-3,-1,2,3,6,8,11

中有3個滿足層-36>0.

:.P（能夠使關于x的一元二次方程/+ax+9=0有兩個不相等的實數根）=可.

【點評】正確理解列舉法求概率的條件以及一元二次方程根的判定方法是解決問題的關

鍵.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

$1+$2+…+Sn

18.（3分）記&=〃i，+。2+…劭，令Tn=n

，則稱，為“1，。2，…，劭這列數的“凱森和”，已知的，。2，…。500的“凱森和”為20

04,那么1,對,。2，…。500的“凱森和”為2001.

【分析】先根據已知求出了500的值，再設出新的凱森和G，列出式子，把得數代入，即

可求出結果.

51+$2+…+$n

【解答】解：???7"=一~2~

.?.7500=2004，

設新的“凱森和”為Tx,

501X△=1X501+500X7500，

Tx=（1X501+500Xr500）+501

=（1X501+500X2004）4-501

=1+500X4

=2001.

故答案為：2001.

【點評】此題考查了數字的變化類，解題的關鍵是掌握“凱森和”這個新概念，找出其

中的規(guī)律，再根據新概念對要求的式子進行變形整理即可.

三、解答題（本大題共2個小題，每小題6分，滿分12分）

19.（6分）計算IV5-11+2019°-（4）-1-3tan30o

【分析】直接利用特殊角的三角函數值以及零指數幕的性質和負指數幕的性質分別化簡

得出答案.

瓜

【解答】解：原式=6-1+1+3-3X3

=^/3-1+1+3-

=3.

【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

20.（6分）先化簡，再求值：（a-2b）（a+26）-（a-2b）2+8Z>2,其中a=-6,b=3

【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式計算，去括號合并得到最簡結果，把。與6

的值代入計算即可求出值.

【解答】解：原式=/-4廬-02+4仍-4y+8y=4。6,

1

當a=-6,6=3時，原式=-8.

【點評】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

四、解答題（本大題共2個小題，每小題8分，滿分16分）

21.（8分）為了加強學生課外閱讀，開闊視野，某校開展了“書香校園，從我做起”的主

題活動，學校隨機抽取了部分學生，對他們一周的課外閱讀時間進行調查，繪制出頻數

分布表和頻數分布直方圖的一部分如下：

課外閱讀時間（單位：小時）頻數（人數）頻率

0VW220.04

2<7W430.06

4V/W6150.30

6<7W8a0.50

t>s5b

請根據圖表信息回答下列問題:

（1）頻數分布表中的。=25，b=0.10；

（2）將頻數分布直方圖補充完整；

（3）學校將每周課外閱讀時間在8小時以上的學生評為“閱讀之星”，請你估計該校20

00名學生中評為“閱讀之星”的有多少人？

球（斑）

【分析】（1）由閱讀時間為0<fW2的頻數除以頻率求出總人數，確定出。與6的值即可

（2）補全條形統計圖即可；

（3）由閱讀時間在8小時以上的百分比乘以2000即可得到結果.

【解答】解：（1）根據題意得：2+0.04=50（人），

則a=50-（2+3+15+5）=25；6=5+50=020；

故答案為：25；0.10；

（2）閱讀時間為6</《8的學生有25人，補全條形統計圖，如圖所示:

轆（ASO

A25

25-廣

20-15

1S_

10-

23

0

268小時以上時間刁身

（3）根據題意得：2000X0.10=200（人），

則該校2000名學生中評為“閱讀之星”的有200人.

【點評】此題考查了頻率（數）分布表，條形統計圖，以及用樣本估計總體，弄清題中

的數據是解本題的關鍵.

22.（8分）如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學的數學知識測量某個娛樂場地

所在山坡/￡的長度.她先在山腳下點E處測得山頂/的仰角是30°,然后，她沿著坡度

是，=1：1（即tan/CED=l）的斜坡步行15分鐘抵達C處，此時，測得/點的俯角是15

°.已知小麗的步行速度是18米/分，圖中點/、B、E、D、。在同一平面內，且點D、E

、3在同一水平直線上.求出娛樂場地所在山坡/E的長度.（參考數據：V2

【分析】根據速度乘以時間得出CE的長度，通過坡度得到N￡CF=30°,作輔助線斯

±AC,通過平角減去其他角從而得到N/M=45°即可求出/￡的長度.

【解答】解：作E7U/C,

根據題意，CE=18X15=270米，

VtanZCED=1,

：.ZCED=ZDCE=45°,

?；NECF=90°-45°-15°=30°,

:.EF=2c￡=135米，

"：ZCEF=60°,ZAEB=30°,

/.ZAEF=lS00-45°-60°-30°=45°,

￡=]35血%90.4米

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是作輔助線斯，/C,以及

坡度和坡角的關系.

五、解答題（本大題共2個小題，每小題9分，滿分18分）

23.（9分）從甲市到乙市乘坐高鐵列車的路程為180千米，乘坐普通列車的路程為240千米

,高鐵列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍，高鐵列車的乘車時間比普通列車

的乘車時間縮短了2小時.

（1）求高鐵列車的平均速度是每小時多少千米；

（2）某日王老師要去距離甲市大約405%的某地參加14：00召開的會議，如果他買到當

日10：40從甲市至該地的高鐵票，而且從該地高鐵站到會議地點最多需要1.5〃，試問在

高鐵列車準點到達的情況下他能在開會之前到達嗎？

【分析】（1）設普通列車平均速度每小時X千米，則高速列車平均速度每小時3x千米，

根據題意可得，坐高鐵走180千米比坐普通車240千米少用2小時，據此列方程求解；

（2）求出王老師所用的時間，然后進行判斷.

【解答】解：（1）設普通列車平均速度每小時x千米，則高速列車平均速度每小時3x千

米，

240180

根據題意得，丁-不-=2,

解得：x=90,

經檢驗，x=90是所列方程的根，

則3x=3X90=270.

答：高速列車平均速度為每小時270千米；

（2）405+270=1.5,

則坐車共需要1.5+15=3（小時），

王老師到達會議地點的時間為13點40.

故他能在開會之前到達.

【點評】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出

合適的等量關系，列方程求解，注意檢驗.

24.（9分）如圖，在△/3C中，NA4c=90°,線段NC的垂直平分線交/C于。點，交BC

于E點，過點/作2c的平行線交直線功于尸點，連接CF.

（1）求證：四邊形NECr是菱形；

（2）若/B=10,ZACB=30°,求菱形NECF的面積.

【分析】（1）只要證明/尸=PC=C￡=EN,即可判斷四邊形NEW是菱形；

（2）求出菱形的對角線的長，根據菱形的面積等于對角線乘積的一半計算即可.

【解答】（1）證明：尸垂直平分/C,

:.FA=FC,EA=EC,

"JAF//BC,

???N1=N2.

?；AE=CE,

??.N2=N3.

???N1=N3.

'：EFVAC,

：.ZADF=ZADE=90°.

VZ1+Z4=9O°,Z3+Z5=90°.

???N4=N5.

：.AF=AE,

：.AF=FC=CE=EAf

???四邊形4EC廠是菱形.

(2)解：VZBAC=ZADF=90°，

：.AB//FE,

?；AF〃BE,

???四邊形48M為平行四邊形,

u：AB=iO,

；?FE=AB='O,

VZACB=3Q°,

AB

A^C=tanZACB=loV3,.

..?S菱形AECF$OFE=50y

【點評】本題考查菱形的判定和性質、相等的垂直平分線的性質、銳角三角函數等知識

,解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定，屬于基礎題，中考常考題型.

六、綜合探究題（本大題共2個小題，每小題10分，滿分20分）

25.（10分）如圖，已知Z5是。。的直徑，點。在。。上，過點。的直線與的延長線交于

點尸，AC=PC,ZCOB=2ZPCB.

（1）求證：PC是O。的切線；

_1_

（2）求證：BC—2AB；

（3）點M是AB的中點，CM^AB于■點、N,若48=4,求的值.

【分析】（1）已知C在圓上，故只需證明。。與PC垂直即可；根據圓周角定理，易得/

PCB+/OCB=90°,即。C_LCP；故尸C是。。的切線；

（2）N5是直徑；故只需證明8c與半徑相等即可；

（3）連接AM,MB,由圓周角定理可得進而可得

故AW2=MN?MC；代入數據可得〃N?MC=8A/2=8.

【解答】（1）證明：：CM=OC,

/4=/4C0.

又?：/COB=2/A,ZCOB=2ZPCB,

：.ZA=ZACO=ZPCB.

又是。。的直徑，

AZACO+ZOCB^90°.

：.ZPCB+ZOCB=90°.

即OCLLCP,

：。（^是00的半徑.

是。。的切線.

(2)證明:'：AC=PC,

N4=NP,

：.ZA=/ACO=/PCB=ZP.

又,/ZCOB^ZA+ZACO,NCBO=ZP+ZPCB,

：.NCOB=NCBO,

：.BC=OC.

：.BC=2AB.

（3）解：連接K4,MB,

:點M是篇的中點，

AAM=M,

/ACM=/BCM.

,：ZACM=/ABM,

：./BCM=ZABM.

,：ZBMN=/BMC,