第十章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程省公共課一等獎(jiǎng)全國(guó)賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第十章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程§10-1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本定律§10-2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程§10-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題§10-4質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程第1頁(yè)§10-1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本定律一、牛頓三大定律二、坐標(biāo)系三、單位制第2頁(yè)牛頓第一定律（慣性定律）：不受力作用質(zhì)點(diǎn)將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。牛頓第二定律：牛頓第三定律（作用與反作用定律）：兩個(gè)物體之間作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，沿同一直線，但分別作用在兩個(gè)物體上。一、牛頓三大定律第3頁(yè)牛頓三大定律是對(duì)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)而言。慣性坐標(biāo)系：牛頓三大定律能夠適用坐標(biāo)系。在工程技術(shù)中，通常采取地球（地面）作為慣性坐標(biāo)系。二、坐標(biāo)系第4頁(yè)力學(xué)單位制：采取國(guó)際單位制基本物理量：質(zhì)量（M）長(zhǎng)度（L）時(shí)間（T）（kg）（m）（s）力：導(dǎo)出單位1N（牛頓）=三、單位制第5頁(yè)§10-2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程牛頓第二定律:∵加速度a

有三種計(jì)算方法，∴有三種形式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。一、矢量法二、直角坐標(biāo)法三、自然法第6頁(yè)xyzxyz一、矢量法∴質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為第7頁(yè)xyzxyz二、直角坐標(biāo)法將矢量式向坐標(biāo)軸投影，得或：第8頁(yè)三、自然法在自然坐標(biāo)系中：A自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)微分方程為：或：第9頁(yè)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可分為：1、第一類(lèi)問(wèn)題（動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題）已知物體運(yùn)動(dòng)，求作用在物體力。3、混合問(wèn)題2、第二類(lèi)問(wèn)題（動(dòng)力學(xué)反問(wèn)題）已知作用在物體上力，求物體運(yùn)動(dòng)?！?0-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題第10頁(yè)一、動(dòng)力學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題求解第一類(lèi)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單。已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，求作用在物體上力。求解方法為：將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)數(shù)，得到質(zhì)點(diǎn)加速度，再代入牛頓第二定律，即可求得作用于質(zhì)點(diǎn)上力。第11頁(yè)φωABxyOlβ例題已知滑塊B運(yùn)動(dòng)方程為：滑塊B質(zhì)量為m，忽略連桿AB質(zhì)量和摩擦，求：和時(shí)，連桿AB

所受力第12頁(yè)FxβmgFNax本問(wèn)題為第一類(lèi)問(wèn)題當(dāng)φ=0時(shí)，而且，β=0可得到：（AB桿受拉）以滑塊B為研究對(duì)象φωABxyOlβ解：第13頁(yè)FxβmgFNax以滑塊B為研究對(duì)象當(dāng)φ=π/2時(shí)，可得到：（AB桿受壓）φωABxyOlβ第14頁(yè)二、動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題第二類(lèi)問(wèn)題比較復(fù)雜，求解時(shí)普通需要進(jìn)行積分，僅對(duì)下述幾個(gè)情況，有簡(jiǎn)單解。已知作用在質(zhì)點(diǎn)上力，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第15頁(yè)1、力為常數(shù)對(duì)時(shí)間積分兩次，利用初始條件，確定積分常數(shù)，即可。2、力為時(shí)間函數(shù)一樣，對(duì)時(shí)間積分兩次，利用初始條件，確定積分常數(shù)，即可。第16頁(yè)3、力是位置函數(shù)進(jìn)行以下變換：得：積分得：由上式及所給條件，求出再由第17頁(yè)4、力是速度函數(shù)進(jìn)行以下變換后，積分：得：再由得到：第18頁(yè)物塊質(zhì)量為m,求：物塊運(yùn)動(dòng)方程。l0mkv0例題彈簧剛度系數(shù)為

k,物塊自平衡位置以初始速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。第19頁(yè)xxO這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。以彈簧未變形時(shí)平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物塊置于任意位置x>0

處。物塊在x方向只受有彈簧力F＝－kx

。依據(jù)直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程l0mkF解：第20頁(yè)Fl0xxOmk令：方程通解為：代入初始條件：解得：第21頁(yè)l0mkv0物塊質(zhì)量為m,求：物塊運(yùn)動(dòng)方程。彈簧剛度系數(shù)為

k,物塊自平衡位置以初始速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。例題第22頁(yè)FxmkxO這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，故為第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。以彈簧在靜載mg作用下變形后平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物塊置于任意位置x>0處。l0δstW物塊在x方向只受有彈簧力F＝－kx和重力W＝mg。依據(jù)直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程：解：第23頁(yè)解：以彈簧在靜載mg作用下變形后平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，F(xiàn)xmkxOl0δstW將物塊置于任意位置x>0處。物塊在x方向只受有彈簧力F＝－kx和重力W＝mg。依據(jù)直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第24頁(yè)方程通解為：代入初始條件：解得：第25頁(yè)計(jì)算結(jié)果分析l0mkv0l0xxOmkv0重力mg只改變了系統(tǒng)平衡位置，對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律并無(wú)影響。第26頁(yè)例題已知：粉碎機(jī)滾筒半徑為R，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，鐵球應(yīng)在時(shí)掉下，求：滾筒每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)n。第27頁(yè)解：本問(wèn)題為混合型問(wèn)題小球運(yùn)動(dòng)微分方程（沿主法線方向）為：鐵球受力情況如圖第28頁(yè)質(zhì)點(diǎn)速度v

為：得到：當(dāng)時(shí)，鐵球?qū)⒙湎?，此時(shí)解得：第29頁(yè)一、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程§10-4質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程二、特例三、非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第30頁(yè)saMsrr′xzyOx′z′y′O′慣性參考系（靜系）－Oxyz非慣性參考系（動(dòng)系）-O′x′y′z′絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡sa相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡sr相對(duì)位矢r′牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)系O′x′y′z′

相對(duì)于靜系Oxyz運(yùn)動(dòng)一、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程第31頁(yè)M點(diǎn)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（在靜系內(nèi)運(yùn)動(dòng)）牛頓第二定律：式中：，為絕對(duì)加速度依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)中加速度合成定理，有上式中，稱為科氏加速度，為牽連加速度,為相對(duì)加速度。第32頁(yè)將加速度代入牛頓第二定律，得由上式，可得令牽連慣性力科氏慣性力最終得：第33頁(yè)上式稱為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)加速度乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)上外力協(xié)力與牽連慣性力以及科氏力矢量和。牽連慣性力科氏慣性力第34頁(yè)二、特例1、動(dòng)系作平動(dòng)得到：2、動(dòng)系作勻速直線運(yùn)動(dòng)得到：第35頁(yè)2、動(dòng)系作勻速直線運(yùn)動(dòng)上式與牛頓第二定律相同，全部相對(duì)于慣性坐標(biāo)系作勻速直線運(yùn)動(dòng)參考系都能夠認(rèn)為是慣性坐標(biāo)系。第36頁(yè)m如圖所表示單擺，擺長(zhǎng)l，小球質(zhì)量為m，其懸掛點(diǎn)O以加速度向上運(yùn)動(dòng)。求：此單擺做微振動(dòng)周期。例題第37頁(yè)mOx’y’P在懸掛點(diǎn)O上固接以平動(dòng)參考系Ox’y’，小球相對(duì)此動(dòng)系相當(dāng)于懸掛點(diǎn)固定單擺振動(dòng)。因?yàn)槠絼?dòng)：本問(wèn)題動(dòng)力學(xué)基本方程為：F解：第38頁(yè)向切向方向投影：又

很小令上式變?yōu)椋旱玫剑航獾茫簃Ox’y’PF第39頁(yè)三、非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

飛機(jī)急速爬高時(shí)飛行員黑暈現(xiàn)象爬升時(shí)：a>5g慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機(jī)動(dòng)點(diǎn)－血流質(zhì)點(diǎn)慣性力向下，從心臟流向頭部血流受阻，造成大腦缺血，形成黑暈現(xiàn)象。飛行員黑暈與紅視現(xiàn)象第40頁(yè)

非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)俯沖時(shí)：a>2g飛機(jī)急速俯沖時(shí)飛行員紅視現(xiàn)象慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機(jī)動(dòng)點(diǎn)－血流質(zhì)點(diǎn)牽連慣性力向上，使血流自下而上加速流動(dòng)，造成大腦充血，形成紅視現(xiàn)象。飛行員黑暈與紅視現(xiàn)象第41頁(yè)非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)因?yàn)榈厍蜃赞D(zhuǎn)引發(fā)水流科氏慣性力。第42頁(yè)非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)水流科氏慣性力對(duì)右岸沖刷。第43頁(yè)O例題Pkk已知：開(kāi)有矩形槽大盤(pán)以等角速度ω繞O軸旋轉(zhuǎn)。矩形槽內(nèi)安置物塊-彈簧系統(tǒng)，物塊P質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為k。初始狀態(tài)下，物塊處于大盤(pán)圓心O，這時(shí)彈簧不變形。求：1、物塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程；2、物塊對(duì)槽壁側(cè)壓力。ω第44頁(yè)ωPkkkkPx′y′Ox′vraenaIC1、非慣性參考系－Ox′y′動(dòng)點(diǎn)－物塊P2、分析相對(duì)速度和各種加速度：相對(duì)速度vr

－沿著x′正向牽連加速度aen－由大盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)引發(fā)

科氏加速度aIC

=2m

vr解：第45頁(yè)FIenFFNFICωkkPx′vraenaICx′y′O3、分析質(zhì)點(diǎn)(物塊)受力：F

－彈簧力F＝2kx′FN

－槽對(duì)物塊約束力FIC

－科氏力FIen－法向牽連慣性力

FIen＝mω

2x′第46頁(yè)

kkPx′vraenaICx′y′O4、建立質(zhì)點(diǎn)(物塊)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程：FIenFFNFIC第47頁(yè)5、計(jì)算結(jié)果分析與討論物塊在x′＝0處平衡位置為穩(wěn)定平衡位置。當(dāng)時(shí)牽連慣性力小于彈簧彈性恢復(fù)力，物塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)為自由振動(dòng)，其固有頻率為第48頁(yè)計(jì)算結(jié)果分析與討論

當(dāng)牽連慣性力大于彈簧彈性恢復(fù)力，物塊不能在x′＝0處附近作自由振動(dòng)，物塊在x′＝0處平衡是不穩(wěn)定。

當(dāng)牽連慣性力等于彈簧彈性恢復(fù)力，物塊在x′＝0處為隨遇平衡位置。第49