3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組二、非齊次線性方程組返回

增廣矩陣經(jīng)行

初等變換化為行（簡化）階梯形，該階梯形與方程組解的關(guān)系：行（簡化）階梯形中非零行的行數(shù)<未知量個數(shù)無窮多解該數(shù)不為零，無解行（簡化）階梯形中非零行的行數(shù)=未知量個數(shù)唯一解問題：對于齊次方程組AX=0

？行（簡化）階梯形中非零行的行數(shù)<未知量個數(shù)有非零解(無窮多解)行（簡化）階梯形中非零行的行數(shù)=未知量個數(shù)只有零解(唯一解)一、齊次線性方程組即

AX=0平凡解：X=0(零解)設(shè)

A=(

1,

2,…,

n),則下列命題等價：1o

1,

2,…,

n線性相關(guān);2o

AX=0有非零解;特別的，R(A)=n時，方程只有零解。若系數(shù)矩陣為方陣，則無非零解的充要條件是系數(shù)矩陣可逆解的性質(zhì)：AX=0的解向量的線性組合仍為AX=0的解.證

設(shè)

1,

2,…,

s

為AX=0的解向量，則

A(k1

1+k2

2+…+ks

s

)

=A(k1

1)+A(k2

2)+…+A(ks

s

)

=k1A

1+k2

A2+…+ksAs

=k1

0+k20+…+ks0=0.

所以，k1

1+k2

2+…+ks

s仍為AX=0的解.

W={XRn|AX=0}AX=0的基礎(chǔ)解系：1o

若

1,

2,…,

s線性無關(guān);則稱

1,

2,…,

r

為AX=0的一個基解系.2o

AX=0的任一解向量均可由

1,

2,…,

s線性表出

定理1設(shè)R(A)=r<n,則AX=0有基解系且所含向量個數(shù)為n-r,這里n為方程組未知數(shù)個數(shù).齊次方程組全體解證R(A)=r,不妨設(shè)A的前r個列向量線性無關(guān),則得AX=0的同解方程組分別取則依次得便得AX=0的n–r

個解：可證明:

1,

2,…,

n-r

即為基礎(chǔ)解系：(1)證明

1,

2,…,

n-r

線性無關(guān)：

1,

2,…,

n-r

線性無關(guān)(2)可以證明AX=0的任一解都可由

1,

2,…,

n-r

線性表出.

設(shè)

1,

2,…,

n-r

為AX=0的一個基解系，則

AX=0的解，

=k1

1+k2

2+…+kn-r

n-r,k1,k2,

…,kn-r

R.

AX=0的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量個數(shù)必為

n(未知數(shù)個數(shù))-R(A).

AX=0的

通解

若AX=0有非零解，則必有無窮多個解.例1求方程組的通解解為求通解，可進一步化為得同解方程組(x2,x4為自由未知量)基礎(chǔ)解系為方程組通解為例2解解r(A)=3=n,只有零解X=0例3

解解得同解方程組(x3為自由未知量)基礎(chǔ)解系為方程組通解為

例4

證明：與AX=0基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系.

證兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量個數(shù)相等.

設(shè)

1,

2,…,

s是AX=0基礎(chǔ)解系，

1,

2,…,

s與之等價.

1,

2,…,

s可由

1,

2,…,

s線性表出，所以是AX=0的解；

AX=0的任一解X可由

1,

2,…,

s線性表出，

故，

1,

2,…,

s

是AX=0的基礎(chǔ)解系.又

1,

2,…,

s可由

1,

2,…,

s線性表出，所以X可由

1,

2,…,

s線性表出；

例5

設(shè)n階矩陣A,B滿足AB=0,證明：

R(A)+R(B)≤

n.證設(shè)B=(b1,…,bn),則AB=A(b1,…,bn)=(A

b1,…,Abn)=0,A

bi=0,i=1,…,n.bi(i=1,…,n)為AX=0的解，所以可由基礎(chǔ)解系

1,

2,…,

n-r(r=R(A))線性表出.所以,秩(B)=秩(b1,…,bn)≤秩(

2,…,

n-r)=n-r(A).即R(A)+R(B)≤

n.二、非齊次線性方程組即

AX=b設(shè)

A=(

1,

2,…,

n),即x1

1+x2

2+…+xn

n=b,AX=b

有解

b可由

1,

2,…,

n線性表出

(AX=0稱為AX=b的導(dǎo)出組)解的性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)

1,2為AX=b

的解,則

1-2為其導(dǎo)出組的解.證

A(

1-2)=A

1-A2=b–b=0所以，

1-2為AX=0的解.

性質(zhì)2設(shè)

為AX=b

的解,

為AX=0的解，則

+為AX=b的解.證

A(

+)=A

+A=b+0=b所以，

+為AX=b的解.AX=b

的特解：AX=b

的任一解.

性質(zhì)3設(shè)

0為AX=b

的一個特解,則AX=b

的任一解

可表為

=

0+,(為AX=0

的一個解)

對于AX=b

的任一個特解

0,當

取遍它的導(dǎo)出組的全部解時，

=

0+

就給出AX=b的全部解.

為了求AX=b

的通解（全部解），只需求其一個特解

0,以及導(dǎo)出組的全部解即可：

設(shè)

0為AX=b

的一個特解，

1,

2,…,

n-r為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則AX=b

的通解為

X=

0+k1

1+…+kn-r

n-r,k1,…,kn-r∈R例6

解解有無窮多解得同解方程組(1)求非齊次的特解:取x3=0,得

0=(3,2,0)T(2)求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系:取x3=1,得

=(1,-2,1)T

AX=b

的通解為：

X=

0+k

,kR例7

解解無解例8

解解(1)

=1時，有無窮多解得同解方程組x1=1-x2–x3

導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系：

1=(-1,1,0)T,

2=(-1,0,1)T非齊次特解：

0=(1,0,0)T原方程組通解：X=

0+k1

1+k2

2,k1,k2R