2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（深圳專用）（解析版）

2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（廣州專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答填空題時(shí)，請(qǐng)將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無效。

4.回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將

解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無效。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共30分）

1.在下列簡筆畫圖案中，是軸對(duì)稱圖形的為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后

可重合.

2.如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)A,8表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)B表示的數(shù)為（）

AB

-----1------1------1——＞

-60

A.6B.—6C.0D.一

6

【答案】A

【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義，結(jié)合數(shù)軸求解即可.

【詳解】解：回?cái)?shù)軸上兩點(diǎn)A,8表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)A表示的數(shù)為-6,

回點(diǎn)B表示的數(shù)為6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)和數(shù)軸上表示相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.為保證2022年北京冬奧會(huì)的順利舉行，我國用于各項(xiàng)比賽項(xiàng)目的籌建以及冬奧會(huì)各項(xiàng)保障

工作共投資1728億元，其中1728億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.728X1011B.1.728x1012

C.17.28xlO10D.0.1728X1013

【答案】A

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為“IO”，其中14忖＜10,"為整數(shù)，且"

比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：1728億=1728000000。。，共有12位數(shù)字，1的后面有11位，

■■■172800000000=1.728x10",

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為“X1O”，其中14忖＜10,確

定。與〃的值是解題的關(guān)鍵.

4.一組各不相同的數(shù)據(jù)去掉最大的一個(gè)數(shù)和最小的一個(gè)數(shù)后，不發(fā)生改變的統(tǒng)計(jì)量是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.眾數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)的概念進(jìn)行判斷即可.平均數(shù)：一般地，如果有“

個(gè)數(shù)工，X2…,Xn,我們把.（X/+X2+…+〃）叫做這〃個(gè)數(shù)的算數(shù)平均數(shù),簡稱平均數(shù);中位數(shù):

n

將一組數(shù)據(jù)按由小到大（或由大到?。┑捻樞蛞来闻帕?，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)（或最中

間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù)；

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

【詳解】解：一組各不相同的數(shù)據(jù)去掉最大的一個(gè)數(shù)和最小的一個(gè)數(shù)后，平均數(shù)和眾數(shù)可能發(fā)

生改變，方差一定發(fā)生改變，中位數(shù)不變.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)的概念，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵.

5.下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.正+6=&B.岳一6=如C.a6^a2=a3D.（?+Z?）2=a2+b2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的加法、二次根式的除法、同底數(shù)易的除法的運(yùn)算法則和完全平方公式

逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、血和百不是同類二次根式，不能相加，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、715^75=715-5=^,正確，符合題意；

C、a6^a2=a6-2=a\故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D>（a+b）2=a2+2ab+b2,故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加法、二次根式的除法、同底數(shù)易的除法、完全平方公式，熟

練掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵.

6.若等腰三角形一條邊的邊長為4,另兩條邊的邊長是關(guān)于x的一元二次方程X2_10X+C=0的

兩個(gè)根，則c的值是（）

A.25B.24C.25或24D.36或16

【答案】C

【分析】由于等腰三角形的一邊長4為底或?yàn)檠荒艽_定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)

4為腰時(shí)，另外兩條邊中必有一個(gè)為4,把x=4代入原方程可求出c的值，進(jìn)而求出方程的另

一個(gè)根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷是否符合題意即可；（2）當(dāng)4為底時(shí)，則另外兩條邊相

等，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由回=0可求出c的值，再求出方程的兩個(gè)根進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：分兩種情況：

（1）當(dāng)另外兩條邊中有一個(gè)為4時(shí)，

將x=4代入原方程，得：42-10X4+C=0,

解得：c=24,

將c=24代入原方程，得：X2-10x+24=0,

解得x=4或6,

4,4,6能組成三角形，符合題意；

（2）當(dāng)4為底時(shí)，則另外兩邊相等，

A=（_10）24c=0,

解得：c=25,

將c=25代入原方程，得：%2-10%+25=0,

解得：x=5,

4,5,5能夠組成三角形，符合題意.

故c的值為25或24.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，解一元二次方程，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握分類

討論思想是解題的關(guān)鍵.

2

7.已知點(diǎn)（X7,>7）,點(diǎn)（X2,>2）,點(diǎn)（X3,經(jīng)）在反比例函數(shù)y=二的圖像上，若X3<0<X7<

X

X2,則（）

A.y3<0<yi<y2B.y3<0<y2<yiC.y2<yi<0<y3D.y3<”Vy2<0

【答案】B

【分析】由左=2>0,可得函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，

進(jìn)而得到"，”,”的大小關(guān)系.

【詳解】解：齦=2>0,

國函數(shù)圖象位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，

又0X3<O<X/V%2,

回y?<0,yi>0,”>0,且”>”，

^\y3<0<y2<yi,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

8.如圖，在ABC中，ZC=90°,ZCAB=50°,按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，分別交A3、AC于點(diǎn)E、F；

②分別以點(diǎn)從R為圓心，大于EF長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；

③作射線AG,交3C邊于點(diǎn)D則/WC的度數(shù)為（）

A.40°B.55°C.65°D.75°

【答案】C

【分析】由作圖方法可得AG是/C短的角平分線，進(jìn)而根據(jù)NC鈣=50。，求得/C4D,根據(jù)三

角形的內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：回AG是NCAB的角平分線，ZCAB=5O°,

0ZC4￡>=ZC4B=25°,

0ZC=9O°,

0ZCDA=90°-25°=65°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，掌握基本作圖是解

題的關(guān)鍵.

9.已知二次函數(shù)y=af+bx+c（"0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為了=-；.下列結(jié)論中，正確的

是（）

C.2b+c>0D.4a+c<2b

【答案】D

【分析】由拋物線開口方向得到a>0,由對(duì)稱軸得到b=a>0,由拋物線與y軸的交點(diǎn)得到c<0,

則abc<0；a+b>0；當(dāng)x=l時(shí)，y<0,則a+b+c<0,把a(bǔ)=b代入得2b+c<0；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性

得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于-2,則x=-2時(shí),y<0,所以4a-2b+c<0,即4ab+c<2b.

【詳解】解：回拋物線的開口向上，回”0,回對(duì)稱軸是直線工=-;，代入對(duì)稱軸公式得：a=b,

所以6>0,拋物線與，軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上，故c<0,0abc<O；a+b>0；

由此可知A項(xiàng)和B項(xiàng)錯(cuò)誤；

觀察圖形，當(dāng)尤=1時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)，代入函數(shù)得，a+b+c<0,BP2b+c<0,知C項(xiàng)錯(cuò)

誤；

觀察圖形，橫軸上的數(shù)字1所在位置介于對(duì)稱軸和拋物線與x軸的交點(diǎn)之間，根據(jù)對(duì)稱性，橫

軸上的數(shù)字-2應(yīng)介于對(duì)稱軸和拋物線與x軸另一交點(diǎn)之間，即當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)值為負(fù)，代入

函數(shù)式得，4a-2b+c<0,故D項(xiàng)正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系:二次函數(shù)'=辦2+云+°(〃片())的圖象為拋物

h

線，當(dāng)拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線*=-不，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)/

a>0,2ay(0,c)-4ac>0,

拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)〃-4ac=0,拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)〃-4ac<0,拋物線與x軸沒有

交點(diǎn).

10.如圖，在”ABC中，ABC的面積為AB=2起,平分/ABC,E、R分別為BC、BD

上的動(dòng)點(diǎn)，則CV+EF的最小值是()

A.72B.J3C.2D.石

【答案】D

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，解答此類問題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形

認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.過點(diǎn)。作垂足

為H,交BD于F點(diǎn),過歹點(diǎn)作FEUBC,垂足為甘，則CF+E曾為所求的最小值，根據(jù)ABC的

面積為W，AB=2垃，結(jié)合三角形的面積公式求出口/=6，即可解答.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作8，M，垂足為H,交BD于F點(diǎn)、,過R點(diǎn)作FEU2C,垂足

為E',則CF+E尸為所求的最小值,

回2￡＞是ZABC的平分線，

回切=E'F,

回3是點(diǎn)C到直線口的最短距離（垂線段最短）,

0ABC的面積為而，AB=26,

回密=5

回CF+E'/的最〃、值是CP+E'/=CP+W=CH=6.

故選：D.

二、填空題（共18分）

11.若分式學(xué);有意義，則x的取值范圍為______.

x-4

【答案】xr±2.

【分析】由分式有意義的條件進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，

國分式三|有意義，

0X2-4^O,

回xw±2.

故答案為：xw±2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分母不等于0.

12.已知正〃邊形的一個(gè)外角是45。，則M=

【答案】8

【分析】根據(jù)正多邊形的外角和的特征即可求出多邊形的邊數(shù).

【詳解】解：〃=360°+45°=8.

所以〃的值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和的特征，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于360。，是基

礎(chǔ)題型.

13.不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球

實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.75附近，估計(jì)口袋中白球大約有一個(gè).

【答案】15

【解析】由摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.75附近得出口袋中得到白色球的概率，進(jìn)而求出白球個(gè)

數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)白球個(gè)數(shù)為x個(gè)，

國摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，

回口袋中得到白色球的概率為0.75,

Sx：(x+5)=3：4,

解得：x=15,

即白球的個(gè)數(shù)為15個(gè)，

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率得到結(jié)果

是解題關(guān)鍵.

14.將一副三角板按如圖方式重疊，則Z1的度數(shù)為.

【答案】75。/75度

【分析】根據(jù)三角板中角度的特點(diǎn)得到=45。，ZDBC=30°,再由三角形外角的性質(zhì)即可

得到答案.

【詳解】解：由題意得：ZACB=45°,Z￡>BC=30°,

0Z1=ZACB+ZDBC=75°,

故答案為：75。.

D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，熟知三角形一個(gè)外角的度

數(shù)等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵.

15.圓錐的底面半徑為2,母線長為6,則它的側(cè)面積為.

【答案】12"

【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑為2,母線長為6,直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出它的側(cè)面積.

【詳解】解：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：7r-r-l=7rx2x6=127r,

故答案為：12萬.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面積公式.熟記圓錐側(cè)面積公式求出是解決問題的關(guān)鍵.

k

16.如圖：在咫403中，ZA0B=90。,03=2,軸，雙曲線y=—經(jīng)過點(diǎn)3,將繞點(diǎn)3

x

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在x軸正半軸上.A3的對(duì)應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點(diǎn)。則上的

k

【分析】由過原點(diǎn)，點(diǎn)3、。在>=—上，利用中心對(duì)稱性質(zhì)可得3。=。。，將「AC?繞點(diǎn)3

x

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得BD=0B=2,0D=0B=0C=2,可證回為等邊三角形，可得勖。￡>=60。，設(shè)

點(diǎn)3(x,y),由三角函數(shù)可求點(diǎn)3(1,百)，由點(diǎn)3在雙曲線y=￡上，把點(diǎn)3坐標(biāo)代入解析

X

式即可.

k

【詳解】解：回3。過原點(diǎn)，點(diǎn)3、C在y-上，

X

回MAO3中，ZAOB=90°,OB=2,將.AO3繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在X軸正

半軸上.

?BD=0B=2,

00BDC=9O°,BO=CO,

0OD=OB=OC=2,

a0B=BD=0D=2,

回△03。為等邊三角形，

回回3OD=60°,

設(shè)點(diǎn)B(x,y),

0x=OBcos6O°=2x1=l,y=OBsin60°=2x^=^,

團(tuán)點(diǎn)B(1,Q

k

回點(diǎn)3在雙曲線股—上，

X

0k=xy=lx乖!=#.

故答案為：舊.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，中心對(duì)稱，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，等邊三角形判定與

性質(zhì)，特殊角銳角三角函數(shù)，掌握三角形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，中心對(duì)稱，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，等

邊三角形判定與性質(zhì)，特殊角銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

三、解答題(共72分)

x-2<0,

17.(4分)解不等式組：尤-1

---<X

I2

【答案】-l<x42

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

x-2<0?

【詳解】解：-

----<x&)

I2

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：x>-\,

回不等式組的解集為：-1<XV2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)

鍵.

18.（4分）已知：BELCD,BE=DE,EC=EA,求證：ZB=ZD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)邊角邊直接證明△3EC9△的，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：回

^\ZBEC=ZDEA=90°,

在，BEC與ADE4中，

BE=DE

<ZBEC=NDEA,

EC=EA

^ABEC^ADEA(SAS),

回NB=ND.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

19.(6分)已知多項(xiàng)式A=(x+2y+(x+2)(l-x)-3.

⑴化簡多項(xiàng)式A;

⑵若(x+iy=5,求A的值.

【答案】⑴A=3x+3

(2)±36

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，再合并即可得；

(2)由(x+lf=5得工+1=±君，代入A=3x+3=3(x+l)可得.

【詳解】(1)解：A=X2+4X+4+X+2-X2-2X-3=3X+3;

(2)解：由(1)知A=3x+3,

回(X+1)2=5,

X+1=i,s/s,

A=3x+3=3(x+l)=±3否.

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式與項(xiàng)

式乘多項(xiàng)式法則.

20.（6分）某工程隊(duì)接到了修建3000米道路的施工任務(wù)，修到一半的時(shí)候，由于采用新的施

工技術(shù)，修建效率提高為原來的L5倍，結(jié)果提前5天完成了施工任務(wù)，問原來每天修多少米

道路?

【答案】100米

【分析】設(shè)原來每天修建公路x米，則加快施工速度后每天修建1.5x米，根據(jù)“提前5天完成

任務(wù)”列出方程并解答.

【詳解】解：設(shè)原來每天修建x米道路,

曰3000「1500,1500

由題意得：------5=--------

xx1.5%

解得x=100

經(jīng)檢驗(yàn)：x=100是原分式方程的解

答：原來每天修建100米道路.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用.分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，注

意：解分式方程需要驗(yàn)根.

21.（8分）2022年10月12日我校推出四種校本課程：A.激光切割，B.數(shù)學(xué)游戲，C.擊

劍，DPython趣味編程，學(xué)生可在長沙市中小學(xué)課后服務(wù)系統(tǒng)選擇自己心儀的選修課程.為

了解學(xué)生最喜歡哪一項(xiàng)校本課程，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不

完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)回答下列問題:

⑴這次被調(diào)查的學(xué)生共有人；

⑵請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

⑶在平時(shí)的“Python趣味編程”的課堂學(xué)習(xí)中，甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四名

同學(xué)中任選兩名參加Python趣味編程大賽，用樹狀圖或列表法求出恰好同時(shí)選中甲、乙兩位

同學(xué)的概率.

【答案】⑴200；

（2）補(bǔ)圖見解析；

【分析】（1）根據(jù)3的人數(shù)除以3的百分比即可求得總?cè)藬?shù)；

（2）求出最喜歡擊劍校本課程的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式求出概率即可.

【詳解】（1）解：由題意得，80+40%=200（人），

故答案為：200

（2）解：最喜歡擊劍校本課程的人數(shù)為：200-20-80-40=60（人）,

如圖所示：

1人數(shù)（人）

100-

回p（恰好同時(shí)選中甲、乙兩位同學(xué)）=47=11.

12o

即恰好同時(shí)選中甲、乙兩位同學(xué)的概率為

【點(diǎn)睛】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，樹狀圖或列表法求概率，熟練掌握

樹狀圖或列表法求概率是解題的關(guān)鍵.

22.（10分）如圖1為放置在水平桌面/上的臺(tái)燈，底座的高為5cm,長度均為20cm的連桿

BC,8與始終在同一平面上.

⑴轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC,8,使々CD成平角，ZABC=150。，如圖2,求連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度QE.

⑵將（1）中的連桿8再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使ZBCD=165。，如圖3,問此時(shí)連桿端點(diǎn)。離

桌面/的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？（精確到0」cm,參考數(shù)據(jù)：應(yīng)。1.41,

百"73)

【答案】⑴（2。6+5即；

⑵減少了，3.2cm

【分析】（1）作于。解直角三角形求出。。即可解決問題.

（2）作于RCPLD尸于P,BGLDF^-G,CHLBG于H.則四邊形尸C〃G是矩形，求

出。尸，再求出DE-DE即可解決問題.

【詳解】（1）如圖2中，作于點(diǎn)。.

圖2

根據(jù)題意有：BD=BC+CD=40,

回AOEA=ZBOE=NBAE=90°,

回四邊形ABOE是矩形,

回NOBA=90°,

0ZABC=150°,

0ZDBO=150°-90°=60°,

回OD=3Z>sin60°=20g(cm),

^\DF=OD+OE=OD+AB=20y/3+5(cm)；

(2)作￡>/_1/于RCP_L止于P,BG_LD歹于G,CHLBG于H.

則四邊形尸C〃G是矩形,

D

G…衿叫

A

圖3

團(tuán)根據(jù)(1)求出NC5"=60。，NCHB=90。,

^ZBCH=30°,

0ZBCD=165°,

0ZDCP=45°,

0C/f=BC-sin60°=10V3(cm),DP=CD-sin45°=1042(cm),

0DF=DP+PG+GF=￡>P+CH+AB=(10A/2+10A/3+5)(cm),

回下降高度：￡)￡-DF=20A/3+5-(10A/2+10^/3+5)=10(V3-5/2)~3.2(cm).

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形

解決問題.

23.(10分)如圖，在等腰ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。與BC相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作交C4的延長線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)色

￡

⑴判斷與。的位置關(guān)系，并說明理由.

⑵若，。的半徑R=3,cos/E二，求E尸的長.

【答案】(1)/汨與。相切，見解析

⑵6-g

【分析】(1)連接OD,根據(jù)等邊對(duì)等角得出/8C=/OCD,NB=NC,等量代換得到

/B=/ODC,則AB〃OD,推出即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)cos/E=:，得出4=60。，^1]sin/￡=—=—=—,即可求出￡4=2石-3,根據(jù)

2OEEA2

cosZE=?,即可求解.

【詳解】⑴解：DE與,。相切，

理由：連接O。，

^\OD=OC,

^\ZODC=ZOCD,

^\AB=AC,

I34=ZC,

^ZB=ZODC,

^AB//OD,

^DE±AB,

^ODLDE,

ELD在O上，

回。石是。的切線；

(2)解：HcosZE=1,

0ZE=6O°,

^\DE±AB,ODLDE,

0sinZE=

OEEA2

^\OA=OD=R=3,

^OD_3_V3

OEEA+32

解得：EA=2相-3,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握切線

的判定定理，解直角三角形的方法和步驟.

24.（12分）如圖，拋物線y=g尤2+〃猶+”與x軸交于A,3兩點(diǎn)，與》軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)

稱軸交x軸于點(diǎn)。，已知A（T0）,C（0,-2）.

⑴求拋物線和直線AC的函數(shù)解析式；

⑵若點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)/，求四邊形CDAP

的最大面積；

⑶在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P,使得以4D、尸為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)

尸的坐標(biāo).

1Q1

【答案】⑴拋物線的函數(shù)解析式為y=：d+；x_2,直線AC的函數(shù)解析式為y=-gx-2

喟

35或-

⑶點(diǎn)P的坐標(biāo)為1

2'4

【分析】（1）把點(diǎn)A（T0）,C（0「2）代入拋物線>=氐2+皿+“，求解出如〃的值，即可得到拋

物線的函數(shù)解析式；設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為廣區(qū)+3把點(diǎn)A（-4,0）,C（0,-2）代入，求出左，b

的值，即可得到直線AC的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m（-4<m<0）,則加-2）,+|m-2^|,

EF=^-1m-2^-Qm2+|m-2^|=-1m2-2m,所以

sACF=SAEF+SCEF=^EF-AM+^EF-OM=^EF-AO=-m2-4m-,因?yàn)辄c(diǎn)。的坐標(biāo)為‘訓(xùn)，所以

AD=^，CO=2,5ACfl=1AD-C（9=|x|x2=|,因此

S13

29

S四邊形OMF=S,ACF+SACD=-m-4m+-=-（m+2）-+y,當(dāng)加=-2時(shí)，四邊形CDAF的面積有最大值，

-13

為彳；

（3）由于ZAZ）P=ZAOC=90。，且AD、尸為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似，所以分兩種情況討論:

①瞿=焉或②強(qiáng)把旬‘A。,"的長代入,即可求得。尸的長,從而得到點(diǎn)P的

AOCzC-CxCztz/i

坐標(biāo).

【詳解】（1）回拋物線了=夫2+如+〃過點(diǎn)A（T,O）,C（O,-2）

1/八2[3

—x（—4）—4m+n=00m=—

2I）,解得2

n=—2n=—2

iQ

回拋物線的函數(shù)解析式為y=#+“-2

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為尸丘+萬

回直線AC過A（T,0）,C（0,-2）

-4k+b=0k=--

I，解得2

b=-2

回直線AC的函數(shù)解析式為y=-;x-2.

(2)

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為根(-A<m<Q)

13

回EFU軸，點(diǎn)E在直線AC上，點(diǎn)R在拋物線>=2爐+5犬-2上

1A」12,3Q

團(tuán)￡m,——m-2,F\m,—m+-m-2

I2J22J

/.EF=|--m-2—m2+—=m2-2m

I2八22)2

A(<0)

.\AO=4,AM+OM=AO=^

=

/.SACF-S+SCEF~EF.AM+—EF,ONI——EF(AM+OM^=—EF,A。

1/121

=———m-2mx4=-m2-4m

2(2J

iQa

回拋物線>=—2的對(duì)稱軸為x=—：

回點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-

團(tuán)A(<O),C(O,—2)

:.AD=~,CO=2

2

:.SAE=-ADCO=-x-x2=-

ACD2222

5213

???5四邊形0).=240尸+548=一加2—4加+5=-(m+2)+萬

i3

團(tuán)當(dāng)相=-2時(shí)，四邊形CDA歹的面積有最大值，為

0ZADP=ZAOC=90°,AD、尸為頂點(diǎn)的三角形與QAC相似

回分兩種情況討論：①4S=g或②芟=察

①若處=里，則;DP

AOOC廣萬

0DP=-

4

回點(diǎn)p的坐標(biāo)為［-T3）或卜

②若絲="，則^DP

COOA2=^~

回。尸=5

國點(diǎn)尸的坐標(biāo)為1|，5）或（-*5）

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,T，：或卜!?，-：,卜:，5）,?，-5）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)，由點(diǎn)

的坐標(biāo)得到線段的長，進(jìn)而表示出四邊形的面積，再利用函數(shù)的最值是解題的常用方法.

25.（12分）（1）觀察猜想：如