陜西省西安市某中學2024屆高三年級下冊高考模擬押題文科數(shù)學試題（一）（含答案與解析）

2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬押題試卷

數(shù)學（文科）

本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A=y=j6-2x],B=[y\y2-4<0）.?

1.已知集合I'/，/，則集合中元素的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.復數(shù)史-的模等于（）

-1+i

3.某幼兒園組織“寶貝計畫”興趣小組.“變變變”是“寶貝計畫哲學”，源自《周易》“窮則變，變則通，通則

久”，寶貝計畫的終極理想是通過畫畫，讓孩子還原想象、樹立自信、感悟智慧、溫存內(nèi)心.某天中班有四個小

朋友參加此項活動，每個人畫了一幅《小豬佩奇》的畫，他們先把作品放到一起再反扣在桌子上，每人從

中隨機的拿出一幅畫，則四個小朋友拿到的都不是自己的作品的概率為（）

1123

A.一B.-C.—D.—

4358

4.一組數(shù)據(jù)為2,6,8,6,5,8,7,下列說法正確的個數(shù)是（）

①這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6

13

②這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)是一

2

③這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7

④這些數(shù)據(jù)的標準差是巫2

7

A.1B.2C.3D.4

5.已知的內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為"c,若。=2百，函數(shù)

/（x）=—（瓜in2x—cos2x）+3的最小值為/（A）,則的外接圓的周長為（）

A.3兀B.4兀C.8兀D.16兀

6.已知一個三棱錐的三視圖如圖，正視圖為邊長為3的正方形，側視圖和俯視圖均為等腰直角三角形，則

此幾何體的外接球的表面積為（）

正視圖側視圖

A.6兀B.1271C.1771D.27兀

—,則cos[0一？-）的值為（

717

A.B.C.D.

838

]]]1

8.數(shù)列｛帽滿足[=吟=*"一（在2）,則+?+—=（）

2021101210122023

A.-------B.-------C.-------D.

2025202540484048

9.若a=0.315,b=k)g312,c=k)g26,d=，一g,則有()

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

10.已知A（—2a,0）,B（2a,0）,（a>0）,半徑為2的圓C滿足：圓心在直線4x-3y=0上，且到直線

y=x的距離為YZ.若圓c上任意一點尸都滿足R4.p3>o,則實數(shù)。的值可能是()

2

35

A.1B.-C.2D.-

22

11-已知/(x)定義域為R,函數(shù)/(%)滿足/(%)+〃4一x)=6,g(x)=12：+2,23,f(^x),g(x)

4%—8

圖象的交點分別是(玉,％),(々,％)，(忍，％)，(%4，%)，-(當，％)，則%+為++%可能值為

()

A.2B.14C.18D.25

22

12.已知雙曲線?一斗=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為F1,F,,右焦點工到漸近線的距離為3+G，

ab

過耳作圓。：/+3；2=02的切線，交雙曲線右支于點若cos/￡Mg=；,則圓C的面積為

()

A.9兀B.8兀C.6兀D.4兀

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在區(qū)域｛(無，?/+嬉9｝內(nèi)任取一點尸，使點尸落在｛(%,刈必+沆』區(qū)域內(nèi)的概率為

x+y-3<0

14.若X,y滿足約束條件<x—y—1V0,則z=3x—y的最小值為.

5x+y+120

15.已知向量小匕滿足,+2023囚=卜—20234a=(1,0),忖=2,則”+2人在a+人上的投影為

16.定義在R上的函數(shù)八％)的導函數(shù)為尸(龍)，且有〃—3)=-12,/(T)+/(X)=0,且對任意

xGR都有/'(%)>3,則使得/(eA)-3ev-3>0成立的x的取值范圍是.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知正項數(shù)列｛4｝,%是方程(0)+和q―5]=0的根，數(shù)列也｝滿足公比是2的等比數(shù)歹U,

b3=2。6-〃4-

(1)數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

⑵令g=（3a“—1）也“，求數(shù)列｛cn｝的前n項和Tn.

22

18.己知橢圓。：0+%=1（4〉6〉0）的一個焦點與拋物線/=4%的焦點重合，離心率為，

（1）求橢圓C方程；

（2）過點g,o］作斜率為|■的直線交橢圓C于P,Q兩點，求弦p。中點坐標.

19.在長方體ABC?！?4GR中，AD=^AB=\,E在線段CD上，且滿足DE=EC.

（1）求證：平面EBB11平面AEAX；

（2）若異面直線AD】與DG所成角的余弦值為普，求用到平面AED1的距離.

20.2023張信哲世界巡回演唱會在唐山站正式啟動，9月9日唐山新體育中心體育場一起來見證情歌王子的

魅力現(xiàn)場!為了了解關注該演唱會是否與性別有關，某電視臺隨機抽取200名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下2x2

列聯(lián)表.

男女合計

關注演唱會701080

不關注演唱會8040120

合計15050200

（1）能否有99.9%的把握認為“是否關注演唱會與性別有關”；（運算結果保留三位小數(shù)）

n(ad-bc)2

附：K-=其中〃=〃+/?+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

20005

P(K>k0)0.1000.0500.0250.0100.001

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

(2)演唱會結束后，現(xiàn)場開啟有獎競猜活動.規(guī)定同組三個人中至少有兩個人答對這道題目就可以獲得神

3

秘獎品.甲、乙、丙三人現(xiàn)場組隊參賽，已知甲和乙能答對這道題概率為一和L3三人都答對這道題的概

48

3

率為7,求三個人能獲得神秘獎品的概率.

21.已知函數(shù)g(x)=g(x?+2aln%—4).

(1)討論函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性；

(2)設函數(shù)〃x)=g(x)—4x+2,若函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)有兩個不同的零點X],%(玉<9)，證

明.+§

22

—，—才?一=C0S6Z.....人―一

22.在直角坐標系xOy中，曲線c的參數(shù)方程為1(a為參數(shù))，以坐標原點。為極點，X

y=2sina

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為左"cos。一夕sin。-2左=0(左為直線/的斜率且

左w0).

(1)將曲線。和直線/化為普通方程；

(2)設曲線。與直線/交于A,3兩點，線段A3的中點為M.證明：直線31的斜率與直線/的斜率的乘

積為定值.

23.己知函數(shù)〃x)=|x+2|+|x—2|.

(1)求不等式/(%)<6的解集；

⑵若不等式2a+l有解，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

XGy=Ay2-4<ol?

1.已知集合A=1IN|/6-2%1‘,B=I[y\"',則集合4AcB中元素的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】分別求解集合A3,根據(jù)交集的定義計算即可.

［詳解］因為集合4={%6可,=后石}={0,1,2,3},5={302—4<0}={4—2<,<2},故

AB={0,l,2}.

故選：C.

2.復數(shù)二巨的模等于（）

-1+i

A.孝B.1C.72D.G

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算即可得出答案.

【詳解】半

-1+122

故選：B.

3.某幼兒園組織“寶貝計畫”興趣小組.“變變變”是“寶貝計畫哲學”，源自《周易》“窮則變，變則通，通則

久”，寶貝計畫的終極理想是通過畫畫，讓孩子還原想象、樹立自信、感悟智慧、溫存內(nèi)心.某天中班有四個小

朋友參加此項活動，每個人畫了一幅《小豬佩奇》的畫，他們先把作品放到一起再反扣在桌子上，每人從

中隨機的拿出一幅畫，則四個小朋友拿到的都不是自己的作品的概率為（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用排列數(shù)及古典概型的概率公式即可求解.

【詳解】四個小朋友拿到的都不是自己的作品有C；C；xl=3x3x1=9種方法，四個小朋友隨便拿一個有

A：=24種方法，

93

故四個小朋友拿到的都不是自己的作品的概率為一=一.

248

故選：D.

4.一組數(shù)據(jù)為2,6,8,6,5,8,7,下列說法正確的個數(shù)是()

①這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6

②這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)是,

2

③這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7

④這些數(shù)據(jù)的標準差是否2

7

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】將原數(shù)據(jù)組由小到大排列，根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差的定義逐一計算即可.

【詳解】依題意，原數(shù)據(jù)組由小到大排列為：2,5,6,6,7,8,8,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6或8,故①錯誤;

中位數(shù)是6,故②錯誤;

［口①、，2+5+6+6+7+8+8,

平均數(shù)為---------------------二6.故③錯誤;

7

方差為『［［(2—6)1(5—6)?+2x(6—6"(7—6R2x(8—6門26

7

性*不,26J18244小丁母

標準差為J—=-------.故r④正確.

V77

故選：A.

5.已知的內(nèi)角所對的邊分別為若〃=26，函數(shù)

/(x)=-(由sin2x-cos2x)+3的最小值為/(A),則ABC的外接圓的周長為()

A.3兀B.4兀C.87rD.16兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的最值可得A=]7T,再由正弦定理代入計算，即可得到結果.

【詳解】要使/(%)=-瓜足2%+＜：052%+3=-2511112》一61+3,取得最小值/(A),

ITTTTTjr

只需2A——=—+2E,即4=—+hi(keZ),又Ae(0,7r),.1A=§.

623

設,ABC的外接圓的半徑為R,

2R=61=2石=4

根據(jù)正弦定理，-sinA-6-，解得R=2.

下

所以.A6C的外接圓的周長為4兀.

故選:B.

6.已知一個三棱錐的三視圖如圖，正視圖為邊長為3的正方形，側視圖和俯視圖均為等腰直角三角形，則

此幾何體的外接球的表面積為()

正視圖側視圖

俯視圖

A.6兀B.12KC.17兀D.27兀

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可將該三棱錐補充為一個正方體，計算正方體的外接球體積即可得.

【詳解】由題意將該三棱錐補充為一個正方體，如圖所示，

該三棱錐為A-BCD,其外接球與它所在正方體外接球是同一個，

設其外接球的半徑為A,則有(2氏)2=32+32+32=27,

此幾何體的外接球的表面積為S=47tA?=27K.

故選：D.

cB

D.

1

7.已知sin],貝I]cos[0—的值為（

4

177

A.-B.-cD.

38-48

【答案】D

【解析】

【分析】利用換元法，結合三角函數(shù)的誘導公式與倍角公式即可得解.

a7i1人。兀PTJC兀^1

【詳解】因為sin一十一一”,令t——-I----,貝U。=2t—,sint——4,

21242126

bi\5兀(c71571]

所以cos(a--—=cos|2t-----------|=cos(2/-兀)=-cos2t

I66J

=—(1—Zsin2=Zsin?/—1=2x]()—1=—：

故選：D.

2/、111+」

8.數(shù)列｛4｝滿足q（心2），則丁+丁丁()

nn—1%024

2021101210122023

A.------B.-------C.------D.

2025202540484048

【答案】B

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的定義可判斷是以;二4為首項，2為公差的等差數(shù)列,即可利用裂項求和求

解.

【詳解】將%=/T+2"2化簡為也=2,

nn—1nn-1

所以數(shù)列,?）是以:

=4為首項，2為公差的等差數(shù)列.

If---所以

所以=4+2(〃-1)=2〃+2,即——~7TV

v7

nan2n(n+l)2\nn+1)

n

2〃+2

111120241012

所以一+—+—+-I________--------------------------

(12〃3%02440502025

故選:B.

9.若。=0.3產(chǎn)5]=iog312,c=log26,d=^|,則有()

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先得0<a<l,d=進一步

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log,3>2,從而我們只需要比較4,log23的大小關系即可

求解，兩式作商結合基本不等式、換底公式即可比較.

【詳解】?=0,3115<0,31°=1，所以0<a<l,d=f—g<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

pn4+ln2?

又因為理#_In4」n2<[2J_(ln2回?<1

log,3-In3-ln3<In3-ln3-(ln3)2<

所以Z?vc,即dva<》vc.

故選：B.

10.已知A（—2a,0）,B（2a,0）,（a>0）,半徑為2的圓C滿足：圓心在直線4x-3y=0上，且到直線

y=x的距離為YZ.若圓c上任意一點尸都滿足R4.p3>o,則實數(shù)。的值可能是（）

2

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】由已知圓心在直線上和點到直線的距離求出圓C方程，又圓。上任意一點都滿足上4.總>0,即

0<ZAPB<9Q.得到兩圓位置關系為相離，即圓心距大于兩圓半徑之和求出實數(shù)。的取值范圍即可.

【詳解】

設圓心C

解得7篦=3或%=-3,圓心的坐標為（3,4）或（—3,-4）,

圓。方程為：(x—3y+(y—=4或(x+3y+(y+4)2=4,

因為圓C上任意一點都滿足上4.依>0，即0</AP3<90,

所以圓。與圓0:必+丁2=4/（?！?）位置關系為相離，所以|OC|>2+2a,

3

又因為|0。=5,所以5>2+2a,即0<。<1.

故選：A.

11.已知/（X）的定義域為R,函數(shù)/（X）滿足/（%）+/（4_%）=6,g（x）=12"+2023,/（力超⑺

圖象的交點分別是（%,%）,（孫％），（毛，%），（斗％），，（%，%），則%+%++月可能值為

（）

A.2B.14C.18D.25

【答案】C

【解析】

【分析】可以分別說明/（%）遙（月的對稱中心為（2,3）,從而兩個函數(shù)的圖象交點關于（2,3）對稱，即

%+%++笫應為6的倍數(shù)，由此即可逐一判斷.

【詳解】因為函數(shù)"％）滿足〃x）+/（4—x）=6,所以的對稱中心為（2,3）,

12（2+%）+202312（2-x）+2023

注意至ijg（2+x）+g（2-x）4（2+x）-8+4（2-x）-8

12（2+%）+202312（2-x）+2023

=6,

4x4^

所以g（x）=12：［j；23的對稱中心也是（2,3）,

故兩個函數(shù)的圖象交點關于（2,3）對稱，

故%+%+「+其應為6的倍數(shù)，對比選項可知C選項符合題意.

故選：C.

22

12.已知雙曲線斗=1（“>01>0）的左、右焦點分別為月，工，右焦點工到漸近線的距離為3+6，

ab

過《作圓。：必+丁2=。2的切線，交雙曲線右支于點加，若cos/￡Mg=g,則圓C的面積為

（）

A.9兀B.8兀C.6兀D.4兀

【答案】A

【解析】

【分析】由焦點到漸近線的距離為匕，可得b,結合雙曲線定義與cos/月照=；可得。，即可得圓C

的面積.

【詳解】如圖，因為右焦點工到漸近線的距離為3+班，故人=3+6，

作OA±FXM于點A,F2B±F[M于點B,

因為耳M與圓°：必+/=/相切，所以[04|=.月1=2|。4|=2/閨理=?,

因為cos/￡MB=g,即/月加工=60,

在直角5中，得M味芥

又點加在雙曲線上，由雙曲線的定義可得：

\FlM\-\F2M\=\F]B\+\MB\-\F2M\=2b+^-^=2a,整理得匹士?"，

因為人=3+6，所以4=3,圓C的面積S=兀r2=71y/=9兀.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于借助作。4,4M于點A,83,4”于點3,從而結合雙曲線定義

與直角三角形的性質(zhì)可得。，即可得圓C的面積.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在區(qū)域｛(劉力9+北,9｝內(nèi)任取一點「，使點P落在｛(x,刈V+乂』區(qū)域內(nèi)的概率為

【答案】|

【解析】

【分析】根據(jù)集合意義即可求解.

【詳解】區(qū)域｛(%?V+寸央｝,表示以0(0,0)圓心，半徑為3的圓及其內(nèi)部，

區(qū)域｛(x,y)|三+產(chǎn)＜1｝,表示以0(0,0)圓心，半徑為1的圓，

結合圖形可得所求概率p=」]XTT=—I.

9兀9

故答案為：一

9

x+y-3<0

14.若x,y滿足約束條件｛x—y—lVO,則z=3x—y的最小值為.

5x+y+l>0

【答案】-7

【解析】

【分析】畫出可行域，當直線y=3x-Z經(jīng)過點3時，z取最小值.

【詳解】作出如下圖可行域：z=3x—y,即y=3x—z,

平移直線y=3x,經(jīng)過點B時直線的縱截距-z最大，即z取最小值,

x+y—3=0,、

聯(lián)立u,C，解得5(—1,4),

5x+y+l=0

代入得z=3義(-1)-4=-7.

故答案：-7

15.已知向量①匕滿足,+2023囚=卜—2023川,0=(1,0),忖=2,則“+2b在a+8上的投影為

【答案】見1

5

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得b=(O,±2),再由平面向量投影的定義，計算對應的投影即可.

【詳解】由口+2023小.一2023M兩邊平方化簡得到=0，

又a=(1,0),W=2,

x2+y2=4

設b=(x,y),貝卜，則萬=(。,±2),

x+0-y=0

則a+Z?=(l,±2),a+2Z?=(1,±4),

(a+2b).(a+b)a

a+2b在a+Z?上的投影為----i------T\-------——N5.

\a+b\5

則a+2b在a+6上的投影為逋.

5

故答案為：巫

5

16.定義在R上的函數(shù)〃％)的導函數(shù)為了'(%),且有/(—3)=—12"(—%)+/(力=0,且對任意

xGR都有了'(X)>3,則使得/(e，)—3e，—320成立的x的取值范圍是.

【答案】［ln3,y)

【解析】

【分析】構造函數(shù)g(x)=/(x)-3%,根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可結合奇偶性求解.

【詳解】由/(—x)+/(x)=0知/(%)是奇函數(shù)，.?"(3)=—3)=12,

設g(x)=/(x)—3%,則g(3)=/(3)—3義3=12—9=3,g'(x)=/'(x)—3>0,

???g(x)在R上單調(diào)遞增，由/(e)—3e、—320得/(e)—3F之3,

即g(ex"g(3),二/打，得x、ln3,x的取值范圍是［ln3,+”).

故答案為：［ln3,+oo)

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2

17.已知正項數(shù)列｛a,｝,a“是方程丫+4%-5n=0的根，數(shù)列｛bn｝滿足公比是2的等比數(shù)列,

b3=2a6-a4.

⑴數(shù)列｛叫和也｝的通項公式；

(2)令ca=(3%—1)也“，求數(shù)列｛c“｝的前幾項和卻

【答案】（1）a”=n,bn=T

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意因式分解可得數(shù)列｛%｝的通項公式，進而求數(shù)列也,｝的首項封，即可得數(shù)列｛〃｝的

通項公式；

（2）由（1）可得%=（3〃—利用錯位相減法運算求解.

【小問1詳解】

因為（a）+4〃。"一5/=0,即（a“+5〃）（%—八）=0,

所以4=-5〃或%=n,

因為?！?gt;0,所以%=n,

設數(shù)列出｝的首項偽，

則a=24-4=12—4=8=/22,解得伉=2,

所以優(yōu)=2".

【小問2詳解】

由⑴可得：c〃=（3%—1）也0=（3〃—1>4”,

則q=2x4+5x42+8x43+…+（3〃-1）x4?,

47；,=2x42+5x43+8x44+---+（3n-4）x4n+（3?-l）x4,!+1,

上述兩式小目減得—3（=2x4+3*4?+3x43H---1-3x4°—（3〃—1）義4,!+1,

12x（1—4"）

=—^-^^-4-（3n-l）x4n+1=-（3n-2）x4"+1-8-

所以7；=，2X4〃M+|.

22

18.已知橢圓。：三+%=1（?！?〉0）的一個焦點與拋物線>2=4%的焦點重合，離心率為。.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點，,o］作斜率為|?的直線交橢圓C于P,Q兩點，求弦尸。中點坐標.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

⑵（-4）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點求出C的值，然后由橢圓的離心率計算。，再由平方關系得到力，可寫出橢

圓的方程；

（2）設的坐標，點差法計算出坐標之間的關系，再根據(jù)中點所在直線可求出點坐標.

【小問1詳解】

依題意得：c=l

c11

e=—,即一=—,解得a=2

a2a

b1=a1-c1解得b=V3

22

橢圓。的方程為土+乙=1

43

【小問2詳解】

設AB的中點為M,即/（天,%），如圖所示:

設尸（七,％）,。優(yōu),％），又中點坐標為/（%%）,

%+%2=2%0

所以《

/+%=2%

則如「3

2

’22

9+"=1

22/b2

又A,B兩點在橢圓=+與=1（?！?〉0）上，可得＜

22'

ab生+&=1

2_22_2

兩式相減可得三至+M二%=0,整理得

a2b2

X-%=b（X]+々）=3x2x（）=/x3=3xQ_①

石-W〃（％+%）42%%x42'%一

過點p]_g,o]斜率為g的直線為＞=.

因為M（%,%）在直線上，故為+g]，②

聯(lián)立①②，解得xQ=-1,%=g

所以尸。中點坐標[一1，3]

19.在長方體ABC?！狝/GR中，AD=^AB=1,E在線段CD上，且滿足DE=EC.

B

（1）求證：平面EBB,1平面AEA,.

（2）若異面直線A。與。G所成角的余弦值為半，求用到平面AED1的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明BE，平面叢4,再由線面垂直的性質(zhì)定得證;

（2）利用等體積法求⑸到平面AE2的距離高即可.

【小問1詳解】

7T

由題意，AD=DE,CE=CB,所以NDEA=NCEB=生,

一4

7T

所以/BEA=—,即

2

又長方體中，AA_L平面A3CD,BEu平面A3CD,

所以E5_L44，又AEA&=A,AE,A&u平面及里，

所以3E，平面EA\,BEu平面EBB}

：.平面EBB,±平面EA\.

【小問2詳解】

延長CB到BQ使=如圖,

0

所以用?！āＳ?，又ADJIC[B,所以片QADl,

因為ABXDQ,所以NRABi為異面直線AD,與DC,所成的角，設5耳=a,

，解得a—2,

所以5用=2.

因為耳到平面AED,的距離等于Q到平面AEDl的距離，

所以%-AER=%-AE￡(]=VD「AEQ,

設B}到平面AED1的距離為h,

則SAEDlxh=SA￡Gx2,1xV2xh=gx2,解得〃=2,

即B1到平面AE，的距離為2.

20.2023張信哲世界巡回演唱會在唐山站正式啟動，9月9日唐山新體育中心體育場一起來見證情歌王子的

魅力現(xiàn)場!為了了解關注該演唱會是否與性別有關，某電視臺隨機抽取200名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下2x2

列聯(lián)表.

男女合計

關注演唱會701080

不關注演唱會8040120

合計15050200

（1）能否有99.9%的把握認為“是否關注演唱會與性別有關”；（運算結果保留三位小數(shù)）

n(ad-bc)2

附：K=其中n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

P(A0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）演唱會結束后，現(xiàn)場開啟有獎競猜活動.規(guī)定同組三個人中至少有兩個人答對這道題目就可以獲得神

秘獎品.甲、乙、丙三人現(xiàn)場組隊參賽，已知甲和乙能答對這道題的概率為一3和/3三人都答對這道題的概

48

3

率為7,求三個人能獲得神秘獎品的概率.

16

【答案】（1）有99.9%的把握認為“是否關注演唱會與性別有關”

（2）—

32

【解析】

【分析】（1）直接由卡方計算公式代入運算，并比較它與10.828的大小即可得解；

332

（2）由獨立乘法公式求得P（A）=z，P（B）=&,P（C）=§,由互斥加法公式、獨立乘法公式以及對立事

件概率分別依次求得有。個人答對這道題概率和有1個人答對這道題的概率，最后再由對立事件概率公

式即可求解.

【小問1詳解】

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到

K?_200X(70X40-80X10)2100

3—80x120x50x150~9~11.111>10.828,

;有99.9%的把握認為“是否關注演唱會與性別有關”;

【小問2詳解】

記“甲答對這道題”“乙答對這道題”“丙答對這道題”分別為事件A,B,C,

333?

則所以P(C)=；

48163

有。個人答對這道題的概率

--------1515

PQ=P(ABC)=P(A).P(B)-P(C)=-x-x-=—,

有1個人答對這道題的概率

一__一3511311527

R=P(ABC+ABC+ABC)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

148348348324

5721

所以若三個人中至少有兩個人答對這道題目P=1-6-《=1-而-五=記.

綜上：三個人能獲得神秘獎品的概率為二21.

32

21.已知函數(shù)g(x)=g(x?+2aln%—4).

(1)討論函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性；

(2)設函數(shù)/(x)=g(x)-4x+2,若函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)有兩個不同的零點為，w(玉＜%2)，證

明.〃石)+〃％)〉1皿5

’22

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，分。20、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

x2-4x+a

(2)求出函數(shù)的導函數(shù)/'(x)=依題意f―4x+a=0在(0,+“)上有兩個不等實根，令

x

丸（0）〉0

/z(%)=x2-4%+a,只需<而＜?！纯汕蟪?的取值范圍，結合韋達定理可得

/(石)+/(%2)=。1n〃—8，則需證(l—a)lna+a—2V。,aG(0,4),令

根（a）=（l—a）lna+Q—2M￡（0,4）,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出相（?？?，即可證明.

【小問1詳解】

2

由已知函數(shù)y=g（x）定義域為（0,+“），又g[x）=x+4=x+a

XX

當aNO時，g'（x）＞0,函數(shù)g（x）在（0,+8）上是增函數(shù);

當a＜0時，g'（x）=。解得x=或x=（舍去）,

所以當x〉Q時g'（x）＞o,函數(shù)g（x）在（G,+8）上是增函數(shù);

當0＜x＜J工時g'（x）＜0,函數(shù)g（x）在（0,、。）上是減函數(shù);

綜上所述：當a?0時，函數(shù)g（x）在（0,+“）上單調(diào)遞增;

當a＜0時，函數(shù)g（x）（J工,+s）上單調(diào)遞增，在（0,々）上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

由已知/(x)=g(x)-4x+2,即〃犬)=；(*+2alnx-4)-4x+2=+々1nx,

可得r(x)=x+q-4=?+a

XX

函數(shù)/（九）有兩個極值點%,％2（石＜%2），即尤2—4x+a=0在（0,+8）上有兩個不等實根,

/z(0)=a>0

令〃(x)=*-4x+a,只需<7小4Z故°<a<4,

/z(2)=a-4<0

又毛+巧=4,西々=a,

1

所以/(%)+〃%2)=1+alnX]一例卜1+a\nx2-

2

=-4(石+%2)+(liiXj+lux?)+5(x；+x；)=alna-a-8,

要證〃石）+/（々）〉小_5,

22

即證Qlna-Q-8>ln”一10,ae（0,4）,

只需證（1一a）lna+a-2vO,ae（0,4）,

令加（〃）二（1-〃）1114+〃一2,〃￡（0,4）,

]—Q]

則加⑷=-InaH-------b1=Ina,

aa

令〃（。）=加（〃），則〃'（〃）=--1_工<0恒成立，

所以加⑷在ae（0,4）上單調(diào)遞減，又加⑴=1>0,加（2）=g—ln2<0,

由零點存在性定理得，三%?1,2）使得加（%）=0,即1叫=’，

a。

所以〃￡（0,。0）時，加（Q）>0,相（Q）單調(diào)遞增，

〃￡（%,4）時，加加單調(diào)遞減，

m-

則機（〃）max=M）-（1〃o）]n%+%—2=（1一4）aQ-2=aQ-\------3,

ao%

令H（x）=x+,—3,xe（l,2）,則H[x）=l一-、=（”+1）_ll>0,

犬XX。

所以"（x）=x+L—3在（1,2）上單調(diào)遞增，

JC

所以%+工-