專題27.2 相似三角形（解析版）

22/22專題27.2相似三角形1.相似三角形的定義：三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似。2.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3.相似三角形的判定定理判定1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。判定2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。判定3：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。判定4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。4.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比；（4）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（5）相似三角形面積的比等于相似比的平方?！纠}1】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由平行線得出△ADE∽△ABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例＝，即可得出結(jié)果．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BC＝6【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．【例題2】如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，則EF＝．【答案】4【解析】根據(jù)l1∥l2∥l3，由平行線分線段成比例定理得到成比例線段，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可得到答案．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，又AB＝3，DE＝2，BC＝6，∴EF＝4【點(diǎn)撥】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握定理的內(nèi)容、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【例題3】（2019?湖北省荊門市）如圖，為了測(cè)量一棟樓的高度OE，小明同學(xué)先在操場(chǎng)上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測(cè)得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG為1.6m，試確定樓的高度OE．【答案】樓的高度OE為32米．【解析】設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長(zhǎng)GC、FA相交于點(diǎn)M，連接GF并延長(zhǎng)交OE于點(diǎn)H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴，即：，∴，∴OE＝32【例題4】已知△ABC和點(diǎn)A'，如圖．（1）以點(diǎn)A'為一個(gè)頂點(diǎn)作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面積等于△ABC面積的4倍；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，D'、E'、F'分別是你所作的△A'B'C'三邊A'B'、B'C'、C'A'的中點(diǎn)，求證：△DEF∽△D'E'F'．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）作線段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．證明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）證明：∵D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．【點(diǎn)撥】（1）分別作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可所求．（2）根據(jù)中位線定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F'一、選擇題1.（2019?海南?。┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，D為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，AP的長(zhǎng)度為（）A. B． C． D．【答案】B．【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝2．若△ABC～△A′B'C′，相似比為1：2，則△ABC與△A'B′C'的周長(zhǎng)的比為（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【答案】B【解析】直接利用相似三角形的性質(zhì)求解．∵△ABC～△A′B'C′，相似比為1：2，∴△ABC與△A'B′C'的周長(zhǎng)的比為1：2．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面積的比等于相似比的平方．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）A．8 B．12 C．14 D．16【答案】D【解析】直接利用三角形中位線定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．∵在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∵＝，∴＝，∵△ADE的面積為4，∴△ABC的面積為：16。4.（2019年廣西玉林市）如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點(diǎn)G，則是相似三角形共有（）A．3對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．8對(duì)【答案】C【解析】圖中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，∵AB∥EF∥DC，AD∥BC∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA共有6個(gè)組合分別為：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA5.（2019年內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，D、E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，則AE的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AE＝36.（2019·廣西賀州）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．由平行線得出△ADE∽△ABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例＝，即可得出結(jié)果．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BC＝67.（2019?廣西貴港）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，則線段CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．2 D．5【答案】C．【解析】設(shè)AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)度，以及，再證明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出得出＝，從而可求出CD的長(zhǎng)度．設(shè)AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，設(shè)AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y(tǒng)，∴＝，∴CD＝28.（2019?黑龍江哈爾濱）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，EM∥AD，交AB于點(diǎn)M，EN∥AB，交AD于點(diǎn)N，則下列式子一定正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】D．【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．∵在?ABCD中，EM∥AD∴易證四邊形AMEN為平行四邊形∴易證△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A項(xiàng)錯(cuò)誤＝，B項(xiàng)錯(cuò)誤＝＝，C項(xiàng)錯(cuò)誤＝＝，D項(xiàng)正確。9.（2019?江蘇蘇州）如圖，在中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，且，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】考察相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的高，中等題型易證即由題得解得的高易得：10.（2019山東棗莊）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若AA′＝1，則A′D等于（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】B【解析】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．由S△ABC＝16.S△A′EF＝9且AD為BC邊的中線知S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，根據(jù)△DA′E∽△DAB知（）2＝，據(jù)此求解可得．∵S△ABC＝16.S△A′EF＝9，且AD為BC邊的中線，∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，則（）2＝，即（）2＝，解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍）。二、填空題11.（2019?四川省涼山州）在?ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．①當(dāng)AE：ED＝2：3時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②當(dāng)AE：ED＝3：2時(shí)，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25。12.（2019?浙江寧波）如圖所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，AP的長(zhǎng)為．【答案】6.5或3．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，∴AB＝＝6，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，∴AD＝＝13，當(dāng)⊙P于BC相切時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC于H，則PH＝6，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴，∴＝，∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；當(dāng)⊙P于AB相切時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離＝6，過P作PG⊥AB于G，則PG＝6，∵AD＝BD＝13，∴∠PAG＝∠B，∵∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP∽△BCA，∴，∴＝，∴AP＝3，∵CD＝5＜6，∴半徑為6的⊙P不與△ABC的AC邊相切，綜上所述，AP的長(zhǎng)為6.5或3，13.2019黑龍江省龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)D為BC邊上的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)D的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，則CD的長(zhǎng)為________．【答案】3或.【解析】在△BDE中，∠B是銳角，∴有兩種可能，∠DEB或∠EDB是直角，畫出示意圖，逐步求解即可.如圖1，∠DEB是直角時(shí)，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,設(shè)CD=x，則BD=8-x，由折疊知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;如圖2，∠EDB是直角時(shí)，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，綜上，CD的長(zhǎng)為3或. 圖1 圖214．（2019?山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，將△AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長(zhǎng)是．【答案】2．【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)妮o助線，連接CE，構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果．連接EC，利用矩形的性質(zhì)，求出EG，DE的長(zhǎng)度，證明EC平分∠DCF，再證∠FEC＝90°，最后證△FEC∽△EDC，利用相似的性質(zhì)即可求出EF的長(zhǎng)度．如圖，連接EC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E為AD中點(diǎn)，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝215.（2019江蘇常州）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3．點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE＝2BE，點(diǎn)M、N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝__________．【答案】6．【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等幾何知識(shí)點(diǎn)．首先由勾股定理，求得BD＝10，然后由“AD＝3AB＝3．點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝，CE＝2，這樣由tan∠DEC＝；第四步過點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，在BD上依次取點(diǎn)M、N，使MH＝NH＝2PH，于是因此△PMN是所求符合條件的圖形；第五步由△DPH∽△DBA，得，即，得PH＝，于是MN＝4PH＝6，本題答案為6．16.（2019?山東濱州）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結(jié)論：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF?DF．其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④．【解析】本題考查，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于填空題中的壓軸題．①正確．只要證明EC＝EA＝BC，推出∠ACB＝90°，再利用三角形中位線定理即可判斷．②錯(cuò)誤．想辦法證明BF＝2OF，推出S△BOC＝3S△OCF即可判斷．③正確．設(shè)BC＝BE＝EC＝a，求出AC，BD即可判斷．④正確．求出BF，OF，DF（用a表示），通過計(jì)算證明即可．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DCB＝120°，∵EC平分∠DCB，∴∠ECB＝∠DCB＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，∴△ECB是等邊三角形，∴EB＝BC，∵AB＝2BC，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，EA＝EB，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正確，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝，∴OF＝OB，∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②錯(cuò)誤，設(shè)BC＝BE＝EC＝a，則AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，∴BD＝a，∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正確，∵OF＝OB＝a，∴BF＝a，∴BF2＝a2，OF?DF＝a?（a+a）＝a2，∴BF2＝OF?DF，故④正確，故答案為①③④．三、解答題17.（2019?四川涼山州）如圖，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，過點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：BD2＝AD?CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的長(zhǎng)．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．證明：（1）通過證明△ABD∽△BCD，可得，可得結(jié)論；∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD，∴∴BD2＝AD?CD（2）由平行線的性質(zhì)可證∠MBD＝∠BDC，即可證AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD?CD和勾股定理可求MC的長(zhǎng)，通過證明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的長(zhǎng)．∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD?CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28，∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝18.（2019年廣西梧州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分別交DC，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)；連接DF，過點(diǎn)A作AH∥DF，分別交BD，BF于點(diǎn)G，H．（1）求DE的長(zhǎng)；（2）求證：∠1＝∠DFC．【答案】見解析。【解析】本題考查了矩形的相關(guān)證明與計(jì)算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可證出△ADE∽△FCE，則，可求出DE長(zhǎng)；∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴＝＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴，設(shè)DE＝x，則，解得x＝，∴；（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，則，可得EG∥BC，則∠1＝∠AHC，根據(jù)DF∥AH，可得∠AHC＝∠DFC，結(jié)論得證．∵AD∥FH，AF∥DH，∴四邊形ADFH是平行四邊形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，