專題28.1 銳角三角函數(shù)（解析版）

專題28.1銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)定義銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對邊比斜邊；sinA=a/c余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；cosA=b/c正切（tan）等于對邊比鄰邊；tanA=a/b銳角三角函數(shù)值的定義方法是在直角三角形中定義的，所以在初中階段求銳角的三角函數(shù)值，都是通過構(gòu)造直角三角形來完成的，即把這個(gè)角放到某個(gè)直角三角形中。知識(shí)點(diǎn)2：特殊角的三角函數(shù)值角度30°45°60°正弦(sin)1/2√2/2√3/2余弦(cos)√3/2√2/21/2正切(tan)√3/31√3（注θ是銳角：0<sinθ<10<cosθ<1tanθ>0）知識(shí)點(diǎn)3：銳角三角函數(shù)值的符號(hào)及其變化規(guī)律（1）銳角三角函數(shù)值都是正值。（2）當(dāng)角度在0°——90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。挥嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅徽兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。恢R(shí)點(diǎn)4：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式5互為余角的三角函數(shù)間的關(guān)系總結(jié)：本節(jié)課會(huì)求一個(gè)角的三角函數(shù)值；會(huì)求一個(gè)角的度數(shù)；會(huì)已知三角函數(shù)值，求邊的比值或另一個(gè)三角函數(shù)值?！纠}1】計(jì)算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°【答案】-5【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的運(yùn)算分別進(jìn)行化簡即可；原式＝﹣1+3﹣1﹣2×＝1﹣2×3＝﹣5；【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值；牢記特殊角的三角函數(shù)值，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例題2】如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對邊的比叫做角的余切，記作ctan,即ctan=根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：（1）ctan30?=；（2）如圖，已知tanA=，其中∠A為銳角，試求ctanA的值．【答案】（1）（2）【解析】可先設(shè)最小邊長為一個(gè)特殊數(shù)（這樣做是為了計(jì)算方便），然后在計(jì)算出其它邊長，根據(jù)余切定義進(jìn)而求出ctan30?；tanA=，為了計(jì)算方便，可以設(shè)BC=3，AC=4根據(jù)余切定義就可以求出ctanA的值．（1）設(shè)BC=1,∵α=30?∴AB=2∴由勾股定理得：AC=ctan30?==(2)∵tanA=∴設(shè)BC=3AC=4∴ctanA==【例題3】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E為AB上一點(diǎn)且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，連接FB，則tan∠CFB的值等于（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，設(shè)AB=2x，則BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．則tan∠CFB==．【例題4】已知α、β均為銳角，且滿足|sinα﹣|+=0，則α+β=．【答案】75°．【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出sinα、tanβ的值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出兩個(gè)角的度數(shù)?！遼sinα﹣|+=0，∴sinα=，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，則α+β=30°+45°=75°．【例題5】觀察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算sin2a+sin2（90°﹣a）=．【答案】1．【解析】此題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于規(guī)律型題目，注意根據(jù)題意總結(jié)，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是個(gè)恒等式，以后記住并可以運(yùn)用．根據(jù)①②③可得出規(guī)律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，繼而可得出答案．由題意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案為：1．一、選擇題1．計(jì)算：cos245°+sin245°=（）A． B． 1 C． D． 【答案】B【解析】考點(diǎn)是 特殊角的三角函數(shù)值．首先根據(jù)cos45°=sin45°=，分別求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它們求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故選：B．2.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（） A．2 B． C． D． 【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC為直角三角形，∴tan∠B==，故選：D．3.如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為，，的值是（）A．B．C．D．【答案】A. 【解析】連接CD,由的半徑為.得AD=3.=4.如圖，在中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在直角三角形ABC中，，，所以AC＝；所以，，；，，。5.如圖，在中，是斜邊上的中線，已知，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C.【解析】由是斜邊上的中線，得AB=2CD=4.∴6.如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）A．5mB．6mC．7mD．8m【答案】A【解析】由坡度為0.75知，相鄰兩樹間的水平距離為4m，相鄰兩樹間的垂直距離為h，則，則h＝3m，所以坡面距離為5m。7.如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路l的距離，在A點(diǎn)測得，在C點(diǎn)測得，又測得米，則小島B到公路l的距離為（）米．A．25 B． C． D．【答案】B【解析】過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，在直角三角形BAE中，則在直角三角形BCE中，則。所以AE-CE=AC=50,即解得BE＝二、填空題1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中點(diǎn)，將△CBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP＝．【答案】．【解析】連接PB，交CH于E，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB＝90°，即可得到AP∥HE，進(jìn)而得出∠BAP＝∠BHE，依據(jù)Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，即可得出tan∠HAP＝．解：如圖，連接PB，交CH于E，由折疊可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又∵H為AB的中點(diǎn)，∴AH＝BH，∴AH＝PH＝BH，∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，∴tan∠HAP＝【點(diǎn)撥】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD為直徑的⊙O交AD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為．【答案】+．【解析】如圖，連接OE，作OF⊥DE于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，則∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴圖中陰影部分的面積為+×2×1＝+3.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，，則AB的長是cm．【答案】10【解析】解得AB=10cm4.如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，，則這個(gè)菱形的面積=cm2．【答案】60【解析】解得DE=6cm.∴cm2.5.如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高AB＝6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為EQ\F(3,5)，則坡面AC的長度為m．【答案】10.【解析】因?yàn)閟in∠ACB=,所以AC=106.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，則sinB=．【答案】．【解析】 根據(jù)銳角三角函數(shù)定義直接進(jìn)行解答．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB==．三、解答題1.計(jì)算：．【答案】0【解析】原式==0．2.計(jì)算：【答案】2.5【解析】=2.53.計(jì)算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】3【解析】根據(jù)絕對值概念、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則，以及特殊三角函數(shù)值計(jì)算即可．原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．4.計(jì)算：（﹣2）3+3tan45°﹣．【答案】-8【解析】先根據(jù)數(shù)的乘方及開方法則、特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．5.計(jì)算：+﹣4sin60°+|﹣|【答案】-2【解析】本題涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值、二次根式化簡幾個(gè)考點(diǎn)．針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．+﹣4sin60°+|﹣|=﹣3+1﹣4×+2=﹣3+1﹣2+2=﹣2．6．計(jì)算：﹣tan45°﹣（1﹣）0；【答案】0【解析】直接利用二次根式的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案；解：（1）﹣tan45°﹣（1﹣）0＝2﹣1﹣1＝07.計(jì)算：（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣+2sin30°．【答案】-3【解析】先分別計(jì)算冪、三角函數(shù)值、二次根式，然后算加減法．解：原式＝﹣1+1﹣4+2×＝﹣4+1＝﹣3．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．8．計(jì)算：（﹣1）2019﹣+tan60°+（π﹣3.14）0．【答案】﹣．【解析】