2024屆江蘇省興化市八年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆江蘇省興化市八年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.下列計算正確的是（）

A.Jl6a4=4/B.y/5axJ10a=5y/2a

D.y/3a-sf2a=Ja

2.如圖，在RtZiOEF中，NE尸。=90°,ZDEF=30°,EF=3cm,邊長為2cm的等邊△△5c的頂點C與點E重

合，另一個頂點5（在點C的左側(cè)）在射線bE上.將△A5C沿EF方向進(jìn)行平移，直到A、D、F在同一條直線上時

停止，設(shè)△ABC在平移過程中與△OEF的重疊面積為ye,/?,CE的長為xcm,則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)

系的圖象大致是（）

3.如圖，菱形A5C。中，對角線AC等于6』，ZD=120°,則菱形ABC。的面積為（）

D

B

A.3673B.54C.36D.18指

4.在某市舉辦的“劃龍舟，慶端午”比賽中，甲、乙兩隊在比賽時的路程s（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系圖象

如圖所示，根據(jù)圖象得到下列結(jié)論，其中錯誤的是（）

A.這次比賽的全程是500米

B.乙隊先到達(dá)終點

C.比賽中兩隊從出發(fā)到1.1分鐘時間段，乙隊的速度比甲隊的速度快

D.乙與甲相遇時乙的速度是375米/分鐘

5.在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCO的頂點AC的坐標(biāo)分別是（8,0）,（3,4）,點D,E把線段08三等分,

延長CD,CE分別交OA,AB于點F,G,連接FG,則下列結(jié)論:①OF=AF;②^OFDBEG③四邊形DEGF

的面積為弓；④石，其中正確的有（）?

A.①②③④B.①②C.①③D.①@@

6.一次函數(shù)yi=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論①kVO；②a>0；③當(dāng)xV3時，yi〈y2中，正確的個數(shù)是

7.如圖，已知NABC=NDCB,下列所給條件不能證明△ABCgADCB的是（）

D

B

A.ZA=ZDB.AB=DCC.ZACB=ZDBCD.AC=BD

8.下面式子從左邊到右邊的變形屬于因式分解的是().

A.X2—x—2=x(x-1)—2B.%2—4=(x+2)(%—2)

C.(x+l)(x—l)=x2—1D.(%+2)2-x2+4x+4

9.不等式3(2尤+5)>2(4九+3)的解集為()

A.尤>4.5B.x<4.5C.x=4.5D.x>9

10.如圖，下列哪組條件不能判定四邊形ABC。是平行四邊形()

A.AB//CD,AB=CDB.AB//CD,AD//BC

C.OA=OC,OB=ODD.AB//CD,AD^BC

11.如果代數(shù)式f+6+81能分解成（x-9）2形式，那么k的值為（）

A.9B.-18C.±9D.±18

12.下列說法中正確的是（）

A.有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，在R3A5C中，ZACB=90°,點O,E分別是邊A3,AC的中點，延長8c至尸，使。尸=上。，若EF=

13,則線段A5的長為

14.如圖，正方形ABCD的面積等于25cm2,正方形DEFG的面積等于9cm2,則陰影部分的面積S=,

2Y+vyi

15.若關(guān)于x的方程一^=3的解為正數(shù)，則加的取值范圍是.

X-1

16.已知一組數(shù)據(jù)3、X、4、8、6,若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5,則x的值是

17.在△ABC中，AB=10,CA=8,BC=6,NBAC的平分線與NBCA的平分線交于點I,且DI〃BC交AB于點D,

則DI的長為.

18.將函數(shù)y=Tx的圖象沿y軸向下平移1個單位，則平移后所得圖象的解析式是.

三、解答題（共78分）

19.（8分）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（一2,-2）和點（2,4）

（1）求這個函數(shù)的解析式；

（2）求這個函數(shù)的圖像與y軸的交點坐標(biāo).

20.（8分）如圖，已知帶孔的長方形零件尺寸（單位：mm）,求兩孔中心的距離.

21.（8分）如圖，點O為等邊三角形ABC內(nèi)一點，連接OA,OB,OC,將線段BO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至BM,

連接CM,OM.

（1）求證：AO=CM；

（2）若OA=8,OC=6,OB=10,判斷△OMC的形狀并證明.

22.（10分）如圖，正方形ABC。的對角線AC、3D交于點。，直角三角形EOb繞點。按逆時針旋轉(zhuǎn)，ZEOF=90°

（1）若直角三角形繞點。逆時針轉(zhuǎn)動過程中分別交AD,CD兩邊于M,N兩點

①求證：OM=ON；

②連接CM、BN,那么CM,BN有什么樣的關(guān)系？試說明理由

（2）若正方形的邊長為2,則正方形ABC。與EC0兩個圖形重疊部分的面積為多少？（不需寫過程直接寫出結(jié)

果）

23.（10分）（10分）已知E,F分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點，AF,DE相交于點G,當(dāng)E,F分別為

邊BC,CD的中點時，有：①AF=DE；②AF,DE成立.

試探究下列問題：

（1）如圖1,若點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，且CE=DF,上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請直

接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）

（2）如圖2,若點E,F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF,此時，上述結(jié)論①，②是否仍然成立?

若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；

（3）如圖3,在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和BF,若點M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,AD的中點，請判斷四

邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論.

24.（10分）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題：

已知平面內(nèi)兩點P1(X1,yi),P2(X2,y2),其兩點間的距離=J(%—々y+Q—%)2。例如：已知P(3，D，QQ，

-2),則這兩點間的距離PQ2=J(3—If+(1+2)2.特別地,如果兩點M(xi,yi),Ng,yi),所在的直線與坐標(biāo)軸重合

或平行于坐標(biāo)軸或者垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點間的距離公式可簡化為=或|%一%|。

(1)已知A(2,3),B(-l,-2),則A,B兩點間的距離為；

⑵已知M,N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標(biāo)為-2,點N的縱坐標(biāo)為3,則M,N兩點間的距離為；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,4),B(4,2),在x軸上找點P,使PA+PB的長度最短，求出點P的坐標(biāo)及PA+PB

的最短長度.

25.(12分)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AB=5,BC=1.

(1)求OD長的取值范圍；

(2)若NCBD=30。，求OD的長.

26.如圖，點E、F分別是口ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF.

(1)試判斷四邊形AECF的形狀；

(2)若AE=BE,ZBAC=90°,求證：四邊形AECF是菱形.

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、A

【解題分析】

利用二次根式的性質(zhì)對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對8進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對C、O進(jìn)行判

斷.

【題目詳解】

解：A、原式=4a2,所以A選項的計算正確；

B、原式=J5axi0a=50a,所以B選項的計算錯誤；

C、原式=&+&=2&,所以C選項的計算錯誤；

D、豉與衣不能合并，所以D選項的計算錯誤.

故選：A.

【題目點撥】

本題考查二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運算，再合并即

可.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半

功倍.

2、A

【解題分析】

分0KxW2、2<xW3、3<xW4三種情況，分別求出函數(shù)表達(dá)式即可求解.

【題目詳解】

解：①當(dāng)時，如圖1,

圖1

設(shè)AC交于點則EC=x,

VZACB=60°,ZZ>￡F=30°,

：.ZEHC=90°,

22

y=SAEHc=—XEHXHC=-xECsinZACBXECXcosZACB=—CE=—x,

2288

J?

該函數(shù)為開口向上的拋物線，當(dāng)x=2時，＞=火；

2

②當(dāng)2VxW3時，如圖2,

圖2

設(shè)AC交DE于點H,48交OE于點G,

同理△AHG為以ZAHG為直角的直角三角形，

EC=x,EB=x-2=BG,貝!JAG=2-3G=2-(x-2)=4-x,

1「「

邊長為2的等邊三角形的面積為：-X2X73;

也

同理S\A"G=——(4-X)2,

8

=

yS四邊形3CHG=S^A3c-SAAHG=X/S-(2-4)2,

8

函數(shù)為開口向下的拋物線，當(dāng)x=3時，y=2叵，

8

③當(dāng)3VxW4時，如圖3,

圖3

同理可得：y=^3-[—(4-x)2+且(x-3)2]=-述/+4石》-1^8,

8282

函數(shù)為開口向下的拋物線，當(dāng)x=4時，y=組；

2

故選：A.

【題目點撥】

本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，此類題目通常需要分不同時間段確定函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求解.

3、D

【解題分析】

如圖，連接5。交AC于點。，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得A0的長、BO=DO、AC±BD.NZMC=30。,

然后利用30。角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出0。的長，即得80的長，再根據(jù)菱形的面積=對角線乘積的一

半計算即可.

【題目詳解】

解：如圖，連接50交AC于點0,???四邊形A3。是菱形，

：.AD=CD,AO=CO=-AC=3y13,B0=D0,AC±BD,

2

VZAZ）C=120°,.,.NZMC=NACZ>=30°,：.AD^2D0,

設(shè)Z>0=x,貝?。軦Z>=2x,在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得必+（3石『=（2x『，解得：x=3,（負(fù)值已舍去）.?.8。=6,

二菱形A5CZ）的面積工義66義6=18百.

22

故選：D.

【題目點撥】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，屬于常見題型，熟練掌

握上述基本知識是解題的關(guān)鍵.

4、C

【解題分析】

由橫縱坐標(biāo)可判斷A、B,觀察圖象比賽中兩隊從出發(fā)到1.1分鐘時間段，乙隊的圖象在甲圖象的下面可判斷C,由圖

象得乙隊在1.1至1.9分鐘的路程為300米，可判斷D.

【題目詳解】

由縱坐標(biāo)看出，這次龍舟賽的全程是500m,故選項A正確；

由橫坐標(biāo)可以看出，乙隊先到達(dá)終點，故選項B正確；

?.?比賽中兩隊從出發(fā)到1.1分鐘時間段，乙隊的圖象在甲圖象的下面，

...乙隊的速度比甲隊的速度慢，故C選項錯誤；

?.?由圖象可知，乙隊在1.1分鐘后開始加速，加速的總路程是500-200=300（米），加速的時間是1.9-1.1=0.8（分鐘），

...乙與甲相遇時，乙的速度是300+0.8=375（米/分鐘），故D選項正確.

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查一次函數(shù)的圖象與實際應(yīng)用，觀察圖象理解圖象中每個特殊點的實際意義是解題的關(guān)鍵.

5、C

【解題分析】

①根據(jù)題意證明ABDC,得出對應(yīng)邊成比例，再根據(jù)。E把線段08三等分，證得

OF=-BC=-OA,即可證得結(jié)論；

22

②延長BC交y軸于H,證明OArAB,則NAOB^NEBG,所以AOEDS/\BEG不成立；

③利用面積差求得，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方進(jìn)行計算并作出判斷；

④根據(jù)勾股定理，計算出OB的長，根據(jù)三等分線段OB可得結(jié)論.

【題目詳解】

作ANLOB于點N,BMLx軸于點M,如圖所示：

在平行四邊形OABC中，點AC的坐標(biāo)分別是（8,0）,（3,4）,

B（1l,4）,OB=^/137

又E把線段08三等分，

.OD1

,?訪―5

又,：CB〃OF,

：./XODFABDC

.OFOP1

"BC—BD

：.OF=-BC=-OA

22

即=①結(jié)論正確；

???C（3,4）,

/.OC=5^OA

平行四邊形OABC不是菱形，

...ZDOF豐/COD=ZEBG,ZODF豐NCOD=ZEBG

VF（4,0）

:.CF=^<OC

：.ZCFO>ZCOF

...ZDFOwZEBG,

故△OFD和ABEG不相似，故②錯誤;

由①得，點G是AB的中點，

，F(xiàn)G是AOAB的中位線，

：.FG//OB,FG，OB=^-

22

又???□E把線段08三等分,

3

VSMAB=-OB-AN=-OA.BM=-X8X4=16

△°AB222

2OB

VDFFG

：.四邊形DEGH是梯形

（DE-FG）h

I邊形DEGF==-OB.h=—OB.-AN=—,故③正確;

121223

OD=LOB=^~,故④錯誤；

33

綜上：①③正確，

故答案為C.

【題目點撥】

此題主要考查勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、線段的中點，熟練運用，即可解題.

6、B

【解題分析】

根據(jù)yi=kx+b和yz=x+a的圖象可知：k<0,a<0,所以當(dāng)xV3時，相應(yīng)的x的值，yi圖象均高于y2的圖象.

【題目詳解】

解：???yi=kx+b的函數(shù)值隨x的增大而減小，

Ak<0；故①正確

??，y2=x+a的圖象與y軸交于負(fù)半軸，

.*.a<0；

當(dāng)xV3時，相應(yīng)的x的值，yi圖象均高于y2的圖象，

??.yi>y2,故②③錯誤.

故選：B.

【題目點撥】

本題考查了兩條直線相交問題，難點在于根據(jù)函數(shù)圖象的走勢和與y軸的交點來判斷各個函數(shù)k,b的值.

7、D

【解題分析】

A.添加NA=NZ>可利用AAS判定△A5Cg△OC8,故此選項不合題意；

B.添力口A5=OC可利用SAS定理判定△A3C絲AOCB,故此選項不合題意；

C.添加INAC3=NO8C可利用ASA定理判定△ABCgAOCB,故此選項不合題意；

D.添力口AC=3O不能判定△A8C絲AOCB,故此選項符合題意.

故選D.

8^B

【解題分析】

根據(jù)因式分解的意義求解即可.

【題目詳解】

A、沒把多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故A不符合題意；

B、把多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故B符合題意；

C、是整式的乘法，故C不符合題意；

D、是整式的乘法，故D不符合題意；

故選B.

【題目點撥】

本題考查了因式分解的意義，把多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式.

9、B

【解題分析】

先去括號，再移項，然后合并同類項，最后系數(shù)化為1,即可得出答案.

【題目詳解】

解：3(2%+5)>2(4%+3)

6x+15>8x+6

6x-8x>6-15

-2x>-9

x<4.5

因此答案選擇B.

【題目點撥】

本題主要考查了一元一次不等式的解法：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為L

10>D

【解題分析】

平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩

組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形

是平行四邊形.

【題目詳解】

根據(jù)平行四邊形的判定，A、B、C均符合是平行四邊形的條件，D則不能判定是平行四邊形.

故選D.

【題目點撥】

此題主要考查了學(xué)生對平行四邊形的判定的掌握情況.對于判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.”

應(yīng)用時要注意必須是“一組”，而“一組對邊平行且另一組對邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形.

11、B

【解題分析】

利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出k的值.

【題目詳解】

解：,.?％2+6+81=（x-9）2,

.*.k=-18,

故選：B.

【題目點撥】

此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

12、C

【解題分析】

運用正方形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定可求解.

【題目詳解】

解：A、有一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形（如梯形），故該選項錯誤；

B、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形（如梯形的對角線也可能垂直），故該選項錯誤；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該選項正確；

D、對角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形（如菱形），故該選項錯誤；

故選：C.

【題目點撥】

本題考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，靈活運用這些判定定理是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、1

【解題分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到DE=>C，DE//BC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出CD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可.

【題目詳解】

解：???點0,E分別是邊4c的中點，

DE=\BC'DE//BC,

vCF=2C'

???DE=CF,XDE//CF,

???四邊形DEFC為平行四邊形，

???CD=EF=13,

?.?乙4cg=90。，點。是邊48的中點，

：.AB=2CD=26,

故答案為：1.

【題目點撥】

本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的

關(guān)鍵.

%T

【解題分析】

由題意可知：已知正方形ABCD面積等于25cm2,邊長是5,正方形DEFG的面積等于9cm2,邊長是3,陰影部分是

正方形ABCD面積的一半，加上正方形DEFG的面積，減去底為5+3=8cm,高為3cm的三角形的面積，由此列式得

出答案即可.

【題目詳解】

解：?.?正方形ABCD面積等于25cm2,正方形DEFG的面積等于9cm2,

/.正方形ABCD邊長是5,正方形DEFG的邊長是3,

，陰影部分的面積S=25X'+9-LX(5+3)x3

22

251824

=---H------------

222

_19

-T,

19

故答案為：y.

【題目點撥】

本題考查正方形的性質(zhì)，整式的混合運算，掌握組合圖形面積之間的計算關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

15、桃〉—3且

【解題分析】

首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根據(jù)方程的解大于0,且*-母0即可求得，”的范圍.

【題目詳解】

解：去分母，得lx+m=3(x-1),

去括號，得lx+m=3x-3,

解得：x=m+3,

根據(jù)題意得：機(jī)+3-1邦且機(jī)+3>0,

解得：機(jī)>-3且機(jī)齊1.

故答案是：m>-3且m^-1.

【題目點撥】

本題考查了分式方程的解，注意：忽視x-1邦是本題的易錯點.

16、1

【解題分析】

根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計算方法列方程求解即可.

【題目詳解】

解：由題意得：3+x+4+8+6=5x5

解得：x=4.

故答案為1.

【題目點撥】

此題考查算術(shù)平均數(shù)的意義和求法，掌握計算方法是解決問題的關(guān)鍵.

17、2.5

【解題分析】

根據(jù)題意，AABC是直角三角形，延長DI交AC于點E,過I作IFLAB,IG±BC,由點I是內(nèi)心，則IE=IG=IF,

AC1AR

利用等面積的方法求得IE=IG=IF=2,然后利用平行線分線段成比例，得——=——，又由BD=DL把數(shù)據(jù)代入

AEAD

計算，即可得到DI的長度.

【題目詳解】

解：如圖，延長DI交AC于點E,過I作IFJ_AB,IG±BC,

在△ABC中，AB=10,CA=8,BC=6,

:.AB2=AC2+BC2，

ABC是直角三角形，即AC±BC,

VDI/7BC,

；.DE_LAC,

VZBAC的平分線與NBCA的平分線交于點I,

.,.點I是三角形的內(nèi)心，則IE=IG=IF,

在△ABC中，根據(jù)等面積的方法，有

SABC=SABI+SACI+SBCI9設(shè)IE=IG-IF二h

BP—x6x8=—xlOxh+—x8xh+—x6xh,

2222

解得：IE=IG=IF=h=2,

VDI//BC,

ACAB

，——=——,ZDIB=ZCBI=ZDBI,

AEAD

.\DI=BD,

.8_10

**8^2-10-BD，

解得：BD=2.5,

.\DI=2.5；

故答案為：2.5.

【題目點撥】

本題考查了三角形的角平分線性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及等面積法計算高，解題的關(guān)鍵是利用等面積法求得內(nèi)

心到各邊的距離，以及掌握平行線分線段成比例的性質(zhì).

18>y=-4x-l

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律：上加下減，可得答案.

【題目詳解】

解：將函數(shù)y=-4x的圖象沿y軸向下平移1個單位，則平移后所得圖象的解析式是y=-4x-L

故答案為：y=-4x-l.

【題目點撥】

本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

三、解答題（共78分）

19、（1）y=3+1；（2）（0,1）

【解題分析】

設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,由圖像經(jīng)過點（一2,-2）和點（2,4）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得這個函數(shù)的解析式，再

把x=0代入求得的函數(shù)解析式即可得到這個函數(shù)的圖像與y軸的交點坐標(biāo).

【題目詳解】

解：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為丫=卜乂+8

???圖像經(jīng)過點（一2,-2）和點（2,4）

...｛一恭力12,解得卜；

\b=1

???這個函數(shù)的解析式為y=3+1；

（2）在y=*+i中，當(dāng)x=0時，y=l

???這個函數(shù)的圖像與y軸的交點坐標(biāo)為（0,1）.

點睛：待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是初中數(shù)學(xué)的重點，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.

20、50mm

【解題分析】

連接兩孔中心，然后如圖構(gòu)造一個直角三角形進(jìn)而求解即可.

【題目詳解】

卜21T

如圖所示，AC即為所求的兩孔中心距離，

???AC=yjAB2+BC2=7(51-21)2+(61-21)2=50.

???兩孔中心距離為50mm

【題目點撥】

本題主要考查了勾股定理的運用，根據(jù)題意自己構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

21、(1)見解析(2)直角三角形，證明見解析

【解題分析】

(1)根據(jù)“B0繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到BM”可知N0BM=60°,0B=0M,即可證明AAOB四△CMB,從而得到答案；

(2)由(1)可知AO=CM,根據(jù)OB=BM,Z0BM=60°,可知△OBM為等邊三角形，從而得到OB=OM,根據(jù)勾股定理的逆

定理即可得到答案.

【題目詳解】

(1)證明：/BO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到BM

/.Z0BM=60o,OB=BM,

,/△ABC為等邊三角形

/.ZABC=60°,AB=CB

:.ZAB0+Z0BC=ZCBM+Z0BC=60o

ZAB0=ZCBM,

在aAOB和△CMB中，

OB=MB

<ZABO=ZCBM

AB=CB

/.△AOB^ACMB(SAS),

AAO=CM.

(2)△OMC是直角三角形；理由如下:

?.?B0繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到BM

/.Z0BM=60o，OB=BM,

.?.△OBM為等邊三角形

，OB=OM=1O

由(1)可知OA=CM=8

在△OMC中，0M2=100,0C2+CM2=62+82=100,

/.OM2=OC2+CM2,

.??△OMC是直角三角形.

【題目點撥】

本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和勾股定理的逆定理，能夠利用全等三角形

的性質(zhì)與判定得出對應(yīng)邊和用勾股定理逆定理判定三角形的形狀是解題的關(guān)鍵.

22、(1)①見解析；②CM,3N垂直且相等，理由見解析；(2)面積為1。

【解題分析】

(1)①證出△DOM絲NC0N,證出QW=QV；

②證明△MDC絲4BCN得CM=BN,證明△GCNs/iMDC得BN1CM;

(2)因為△DOMgNCON,所以正方形ABCD與/兩個圖形重疊部分為△?()(：的面積.

【題目詳解】

(1)①...正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O

ZAD0=ZACDOD=OCZD0C=90°

②；/EOF=90°ZD0C=90°

AZM0D+ZD0N=90°,ZN0D+ZC0N=90°

ZD0M=ZC0N

■:ZD0M=ZC0NZAD0=ZACDOD=OC

/.△DOM^ZCON

OM=ON

②

設(shè)BN交CM于點G

:正方形ABCD

，DC=BCNADC=NDCB

,/ADOM^ZCON

，DM=CN

AMDC^ABCN

.\CM=BNZCMD=ZBNC

VZCMD=ZBNCZMCD=ZMCD

/.△GCN^AMDC

，ZNGC=ZADC

ABNICM

CM,BN垂直且相等

(2)面積為L

.4B

F

【題目點撥】

本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn)和全等，熟練掌握全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵.

23、(1)成立；(2)成立，理由見試題解析；(3)正方形，證明見試題解析.

【解題分析】

試題分析：(1)因為四邊形ABCD為正方形，CE=DF,可證△ADF絲△DCE(SAS),即可得到AF=DE,ZDAF=ZCDE,

又因為NADG+NEDC=90。，即有AF_LDE；

(2).四邊形ABCD為正方形，CE=DF,可證△ADFgZ\DCE(SAS),即可得到AF=DE,ZE=ZF,又因為

ZADG+ZEDC=90°,即有AF±DE；

(3)設(shè)MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,因為點M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,AD的中

ii_

點，可得MQ=PN=2DE,PQ=MN=2AF,MQ〃DE,PQ〃AF,然后根據(jù)AF=DE,可得四邊形MNPQ是菱形，又因

為AF_LDE即可證得四邊形MNPQ是正方形.

試題解析：(1)上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：

,/四邊形ABCD為正方形，...AD=DC,ZBCD=ZADC=90°,在4ADF和^DCE中，TDF=CE,ZADC=ZBCD=90°,

AD=CD,/.AADF^ADCE(SAS),/.AF=DE,ZDAF=ZCDE,VZADG+ZEDC=90°,/.ZADG+ZDAF=90°,

/.ZAGD=90°,BPAF1DE；

(2)上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：

,/四邊形ABCD為正方形，；.AD=DC,ZBCD=ZADC=90°,在小ADF和4DCE中，TDF=CE,ZADC=ZBCD=90°,

AD=CD,/.AADF^ADCE(SAS),，AF=DE,ZE=ZF,VZADG+ZEDC=90°,/.ZADG+ZDAF=90°,

/.ZAGD=90°,BPAF1DE；

(3)四邊形MNPQ是正方形.理由是：

如圖，設(shè)MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,\?點M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,AD的中點,

11

，MQ=PN=2DE,PQ=MN=2AF,MQ〃DE,PQ〃AF,四邊形OHQG是平行四邊形，：AF=DE,...MQ=PQ=PN=MN,

二四邊形MNPQ是菱形，VAF±DE,/.ZAOD=90°,/.ZHQG=ZAOD=90°,工四邊形MNPQ是正方形.

AQD

圖3

考點：L四邊形綜合題；2.綜合題.

24、(1)?？?；(2)5；(3)PA+PB的長度最短時，點P的坐標(biāo)為(|,0),PA+PB的最短長度為2而.

【解題分析】

(1)直接利用兩點之間距離公式直接求出即可；

(2)根據(jù)題意列式計算即可；

(3)利用軸對稱求最短路線方法得出P點位置，進(jìn)而求出PA+PB的最小值.

【題目詳解】

(1)(1)VA(2,3),B(-1,-2),

AA,B兩點間