山東省濰坊市高密市2023-2024學年九年級下學期3月月考數(shù)學試題（含答案解析）

山東省濰坊市高密市2023-2024學年九年級下學期3月月考

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.星載原子鐘是衛(wèi)星導航系統(tǒng)的“心臟”，對系統(tǒng)定位和授時精度具有決定性作用.“北

斗”三號衛(wèi)星導航系統(tǒng)裝載國產(chǎn)高精度星載原子鐘，保證“北斗”優(yōu)于20納秒的授時精

度.1納秒=1x109秒，那么20納秒用科學記數(shù)法表示應為()

A.2義10翼秒B.2x10-9秒C.20x10-秒D.2x10一0秒

【答案】A

【分析】

根據(jù)科學記數(shù)法的一般形式為axlO",其中*同<10,"為整數(shù).確定〃的值時，要看

把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)

絕對值210時，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負整數(shù).

【詳解】解：20納秒=20x1x10-9=2x10-8秒，

故選：A

【點睛】

本題考查科學記數(shù)法的表示方法.表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及n的值.

2.已知4m=x,8n=y,其中m,n為正整數(shù)，則22m+6n=()

A.xy2B.x+y2C.x2y2D.x2+y2

【答案】A

【分析】根據(jù)幕的乘方的運算法則，將4m和8n寫成底數(shù)是2的嘉，再根據(jù)同底數(shù)幕相

乘即可得到答案.

【詳解】解：,：4m=22m=x,8n—23n—y,

22m+6n=22nv26n=22m*(23n)2=xy2.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘法及幕的乘法與積的乘方，熟記運算法則是解題

關(guān)鍵.

[3x-5H

3.若關(guān)于x的不等式組c。有且只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是()

[2x一Q<8

A.0<a<2B.0<a<2C.0<a<2D.0<a<2

試卷第1頁，共15頁

【答案】c

【分析】先求出不等式組的解集（含有字母。），利用不等式組有三個整數(shù)解，逆推出a

的取值范圍即可.

【詳解】解：解不等式3x-5咒得：%>2,

QIzj

解不等式2x-a<8得：x<——,

2

QIzy

???不等式組的解集為：2Kx〈彳，

???不等式組。。有三個整數(shù)解，

[2x-a<（s

，三個整數(shù)解為：2,3,4,

.??4〈工5,

2

解得：0<a<2,

故選：C.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解的應用，解此題

的關(guān)鍵就是根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于a的不等式組.

4.已知關(guān)于x的分式方程二2=▲的解為正數(shù)，則左的取值范圍為（）

x-1l-x

A.-2<*<0B.k>-2S.k^-lC.k>-2D.左<2且后wl

【答案】B

【分析】先用k表示x,然后根據(jù)x為正數(shù)列出不等式，即可求出答案.

【詳解】解：?.?*-4=2,

x-11-X

...X+

X—1

:.x=2+k,

該分式方程有解，

2+左w1,

/.kw—1,

x>0,

2+左〉0,

:.k〉—2,

:.k〉一2kw—1,

故選3.

【點睛】本題考查的是分式方程，熟練掌握分式方程是解題的關(guān)鍵.

試卷第2頁，共15頁

5.《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢

馬送到900里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比

規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間，設(shè)規(guī)定時間為x天，則

可列出正確的方程為()

900C900膽=2x%

A.------=2x------B.

x+3x-1x-3x+1

900C900900c900

C.------=2x------D.=2x------

x-1x+3x+1x-3

【答案】B

【分析】本題考查了分式方程的應用，設(shè)規(guī)定時間為x天，則慢馬送到所需時間為(x+1)

天,快馬送到所需時間為卜-3)天，根據(jù)“快馬的速度是慢馬的2倍，兩地間的路程為900

里”，列出方程即可.

【詳解】解：：設(shè)規(guī)定時間為x天，

，慢馬送到所需時間為(x+1)天，快馬送到所需時間為"-3)天，

??,快馬的速度是慢馬的2倍，兩地間的路程為900里，

900900

=2x-------,

x-3-------x+1

故選：B.

6.閱讀理解：我們知道，引進了無理數(shù)后，有理數(shù)集就擴展到實數(shù)集.同樣，如果引進

“虛數(shù)”，實數(shù)集就擴展到“復數(shù)集”.現(xiàn)在我們定義：“虛數(shù)單位”，其運算規(guī)則是：3=，，

i2=-l,i3=-i,Z4=l,i5=i,i6=-1,C=-i,貝!|產(chǎn)23=()

A.-iB.iC.1D.-1

【答案】A

【分析】

根據(jù)運算法則可知4個運算一循環(huán)，進而即可求解.

【詳解】

z1=i,i1=—1，i3=T,!4=1,z5=i,z6=—1,i1=—z,z8=1,........

根據(jù)運算法則可知4個運算一循環(huán)，2023+4=505…3,

9??I-2023=~1?，

故選：A.

【點睛】本題考查了規(guī)律性問題，解題的關(guān)鍵是通過所給的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律，

利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行解題.

試卷第3頁，共15頁

二、多選題

7.下列計算正確的是()

A.3a⑶.(―4a?)=—1205B.(―=—8機6

22

C.(x+yy=x+yD.2ab+3/b=5a3b,

【答案】AB

【分析】本題考查了單項式乘以單項式、幕的乘方與積的乘方、完全平方公式、合并同

類項，根據(jù)單項式乘以單項式、幕的乘方與積的乘方、完全平方公式、合并同類項的法

則逐項判斷即可.

【詳解】解：A、3a3-(-4a2)=-12a5,故原選項計算正確，符合題意；

B、(-2m2)3=-8m6,故原選項計算正確，符合題意；

C、(x+y)2=x2+2xy+y2,故原選項計算錯誤，不符合題意；

D、2就和3a%不是同類項，不能直接合并，故原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：AB.

8.九年級學生在參加校外實踐活動中，有加位師生乘坐〃輛客車.若每輛客車乘42人,

則還有8人不能上車，若每輛客車乘45人，則最后一輛車空了16個座位.在下列四個

方程中正確的有()

_m-8m+16_

C.-------=---------D.42〃+8=45〃一16

4245

【答案】CD

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，分兩種情況：根據(jù)總?cè)藬?shù)列方程；根據(jù)客車

數(shù)列方程；分別列出方程即可，找準等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：

根據(jù)總?cè)藬?shù)列方程為：42H+8=45M-16,

根據(jù)客車數(shù)列方程為：嚓=‘善，

4245

故選：CD.

9.下列說法正確的是()

2

A.若4'=。，修=b,貝i]2小3>=幺

b

B.若正？+加一1=0,則》?+2機2+2010=2011

C.若。2+/=3,a-b=l,貝=2

試卷第4頁，共15頁

D.若nm=-2,m+n=3,貝!J??"+=-6

【答案】ABD

【分析】本題考查了幕的乘方、同底數(shù)幕的除法、利用完全平方公式進行計算、求代數(shù)

式的值，根據(jù)幕的乘方與同底數(shù)塞的除法計算即可判斷A；將加+2—+2010變形為

/+2010,整體代入計算即可判斷B；運用完全平方公式計算即可判斷C；

將式子變形為機〃("2+〃)，整體代入計算即可.

2

【詳解】解：A、若4，=°,8>=6,則24f=2,23>=(22)工平)'=八6=幺，故

A正確，符合題意；

B、?/m2+m-l=0,m1+m=1

m3+2m2+2010=m(m1+m^+m2+2010=m+m2+2010=1+2010=2011,故B正確,

符合題意；

C、a?+b?=3,a—b—1?

222

ab=a+b-(a-b)=3-1=?故c錯誤，不符合題意；

22

D、?/mn=-2,m+n=3,

/.m2n+mn2=mn[m+n)=-2x3=-6,故D正確,符合題意；

故選：ABD.

10.下列說法：正確的是()

A.若分式上2的值為零，貝I]a的值為一3；

a—3

2

B.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，”可以變形為竺"；

nnx

c.分式產(chǎn)「中x,y都擴大到原來的3倍，分式的值不變；

3x-2y

21

c。,1

D.--------Q+1=------

Q+1Q+1

【答案】AD

【分析】此題主要考查了分式的值為零的條件以及分式的基本性質(zhì)、分式與整式的加減

法，直接利用分式的值為零的條件以及分式的基本性質(zhì)、分式與整式的加減法分別分析

得出答案.

【詳解】解：①若分式土^的值為零，則/-9=0且"3/0,即。的值為-3,正確，

a—3

符合題意；

試卷第5頁，共15頁

2

②根據(jù)分式的基本性質(zhì)，絲變形為咯需要滿足xwO,故原說法錯誤，不符合題意；

nnx

③分式—中x，＞都擴大到原來的3倍，分式的值擴大為原來的3倍，故原說法錯

3x-2y

誤，不符合題意；

④金-0+1=金-絕±雪”1=故原式正確，符合題意.

Q+1〃+1Q+1〃+1〃+1

故選：AD.

三、填空題

11.因式分解：3ma2-6mab+3mb2=.

【答案】3m(a-b)2

【分析】

根據(jù)因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案.

【詳解】解：3ma2-6mab+3mb2

=3m^a2-2ab+b2}

=3加(a-bp

故答案為：3m(a-b)2.

【點睛】本題考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解題的關(guān)鍵需要掌

握完全平方公式.

12-方程。+1：1)一;1r

的解為

【答案】》=一4

【分析】根據(jù)分式方程的解法，先將式子通分化簡為T=l,最后驗證根的情況，進

而求解.

6

【詳解】

(x+l)(x-l)x-1

63(x+l)_]

(X+1)(%—1)(x-l)(x+1)

3—3x

(x+l)(x-l)

x+l

x+1——3,

x=-4f

經(jīng)檢驗x=-4是原方程的根;

試卷第6頁，共15頁

故答案為x=-4；

【點睛】本題考查分式方程的解法；熟練掌握分式方程的解法，勿遺漏驗根環(huán)節(jié)是解題

的關(guān)鍵.

13.某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌

新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛.如果設(shè)從

2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x,那么可列出方程

是.

【答案】20(1+X)2-20=31.2

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)“2022年的銷售量比2020年

增加了31.2萬輛”列出方程即可.

【詳解】解：由題意得：20(1+尤『-20=31.2,

故答案為:20(1+9)2-20=31.2.

14.已知尸-x+5,當x分別取1,2,3,…,2010時，所對應的了值的總和

是.

【答案】2022

【分析】此題考查了二次根式的化簡求值，直接把已知數(shù)據(jù)代入進而得出變化規(guī)律即可

得出答案，正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當x<4時，

原式=4—尤—x+5=—2x+9，

當x=l時，原式=-2xl+9=7；

當x=2時，原式=-2x2+9=5；

當x=3時，原式=-2x3+9=3；

當x24時，原式=x-4-尤+5=1,

.,.當x分別取1,2,3,…,2010時，

所對應了值的總和是:7+5+3+1+1+…+1=15+1x2007=2022,

故答案為：2022.

四、解答題

15.(1)配-2cos300-|6-2卜2)

試卷第7頁，共15頁

'3(x-l)<2x-2?

(2)解不等式組x+3,x+2小，并將其解集在數(shù)軸上表示出來.

----+1>----②

I32

IIIIIIIIIIIII?

-6-5-4-3-240123456

【答案】(1)2A/3--;(2)x<l,見解析

2

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、負整數(shù)指

數(shù)早、解不等式組，熟練掌握運算法則是解決此題的關(guān)鍵.

(1)利用特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)幕進行

化簡，再計算乘法，最后計算加減即可；

(2)分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間

找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出解集即可.

【詳解】解：(1)疵-2COS30°-|6-2|+2-

=2V3-2x—+6-2+-

22

=2百-6+6-2+-

2

=2A/3；

2

(2)解不等式①得：%<1,

解不等式②得：%<6,

，不等式組的解集為xVl,

在數(shù)軸上表示為：

??????，1111A?

-5-4-3-2-1012345

16.已知關(guān)于X的一元二次方程——2(4-l)x+/—a—2=0有兩個不相等的實數(shù)根為，

(1)若。為正整數(shù)，求。的值；

(2)若為，巧滿足入；+*=16,求。的值.

【答案】(1)。=1或2；

(2)a=—\

【分析】

本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，先判斷出。的取值范圍，再

試卷第8頁，共15頁

由根與系數(shù)的關(guān)系得出方程是解答此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)關(guān)于X的一元二次方程--2(0-l)x+/-。-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，得

至U△=[—2(?—I)]2—4(?！猘—2)>0,于是得到結(jié)論；

1

(2)根據(jù)占=2(aT),xtx2=a-a-2,代入x；+x；-占馬=16,解方程即可得到

結(jié)論.

【詳解】(1)

解：???關(guān)于x的一元二次方程，-2("1)》+/-。-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

△=[-2(a-I)]2-4(a2-a-2)>0,

解得：a<3,

為正整數(shù)，

..a=1,2；

(2)

2

解：?.,玉+馬=2(Q-1),xrx2=a-a-2f

x；+x；-xxx2=16,

.,.(玉+々-3再%2=16,

/.[2(tz-l)]2-3(?2-tz-2)=16,

解得：％=T,2=6,

a<3,

a=-1.

17.對于任意實數(shù)a,b,定義一種新運算：?！?=1I,例如：3x1=3-1=2,

[a+b-6(a<2b)

5派4=5+4-6=3.根據(jù)上面的材料，請完成下列問題：

(1)4^3=,(T)※(-3)=；

⑵若(3x+2)X(x-1)=5,求x的值.

【答案】(1)1；2；

⑵x=l,

【分析】

(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)已知等式利用已知的新定義進行分類討論并列出方程，再計算求出x的值即可.

試卷第9頁，共15頁

【詳解】(1)v4<3x2,

鉤=4+3—6=1,

???一1〉(—3)x2

「.(-1)※(-3)=-1-(-3)=2；

故答案為：1；2；

(2)若3x+222(x—1)時，即xN—4時，則

(3x+2)-(x-l)=5,

解得：x=l,

若3x+2V2(x—l)時，即xV—4時，則

(3x+2)+(x—1)-6=5,

解得：尤=|,不合題意，舍去，

..X—1,

【點睛】此題考查了實數(shù)的新定義運算及解一元一次方程，弄清題中的新定義是解本題

的關(guān)鍵.

c4八號木分&a2-6a+9(5>_,日/土寸金。一1〃4一附十

18.先化間，再求值：----------a+2+,其中使不等式-T；—W1成"的正

a-2I2-aJ2

整數(shù).

【答案】M

2

【分析】

先根據(jù)分式混合運算法則進行化簡，然后求出不等式的解集，得出正整數(shù)。的值，再代

入數(shù)據(jù)計算即可.

,、4kTi、b-n/—6。+9(_5A

【詳解】解：------T--?+2+-——

a-2\2-a)

(〃-3)2(2+〃)(2-〃)5

-----------r------------------------1---------

d—22—ci2-a

_("3)24-a2+5

Q—22—CL

(a-3)2-a

2(3+a)(3-a)

a—3

a+3'

解不等式M41得：。43,

2

為正整數(shù),

試卷第10頁，共15頁

??ci—1j2,3,

:要使分式有意義。-2wO,

??Qw2,

。??當〃=3時，。+2H---=3+2H---=0,

2-。2—3

??aw3，

一

?,?把。=1代入得：原式=—1-3=-}1.

【點睛】本題主要考查了分式化簡求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握分式混合運算法則，準確計算.

19.閱讀材料：

小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如

3+2后=(1+后『.善于思考的小明進行了以下探索：

設(shè)0+6&=1〃+7行『其中.、b、m、〃均為整數(shù)，

貝U有a+by/2=m2+2n2+2加“C-

a=用+2/,b=2”.這樣小明就找到了一種把類似a+b叵的式子化為平方式的方

法.請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當。、6、加、”均為正整數(shù)時，若a+b^=[m+n欄',用含加、"的式子分別表

示〃、b,得：a=b=；

(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)。、b、m、〃填空：_+_君=(_+_6『；

⑶若a+4G=(根+〃6『，且。、機、"均為正整數(shù)，求。的值.

【答案】⑴病+3/,2利〃

(2)13,4,1,2

(3)7或13

【分析】

本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，

(1)根據(jù)上面的例子，將按完全平方展開，可得出答案；

(2)由(1)可寫出一組答案，不唯一;

⑶將(加+展開得出〃/+3〃2一2力〃"5,由題意得用"=2,m2+3n2=a,再由a、

m、〃均為正整數(shù)，可得出答案.

試卷第11頁，共15頁

【詳解】(1)解：,:a+b拒=1加，

a+b也—m~+37?2+2rm△，

a=m2+3n2,b=2mn；

故答案為：m2+3n2,21rm.

(2)解：由(1)可得。=13,6=4,m=l,n-2；

故答案為：13,4,1,2.

(3)解：Va+4V3=(m-?V3j2,

a+4^/3=m2+3?2-2nm樞,

mn=2,m2+37?2=a，

m、n均為正整數(shù)，

m=1,n—2,a=13或〃?=2,n=1,a=7；

，a的值為7或13.

20.如果一個正整數(shù)能夠表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘

數(shù)”.例如:因為4=2Z-02,12=42-22,20=62-4,故4,12,20都是神秘數(shù).

(1)寫出一個除4,12,20之外的“神秘數(shù)”

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2斤和2人+2(左為非負整數(shù))，則由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神秘數(shù)”

能夠被4整除嗎?為什么？

(3)兩個相鄰的“神秘數(shù)”之差是否為定值?若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明

理由.

【答案】⑴28

⑵能夠被4整除，理由見解析

(3)兩個相鄰的“神秘數(shù)”之差是定值8

【分析】

(1)根據(jù)“神秘數(shù)”的定義寫出一個“神秘數(shù)唧可；

(2)根據(jù)題意用兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差表示出“神秘數(shù)”，利用平方差公式化簡即可判

斷；

(3)利用“神秘數(shù)”的定義和(2)中結(jié)論即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???28=14x2=(8+6)(8-6)=82-62,

28是“神秘數(shù)”,

試卷第12頁，共15頁

故答案為：28；

（2）解：能夠被4整除，理由為：

根據(jù)定義，兩個連續(xù)偶數(shù)為例和2人+2"為非負整數(shù)），構(gòu)造的“神秘數(shù)”為

（2人+2）2-（2發(fā)7，

（2左+2）2—（2斤?

=（2左+2+2左）（24+2-2左）

=（4左+2）2

=4（2左+1）,

構(gòu)造的“神秘數(shù)”能夠被4整除；

（3）解：根據(jù)（2）中結(jié)論，設(shè)兩個相鄰的“神秘數(shù)”為肱+4,8（左+1）+4,

：[8（后+1）+4]-（8左+4）

=8左+8+4-8左-4

=8，

，兩個相鄰的“神秘數(shù)”之差是定值8.

【點睛】本題主要考查平方差公式，理解新定義，熟練掌握平方差公式的運用是解答的

關(guān)鍵.

21.為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買A,B兩種型號的充電樁.已

知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬

元購買B型充電樁的數(shù)量相等.

（1）A,B兩種型號充電樁的單價各是多少？

⑵該停車場計劃共購買25個A,B型充電樁，購買總費用不超過26萬元，且B型充電

樁的購買數(shù)量不少于A型充電樁購買數(shù)量的1■.問：共有哪幾種購買方案？哪種方案

所需購買總費用最少？

【答案】（1）A型充電樁的單價為0.9萬元，B型充電樁的單價為1.2萬元

（2）共有三種方案：方案一*購買A型充電樁14個，購買B型充電樁11個；方案二：購

買A型充電樁15個，購買B型充電樁10個；方案三：購買A型充電樁16個，購買B

型充電樁9個；方案三總費用最少.

試卷第13頁，共15頁

【分析】

（1）根據(jù)“用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等”列分式

方程求解；

（2）根據(jù)“購買總費用不超過26萬元，且B型充電樁的購買數(shù)量不少于A型充電樁購

買數(shù)量的3”列不等式組確定取值范圍，從而分析計算求解

【詳解】（1）解：設(shè)B型充電樁的單價為x萬元，則A型充電樁的單價為（x-0.3）萬元,

由題意可得:

1520

x-0.3x

解得％=1.2

經(jīng)檢驗：x=1.2是原分式方程的解,

X—0.3=0.9，

答：A型充電樁的單價為0.9萬元，B型充電樁的單價為1.2萬元;

（2）解：設(shè)購買A型充電樁〃個，則購買B型充電樁（25-a）個，由