2023年北京市海淀區(qū)清華附中中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析(3月份)

2023年北京市海淀區(qū)清華附中中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（共8小題，每題3分）

1．（3分）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A．圓柱B．球C．三棱柱D．長方體

2．（3分）故宮又稱紫禁城，位于北京中軸線的中心，占地面積高達(dá)720000平方米，在世

界宮殿建筑群中面積最大．請將720000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×103

3．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A．B．C．D．

4．（3分）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A．|a|＜|b|B．a(chǎn)d＞0C．a(chǎn)+c＞0D．d﹣a＞0

5．（3分）若正多邊形的一個外角的度數(shù)為45°，則這個正多邊形是（）

A．正五邊形B．正六邊形C．正八邊形D．正十邊形

6．（3分）如圖，直線AB∥CD，AB平分∠EAD．若∠1＝100°，則∠2的度數(shù)是（）

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A．30°B．40°C．50°D．60°

7．（3分）在一個不透明的袋中有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外部相同．?dāng)噭蚝螅?/p>

隨機從中摸出一個球．記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后，再從中隨機摸出一個球，

兩次都摸到紅球的概率是（）

A．B．C．D．

8．（3分）如圖，長方體的體積是100m3，底面一邊長為2m．記底面另一邊長為xm，底面

的周長為lm，長方體的高為hm．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，l和h都隨x的變化而變化，

則l與x，h與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

二、填空題（共8小題，每題3分）

9．（3分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△ABC是三角形．（填“銳角”“直角”

或“鈍角”）

10．（3分）因式分解mx2+2mx+m＝．

11．（3分）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其中籃球的單價

比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價．設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價

為y元，依題意，可列方程組為．

12．（3分）如圖，圓的兩條弦AB，CD相交于點E，且弧AD＝弧CB，∠A＝40°，則∠

CEB的度數(shù)為．

第2頁（共6頁）

13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx（k＞0）與雙曲線交于M（x1，y1），

N（x2，y2）兩點，則x1?y2的值為．

14．（3分）如圖，在?ABCD中，延長CD至點E，使DE＝DC，連接BE與AC于點F，

則的值是．

15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在拋

2

物線y＝ax﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為．（用

“＜”表示）

16．（3分）如圖，雙驕制衣廠在廠房O的周圍租了三幢樓A、B、C作為職工宿舍，每幢宿

舍樓之間均有筆直的公路相連，并且廠房O與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且BC

＞AC＞AB．已知廠房O到每條公路的距離相等．

（1）則點O為△ABC三條的交點（填寫：角平分線或中線或高線）；

（2）如圖設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，OA＝x，OB＝y(tǒng)，OC＝z，現(xiàn)要用汽車每天接送職

工上下班后，返回廠房停放，那么最短路線長是．

三、解答題（共9小題，17-22題6分，23-24題8分）

17．（6分）計算：（）﹣1+（π﹣2022）0﹣3tan30°+|3﹣|．

18．（6分）解分式方程：．

第3頁（共6頁）

19．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若該方程兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．

20．（6分）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成

證明．

已知：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．

求證：DE∥BC，且．

方法一方法二

證明：如圖，延長DE至點F，使EF＝DE，證明：如圖，過點E作EF∥AB交BC于F．

連接CF．

21．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+4k（k≠0）的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，且

經(jīng)過點C（2，m）．

（1）當(dāng)m＝2時，求一次函數(shù)的解析式及點A的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x＞﹣1時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝x的

值大于一次函數(shù)y＝kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范

圍．

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22．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，交AC于點

E，過點B作⊙O的切線交OD的延長線于點F．

（1）求證：∠A＝∠BOF；

（2）若AB＝4，DF＝1，求AE的長．

23．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（4，2）在拋物線y＝ax2+bx+2（a＞0）上．

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）拋物線上兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．

①當(dāng)時，比較y1，y2的大小關(guān)系，并說明理由；

②若對于x1，x2，都有y1≠y2，直接寫出t的取值范圍．

24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點A作BC的垂線AD，垂足為D，E

為射線DC上一動點（不與點C重合），連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋

轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，與直線AD交于點G．

（1）如圖1，當(dāng)點E在線段CD上時，

①依題意補全圖形；

②求證：點G為BF的中點．

（2）如圖2，當(dāng)點E在線段DC的延長線上時，用等式表示AE，BE，AG之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明．

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25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段AB，點P和圖形G定義如下：線段AB繞點P逆

時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A'B'（A'和B'分別是A和B的對應(yīng)點），若線段AB和A'B'均在圖

形G的內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形G為線段AB關(guān)于點P的旋垂閉圖．

（1）如圖，點C（1，0），D（3，0）．

①已知圖形G1：半徑為3的⊙O；

G2：以O(shè)為中心且邊長為6的正方形；

G3：以線段OD為邊的等邊三角形．

在G1，G2，G3中，線段CD關(guān)于點O的旋垂閉圖是．

②若半徑為5的⊙O是線段CD關(guān)于點T（t，0）的旋垂閉圖，求t的取值范圍；

（2）已知長度為4的線段AB在x軸負(fù)半軸和原點組成的射線上，若存在點Q（2+a，2

﹣a），使得對半徑為2的⊙Q上任意一點P，都有線段AB滿足半徑為r的⊙O是該線段

關(guān)于點P的旋垂閉圖，直接寫出r的取值范圍．

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2023年北京市海淀區(qū)清華附中中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析（3月份）

一、選擇題（共8小題，每題3分）

1．【分析】根據(jù)一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，可判斷該幾何體

是柱體，進而根據(jù)俯視圖的形狀，可判斷柱體側(cè)面形狀，得到答案．

【解答】解：由幾何體的主視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，

故該幾何體是一個柱體，

又∵俯視圖是一個圓，

故該幾何體是一個圓柱．

故選：A．

【點評】本題考查的知識點是三視圖，如果有兩個視圖為三角形，該幾何體一定是錐，

如果有兩個矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個視圖的形狀決定．

2．【分析】把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是

正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，由此即可得到答案．

【解答】解：將720000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為7.2×105．

故選：B．

【點評】本題考查科學(xué)記數(shù)法，關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示較大數(shù)的方法．

3．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖

形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫

做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個

圖形叫做軸對稱圖形．

【解答】解：A．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：A．

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與

原圖重合是關(guān)鍵．

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4．【分析】根據(jù)實數(shù)在數(shù)軸上的位置，得出各個數(shù)的大小關(guān)系，再根據(jù)絕對值的大小，判斷

相關(guān)代數(shù)式的符號．

【解答】解：由實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置可知，a＜b＜0＜c＜d，

∴|a|＞|b|，ad＜0，a+c＜0，d﹣a＞0，

因此選項D正確，

故選：D．

【點評】本題考查數(shù)軸表示數(shù)，有理數(shù)的四則運算法則，理解符號、絕對值是確定有理

數(shù)的必要條件．

5．【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計算即可．

【解答】解：360÷45＝8（條），

故答案為：C．

【點評】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°，正多邊形的

每個外角都相等是解題的關(guān)鍵．

6．【分析】根據(jù)鄰補角的定義、角平分線的定義及平行線的性質(zhì)求解即可．

【解答】解：∵∠1＝100°，

∴∠EAD＝180°﹣∠1＝80°，

∵AB平分∠EAD，

∴∠EAB＝∠BAD＝∠EAD＝40°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠EAB＝40°，

故選：B．

【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

7．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到紅球的

情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此題屬于放回實驗．

【解答】解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到紅球的有4種結(jié)果，

∴兩次都摸到紅球的概率為，

故選：D．

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【點評】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識．注意畫樹狀圖與列表法可以

不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩

步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．

8．【分析】根據(jù)底面的周長公式“底面周長＝2（長+寬）“可表示出l與x的關(guān)系式，根據(jù)

長方體的體積公式“長方體體積＝長×寬×高”可表示出h與x，根據(jù)各自的表達(dá)式形式

判斷函數(shù)類型即可．

【解答】解：由底面的周長公式：底面周長＝2（長+寬），

可得：l＝2（x+2），

即：l＝2x+4．

∴l(xiāng)與x的關(guān)系為：一次函數(shù)關(guān)系．

根據(jù)長方體的體積公式：長方體體積＝長×寬×高，

可得：100＝2xh，

∴h＝，

∴h與x的關(guān)系為：反比例函數(shù)關(guān)系．

故選：D．

【點評】此題考查了函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用，涉及到一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)

等知識，熟知函數(shù)的相關(guān)類型并能夠根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．

二、填空題（共8小題，每題3分）

9．【分析】根據(jù)三邊的長可作判斷．

【解答】解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，

∴AB2+AC2＞BC2，

∴△ABC為銳角三角形，

故答案為：銳角．

【點評】本題考查了三邊的關(guān)系，會利用三邊關(guān)系確定三角形的形狀：若三角形的三邊

分別為a、b、c，①當(dāng)a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；②當(dāng)a2+b2＜c2時，△ABC

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為鈍角三角形；③當(dāng)a2+b2＝c2時，△ABC為直角三角形．

10．【分析】提公因式m后，再利用完全平方公式進行計算即可．

【解答】解：原式＝m（x2+2x+1）

＝m（x+1）2，

故答案為：m（x+1）2．

【點評】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式是的

結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．

11．【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①4個籃球的花費+5個足球的花費＝435元，②籃球

的單價﹣足球的單價＝3元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．

【解答】解：設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得：

，

故答案為：．

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找

出題目中的等量關(guān)系．

12．【分析】根據(jù)圓周角定理推論得到∠A＝∠C＝40°，由三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解答】解：∵弧AD＝弧CB，∠A＝40°，

∴∠A＝∠C＝40°，

∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，

故答案為：80°．

【點評】本題考查了圓周角定理推論，熟記圓周角定理推論是解題的關(guān)鍵．

2

13．【分析】聯(lián)立兩個函數(shù)表達(dá)式得：kx＝，即kx﹣4＝0，則x1x2＝﹣，故x1?y2＝kx1x2

＝k（﹣）＝﹣4，即可求解．

【解答】解：聯(lián)立兩個函數(shù)表達(dá)式得：kx＝，即kx2﹣4＝0，

則x1x2＝﹣，

點N在直線上，則y2＝kx2，

故x1?y2＝kx1x2＝k（﹣）＝﹣4，

故答案為：﹣4．

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【點評】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交點坐標(biāo)的性質(zhì)，利用根與系數(shù)的關(guān)系是

本題解題的關(guān)鍵．

14．【分析】在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，根據(jù)DE＝DC，可得AB＝CD＝DE＝CE，

再由AB∥CD，可得△ABF∽△CEF，對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論．

【解答】解：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，

∵DE＝DC，

∴AB＝CD＝DE＝CE，

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CEF，

∴＝＝．

故答案為：．

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是

掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．

15．【分析】求得拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)點到對稱軸的距離的大小判斷即可．

【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0），

∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣＝1，

∵0＜n＜1，

∴﹣2＜n﹣2＜﹣1，﹣1＜n﹣1＜0，1＜n+1＜2，

∴點（n﹣2，y1）到對稱軸的距離最大，（n+1，y3）到對稱軸距離最短，

∴y1＜y2＜y3，

故答案為：y1＜y2＜y3．

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

16．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)定理判斷即可；

（2）首先得出O為△ABC的內(nèi)心，進而得出△ABO≌△EBO（SAS），在△ECO中，y

﹣x＜a﹣b推出d3﹣d1＜0，同理d3﹣d2＜0，d3﹣d4＜0，d3﹣d5＜0，d3﹣d6＜0，即可得

出答案．

【解答】解：（1）∵點O到每條公路的距離相等，

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∴點O是△ABC的角平分線的交點．

故答案為：角平分線；

（2）共有6條線路：d1＝x+c+a+z，d2＝x+b+a+y，d3＝y(tǒng)+c+b+z，d4＝y(tǒng)+a+b+x，d5＝z+b+c+y，

d6＝z+a+c+x，

在CB上截取CE＝CA，連接OE，

在△ACO和△ECO中，

，

∴△ACO≌△ECO（SAS），

∴OA＝OE，

在△EBO中，

y﹣x＜a﹣b推出d3﹣d1＜0，

同理d3﹣d2＜0，d3﹣d4＜0，d3﹣d5＜0，d3﹣d6＜0，

∴d3最短，

故答案為：y+c+b+z．

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的三邊關(guān)系定理：兩邊之和大于第

三邊；以及在同一個三角形內(nèi)大角對大邊．

三、解答題（共9小題，17-22題6分，23-24題8分）

17．【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的

意義化簡運算即可．

【解答】解：原式＝2+1﹣3×+2﹣3

＝3﹣+2﹣3

＝．

【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，特殊角

的三角函數(shù)值和絕對值的意義，正確利用上述法則與性質(zhì)化簡運算是解題的關(guān)鍵．

18．【分析】根據(jù)解分式方程的步驟解答即可，①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；

④得出結(jié)論．

【解答】解：，

方程兩邊同乘以（x+1）（x﹣1），得

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x+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），

解得x＝，

當(dāng)x＝時，（x+1）（x﹣1）≠0，

所以分式方程的解為x＝．

【點評】本題考查了解分式方程，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使

原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡

公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公

分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程

時，一定要檢驗．

19．【分析】（1）先求一元二次方程的根的判別式Δ，然后再證明Δ≥0即可；

（2）不妨設(shè)方程的兩實數(shù)根為x1，x2且x1＞x2，則x1﹣x2＝2，再利用一元二次方程的

根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2，x1x2，進而變形即可求解．

【解答】解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的根的判別式Δ＝[﹣（m+2）]2

﹣4×1×（m+1）＝m2+4m+4﹣4m﹣4＝m2，

不論m取任何實數(shù)，都有m2≥0即Δ≥0成立；

當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，

當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

故該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）不妨設(shè)方程的兩實數(shù)根為x1，x2且x1＞x2，

則x1﹣x2＝2，

∴，

又∵x1+x2＝m+2，x1x2＝m+1，

222

∴（x1﹣x2）＝（x1+x2）﹣4x1x2＝（m+2）﹣4（m+1）＝4，

∴m＝2或m＝﹣2，

故m的值為2或﹣2．

【點評】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式以及

直接開平方求解一元二次方程等知識，熟練掌握根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用是

解答此題的關(guān)鍵．

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20．【分析】選擇方法一：根據(jù)題意，先證明△ADE≌△CFE，然后證明四邊形DBCF是平

行四邊形，即可得出結(jié)論．

【解答】解：選擇方法一，證明如下：

根據(jù)題意，如圖：

AB∥CF，

∴∠DAE＝∠ECF

∵E是AC的中點，

∴AE＝EC．

在△ADE與△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（ASA）．

∴AD＝CF，DE＝EF＝DF，

∵D是AB的中點，

∴BD＝AD，

∴BD＝CF，

∴四邊形DBCF是平行四邊形，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴DE∥BC，DE＝BC．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上

知識是解題的關(guān)鍵．

21．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，利用x軸上點的坐標(biāo)特征即可求

得A的坐標(biāo)；

（2）求得哈y＝x，當(dāng)x＝﹣1時的函數(shù)值，然后代入y＝kx+4k得﹣1＝﹣k+4k，即可求

得k＝﹣，結(jié)合圖象即可求得k的取值．

【解答】解：（1）把點（2，2）代入y＝kx+4k得，2＝2k+4k，

解得k＝，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+，

第8頁（共16頁）

令y＝0，則x+＝0，

解得x＝﹣4，

∴A（﹣4，0）；

（2）當(dāng)x＝﹣1時，y＝x＝﹣1，

把（﹣1，﹣1）代入y＝kx+4k得﹣1＝﹣k+4k，

∴k＝﹣，

由圖象可知當(dāng)x＞﹣1時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝x的值大于一次函數(shù)y＝kx+4k（k

≠0）的值，k的取值范圍是k≤﹣．

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次

函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

22．【分析】（1）連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而利用等腰

三角形的三線合一性質(zhì)可得∠CAB＝2∠DAB，然后再利用圓周角定理可得∠DOB＝2∠

DAB，即可解答；

（2）連接BE，據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠AEB＝90°，再利用（1）的結(jié)論證明

△EAB∽△BOF，然后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．

【解答】（1）證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°

∵AB＝AC，

第9頁（共16頁）

∴∠CAB＝2∠DAB，

∵∠DOB＝2∠DAB，

∴∠CAB＝∠BOF；

（2）解：連接BE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°

∵AB＝4，

∴OB＝OD＝AB＝2，

∵DF＝1，

∴OF＝OD+DF＝3，

∵BF與⊙O相切于點B，

∴∠OBF＝90°，

∴∠AEB＝∠OBF＝90°，

∵∠CAB＝∠BOF，

∴△EAB∽△BOF，

∴＝，

∴＝，

∴AE＝，

∴AE的長為．

【點評】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

23．【分析】（1）由拋物線解析式可得拋物線與y軸交點坐標(biāo)，再由拋物線經(jīng)過（4，2）可

得拋物線對稱軸．

（2）①由t＝可得x1與x2的取值范圍，從而可得點P，Q到對稱軸的距離大小關(guān)系，

進而求解．

②設(shè)點P（x1，y1）關(guān)于直線x＝2的對稱點為P'（x0，y1），由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠

x2，通過解不等式求解．

【解答】解：（1）將x＝0代入y＝ax2+bx+2得y＝2，

第10頁（共16頁）

∴拋物線與y軸交點坐標(biāo)為（0，2），

又∵拋物線經(jīng)過（4，2），

∴拋物線對稱軸為直線x＝2．

（2）①∵a＞0，

∴拋物線開口向上，

當(dāng)t＝時，點＜x1＜，＜x2＜．

∴|x1﹣2|＜，|x2﹣2|，

∴點P到對稱軸距離小于點Q到對稱軸距離，

∴y1＜y2．

②設(shè)點P（x1，y1）關(guān)于直線x＝2的對稱點為P'（x0，y1），

則x0＝4﹣x1，

∵t＜x1＜t+1，

∴3﹣t＜x0＜4﹣t，

∵4﹣t＜x2＜5﹣t，

∴x0≠x2，

當(dāng)t+1≤4﹣t或5﹣t≤t時，x1≠x2，

解得t≤或t≥．

【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函

數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．

24．【分析】（1）①根據(jù)題意畫圖即可，②由條件可證△ABE≌△ACF（SAS），得到∴ABE

＝∠ACF＝45°，從而有CF⊥BC，再通過平行線分線段成比例即可證出G為BF的中點；

（2）由（1）知△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，G為BF的中點仍然成立，設(shè)AD＝CD

＝x，CE＝y(tǒng)，表示出AE，BE，AG即可發(fā)現(xiàn)它

們之間的數(shù)量關(guān)系．

【解答】解：（1）①如圖1：

②如圖，連接CF，

∵∠BAC＝∠EAF＝90°，

∴∠BAE＝∠CAF，

第11頁（共16頁）

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴∠ABE＝∠ACF＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝45°+45°＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴AD∥CF，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴BG＝FG，

∴G為BF的中點．

（2）2AE2﹣4AG2＝BE2.理由如下：

如圖2，連接CF，

由（1）可知：△ABE≌△ACF（SAS），

∴∠BCF＝90°，G為BF的中點仍然成立，

且BE＝CF，

設(shè)AD＝CD＝x，CE＝y(tǒng)，

則BE＝CF＝2x+y，

∵DG＝，

∴AG＝，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2＝x2+（x+y）2，

∴AE2＝2x2+2xy+y2，BE2＝（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，AG2＝，

∴2AE2﹣4AG2＝BE2．

【點評】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及勾股定理

等知識，表示出AE，BE，AG的長度是解決問題的關(guān)鍵．

25．【分析】（1）①分別在坐標(biāo)系中畫出G1，G2，G3，再畫出線段CD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)

第12頁（共16頁）

90°的線段C′D′即可得到答案；

②如圖1所示，當(dāng)點T在點C左側(cè)，且此時剛好點D'落在⊙O上時，如圖2所示，當(dāng)點

T在點D右側(cè)，且此時剛好點C'落在⊙O上時，求出這兩種臨界情形下t的值，即可得

到答案；

（2）先求出點Q在直線y＝﹣x+4上運動；不妨設(shè)點A在點B的左側(cè)，如圖2﹣1所示，

連接AQ并延長交⊙Q于M，點A繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點為A'，在x軸上去

一點E使得AE＝AA'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM＝A'M，∠AMA'＝90°，則AE＝AA′＝

AM，由于點A到⊙Q上任意一點的距離的最大值是AM，則AE的最大值即為AM，

故只需要⊙O剛好能夠使得點E在⊙O上，此時⊙O的半徑有最小值，最小值為AM?

OA，則只需要找到AQ值最小時，則此時⊙O半徑有最小值；故當(dāng)AQ與直線y＝﹣x+4

垂直時，AQ有最小值，即AM有最小值，如圖2﹣2所示，當(dāng)點A的坐標(biāo)為（﹣2，0）

且AQ與直線y＝﹣x+4垂直時，AQ有最小值，即AM有最小值，證明∠HFO＝45°，

求出QA＝QF＝4，則AM＝4+2，進一步求出OA′＝4+2