安徽馬鞍山市2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

安徽馬鞍山市2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，為其前n項和，若，則（）A．60 B．75 C．90 D．1052．如圖所示四棱錐的底面為正方形，平面則下列結(jié)論中不正確的是（）A． B．平面C．直線與平面所成的角等于30° D．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角3．下列函數(shù)中同時具有性質(zhì)：①最小正周期是，②圖象關(guān)于點對稱，③在上為減函數(shù)的是（）A． B．C． D．4．已知平面向量，，，，在下列命題中：①存在唯一的實數(shù)，使得；②為單位向量，且，則；③；④與共線，與共線，則與共線；⑤若且，則.正確命題的序號是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③5．等差數(shù)列前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．6．已知圓x2+y2+2x-6y+5a=0關(guān)于直線y=x+b成軸對稱圖形，則A．(0,8) B．(-∞,8) C．(-∞,16)7．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．8．某個算法程序框圖如圖所示，如果最后輸出的的值是25，那么圖中空白處應填的是（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列共有項，滿足，且對任意、，有仍是該數(shù)列的某一項，現(xiàn)給出下列個命題：（1）；（2）；（3）數(shù)列是等差數(shù)列；（4）集合中共有個元素．則其中真命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．10．如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在點測得公路北側(cè)山頂?shù)难鼋菫?0°，汽車行駛后到達點測得山頂在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在公差為的等差數(shù)列中，有性質(zhì)：，根據(jù)上述性質(zhì)，相應地在公比為等比數(shù)列中，有性質(zhì)：____________.12．已知變量之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：_____.12340.13.1413．已知函數(shù)，若，則__________．14．已知一組數(shù)據(jù)，，，的方差為，則這組數(shù)據(jù)，，，的方差為______．15．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時容器中水的深度為___________．16．已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線，，是三條不同的直線，其中.（1）求證：直線恒過定點，并求出該點的坐標；（2）若以，的交點為圓心，為半徑的圓與直線相交于兩點，求的最小值.18．在中，，點D在邊AB上，，且.（1）若的面積為，求CD；（2）設，若，求證：.19．如圖，在正中，，.（1）試用，表示；（2）若，，求.20．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，且邊上的中線的長為,求邊的值．21．2015年我國將加快階梯水價推行，原則是“?；?、建機制、促節(jié)約”，其中“?；尽笔侵副ＷC至少80%的居民用戶用水價格不變．為響應國家政策，制定合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調(diào)研，抽取的數(shù)據(jù)的莖葉圖如下（單位：噸）：（1）在郊區(qū)的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；（2）設該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為，現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價格保持不變．試根據(jù)樣本估計總體的思想，分析此方案是否符合國家“?；尽闭撸?/p>

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由條件，利用等差數(shù)列下標和性質(zhì)可得，進而得到結(jié)果.【詳解】，即，而，故選B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力與推理能力，屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)空間中垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，平行關(guān)系的判定和性質(zhì)，以及線面角的相關(guān)知識，對選項進行逐一判斷即可.【詳解】對A：因為底面ABCD為正方形，故ACBD，又SD底面ABCD，AC平面ABCD，故SDAC，又BD平面SBD，SD平面SBD，故AC平面SBD，又SB平面SBD，故AC.故A正確；對B：因為底面ABCD為正方形，故AB//CD，又CD平面SCD，故AB//平面SCD.故B正確.對C：由A中推導可知AC平面SBD，故取AC與BD交點為O，連接SO，如圖所示：則即為所求線面角，但該三角形中邊長關(guān)系不確定，故線面角的大小不定，故C錯誤；對D：由AC平面SBD，故取AC與BD交點為O，連接SO，則即為SA和SC與平面SBD所成的角，因為，故，故D正確.綜上所述，不正確的是C.故選：C.【點睛】本題綜合考查線面垂直的性質(zhì)和判定，線面平行的判定，線面角的求解，屬綜合基礎題.3、C【解析】

根據(jù)周期公式排除A選項；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，排除B選項；將代入函數(shù)解析式，排除D選項；根據(jù)周期公式，將代入函數(shù)解析式，余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項正確.【詳解】對于A項，，故A錯誤；對于B項，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C項，；當時，，則其圖象關(guān)于點對稱；當，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故C正確；對于D項，當時，，故D錯誤；故選：C【點睛】本題主要考查了求正余弦函數(shù)的周期，單調(diào)性以及對稱性的應用，屬于中檔題.4、D【解析】

分別根據(jù)向量的平行、模、數(shù)量積即可解決?！驹斀狻慨敒榱阆蛄繒r不滿足，①錯；當為零向量時④錯，對于⑤：兩個向量相乘，等于模相乘再乘以夾角的余弦值，與有可能夾角不一樣或者的模不一樣，兩個向量相等要保證方向、模都相同才可以，因此選擇D【點睛】本題主要考查了向量的共線，零向量。屬于基礎題。5、D【解析】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì).設公差為則由等差數(shù)列前n項和公式知：是的二次函數(shù)；又知對應二次函數(shù)圖像的對稱軸為于是對應二次函數(shù)為無法確定所以根據(jù)條件無法確定有沒有最值；但是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性，必有即故選D6、D【解析】

根據(jù)圓關(guān)于直線成軸對稱圖形得b=4，根據(jù)二元二次方程表示圓得a<2，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得4a【詳解】解：∵圓x2+y∴圓心(-1,3)在直線∴3=-1+b，解得b=4又圓的半徑r=4+36-20a2>0b故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．7、B【解析】

利用正弦定理化簡，由此求得的值.利用三角形內(nèi)角和定理和兩角和與差的正弦公式化簡，由此求得的值，進而求得的值.【詳解】利用正弦定理化簡得，所以為銳角，且.由于，所以由得，化簡得.若，則，故.若，則，由余弦定理得，解得.綜上所述，，故選B.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查三角形內(nèi)角和定理，考查兩角和與差的正弦公式，屬于中檔題.8、B【解析】

分別依次寫出每次循環(huán)所得答案，再與輸出結(jié)果比較，得到答案.【詳解】由程序框圖可知，第一次循環(huán)后，，，；第二次循環(huán)后，，，；第三次循環(huán)后，，，；第四次循環(huán)后，，，；第五次循環(huán)后，，，此時，則圖中空白處應填的是【點睛】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)由輸出結(jié)果計算判斷條件，難度不大.9、D【解析】

對任意的、，有仍是該數(shù)列的某一項，可得出是該數(shù)列中的項，由于，可得，即，以此類推即可判斷出結(jié)論.【詳解】對任意、，有仍是該數(shù)列的某一項，,當時，則，必有，即，而或.若，則，而、、，舍去；若，此時，，同理可得.可得數(shù)列為：、、、、.綜上可得：（1）；（2）；（3）數(shù)列是等差數(shù)列；（4）集合，該集合中共有個元素.因此，（1）（2）（3）（4）都正確.故選：D.【點睛】本題考查有關(guān)數(shù)列命題真假的判斷，涉及數(shù)列的新定義，考查推理能力與分類討論思想的應用，屬于中等題.10、D【解析】

通過題意可知：，設山的高度，分別在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【詳解】由題意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本題選D.【點睛】本題考查了余弦定理的應用，弄清題目中各個角的含義是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題中條件，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可直接得出結(jié)果.【詳解】因為在公差為的等差數(shù)列中，有性質(zhì)：，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：在公比為等比數(shù)列中，故答案為：【點睛】本題主要考查類比推理，只需根據(jù)題中條件，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的特征，即可得出結(jié)果，屬于?？碱}型.12、【解析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本點的中心，代入數(shù)據(jù)即可計算出的值.【詳解】因為，，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)回歸直線方程過樣本點的中心求參數(shù)，難度較易.13、【解析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因為所以，所以，所以，，所以，故填：【點睛】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎題.14、【解析】

利用方差的性質(zhì)直接求解．【詳解】一組數(shù)據(jù)，，，的方差為5，這組數(shù)據(jù)，，，的方差為：．【點睛】本題考查方差的性質(zhì)應用。若的方差為，則的方差為。15、15【解析】

根據(jù)球的半徑，先求得球的體積；根據(jù)圓與等邊三角形關(guān)系，設出的邊長為，由面積關(guān)系表示出圓錐的體積；設拿出鐵球后水面高度為，用表示出水的體積，由即可求得液面高度.【詳解】因為鐵球半徑為，所以由球的體積公式可得，設的邊長為，則由面積公式與內(nèi)切圓關(guān)系可得，解得，則圓錐的高為.則圓錐的體積為，設拿出鐵球后的水面為，且到的距離為，如下圖所示：則由，可得,所以拿出鐵球后水的體積為，由，可知，解得，即將鐵球取出后容器中水的深度為15.故答案為：15.【點睛】本題考查了圓錐內(nèi)切球性質(zhì)的應用，球的體積公式及圓錐體積公式的求法，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)側(cè)面積求出正四棱錐的棱長，畫出組合體的截面圖，根據(jù)三角形的相似求得四棱錐內(nèi)切球的半徑，于是可得內(nèi)切球的表面積．【詳解】設正四棱錐的棱長為，則，解得．于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖△PMN的內(nèi)切圓，其中，．∴．設內(nèi)切圓的半徑為，由∽，得，即，解得，∴內(nèi)切球的表面積為．【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；定點坐標；（2）【解析】

（1）將整理為：，可得方程組，從而求得定點；（2）直線方程聯(lián)立求得圓心坐標，將問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線距離的最大值的問題，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最大值為，從而求得最小值.【詳解】（1）證明：，可化為：令，解得：，直線恒過定點（2）將，聯(lián)立可得交點坐標設到直線的距離為，則則求的最小值，即求的最大值由（1）知，直線恒過點，則最大時，，即【點睛】本題考查直線過定點問題的求解、直線被圓截得弦長的最值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)確定求解弦長的最小值即為求解圓心到直線距離的最大值，求得最大值從而代入求得弦長最小值.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用三角形的面積公式求得，再由余弦定理列方程求出結(jié)果；（2）兩次利用正弦定理，結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角的正弦公式進行恒等變換求出結(jié)果．【詳解】（1）因為,即，又因為,，所以．在△中,由余弦定理得，即，解得．（2）在△中，，因為，則，又，由正弦定理，有，所以．在△中,，由正弦定理得，，即，化簡得展開并整理得【點睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.19、（1）；（2）-2【解析】

（1）由，可得，整理可求出答案；（2）用、分別表示和，進而求出即可.【詳解】（1）因為，則，所以.（2）當時，，因為，所以為邊的三等分點，則，故.【點睛】本題考查平面向量的線性運算，考查向量的數(shù)量積，考查學生的計算能力與推理能力，屬于基礎題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理和三角恒等變換的公式化簡即得；（Ⅱ）設，則，，由余弦定理得關(guān)于x的方程，解方程即得解.【詳解】（Ⅰ）由題意，∴，∴，則，∵，∴，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴，設，則，，在中，由余弦定理得：