2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷7（新題型地區(qū)專用）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)集合M={x|-24x42},N={y\y=2x+1],則MuN=（）

A.[-2,+功B.（1,2]C.[1,2]D.（1,+s）

【答案】A

【解析】由題設(shè)N={y|y>l},故MuN={x|-24x42}3W?l}={尤|尤12},故選：A

2.“x<l”是“一-4無+3>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】解不等式/一4尤+3>0得x>3或x<l,記4=（一.1）"3,+e）,8=（-8』），

因?yàn)?B,所以“x<l”是-4x+3>0”的充分不必要條件.故選：A

22

3.已知橢圓￡：—+^=Ua>b>0）的長軸長是短軸長的3倍，則E的離心率為（）

a2b2,

A.包B?迪n2百

V/?\-）（------

3333

【答案】B

則離心率=行=卜冉

【解析】由題意，2a=66,所以生e+

a

故選：B.

4.已知向量次=（6』）,/=倒62）,則花在/C上的投影向量是（）

（他1][百1]

A.—B.-「____TA_______

【答案】A

【解析】刀在就上的投影向量為

，故選A

5.已知等差數(shù)列｛?！埃那?項(xiàng)和為S,，'=1,$8=4,貝）|47+%8+%9+。20=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】在等差數(shù)列｛%｝中，邑=1，$8=4,所以$4=1,國-$4=3,

故S,E-$4,幾-$s-幾￡構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,

所以邑0-、6=1+(5-1)x2=9,即%+%8+%9+。20=9,故選C

6.在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政

部門積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教

育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為（）

8

A.-B.-C.-D.—

99327

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：34=81種；每個(gè)地區(qū)至

少安排1名專家的安排方法有：C：A：=36種；

364

由古典概型的計(jì)算公式，每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為：—

o19

故選：B.

7.我圓古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一

個(gè)小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為夕，大正方形的面積為H，小正方形的

面積為Sz，若1t=25,則:sma+cosa的值為（）

?2sma-cosa

a

57

A.-B.-

22

【答案】c

【解析】設(shè)大正方形的邊長為a,則直角三角形的直角邊分別為asin/acosa,

7T

因?yàn)?是直角三角形較小的銳角,所以

222

可得H=a,S2=d-4x；/sinacosa=a-2asinacosa,

a21

則A=25,

=22

S2a-2asincrcoscrl—2sinacosa

即sida+cos2a_所以ta/a+l3、4

=25,解得tana=1或tana=]（舍去）,

l—2sinacosa1-2tana

3rx_3_|~1]

3sina+cosa_3tana+l_413

所以故選C.

2sina-cosa2tana-12x--1

4~

8.已知雙曲線C：W/=1（“>0/>0）的左焦點(diǎn)為耳，離心率為e,直線了=陽左H0）分別與C的左、右兩支

ab

交于點(diǎn)Af,N.若小鳴?/的面積為,ZMFXN=60°,則?2+3〃的最小值為（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【解析】連接班,班，有對(duì)稱性可知：四邊形孫尊為平行四邊形，故區(qū)叫=|孫|,|咐|二|"國，

4明=120。，2△即N

由面積公式得：/7白卜|叫忖11120。=6,解得：|八胤?區(qū)7劇=4,

由雙曲線定義可知：|片MT甲V|=2%

222

FXN+F2N-4C_（￡N-舄NY+2片N￡N-4c2

在三角形居中，由余弦定理得：cos120°=

2F{N-F2N2F[N,F?N

2F】N?F?N-4/」，解得：陽碼內(nèi)可=手

2F、N?F?N

4b2

所以---=4，解得：b?=3,

3

3

故e?+3a2=1+—+36Z2>1+2二7，

a

a

當(dāng)且僅當(dāng)弓=3。2,即/=1時(shí)，等號(hào)成立.

a

故選：D

二'多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.|z|2=zz

B.若2=(1-2評(píng)，則復(fù)平面內(nèi)［對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.z2=|z|2

D.若忖=1,則|z+i|的最大值為2

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,設(shè)2=。+歷，故彳=。-歷，貝!||二『=。2+/，zz=(a+bi)(a-bi)=a1+b2,故，=z5■成立,

故A正確，

對(duì)于B,z=(l-2i)2=-4i-3,z=4i-3,顯然復(fù)平面內(nèi)I對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故B正確，

222

對(duì)于C,易知=/+〃，z=a+b+2abi,當(dāng)必wO時(shí)，z2Mlz故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,若忖=1,則小+4=1,而＞+h/2+3+如=0拜易得當(dāng)6=1時(shí)，|z+i|最大，此時(shí)|2+i|=2,

故D正確.

故選：ABD

10.將函數(shù)夕=3112。必。＞0)向左平移2個(gè)單位，得到函數(shù)/(X),下列關(guān)于/(X)的說法正確的是()

6

A./⑴關(guān)于卜寸稱

57r

B.當(dāng)。=1時(shí)，/(x)關(guān)于尤=-二對(duì)稱

C.當(dāng)。<0W1時(shí)，/(x)在［o*］上單調(diào)遞增

兀］「

D.若/*)在TT5-上有三個(gè)零點(diǎn)，則0的取值范圍為13，4

_66」|_2_

【答案】ABC

【解析】/(x)=sin2dx+胃(°>0),當(dāng)x=q時(shí)，得2dx+：|=0,/(x)=0,故選項(xiàng)A正確;

當(dāng)。=1時(shí)，/(-fj)=sin+^|=-1,T是函數(shù)的最小值，所以〃x)關(guān)于x=-1j對(duì)稱，故選項(xiàng)B

12|_^12oyJ12

正確；

當(dāng)0<oWl時(shí)，0<x<工，得0<?<24工+/<?M，所以/(x)在卜冬上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確;

12316/22k

由」W型，得0V2°(X+4V2S,由于〃x)在1-2,當(dāng)上有三個(gè)零點(diǎn)，所以2兀V20k<3兀，所以

66<671_66_

3

1<?<1,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.已知函數(shù)/(x)滿足：①對(duì)任意x,yeR,/(x+y)+/(x)+/(y)=/(x}/e)+2；②若工二九則

/(x)#/(y).則()

A.〃())的值為2B./(x)+/(-x)>4

C.若/⑴=3,則"3)=9D.若"4)=10,則/'(-2)=4

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,令x=y=O,得3〃0)=[/(0)/+2,解得/(0)=1或/(0)=2,

若/(0)=1，令"0,得2〃x)+l=〃x)+2,即〃x)三1,

但這與②若則/(x)片/(刃矛盾,

所以只能/'(0)=2,故A正確；

+/%

對(duì)于B,令y=一X,結(jié)合八0)=2得，/(x)+/(-x)=/(x)-/(-x)<R^^^，

解得/(X)+/(T"4或〃x)+/(-x)W0,

又/(0)=2,所以2〃0)=4>0,

所以只能/(X)+/(T)N4,故B正確;

對(duì)于C,若〃1)=3,令夕=1得，/(x+l)+/(x)+3=3/(x)+2,

所以/(x+l)=2〃x)-1,所以/⑵=2〃1)-1=6-1=5,

所以"3)=2/⑵-1=10-1=9,故C正確；

對(duì)于D,取/卜)=(百)'+1,

則/⑴.小)+2=[(可+1]](可+1]+2=(G廠+(可+(可+3

滿足/（4）=10,但〃-2）=不4故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

（2\5

12.+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

\7

【答案】40

（_2\5（2V5

【解析】依題意，2x+xJ的展開式的通項(xiàng)為&|=C；.（2x）5r］『3=c>緩一-x丁，

令5-$=0可得廠=3.故常數(shù)項(xiàng)為C>22=40.

13.已知正四棱臺(tái)/5CD-44的上、下底面邊長分別為4、6,高為夜，則正四棱臺(tái)

的體積為，外接球的半徑為.

［答案］辿1V26

3

【解析】根據(jù)題意易知該棱臺(tái)的上、下底面積分別為：H=4?=16,^=62=36,

所以正四棱臺(tái)/BCD-/4GA的體積為『=/啊+邑卜后=粵2；

連接NC,BD交于點(diǎn)、?！颠B接/￡,42交于點(diǎn)。-如圖所示：

o

當(dāng)外接球的球心。在線段。。2延長線上，

設(shè)。。=〃，外接球半徑為我，則。2。2=(6-亞J,

因?yàn)?02=夜，上、下底面邊長分別為4、6,

則2Q=42=2收DO°=；BD=3e,

所以上=RO；+川=DO；+(/z-V2)2nh=3^2,R=726

當(dāng)外接球的球心O在線段外。延長線上，顯然不合題意;

當(dāng)球心O在線段。02之間時(shí)，貝1]。2。2=(行-同上可得，h=3亞,不符舍去.

14.定義：max{x,y}為實(shí)數(shù)x,y中較大的數(shù).若a,6,c>0,則11^*[,+6,1+無，9+<4的最小值為

IacabI

【答案】2

【解析】設(shè)"=11^<[，+瓦」+蛇￡+),

[acabJ

則由題意可得M>'+b>O,M2L+6c>o,M>4c>0,

acab

因?yàn)樗?/p>

\ac)a

①當(dāng)c21時(shí)，—+bc>—+b>0,

aac

只需考慮+c,

ab

所以M^L+bcNL+b22AB,Af>-+c>-+l>2J-,

aa\abb\b

所以M222gx2上=4,可得"22,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=l時(shí)取等號(hào);

②當(dāng)0<c<l時(shí)，0<—\-bc<卜b,只需考慮Af2bb,M>—\-c,

aacacb

a

所以—+Z?Y—+c\=a+—xbc=4,

acbabe

可得"22,當(dāng)且僅當(dāng)”=l,bc=l時(shí)取等號(hào).

綜上所述，M的最小值為2.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明'證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=alnx-x.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，求函數(shù)/(x)的最大值.

【解】⑴/(x)的定義域?yàn)?0,+勸,

11_r

當(dāng)〃=］時(shí)，/(x)=lnx-x,/，(％)=——1=-----,

xx

1—y

當(dāng)/'(%)=--->0，解得：O<X<1,

當(dāng)/'(》)=二^<0,解得：X>1.

???/(X)在(0,1)上為增函數(shù)；/(X)在(1,+8)上為減函數(shù);

(2)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(尤)>0,得0<尤<a,令/'(x)<0時(shí)，得x>a,

f(x)的遞增區(qū)間為(0,。)，遞減區(qū)間為(。,+8).

f(x)1mx=alna-a=a(Ina-1).

16.(本小題滿分15分)如圖，在五面體48CD跖中，底面48co為平行四邊形，斯〃平面/2-C。，^EAB

為等邊三角形，BC=CE=2AB=2EF,ZABC=60°.

⑴求證：平面E/8_L平面48cD；

(2)求平面ECD與平面FCD夾角的余弦值.

【解】(1)不妨設(shè)/3=1,則BC=CE=2,

在平行四邊形48CD中，:BC=2,AB=1,ZABC=60°,連接ZC,

由余弦定理得AC?=F+22-2xlxlxcos60°=3,即/C=百,

AC2+AB2=BC2,AC1AB.

X---AC2+AE2=CE2,:.AC1AE,ABC\AE=A,

NC_L平面E/B,又ZCu平面48cZ).

A

由(1)易知EG_L平面/BCD,且EG=里.

2

如圖，以A為原點(diǎn)，分別以射線/8,/C所在直線為xj軸，豎直向上為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

則Eg,o,f,F0口？,c(o,Ao),D(-I,AO),A(-2,2AO),G(T，2仆,仆)，

\7\7

CD=(-1,0,0),FC=0，5，-孚，小■，員g，

\7\7

/、位?麗=0

設(shè)平面尸CD的法向量為〃=(%//),則｛—,,

元?FC=O

-x=0

得百G，令＞=i，得力=(o,i,i),

——y------z=0

12，2

/、\m-CD=Q

設(shè)平面ECD的法向量為機(jī)=(再,必,zj,貝,

mEC=0

一再=0

得1廠6，令％=1，得比=(0」,2),

―/再+13必一了馬二0

一一m-n33A/10

cosm,n==廠「=，

\m\-\n\72x7510

所以平面EC。與平面FCD夾角的余弦值觀.

10

17.(本小題滿分15分)已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴,從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取了50個(gè)軟籽

石榴，按質(zhì)量(單位：g)將它們分成5組：[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),[440,460]得

到如下頻率分布直方圖.

(1)用樣本估計(jì)總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)按分層隨機(jī)抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)內(nèi)的石榴中抽取7個(gè)石榴

進(jìn)行檢測，再從中抽取3個(gè)石榴作進(jìn)一步檢測.

(i)已知抽取的3個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；

(ii)記這3個(gè)石榴中質(zhì)量在區(qū)間[420,440)內(nèi)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解】(1)該品種石榴的平均質(zhì)量為"=20x[370x0Q05+(390+410+45qx0.010+430x0.015=416,

所以該品種石榴的平均質(zhì)量為416g.

(2)由題可知，這7個(gè)石榴中，質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的頻率比為

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴個(gè)數(shù)分別為2,2,3.

(i)記/="抽取的3個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間”，2=“這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間”，

則尸⑷史，尸(")=華2=乜，

'JC：35'1c：35

12

所以尸(叫/)=錯(cuò)=/6

17

35

即這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為'.

(ii)由題意X的所有可能取值為0,1,2,3,

c34r2rl18

貝”(x=o)=^=正，尸(X=1)=-^

35

d17031

p(y=2)=-^=—,尸(X=3)=V

I，C；35'，C；35

18.(本小題滿分17分)已知拋物線：/=2x,直線/：y=x-4,且點(diǎn)瓦。在拋物線上.

(1)若點(diǎn)4c在直線/上，且48,C,。四點(diǎn)構(gòu)成菱形/8C。，求直線3D的方程；

(2)若點(diǎn)A為拋物線和直線/的交點(diǎn)(位于無軸下方)，點(diǎn)C在直線/上，且43,C,。四點(diǎn)構(gòu)成矩形/BCD,

求直線8。的斜率.

【解】⑴由題意知/C/BD,設(shè)直線8￡>:x=-y+zM.

聯(lián)立0=2x22

2m

貝UyB+VD=-^yByD=-，xB+xD=-(yB+yD)+2m=2m+2,

則BD的中點(diǎn)(加+1,-1)在直線y=x-4±,

代入可解得加=2,/+2〉一4=(),△=20>0,滿足直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),

(2)當(dāng)直線/用/。的斜率為0或不存在時(shí)，均不滿足題意.

y=x-4得[x=或2kfx=8

由(舍去)，故4(2,-2).

方法一：當(dāng)直線么民4。的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線N3：尤-2=［了+2).

x—2=/fy+2）.

聯(lián)立2得〉-2（y-4/-4=0,所以為+為=2，.

y=2x

所以可2/+今+22+2）.同理得。（（一4、2cl

-+2,——+2.

ttJ

由8。的中點(diǎn)在直線＞=x-4上,

得g（2?+4/+2+12■--+2j-4=-1[2t+2-2+2],

2

1

BPt2+—+|t—4=0.

令/_；=p,則p2+p_2=0,

解得p=-2或p=1.

2t+2-\--+2

1

當(dāng)P=1時(shí)，直線AD的斜率原。

2t2+4t+2-\^--+2J+23

當(dāng)。=-2時(shí)，直線AD的斜率不存在.

所以直線8。的斜率為;.

方法二:設(shè)5（西,.）,。（%2，%），線段AD的中點(diǎn)4）,

Q

則$=24,必+y2=2（-4）.

y.+2y+22+2

由皿皿得岸.丁?71，即與一2

色-2

2

所以必力-2（%+%）+8=0.

2

故乂歹2—2（%+%）+8=?？赊D(zhuǎn)化為2a—ISa+32—4（。—4）+8=0,

即/一]I。+28=0.解得。=7或Q=4.

k二%一%一%一切二2二I

BD

所以直線的斜率x2-%jyly：y2+yxa-4.

T-T

當(dāng)。=4時(shí)，斜率不存在；當(dāng)。=7時(shí)，斜率%

所以直線8。的斜率為;.

19.（本小題滿分17分）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)A,B,C,。是

直線/上互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱七?一（分式中各項(xiàng)均為有向線段長度，例如=為A,B,

BCAD

C,。四點(diǎn)的交比，記為（4