浙江省金華十校2024屆高三年級下冊4月模擬考試數(shù)學試題+答案解析

【新結構】浙江省金華十校2024屆高三下學期4月模擬考試數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合.［二{(LL2一：什，//(rJ-?⑺，則、1!-()

A.{0}B{1}C.{1.2}D.{1.2.3)

2.」()

12121219

A.B.C.>-fD.

55553333

條件尸5…條件,

3.設〕門1：，j,,，廠二及，則P是夕的()

A.充分不要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設直線L,:,則/與圓C()

A.相交B.相切C.相離D.以上都有可能

5.等差數(shù)列"，：的首項為正數(shù)，公差為d,S為｛”：的前〃項和，若J,且、，、+S,成等比

數(shù)列，則〃()

A.1B.2C.D.2或

V21「

6.在,中，--，(BC-2,貝IJ"〃的面積為()

A.B.lx.!c.JD.2，.：

7.金華市選拔2個管理型教師和4個教學型教師去新疆支教，把這6個老師分配到3個學校，要求每個學校

安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個學校，則不同的分配方案有()

A.72種B.48種C.36種D.24種

8.已知?,-in,?1―—上，貝!J一、()

312

1111

A.B.C.D.

236s

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在：仃&11/,之間，進行適

當分組后I每組為左閉右開區(qū)間畫出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個小矩形的面積從左到右

第1頁，共18頁

依次為、，1一小，則（）

A.x的值為0.0044

B,這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175

C.用電量落在區(qū)間r.i內的戶數(shù)為75

D.這100戶居民該月的平均用電量為▽

10.已知I）.”.八［，….”1,貝！1（）

u

A./,>/B.rn">n"'C.D.n>kifctti

11.在矩形45CD中，.1〃_!」」〕，￡為線段N8的中點，將"〃「沿直線DE翻折成I.若M為線

段的中點，則在〃從起始到結束的翻折過程中，（）

A.存在某位置，使得B,存在某位置，使得（7\/）

C.MB的長為定值D.M3與CO所成角的正切值的最小值為‘

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若單位向量萬，7；,滿足不2Tv3，則向量7「，廠的夾角為.

13.已知函數(shù)"若/，」）在點11/1“處的切線與點處的切線互相垂直，則

Ilnx?JF>。.

.

9999

T*fl*廣

14.設橢圓「："-I'<,■一與雙曲線（一',,-I'II,有相同的焦距，它們的離

心率分別為…，，一橢圓仁的焦點為B,B，（在第一象限的交點為尸，若點尸在直線廣,上，

且，兒/7?一！卜，則<）的值為__________.

Cj4,2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

第2頁，共18頁

15.?本小題13分j

為鼓勵消費，某商場開展積分獎勵活動，消費滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次點數(shù)之和等于7,則

獲得5個積分;若點數(shù)之和不等于7,則獲得2個積分.

I記兩次點數(shù)之和等于7為事件第一次點數(shù)是奇數(shù)為事件2,證明：事件8是獨立事件；

壯I現(xiàn)有3位顧客參與了這個活動，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望.

16.1本小題15分）

I，若,，1，求L，的值域；

⑵若/，，存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

17.（本小題15分）

如圖，在三棱柱SBC-ABQ中,ABC是邊長為2的正三角形,側面E8QC是矩形，＜兒=

I求證：三棱錐II/*?是正三棱錐；

⑵若三棱柱」的體積為2、？，求直線A3與平面兒［/口：所成角的正弦值.

18.本小題17分J

設拋物線/?山，直線/1是拋物線C的準線，且與x軸交于點3,過點2的直線/與拋

物線C交于不同的兩點M,N,AL"I是不在直線/上的一點，直線/N分別與準線交于尸，0兩點.

I?求拋物線C的方程；

，證明：1〃/'.

.□記△UQ的面積分別為s：,、］，若$=求直線/的方程.

19.?本小題17分J

設p為素數(shù)，對任意的非負整數(shù)小記”.+“.，，11,”=.........…；，其

中,，?IJ.，.；-'，:，如果非負整數(shù)“滿足能被p整除，則稱“對p"協(xié)調”.

”分別判斷194,195,196這三個數(shù)是否對3“協(xié)調”，并說明理由；

第3頁，共18頁

。判斷并證明在/「，，一1,廠,，，？，，“，.，「11這//個數(shù)中，有多少個數(shù)對P“協(xié)調”；

計算前/個對P“協(xié)調”的非負整數(shù)之和.

第4頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查交集運算，屬于基礎題.

化簡3,由交集運算即可求解.

【解答】

解：H-{J'J210}={J|0V4<2},

則」

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.

根據(jù)復數(shù)的除法運算法則求解即可.

【解答】

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

根據(jù)正余弦的函數(shù)值可得角，結合充分必要條件的定義即可求解.

【解答】

解：，一II.7H條件卜…山，'可得〃-：或.，此時……'，或、”，充分性不成立;

2o622

反過來，若,)?："一-|,可得“，此時、lll/i，必要性成立，

262

故選所

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.

通過判斷圓心到直線的距離與半徑大小即可得位置關系.

第5頁，共18頁

【解答】

解：圓(,一I--V2-1的圓心為I121,半徑為1,

圓心到直線「一為u-。的距離為3'''：!'1，

故直線與圓相離

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項公式、性質及求和公式，考查等比數(shù)列的性質，屬于1般題.

由等差數(shù)列的通項公式、性質及求和公式可得、“S+0—“根據(jù)等比

數(shù)列的性質列方程求出“，從而可求公差.

【解答】

解：s-u*ii=,i-R，

+.S?—H1+〃]+〃_,一〃.—H?十，31—"一“，

_5(ui?./A、*

Q*??.'?；?二、」，，?，?(??,i、b"?I，

因為成等比數(shù)列，

所以Io1+9)°-；H,43)?5(6〃)，

即—”，解得?或舍匚

故〃-a；I：?3-I-.)

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查正弦定理與三角形面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系及兩角和的正弦公式，屬于一般題.

由同角三角函數(shù)的平方關系求出「心3，根據(jù)-川」「「求出zuA，由正弦定理求出再根據(jù)

三角形面積公式即可求解.

【解答】

解：因為。12，，所以3為銳角，

所以1---J/''<'-III-rn-/i--Hil,

第6頁，共18頁

V21V21

~TT

由正弦定理可得Al!

7114-IIII

所以、「，，1/；/；<-mb'.?入7.，?'二3

22i

7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查分組分配問題，考查排列組合的綜合應用，屬于一般題.

先求出所有的分配方案，再求2名管理型教師安排在同一所學校的分配方案，從而可求解.

【解答】

解：將6名老師平均分成3組，再安排到3所學校，

共有‘丁丁、I".<,①種不同的分配方案.

2名管理型教師安排在同一所學校的分配方案有...31、種，

為

則管理型教師不安排在同一所學校的分配方案有，川-川”種.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查兩角和差的余弦公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系，屬于較難題.

根據(jù)兩角差的余弦公式可求-?…j,從而可求，根據(jù)

12

tg/?：??(???Ji?IU-'I?即可求解.

【解答】

解：因為<心"?,i，-in-?-'.it>，

312

所以「心一?--，解得I1

12312

所以??|—>,-1-111<b?-ilil

12\12/i

所以—Ze,>r><iII

=(COHO?COR小—sinc?sin；i)?(cnso?cns3+sino?sinJ)

=cos*a-C<M23-sin2a?sin2B

第7頁，共18頁

=coera-(1—siu2J)—(1—coN2a)?sin23

,..111

=cots*c-sin2J=~x==—.

326

9【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查頻率分布直方圖以及平均數(shù)、中位數(shù)的應用，考查了邏輯推理和運算能力，屬于一般題.

由題意，根據(jù)頻率之和為1,列出等式求出x的值，進而可判斷選項4結合中位數(shù)和平均數(shù)的定義以及計

算方法即可判斷選項B和選項D；求出用電量落在區(qū)間［1”內的頻率，即可判斷選項(二

【解答】

解：對于Z,因為50x(Q.002J+(HKKJ6+(UI060+J+-O.(K>24+0.0012)=1,

解得j0.0044>故/正確；

對于8,前2組的頻率之和為00x(0.OO24+0.3,

前3組的頻率之和為Q.3?-0.0(160x50?Q.6,

故中位數(shù)位于［150.200)內,設為",

則(n—」50)xDH"川4-0.30.5,解得“-二：、L33,故8錯誤;

對于C,1^1:*“I的頻率為1-_(L7,

故用電量落在區(qū)間丁,u：；"內的戶數(shù)為1川―II：=7”,故C錯誤；

對于D,這100戶居民該月的平均用電量為

(50+25MT100+25)-2T300+25即-V50i+25)用,故。正確.

，,1

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查幕、指、對函數(shù)的性質，考查換底公式，屬于一般題.

根據(jù)八，，,，即可判斷4取…I，n?」可判斷2；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，以“1”為中間值即可判

斷c；根據(jù)換底公式可得卜《:"：”?：，，，，:再根據(jù)不等式的性質即可判斷“

IgoIgo

【解答】

解：對于4,因為“*?I,

所以h」J即八故/正確；

對于5,取…I,r<J9滿足“)?”?1,

但…1lbM2lHi,不滿足…I'',故5錯誤；

第8頁，共18頁

對于C,1<-41<<.6=1,。1(小m

所以hy,”-M,,故以正確;

“工八I收〃！收，〃

IgaIgo

因為Il"，'L'；.II.IL,1-|j*-II,

所以I'Jri'kfl>(I.1gaIgfc>0,

所以一收〃it>—IgbIgn,即］>Iga1gtn.

因為III:「II,所以上〃收匕>。,

mi、/*〃植〃墳"及，"I.Kn12〃.田c-r咨

所以—r9即Rn丁，即Rni101fB>1<U“，故。正確.

igaIgoIgalgoIgaIgo

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查直線與直線垂直，考查向量法求異面直線所成的角，考查同角三角函數(shù)的基本關系及余弦定理,

屬于難題.

對于4利用反證法可得/〃/，與。1I之矛盾，從而可判斷;對于3若存在某個位置使得"I：EC,

可得即，L「，設.1〃2.1/）2,可得、（，在折疊過程中，-11\」川，從而可判斷；對

于C,取CD中點尸，連接“凡BF,可證明平面平面.lj〃，故.1/〃.U/B{!）!

定值，—定值，riiOE一定值，利用余弦定理即可判斷；對于。，記?！曛悬c為。，不妨

設.32。，以i〃。\分別為X，歹軸的正方向建立空間直角坐標系，設.L川，ATH"II..1優(yōu)I,

MB與CD所成角為-,可得COBw=J號巴-金黑岬W-4，根據(jù)Un/=里=y/l-co^^

DC]<|0Af2/5V5a?,CUB/

即可判斷.

【解答】

解:對于/,若存在某個位置，使〃/\（，

由已知可得一一一8￡（'-』5'，則/〃（/

又（了；76=「，CE、%（'，一平面I,/C,

「/〃:」面』/<「，

得"/，-1|尸，這與/）4,八]八矛盾，故/錯誤；

對于3,由題可知：

若存在某個位置使得1（,

第9頁，共18頁

由于人IECEC：E,AI,ECU平面hEC,

可得\I)平面斗/?：「，

且ICu平面UEC,所以ltDI(

設.lb.2」?！梗傻?、:《，

由于在折疊過程中，所以存在某個位置，使得\3,

故存在某個位置，使得L",故8正確；

取CD中點尸，連接上不，BF,

4

根據(jù)中位線定理可得DAi，而面E理A,DA面據(jù)。人,

/面/?1)$.

JLBF//DE,"http://面//，I,DEC面1|，

:力,面/?")①.

又ZFcFBF.MF.FB中間V"/，

?平面.“/〃?平面.*/%,

由.11”=W8=.」/)/.=定值，

Mf-'-定值，m-—定值，

由余弦定理可得：MU-=Ml--FB:2MF-FB-cx?￡MFB>

由于〃F,5歹及「\〃/，為定值，

所以九0是定值，故C正確；

對于。，記?！曛悬c為O,

不妨設.1/「2、金，以<〃一"\’分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系，

設4曲<0?，.破ne)(，4QF=。)，fl(2.1.()).('(1,2.0),A/('I-0(-1,0,0),

則/)「2L山，"V(>,一)，

第10頁，共18頁

設"3與CD所成角為.，

g、l"mryI-Cm/

所以Lui,'

所以〃與所成角的正切值的最小值為,

3CO,故。正確.

*J

12.【答案】

【解析】【分析】

本題考查平面向量的夾角，屬于基礎題.

將M?，；=、：i兩邊平方求出，「二再利用夾角公式求解.

【解答】

解：由題意可得，「I,

因為|汀-=v3,

所以|，「『一.1，

即；lu?.W=3,解得"3?,丁?；.

/.,b1

所以"

/I叩I-

因為，:7.門,I,所以6'

\/\/

13.【答案】-:

【解析】【分析】

第H頁，共18頁

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查垂直與斜率的關系，屬于中檔題.

'2r,xC0

八，1，可得I,I,分段求解，即可.

一?*>0

、JT

【解答】

(2x,rC0

解：由題易知，，「，，I,

I—>0

故而|I-1u處的切線斜率人/'U：'1.

又/I/川處的切線與之垂直,則八41-

當Jl，11時，”，1,得.八—-;，成立；

當.一時，-I無解.

工0

綜上所述，/，

2

14.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查橢圓與雙曲線的定義及離心率，考查同角三角函數(shù)的基本關系，屬于一般題.

設雙曲線的兩個交點為片'與/[',則(>/)-片1=|O6'|=c,ZPOFi；,則

11--111,111--1-HI，根據(jù)同角二角函數(shù)的基本關系即可求解.

tI2c、st>2r"、

【解答】

解：設雙曲線的兩個交點為U與/?1,

則I。四=\or\二二（）f:\=<■.

由一”.”，所以'11:1.

因為點尸在直線U，上，所以",

則2oi/'/,?/'/2（CT?g+.n；）,

2.，-/?/*/?-"1、），

第12頁，共18頁

21r

cc+sin2

15.【答案】解：11)因為兩次點數(shù)之和等于7有以下基本事件：｛1.6)(2.5)事,4)(4.：川5.2),(6,1)共6個,

所以，1.1「，又八，

36(i2

而第一次點數(shù)是奇數(shù)且兩次點數(shù)之和等于7的基本事件是11,共3個,

所以C.W

3612

故P(AB)P?,

所以事件a3是獨立事件.

j設每位參與這個活動的顧客獲得的積分為X,則X可取6,9,12,15,

X691215

12575151

P

2162162162KJ

15…1..

所以/?\?+ZTZX12?TTTX15

216216216

【解析】本題考查相互獨立事件，考查離散型隨機變量的分布列及期望，屬于中檔題.

；1，兩次點數(shù)之和等于7有以下基本事件：」.，，"I」7,，ih.li共6個，求出口.1)、fiH),

/*i即可八.1/八一/1、"小，從而事件/,2是獨立事件;

第13頁，共18頁

2設每位參與這個活動的顧客獲得的積分為X,則X可取6,9,12,15,求得相關概率，即可得離散型隨

機變量的分布列及期望.

16.【答案】解：1?若"I,/1,11i,<(?-；*<11-./,,

/*(*)=cx?2J-sin2J-sinj=-2san2J—sinj+1=~(sinx+l)(2siux-1)

當」i*1-.?時，J；「，?！竼握{遞增；

b

當1，.，時，「一0,r.j,單調遞減：

D1

又/Lih-l,/,ihi，卜，ii,

1GI2

所以，一，即」的值域為「2,；

141'I1

(2)/'(1)=cos*jr-sin*j*—asin1=1—2疝廠x-asin].

J，存在極值點，則,「，二”在，“，上有解，

即「hiur有解.

Kinf

令f-、in」，則aJ木在，。,1)上有解.

因為函數(shù)”，；+在區(qū)間MLh上單調遞減，

所以“'I1.rXI.

【解析】本題主要考查了導數(shù)的性質及其應用，考查了轉化思想，屬于中檔題.

1由題意求導可得八二=.--II'J-iiuI「，可得/，，，在單調遞增，，，，在I1?單調遞減,

662

進而可得結論；

?!1根據(jù)己知可得/'Jj=I)在，-1”>I上有解，進而可得“-I-/'Ilir有解，即可求解。的范圍；

iM11X

17.【答案】解：1，證明：分別取/￡8C中點。，E,連接CD,AE交于點、O,

則點。為正三角形/8C的中心，

因為44i(\]〃得「/>.」〃，\\DLAB.

又CD,I〃二平面1，)，(l>10/>,

所以平面當]〃，

又AQ，二平面I(/),

則八〃一”)，①

取"，中點連接.1/,I!,則四邊形4,/"：是平行四邊形，

第14頁，共18頁

因為側面B5廠「是矩形，

所以"廣II,

又"CUE，EEi，AEC平面AAIEI￡,EEtAEE,

所以BC平面44|EiE,

又A］。j平面L""：

則"…li",②,

由①②，且/瓦8("二平面/8C,/*'B，

可得，V(＞平面48C,

所以三棱錐I-,是正三棱錐；

I-?因為二棱柱\H('I,H('的體積為2、2，底面積為、,

所以高.1,“

v33

以￡為坐標原點，切為x軸正方向，￡3為y軸正方向，過點E且與。兒平行的方向為z軸的正方向建立空

間直角坐標系，

設平面1的法向量”:1.1.7,.1,

第15頁，共18頁

直線I，與平面11"門所成角為，，，

/_</?IE■V2

所以yiii“—一…"，?“；...

而W|3*

【解析】本題重點考查線面垂直的判定和線面角，屬于一般題.

1，通過求證八。1.平面/8C，即可求證三棱錐II”「是正三棱錐;

⑵求出高XC,建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解.

18.【答案】解：I由題：/，2,故拋物線C的方程為廣

I，設1./11/1,A/1?,\:r；.I；.?,

聯(lián)立Ir,消去X得-十I0,

U\+=4f?

{yith-4.

又A."：U-“=令工=-1得尸(-1,“一

11-1JTf-I

同理可得3-1

故11()

11r------/------In/-21/-7-----

S,=-\MN\d=-xV/12+1-40s-11-=2v-l|*|nf-2|,

22+I

由、2、,得：J1解得，i\L

所以直線/的方程為一、1“

【解析】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，屬于較難題.

1，根據(jù)準線求出p,從而可得拋物線的方程；

第16頁，共18頁

I證明Ih?5"即可；

：由J可得、./?9,Si=\A/.V|d=202-1|-\nt-2\,根據(jù)、八.求出f即可.

“2—12

19.【答案】解：：11因為1912.3,-1-3-II-3-11.3-2.31>所以

U；I'tl2-1-H-1-2f1,

195li..r-2■,11-II-3-1.1-：!??2.31，所以IL,l'“：0+2+0+1+25,

196s1x3^.??/?Ht，I.：「一.：」所以”|(196)=1+2+0+14-2=6,

所以194,196對3“協(xié)調”，195對3不“協(xié)調”；

，先證引理：對于任意的非負整數(shù)K在必，4,1,/」，，/-1，中有且僅有一個數(shù)對p“協(xié)

調“

證明如下：設>'>,(''A'AH,由于必是p的倍數(shù)，所以L,-I，，

所以.’'-?1

即對于r'這一項的系數(shù)為」"/,I1>

所以II/?'??'A,?11?■1?,

根據(jù)整除原理可知，在［X，JJU，,